Comme Robinson Crusoé marquait d'un trait chacun des jours passés sur son île, nos ancêtres, qu'ils soient agriculteurs ou astronomes, ont essayé de quantifier le temps qui passe, et d'identifier les phénomènes cycliques...

Bon... le soleil se lève et se couche, c'est évident et il n'y a pas besoin d'être un astronome averti pour l'observer...

La Lune change de forme et devient toute ronde régulièrement au bout d'à peu près 30 couchers de Soleil...

Et comme nous l'avons vu précédemment, les étoiles reviennent au même endroit au bout d'à peu près 360 couchers de Soleil et d'à peu près 12 cycles de Lune...

Comme les babyloniens comptaient en base 12 (ils se servaient parait-il du pouce pour compter les phalanges des quatre autres doigts), que 30 est multiple de 6 (la moitié de 12) , et que 360 est un multiple de 12, tout paraissait donc logique et notre environnement réglé par le chiffre 12. Basé sur ce principe, ils ont donc divisé le jour en 12 heures, et la nuit en 12 heures.

Le multiple de 12 le plus pratique est sans aucun doute le chiffre 60 : il est divisible par 2, 3, 4 et 5 !

Ils ont donc subdivisé les heures en 60 minutes et les minutes en 60 secondes.

Autant le découpage de la journée était facile, autant celui de l'année était un peu plus compliqué.

En effet, bien souvent, on essayait de diviser l'année (qui est une notion Solaire puisque c'est le temps que met la Terre pour en faire le tour) en mois Lunaires (qui est une notion Lunaire puisque c'est le temps que met la Lune à se retrouver dans la même position dans le ciel à la même heure (nous verrons que ce n'est pas exactement le temps que met la Lune à faire le tour de la Terre))... Et bien évidemment, ça ne collait pas !

Mais revenons à nos moutons :

  LE CALENDRIER ROMAIN

L'origine de notre calendrier est le calendrier Romain, créé par Romulus vers 750 Avant JC, d'après la légende.

Ce calendrier était un calendrier Lunaire issu des calendriers grecs et étrusques... On n'en sait pas vraiment beaucoup sur lui et les informations sont assez floues... Elles ont été déduites bien souvent de bouts de phrases sur des papyrus retrouvés et du coup les interprétations peuvent parfois diverger.

On sait qu'il contenait dix mois de 30 et de 31 jours, ce qui nous faisait un total de 304 jours.

Son début coïncidait à peu de choses près avec l'équinoxe de printemps.

Le nom des cinq premiers mois étaient dédiés à des dieux et les autres à leur numéro, ce qui nous donnait :

- Martius (31 jours), dédié à Mars, Dieu de la guerre et de l'agriculture.

- Aprilis (30 jours), dédié à Aphrodite, Déesse des plaisirs et de la beauté.

- Maius (31 jours), dédié à Maïa, Déesse de la croissance.

- Junius (30 jours), dédié à Junon, Reine des Dieux et du ciel.

- Quintilis (31 jours)

- Sextilis (30 jours)

- September (30 jours)

- October (31 jours)

- November (30 jours)

- December (30 jours).

Une fois tous ces mois écoulés avec leurs 304 jours on ajoutait des jours (environ 61) jusqu'à l'arrivée du nouvel équinoxe de printemps et ainsi de suite...

Ce n'était quand même pas très pratique !

Le successeur de Romulus, Numa Pompillus, décida donc de réformer ce calendrier vers 713 Avant JC, en ajoutant deux nouveaux mois (janvier et février) à la fin pour y coller ces jours en trop.

Il voulait par-là avoir une année avec le nombre maximal de lunaisons. On savait à l'époque qu'une lunaison durait environ 29,5 jours. Ce nombre de jours que cherchait Pompillus était donc de 29,5 x 12 =  354 jours, mais les nombres pairs portant malheur, c'est 355 qui fut choisi !... Ils sont fous ces Romain...

Pour combler le trou entre les 304 jours actuels et l'objectif des 355 jours, il lui manquait donc 51 jours à ajouter sur ces deux nouveaux mois... mais il ne pouvait pas définir deux mois de 25 jours, c'était trop peu !!

Il décida donc de récupérer des jours en faisant passer les 6 mois de 30 jours à 29 jours pour récupérer 6 jours, ce qui lui faisait donc 57 jours à partager en deux sur les deux nouveaux mois : 28 jours pour le mois de Février (dédié à Februa, Dieu de la mort et de la purification) et 29 jours pour Janvier (dédié à Janus, Dieu gardien des passages). A part le mois de février, tous les mois avaient alors un nombre de jours impairs : c'était quand même plus confortable !

On peut remarquer qu'à cette époque, Janvier et Février étaient inversés et placés en fin d'année.

La nouvelle répartition des mois était donc :

- Martius (31 jours)

- Aprilis (29 jours) diminué d'1 jour

- Maius (31 jours)

- Junius (29 jours) diminué d'1 jour

- Quintilis (31 jours)

- Sextilis (29 jours) diminué d'1 jour

- September (29 jours) diminué d'1 jour

- October (31 jours)

- November (29 jours) diminué d'1 jour

- December (29 jours) diminué d'1 jour

- Februarius (28 jours)

- Januarius (29 jours)

Une fois ces mois terminés, il restait donc encore quelques jours pour finir l'année et passer des 355 jours aux 365 jours de l'année. 

Il fut donc décidé, d'ajouter un mois intercalaire de 22 ou 23 jours tous les 2 ans, et puis de temps en temps on rajoutait des jours supplémentaires pour rattraper un éventuel décalage (encore fallait-il y penser...).

C'était moins compliqué, mais encore pas hyper, hyper simple !!! Et puis surtout, c'était un peu brouillon...

Ce calendrier dura jusqu'en 450 Avant JC.

Pour une raison assez obscure, Février et Janvier furent inversés, et le mois intercalaire (appelé Mercedonius) ramené à 22 jours et placé tous les 2 ans entre le 23 et 24 février.

La nouvelle répartition était alors :

- Martius (31 jours)

- Aprilis (29 jours)

- Maius (31 jours)

- Junius (29 jours)

- Quintilis (31 jours)

- Sextilis (29 jours)

- September (29 jours)

- October (31 jours)

- November (29 jours)

- December (29 jours)

- Januarius (29 jours)

- Februarius (28 jours)

- Mercedonius (ou mois intercalaire) (22 jours tous les 2 ans entre le 23 et 24 février)

Bon... là, on peut se demander le réel intérêt de cette réforme qui n'apportait pas vraiment de simplicité !!!

En plus, il fallait toujours rattraper le tir de temps en temps en rajoutant des jours par ci par là...

Vers 200 avant JC, janvier et février furent placés en début d'année (pour une coller avec le calendrier religieux Romain) et le calendrier devint :

C'est donc pour cette raison qu'aujourd'hui il y a un décalage entre le nom des mois et leur position :

Septembre est le neuvième mois de l'année alors que son nom indique que c'est le septième.

Octobre est le dixième mois de l'année alors que son nom indique que c'est le huitième.

Novembre est le onzième mois de l'année alors que son nom indique que c'est le neuvième.

Décembre est le douzième mois de l'année alors que son nom indique que c'est le dixième.

Et ce qui devait arriver arriva :

Certaines années, le mois intercalaire (qui était fixé par celui qu'on appelait Pontifex Maximus ou le grand pontife) fut oublié et un décalage de plus en plus important s'installa !

LE CALENDRIER JULIEN

En 46 Avant JC, un certain Jules César, qui était alors Pontifex Maximus décida de supprimer une fois pour toutes ce mois intercalaire qui posait tant de problèmes ! Merci Jules !

Il créa alors le calendrier Julien qui, vous allez voir, était moins compliqué, et surtout, commençait vraiment à ressembler à celui que nous connaissons.

Il se fit aider d'astronomes et commença d'abord par rajouter 90 jours à l'année -46 pour supprimer le décalage qui avait grossi petit à petit. Cette année-là fut très longue puisqu'elle compta 445 jours !

Comme César supprima le mois intercalaire de 22 jours tous les 2 ans (soit 11 jours par an), il ajouta 10 jours sur les mois qui comportaient le moins de jours de manière à obtenir une alternance de mois de 30 et 31 jours pour obtenir le calendrier suivant :

- Januarius (31 jours) gonflé de 2 jours

- Februarius (29 jours) gonflé d'1 jour

- Martius (31 jours)

- Aprilis (30 jours) gonflé d'1 jour

- Maius (31 jours)

- Junius (30 jours) gonflé d'1 jour

- Quintilis (31 jours)

- Sextilis (30 jours) gonflé d'1 jour

- September (31 jours) gonflé de 2 jours

- October (30 jours) Diminué d'un jour

- November (31 jours) gonflé de 2 jours

- December (30 jours) gonflé d'1 jour

Ce qui nous faisait 365 jours.

César sachant que la durée de l'année était de 365,25 jours, il décida donc d'ajouter un jour au mois de février tous les 4 ans. 

Et au lieu de rajouter un 30^ème jour à Février, il préféra doubler le 24 février (pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?) et vous verrez dans quelques lignes que cela a une incidence sur notre vocabulaire d'aujourd'hui...

Après la mort de César un an plus tard (en 44 Avant JC), Marc Antoine décida de changer le nom du mois de naissance de César (Quintilis) en Julius en hommage à Jules.

Le successeur de César était son fils August et le Sénat, en 8 Avant JC, pour l'honorer (il avait permis de rattraper un nouveau décalage après la mort de César suite à des oubli successifs de doubler le 24 février) fit changer le nom du mois Sextilis en Augustus... La légende veut (mais certaines interprétations divergent) que Sextilis (donc Augustus) contenant un jour de moins que Julius, il était impensable qu'on honora Auguste un jour de moins que Jules César !!

Pour rétablir un équilibre, on ajouta donc un jour au mois d'Augustus que l'on prit au mois de février (qui passa donc à 28 jours). Mais cela créait un problème ! Car maintenant, on avait 3 mois de suite à 31 jours : Julius, Augustus et September ...

Il fut donc décidé d'inverser les nombres de jours des 4 derniers mois de l'année pour rétablir un équilibre.

Le calendrier fut alors :

- Januarius (31 jours)  

- Februarius (28 jours) diminué d'1 jour

- Martius (31 jours)

- Aprilis (30 jours)  

- Maius (31 jours)

- Junius (30 jours) 

- Julius (31 jours)

- Augustus (31 jours) gonflé d'1 jour

- September (30 jours) diminué d'1 jour 

- October (31 jours) gonflé d'1 jour

- November (30 jours) diminué d'1 jour

- December (31 jours) gonflé d'1 jour

Le 24 février fut toujours doublé tous les 4 ans pour obtenir une année moyenne de 365,25 jours.

Les Romains ne comptaient pas les jours de 1 à 29, 30 ou 31 comme nous le faisons aujourd'hui, mais comptaient les jours qui les séparaient du changement suivant.

Ainsi, les derniers jours de février s'appelaient :

28 février : Pridie Kalendas Martias (veille de mars)

27 février : Ante diem tertium Kalendas Martias (3 jours avant les calendes de Mars)...

!!!!!!STOP !!!!!! Deux explications s'imposent :

• Tout d'abord, le terme Kalendas (Calendes) signifie le premier jour du mois.

• Ensuite, l'avant-veille ne se dit pas 2 jours avant, mais 3 jours avant. Probablement qu'ils comptaient le jour de départ et le jour d'arrivée dans leur comptage... C'est ce qu'on fait encore aujourd'hui sans le savoir quand on dit "Dans huit jours" pour dire "dans une semaine" alors qu'on sait que la semaine comporte 7 jours !!!

Bon... continuons notre décompte...

26 février : Ante diem quartum Kalendas Martias (4 jours avant les calendes de Mars)

25 février : Ante diem quintum Kalendas Martias (5 jours avant les calendes de Mars)

24 février : Ante diem sextum Kalendas Martias (6 jours avant les calendes de Mars)

Tous les 4 ans, on doublait le 24 du mois, en introduisant un jour 24 bis qui s'appelait donc :

24 février bis : Ante diem bis sextum Kalendas Martias.

Ce terme bis sextum est à l'origine du terme français Bissextile.

Le terme "Année bissextile" vient donc du fait que c'était l'année ou le 6^ème jour avant le début mars était doublé.

LE CALENDRIER GREGORIEN

Alors qu'on pensait le problème résolu pour un bout de temps (ce qui fut le cas, soyons honnêtes car le calendrier Julien dura quand même près de 1500 ans), on avait ignoré un petit détail :

Comme nous l'avons vu, la durée moyenne de ce calendrier était de 365,25 jours. Or la véritable année (qu'on appelle année tropique) vaut en réalité 365,2422 jours. L'écart entre les deux est infime, me direz-vous, puis qu'il est de 0,0078 jours par an, soit 11 minutes et 12 secondes...

Année après année ces 11 minutes s'ajoutèrent, lentement, mais sûrement, si bien qu'après 10 ans, ce décalage était de 111 minutes, soit 1h 40mn, mais c'était imperceptible...

Au bout de 150 ans, le décalage atteignait 1 journée, mais personne ne s'en rendait vraiment compte...

Au bout de 300 ans, il atteignait 2 journées...

etc...

Pendant plus de 1000 ans, les tentatives pour rectifier le tir furent toutes abandonnées, si bien qu'après 1500 ans, l'écart était de 10 jours et l'équinoxe de printemps tombait le 11 mars au lieu de tomber le 21 mars...

Un petit détail d'importance tout de même : La date de Pâques était calculée en fonction de cet équinoxe (Pâques est le premier dimanche qui suit la première pleine lune suivant l'équinoxe de printemps) et elle dérivait aussi. Les Catholiques s'en mêlèrent, et c'est Grégoire XIII qui prit les choses en main en 1582 pour éviter qu'un jour on fête Paques à Noël.

Grâce aux travaux de Nicolas Copernic qui avait calculé la durée de l'année tropique à 365,2425 jours, il put rédiger une bulle le 24 février 1582 : la Bulle Inter Gravissima. Il y décrivait la nouvelle réforme du calendrier qui allait donner le jour au calendrier Grégorien.

Cette bulle contenait deux étapes principales dans l'élaboration du nouveau calendrier :

• Le rattrapage des 10 jours de décalage.

• La modification du calendrier pour qu'un tel décalage ne se produise plus. 

La première étape fut vite réglée et le 04 Octobre 1582 fut suivi du 15 Octobre 1582. Allez Hop ! Point suivant s'il vous plaît !

Pour la deuxième étape, nous allons revenir sur le détail des années bissextiles :

Pour compenser la différence entre l'année calendaire et l'année tropique, les règles de bases (et intuitives sont les suivantes) :

Pour compenser un décalage de 0,1 jour, il suffit d'ajouter ou d'enlever une journée tous les 10 ans

Pour compenser un décalage de 0,2 jours, il suffit d'ajouter ou d'enlever une journée tous les 5 ans

Pour compenser un décalage de 0,25 jour, il suffit d'ajouter ou d'enlever une journée tous les 4 ans etc...

Logiquement, cela fonctionne de la même manière pour les puissances de dix différentes :

Ainsi par exemple, pour compenser un décalage de 0,01 jour, il suffit d'ajouter ou d'enlever une journée tous les 100 ans

Maintenant que nous connaissons le principe, y'a plus qu'à, comme dirait l'autre...

Comment corriger le calendrier Romain ?

La différence entre 325 jours et 325,25 est de 0,25 jours.

C'est donc pour cela que Jules César décida d'ajouter une journée tous les 4 ans (les années bissextiles).

La différence entre 325 jours et 325,2425 est de 0,2425 jour et 0,2425 = 0,25 - 0,01 + 0,0025

Donc si on reprend la règle du dessus :

+0,25 jour => On ajoute un jour tous les 4 ans

-0,01 jour => On enlève un jour tous les 100 ans

+0,0025 jour => On ajoute un jour tous les 400 ans

Comme 100 est un multiple de 4 et que 400 est multiple de 4 et de 100, la règle était toute trouvée :

- Les années multiples de 4 seront bissextiles.

- Les années multiples de 100 (bien qu'étant multiple de 4) ne seront pas bissextiles. En fait, comme multiples de 4, on leur ajoute une journée, mais comme multiple de 100, on leur enlève une journée. Les deux actions s'annulent et au final, l'année n'est pas bissextile.

- Les années multiples de 400 (bien qu'étant multiple de 100) seront bissextiles. Avec le même raisonnement, comme multiples de 4, on leur ajoute une journée, comme multiples de 100, on leur enlève une journée, et comme multiples de 400, on leur ajoute une journée. Les trois actions nous donnent donc +1-1+1=+1. Donc cette année est augmentée d'une journée et est donc bissextile.

LE CALENDRIER GREGORIEN A-T-IL AUSSI UNE LIMITE ?

 Comme on sait que la vraie durée de l'année tropique n'est pas de 365,2425 jours comme l'avait calculé Copernic, mais de 365,2422 jours, ce calendrier génère tout de même un décalage de 26 secondes par année, soit un décalage d'un jour tous les 3333 ans (donc on est relativement tranquille à notre échelle)...

A vous de jouer :

Sur un cahier propre, et si vous voulez un jour avoir un calendrier portant votre nom, essayez de calculer comment on pourrait faire pour avoir une année calendaire de 365,2422 jours...

Réponse :

365,2422 = 365 + 0,25 - 0,01 + 0,0025 - 0,00025 - 0,00005

Donc si on reprend la règle du dessus :

+0,25 jour => On ajoute un jour tous les 4 ans

-0,01jour => On enlève un jour tous les 100 ans

+0,0025 jour => On ajoute un jour tous les 400 ans

-0,00025 jours => On enlève un jour tous les 4000 ans (Les années multiples de 4000, bien qu'étant multiples de 400 ne seront pas bissextiles)

-0,00005 => On enlève un jour tous les 20000 ans (les années multiples de 20000, quisont aussi multiples de 4000 auront donc un jour de moins : elles auront un mois de février de 27 jours)

Qu'est-ce qu'on s'amuse, hein ?

Le souci (car il y a toujours un souci), c'est que l'année tropique diminue très, très légèrement de l'ordre de 0,5 seconde par siècle actuellement de telle sorte qu'on ne sait pas trop si les nouvelles règles que nous avons inventées seront toujours d'actualité en l'an 4000, 8000, 12000, 16000 et surtout 20000 !!!!

Et le calendrier Julien dans tout ça ? Existe-t-il toujours ?

Eh bien, sachez que ce fameux calendrier Grégorien ayant été créé par un pape Catholique, certaines autres religions ont toujours refusé d'appliquer ce calendrier.

Depuis l'année 1582, le décalage entre les deux calendriers s'est encore accru de 3 jours pour arriver à 13 jours aujourd'hui.

Explication de ces 13 jours de décalage :Depuis la Bulle du Pape Grégoire XIII, il y eut 

• L'année 1600 qui est multiple de 4 et donc est bissextile dans le calendrier Julien. Par contre, bien que multiple de 100, elle est aussi bissextile dans le calendrier Grégorien car elle est aussi multiple de 400 ! Cette année ne créa donc pas de décalage.

• L'année 1700 qui est multiple de 4 est donc bissextile dans le calendrier Julien. Par contre, étant multiple de 100 et non multiple de 400, elle n'est pas bissextile dans le calendrier Grégorien. Cette année augmenta donc d'un jour la différence qui passa alors à 11 jours !

• Les années 1800 et 1900 qui, comme pour l'année 1700 augmentèrent chacune le décalage d'un jour qui passa ainsi à 13 jours.

• L'année 2000 qui, comme l'année 1600, était multiple de 400 et fut bissextile dans les deux calendriers n'augmenta pas la différence.

Cette différence passera à 14 jours dès l'année 2100 qui ne sera pas bissextile dans le calendrier Grégorien et bissextile dans le calendrier Julien.

C'est ce décalage de 13 jours qui explique par exemple que le Noël Catholique est fêté le 25 décembre alors que le Noël Orthodoxe l'est le 07 janvier (25 décembre + 13 jours) car le calendrier religieux des Orthodoxes est resté basé sur le calendrier Julien.

Bon... je pense que nous avons suffisamment étudié les calendriers pour ne plus en parler pendant des années !!!

Tout cela pour vous dire que l'étude de la durée de la journée, la durée de l'année fut très importante il y a très longtemps car elle permit de créer et d'affiner les calendriers et surtout d'apprendre à observer les étoiles, le Soleil et tout ce qui nous entoure, car vous allez le voir très bientôt, sans une bonne connaissance des mouvements de rotation (la journée) et de révolution (l'année) de la Terre et des planètes, il était impossible de calculer leur distance et donc de connaître l'univers qui nous entoure. 

Après avoir vu comment siècle après siècle nous avons appris à connaître et à mesurer le temps, nous allons maintenant voir comment les astronomes de l'antiquité à aujourd'hui ont appris, petit à petit à mesurer les distances du monde qui nous entoure, et vous n'allez pas être au bout de vos surprises !

Le calcul des distances dans l'antiquité : Chronolgie

Il est toujours difficile d'analyser un objet quand on a le nez collé dessus...

Et bien c'est exactement notre problème avec la Terre... pas moyen de prendre du recul, pas moyen de connaître sa forme, pas moyen de connaître sa taille autrement qu'en se promenant dessus (en tout cas à l'époque)...

Pourtant nous vivons sur la Terre et les hommes ont voulu en savoir un peu plus...

Ils savaient que la Terre était grande, très grande, et peu importe dans quelle direction ils voyageaient, ils n'en voyaient pas le bout... vous avouerez que comme indice, c'était un peu mince...

A cause de ce manque de recul, les premières mesures, contre toute attente, n'ont pas concerné la Terre, mais d'autres objets...

Comme nous l'avons vu dans un chapitre précédent, les astronomes de l'antiquité pouvaient observer dans le ciel : le Soleil, la Lune, les planètes et les étoiles.

Ils pouvaient observer aussi leurs déplacements, mais malheureusement pour eux :

- La Terre était trop proche

- Les étoiles et les planètes étaient trop petites

- Le Soleil était trop brillant

Bref, ça ressemblait un peu au casting de la vache qui rit...

Il ne restait que la Lune à observer, mais elle était très intéressante. Elle passait par des phases qui permettaient de compter le temps, elle brillait mais contenait des tâches bizarres. Parfois même, alors qu'elle était pleine, elle s'assombrissait, provoquant ce qu'on appelait une éclipse de Lune. Enfin, pour couronner le tout, on avait remarqué que les éclipses de Soleil avaient toujours lieu les jours de nouvelle Lune...

A l'époque d'Aristote (384-322 avant JC), on avait déjà compris que la Lune était éclairée par le Soleil, et que c'est en passant devant le Soleil qu'elle l'éclipsait. A l'inverse, ils avaient aussi compris que les éclipses de Lune avaient lieu lorsque la Lune passait dans l'ombre de  la Terre.

Aristote fut d'ailleurs le premier, dans son traité du ciel, à affirmer que la limite courbe d'ombre qu'on observait sur la Lune durant les éclipses de lune représentait en fait la forme de la Terre !

Quelques années plus tard, Aristarque de Samos (310-230 avant JC) (il a dû bien se faire chambrer à l'école avec un nom pareil !) passa de la théorie à la pratique en se disant qu'en regardant la taille de l'ombre de la Terre sur la Lune, on pouvait peut-être en déduire le rapport entre les deux ! Il ouvrait ainsi la voie à tous les astronomes.

Il expliqua et démontra tout cela dans son Traité sur les grandeurs et les distances du Soleil et de la Lune. Ce livre est un peu indigeste car Aristarque ne connaissait pas à l'époque la Trigonométrie (qui fut inventée par Hipparque (190-120 Avant JC)). Il a donc dû démontrer ses calculs par des tracés géométriques très ingénieux mais pas vraiment très simples. Je vous invite cependant véritablement à y jeter un coup d'oeil car c'est vraiment très enrichissant..

Nous allons donc étudier ses démonstrations en les expliquant, et nous referons ensuite les mêmes calculs par la trigonométrie. 

Aristarque bâtit tous ses calculs pour calculer la taille de la Lune sur trois hypothèses de départ que nous allons voir.

On ignore comment Aristarque s’y est prit pour arriver à ces hypothèses, mais il existe plusieurs moyens faciles d’y arriver et il a certainement utilisé l’un d’entre eux :

Hypothèse 1 : L'arc sous-tendu dans le ciel par la Lune est la quinzième partie d'un signe.

Evidemment, sans plus d'explications, il est difficile de savoir ce qu'Aristarque voulait dire... Il faut se rappeler qu'Aristarque vivait il y a 2300 ans, et que bien des notions mathématiques évidentes pour nous maintenant étaient alors inconnues.

S'il s'était exprimé dans notre vocabulaire d'aujourd'hui, il aurait sans dout écrit :

Le diamètres apparent de la Lune est de un quinzième d'un signe du zodiaque.

En clair, comme il y a douze signes du zodiaque qui décrivent un cercle de 360° dans le ciel, alors un signe fait 30° et donc le diamètre apparent de la Lune est de 2° (en fait il s'est un peu planté car il est en réalité de 0,5°).

Il existe au moins trois méthodes pour retrouver cette valeur :

Méthode 1 :La trigonométrie et la méthode du confetti

On prend un objet (un confetti, une pièce de monnaie, un arbre…) dont on connaît la circonférence exacte. On se recule de cet objet de manière à ce qu’il apparaisse avec le même diamètre apparent que la Lune.

A ce moment là, le rapport entre la taille des deux objets et leurs distances sont égaux (et est d’ailleurs égal à tangente de l’angle). On voit donc que

α = Artan(diamètre de la pièce / Distance de la pièce à l'oeil)

Aristarque ne connaissait pas la trigonométrie, mais  à certainement pu approcher l’angle par des constructions géométriques en utilisant cette méthode.

Je vous invite à réaliser l'expérience avec moi :

Je découpe un rond de 2 cm de diamètre que je scotche sur une fenêtre donnant à l'est. Vers la pleine Lune, je me mets face à ma fenêtre et je me recule jusqu'à ce que le rond ait exactement la même taille que la Lune. Je mesure alors la distance de mon oeil à la Fenêtre.

Mon expérience a été faite le 09/11/2011 à 19h30. J'ai donc collé un rond de 2 cm de diamètre sur ma fenêtre et j'ai du m'éloigner de 1,50 m de la fenêtre pour qu'il apparaisse de la même taille que la Lune.

J'en déduis donc que le diamètre apparent de la Lune est de :

α = Artan(2 / 150) = 0,76°

J'ai rententé l'expérience le 10/11/2011 à 19h00. Cette fois ci j'ai demandé à ma femme de faire la mesure. Elle s'est reculée de 1,76m de la fenêtre pour que la Lune lui apparaisse dela même taille que le rond collé à la fenêtre. Cette nouvelle mesure nous fait un angle de :

  α = Artan(2 / 176) = 0,.65°.

Il  faut savoir qu'en réalité, ces 09 et 10 novembre 2011, la Lune était à 405000 Km de la Terre. Comme sa taille est en réalité de 3474 km, le véritable angle est de :

 α = Artan(3474/405000)= 0,49°

Je vous invite à faire ce test pour voir si vous arriverez à un meilleur résultat que moi.

Méthode 2 :Chambre noire et trigonométrie.

La première méthode que nous avons vu est assez subjective : comment savoir que la taille du confetti et celle de la lune sont exactes ? Il s'agit en effet d'un jugement qui peut très bien changer d'un individu à un autre et la précision n'est pas vraiment au rendez-vous.

Il existe une solution équivalente qui ne souffre d'aucune interprétation subjective :  

La chambre noire.

Pour cela, nous allons reprendre les expériences effectuées par RPI Roumagne et nous en servir pour calculer ce fameux angle.

Qu'est-ce qu'une chambre noire ?

Le principe de la chambre noire, c'est de percer un petit trou (le sténopé) sur une plaque noire. Les rayons lumineux traversant cette plaque par ce petit trou iront créer une image inversée sur une feuille de papier placée de l'autre côté du trou. On dit que ce principe fut inventé par Leonard de Vinci, mais on sait qu'à son époque, Aristote l'avait déjà évoqué. On peut donc imaginer de créer une chambre noire en utilisant un tube. D'un côté le sténopé, et de l'autre côté une feuille de papier millimétré qui permettra de mesurer la taille de l'image.On peut ainsi observer la pleine Lune ou le Soleil. Comme ils ont le même diamètre apparent, l'étude du Soleil nous suffira pour définir le diamètre apparent des deux :

Ainsi, huit chambres noires en tube de longueur différentes ont été réalisées et des photos de l'image du Soleil sur leurs papiers millimétrés respectifs ont été prises :

La moyenne de ces 8 mesures nous donne un diamètre apparent de 0,565°

Méthode 3 :Le déplacement de la Lune.

On sait que la période de révolution de la Lune autour de la Terre est de 27,32 jours. Si on néglige la précession des équinoxes et la parallaxe des étoiles, on peut donc dire que la Lune revient à la même position par rapport aux étoiles tous les 27,32 jours. En 29,5 jours (soit 655.68 heures), elle fait donc un tour complet de la Terre et dessine un cercle complet de 360° par rapport aux étoiles. Ce qui nous fait une progression de 0,549° par heure par rapport aux étoiles.

Donc, si on attend qu’une étoile brillant soit très proche de la Lune, et qu'on déclenche le chronomètre, au bout d’une heure, l’étoile se sera déplacée de 0,549° par rapport à la lune, elle se sera déplacée de 1,098° au bout de 2 heures etc... (en fait c'est la Lune qui a bougé, bien entendu !).

Au bout d'une heure, on observe le déplacement de la Lune par rapport à l’étoile. Il suffit ensuite d’estimer quel pourcentage du diamètre de la Lune ces 0,549° représentent, et le tour est joué !

Malheureusement pour Aristarque, il ne disposait que de ses yeux et n’avait ni télescope, ni ordinateur, ni Photoshop pour effectuer ses calculs. Il n’est donc pas étonnant qu’il ait trouvé une valeur quatre fois trop grande !

Heureusement pour nous, ce n’est pas notre cas, et des sites comme celui de l'Association Réunionnaise  d'Etude du Ciel Austral a déjà fait le travail pour nous :

Cette photo nous montre un petit montage réalisé à partir de leurs photographies, montrant le déplacement de la Lune par rapport à une étoile en 1 heure. Cette étoile, de magnitude 3,2, est l'étoile Phi Sagittarii, de la constellation du Sagittaire.

En mesurant le diamètre de la Lune, et la distance entre l'étoile de l'image 1 et celle de l'image 5, on voit qu’en une heure, l’étoile s’est déplacée d’environ 0,82 fois le diamètre de la Lune.

Donc, si le déplacement de 0,549° correspond à 0,82 fois le diamètre de la Lune, alors le diamètre apparent de la Lune est de 0,67°.

Nous sommes un peu au dessus de la réalité (le diamètre apparent moyen de la Lune est de l'ordre de 0,52°).

 Remarque :

Cette différence vient du fait que le déplacement de 0,549° par heure est une moyenne et que la vitesse apparente de la Lune par rapport aux étoiles varie de près de 29% entre l'apogée et le périgée de la Lune (nous aurons l'explication lorsque Kepler aura énoncé ses lois dans quelques siècles...)

Le 30 mars 2008, la Lune était à près de 400000 Km de la Terre et proche de son Apogée (cf calendrier  lunaire de ce jour), ce qui fait que sa vitesse angulaire était certainement plus faible que la vitesse angulaire moyenne.

Mais ceci nous donne une valeur assez approchée : nous pouvons être fiers de nous !

Méthode 4 possible :  Les signes du zodiaque

Si l'hypothèse d'Aristarque fait référence aux signes du zodiaque (pourquoi n'a-t-il pas dit en effet, comme pour d'autres proposition "Le diamètre de la Lune est de un quarante-cinquième du quart de la circonférence" ?), c'est que peut-être il a véritablement utilisé les constellations du zodiaque pour mesurer le diamètre apparent de la Lune. Pour cela, la méthode est un peu archaïque, mais peut fonctionner :

On dessine une constellation du zodiaque avec un maximum d'étoiles et on dessine la Lune lorsqu'elle la traverse en essayant de garder les proportions. Ensuite, il ne reste plus qu'à mesurer sur notre dessin la distance entre les deux étoiles les plus éloignées de notre constellation (30° à peu près) et de mesurer la taille de la Lune. Il aurait donc ainsi pu calculer que sur son dessin, le diamètre de la Lune était 15 fois plus petit que la distance des deux étoiles les plus éloignées de la constellation. Cette méthode très imprécise pourrait expliquer pourquoi il a trouvé une valeur quatre fois trop grande.

Hypothèse 2 :

- La largeur de l'ombre est de deux Lunes : En clair, au niveau de l'orbite de la Lune, le cône d'ombre formé par la Terre est large de deux fois le diamètre de la Lune.

Ici aussi, deux hypothèses s'affrontent sur la manière dont Aristarque s'y est pris. Les deux techniques se basent sur l'observation des éclipses de Lune.

Méthode 1 : l'observation de l'ombre sur la Lune

C'est une méthode très visuelle qui consiste tout simplement à imaginer, à partir de la courbure de l'ombre sur la Lune, quelle est la taille du cercle d'ombre. Ce calcul peut se faire à partir d'un dessin (c'est certainement ce qu'a pu fait Aristarque) ou à partir d'une photographie (c'est ce que nous allons faire), C'est bien entendu la méthode la plus connue :

En prenant plusieurs points sur la limite d'ombre de la Lune lors d'une éclipse de Lune, on peut créer des segments.

Si on dessine ensuite la médiatrice de chacun de ces segments (la médiatrice passe par le milieu du segment et en est perpendiculaire), on voit qu'elles se coupent toutes en un seul point.

Ce point, c'est le centre du cercle passant par toutes les extrémités de nos segments. Ce cercle, c'est donc l'ombre de la Terre !!!

En répétant l'opération sur le disque Lunaire, on peut aussi définir le centre de la Lune.

On peut donc tracer deux rayons : Celui de la Lune (en rouge) et celui de l'ombre de la Terre (en bleu).

Avec le dessin ci-dessus, nous arrivons à un rapport Taille de l'ombre / Taille de la Lune de 2,4.

Le rapport est en fait de 2,65 : nous n'en sommes pas loin du tout !

  Méthode 2 : le temps maximal de la Phase d'ombre pendant l'éclipse de Lune.

Comme nous connaissons maintenant le diamètre apparent de la Lune (en degrés) et sa vitesse de révolution autour de la Terre, alors, si nous connaissons le temps maximal d'une éclipse, nous pourrons en déduire le diamètre apparent de l'ombre et donc le rapport entre les deux !

Selon certaines sources, Aristarque aurait trouvé que la plus grande période d'ombre durant une éclipse de Lune était de 3 heures (il est en fait de 107 minutes soit 1,783 heures).

Comme la période d'ombre commence lorsque le bord haut (sur la figure ci-dessous) entre dans le cône et finit lorsque c'est le bord du bas qui sort du cône, alors la taille de l'ombre est de :

Diamètre de la lune + 3 * distance parcourue par la lune en 1 heure = 2° + 3 * 0,5085° = 3,5255°, soit presque 1,8 fois la taille de la Lune, proche des 2 fois trouvées par Aristarque.

Avec les données que nous avons précédemment calculées, nous aurions :

Diamètre de la lune + 1,783 * distance parcourue par la lune en 1 heure = 0,62 + 1,783 * 0,5085 = 1,5266 soit 2,46 fois la taille de la Lune

Hypothèse 3 :

- Comme lors des éclipses de Soleil la Lune masque exactement le Soleil, alors ils ont le même diamètre apparent.

Je pense que cette hypothèse n'a même pas besoin d'explication, car nous l'avons appliquée précédemment avec notre pièce de monnaie pour calculer le diamètre apparent de la Lune !

Le premier verdict 

A partir de ces 3 hypothèses de départ que je vous rappelle :

• Le diamètre apparent de la Lune est de un quinzième d'un signe du Zodiaque.

• L’ombre de la Terre est deux fois le diamètre de la Lune

• Comme lors des éclipses de Soleil la Lune masque exactement le Soleil, alors ils ont le même diamètre apparent

Aristarque en déduisit que :

La Terre est 3 fois plus grosse que la Lune

Voici comment il s'y est pris, et contrairement à beaucoup de choses qu'on peut lire à droite et à gauche, Aristarque avait bien compris que l'ombre de la Terre était un cône et non un cylindre !

Il créa donc un schéma géométrique avec Le Soleil, La terre, l'ombre de la Terre et l'orbite de la Lune :

L'hypothèse de départ est que le sommet du cône d'ombre fait un angle α.

On voit que cet angle α se retrouve à plein d'endroits si on trace les parallèles (en bleu pointillé) passant par le sommet du Soleil, le sommet de la Terre et le sommet du cône d'ombre au niveau de l'orbite de la Lune.

Aristarque dessina les deux triangles rouges et, Thales ayant déjà sévi à l'époque (625-547 Avant JC), il put appliquer son théorème :

Diamètre du Soleil – Diamètre de la Terre          Diamètre de la Terre – Diamètre du cône d'ombre

      -------------------------------------------              =    ------------------------------------------------------

                  Distance Terre Soleil                                           Distance Terre Lune

Comme le Soleil est considéré très grand par rapport à la Terre, on peut dire que :

Diamètre du Soleil – Diamètre de la Terre ≈ Diamètre du Soleil

Or, comme le Soleil et la Lune ont le même diamètre apparent (hypothèse n°3), on a donc :

   Diamètre du Soleil            Diamètre de la Lune

----------------------- = --------------------------

 Distance Terre Soleil          Distance Terre Lune

Ce qui nous donne au final :

Diamètre de la Lune = Diamètre de la Terre – Diamètre du cône d'ombre

Comme nous avons vu juste avant que le diamètre du cône d'ombre = 2 * Diamètre de la Lune, Aristarque en conclut que

Diamètre de la Lune = Diamètre de la Terre / 3

De notre côté, avec nos propres calculs, nous trouvons :

Diamètre de la Lune = Diamètre de la Terre / 3,46

Sachant qu'en réalité, le rapport est de 3,66,ni nous, ni Aristarque ne sommes tombés très loin de la vérité. Donc félicitations à nous deux, et surtout à lui !

Par contre, nous ne sommes toujours pas avancés... car si nous connaissons le rapport de dimension entre la Terre et la Lune, nous ne connaissons toujours pas leur taille... c'est un peu frustrant tout de même !!!!

Aristarque ne s'arrêta pas en si bon chemin, et il était sur le point de découvrir d'autres rapports de distances.

Certes, ce n'est qu'un début, mais notre liste de choses à découvrir commence enfin à se remplir !!!

Maintenant, nous savons

- Quelle est la Taille de la Lune ?

Pour Aristarque 1/3 de la Taille de la Terre

Pour Nous 1/3,46 de la Taille de la Terre (5,6% d'erreur ! Pas mal !!!)

En réalité 1/3,66 de la Taille de la Terre

Maintenant que nous connaissons le diamètre de le Lune (relativement à celui de la Terre, mais c'est déjà un début), il est naturel qu'Aristarque ait essayé de savoir à quelle distance elle était.

Le calcul des distances dans l'antiquité : La distance de la Lune

Non content d'avoir estimé la taille et la distance de la Lune, Aristarque essaya de calculer l'éloignement du Soleil.

Le principe était de trouver un phénomène, une hypothèse permettant d'établir une relation entre le Soleil et la Lune, étant donné qu'il avait réussi à calculer la distance de celle-ci.

Et il réussit à trouver une telle hypothèse.

Hypothèse :

- Lorsque la lune nous paraît dichotome (exactement en premier ou dernier quartier), sa distance du soleil est moindre du quart de la circonférence, de la trentième partie de ce quart.

Il est vrai que c'est aussi clair qu'une prédiction de Nostradamus, mais on peut le comprendre en l'analysant calmement :

Un quart de la circonférence, c'est un quart de cercle, donc un angle droit, donc 90°. La trentième partie de 90°, c'est 3°. Donc dans son hypothèse, Aristarque dit que l'angle entre le Soleil et la Lune est de 90°-3° = 87°.

Vous comprendrez certainement mieux avec ce dessin : 

Il représente la Lune au moment où elle nous apparaît en premier quartier (donc dichotome).  

Ici, le Soleil est représenté très près de la terre (2 ou 3 fois la distance de la Lune seulement) et on voit bien que l'angle Lune - Terre - Soleil est inférieur à 90°.

Il est égal à 90° - α.

Plus le Soleil sera loin, et plus cet angle sera proche de 90° (donc α tend vers 0). On peut voir la différence entre l'angle α1 et α2  selon que le Soleil est plus près ou plus loin de la Terre.

Ainsi, en calculant cet angle α ou l'angle 90-α, on peut en déduire la distance du Soleil.

Malheureusement, il y a deux problèmes :

- Il est très difficile de savoir quand la Lune est exactement en premier ou dernier quartier.

- L'angle Lune-Soleil est très difficile à mesurer avec précision.

Mais Aristarque ne reculant devant rien, il calcula cet angle et lui trouva la valeur de 87°. Soit une valeur α de 3°. On ne sait pas comment Aristarque s'y est pris pour calculer cet angle.

En réalité, cet angle est de 89,85° et nous verrons que cela fait toute la différence.

A partir de cette hypothèse, Aristarque va en déduire que :

18 × Distance Terre - Lune < Distance Terre - Soleil < 20 × Distance Terre - Lune

...Attachez vos ceintures...

 Alors, pour les plus motivés, je vais vous expliquer la démonstration d'Aristarque avec un dessin, et ensuite, nous ferons le calcul plus simplement avec la Trigonométrie.

!!!Attention !!!

Il faut savoir que le résultat erroné que trouva Aristarque (en fait ce rapport n'est pas proche de 19, mais proche de 400 en réalité) est simplement dû au fait que l'angle de 87° est faux.
Sa démonstration, est, quant à elle, remarquable et donnerait un résultat très proche si nous utilisions le véritable angle de 89,85°.
Pour vous en convaincre, nous allons adapter légèrement la démonstration d'Aristarque en remplaçant l'angle de 3° par un angle α. Nous allons donc rendre la formule d'Aristarque générique et à la fin, nous prendrons α=3° pour trouver le résultat d'Aristarque, et nous prendrons  α=0,15° pour trouver quel aurait été son résultat s'il avait pu calculer α avec précision.
De plus, sa démonstration utilise des propriétés géométriques évidentes, mais bien souvent oubliées.

Chapeau bas Mr Aristarque ! 

Mais avant de commencer... 

Un petit préambule s'impose. Il s'agit, vous allez voir, d'une première approche de la trigonométrie pour les angles à 45° dont nous nous servirons dans la démonstration.

Démonstration préalable : 

Soit le triangle rectangle ABC isocèle ci-contre (en fait, c'est un demi carré).

L'angle CAB est de 45°.

On trace un arc de cercle de centre A passant par B. Cet arc coupe AC en D. On a donc AB = AD

Enfin, On trace la bissectrice de l'angle CAB (la bissectrice coupe l'angle en deux angles égaux) qui coupe BC en E.

On a donc égalité entre les angles CAE et EAB (ils valent 22,5° chacun).

Si on projette E perpendiculairement sur AC, on obtiendra donc un point qu'on appellera X pour l'instant...

On a donc AXE est un angle droit, et donc les triangles AXE et ABE ont chacun un angle droit. Comme nous avons vu au-dessus que les angles CAE et EAB sont identiques, alors nos deux triangles ont deux angles égaux... et donc forcément leurs 3 angles identiques (car la somme des angles d'un triangle fait 180°).

Deux triangles avec exactement les mêmes angles sont dits homotétiques, c'est à dire qu'ils ont exactement la même forme, exactement les mêmes proportions, mais ne sont pas forcément de la même dimension... Sauf que ces deux triangles ont la même hypoténuse AE...

Ils sont donc exactement identiques (à une symétrie près) et donc notre fameux point X n'est autre que le point D ! En effet, il est situé sur AC et AX = AB = AD !

Encore plus fort : Comme CDE = 90° et que DCE = 45°, alors forcément CED = 45° aussi. Le triangle CDE est donc rectangle isocèle et donc DE = CD = BE...

En appliquant le théorème de pythagore dans le triangle DCE, on obtient DC² + DE² = EC² = 2 BE²

....Vous verrez qu'on va s'en resservir bientôt... 

Etudions maintenant la démonstration d'Aristarque.

Aistarque va donc démontrer d'abord que  

18 × Distance Terre - Lune < Distance Terre - Soleil

On construit pour cela la figure suivante :

Soit T le centre de la Terre, L le centre de la Lune lorsqu'elle est exactement en dernier quartier (dichotome), et S le centre du Soleil.

L'angle entre la Lune et le Soleil (angle STL) est considéré comme étant de 90° - α.

Comme nous venons de le voir,

=> Pour Aristarque α = 3°

=> En réalité α = 0,15°

Mais nous garderons α pour la démonstration.

On dessine donc le triangle TLS qui est rectangle en L.

Soit le point A, placé sur l'orbite du Soleil (eh oui, on est dans le passé !!!) de telle sorte que STA soit un angle droit.

On prolonge TL qui coupe l'orbite du Soleil en O.
Comme l'angle OTA est de α et l'angle STA de 90°, on a donc :

arc OA = arc SA × (α / 90)

On trace maintenant le carré passant par S, T et A qui nous crée un nouveau point B.

Si on trace la diagonale TB du carré STAB, on obtient naturellement un angle BTA de 45°.

Si on trace TC la bissectrice de l'angle BTA, on obtient un angle CTA fait qui 22,5° soit 1/4 d'un angle droit.

On a donc : Angle CTA = Angle OTA × (22,5/α) 

Soit D l'intersection de BA avec TO. Nous avons montré dans une démonstration du chapitre précédent que

Angle CTA        22,5°      AC

-------------- = ----   <   ----

Angle DTA         α           AD

Comme TAB est un angle droit, en utilisant Pythagore, on a TA² + AB² = TB² c'est à dire 2TA² = TB² car TA = AB

Comme il fallait bien que notre préambule nous serve, nous avons prouvé que 2 AC² = CB².

Comme Aristarque ne connaissait pas √2, il va l'approcher de la manière suivante :

2 = 50/25 > 49/25 = 7²/5² d'où √2>7/5

Notre relation 2 AC² = CB² trouvée juste au dessus devient AC × 7/5 < CB

Et comme AB = AC + CB, on a alors AB/AC = 1 + CB/AC > 1 +7/5 = 12/5, c'est à dire  

AB > (12/5) × AC

Et comme AC/AD > 22,5 / α, c'est à dire AC > (22,5/ α) * AD, on en déduit donc que :

AB = TA > (12/5) * AC > (12/5) * (22,5/ α) * AD

soit
TA > AD * (22.5 * 12) / (5*α) = AD * 54 / α  

Or TD > TA donc on a TD > AD * 54 / α

Concentrons-nous sur le triangle TLS... Que savons-nous de lui ?

- On sait que TLS est un angle droit

- On sait que STL = 90° - α

- Donc forcément TSL = α

Relâchons notre concentration pour mieux nous concentrer maintenant sur le triangle TDA... Que savons-nous de lui ?

- On sait que TAD est un angle droit

- On sait que ATD = α

- Donc forcément TDA = 90° - α

On voit donc que les deux triangles TLS et TDA ont les mêmes angles donc sont homothétiques... Cela veut dire que les rapports de leurs longueurs sont égaux (Théorème de Thales)... Et on a donc :

TD/AD = TS / TL > 54 / α

D'ou

Distance Terre - Soleil > Distance Terre - Lune × 54 / α

Avec  α = 3° trouvé par Aristarque nous avons donc

Distance Terre - Soleil > 18 ×× Distance Terre - Lune

Avec  α = 0,15° qui est la vrai valeur, nous trouvons

  Distance Terre - Soleil > 360 * Distance Terre - Lune

... On vient de finir la moitié de la démonstration ! 

Nous allons voir ensuite comment Aristarque démontre que  

20 * Distance Terre - Lune > Distance Terre - Soleil

La démonstration est un peu plus simple, je vous rassure !

Reprenons notre figure de départ avec le triangle TLS et le prolongement de TL qui coupe l'orbite du Soleil en O.

Traçons OE parallèle à AT. Construisons ensuite le cercle passant par T, O et E. Comme l'angle OET est un angle droit et que ce triangle est contenu dans un cercle alors OT en est un diamètre.

Ensuite, nous construisons le point M, sur le cercle de manière à ce que TM soit le premier côté d'un hexagone situé sur le cercle. TM est égal au rayon du cercle.

Tout comme ATO, l'angle TOE est de α. Donc, si C est le centre du cercle alors l'angle TCE = 2α

On sait que TCM = 60° car TM est un côté d'un hexagone centré en C.

Donc nous avons : Arc TM = Arc TE × (60 / 2α)

Comme nous l'avons utilisé plusieurs fois jusqu'à maintenant, le rapport du grand arc sur le petit arc est plus grand que le rapport du grand segment sur le petit segment et donc nous avons

TM < TE × (60 / 2α)

Et Comme TM = TO / 2, alors TO < TE × (60 / α)

Enfin, comme les triangles TEO et TLS sont homothétiques, alors TO/TE = ST/TL < 60 / α

D'où       

Distance Terre - Soleil < Distance Terre - Lune × 60 / α

Avec  α = 3° trouvé par Aristarque nous avons donc

Distance Terre - Soleil > 20 × Distance Terre - Lune

Avec  α = 0,15° qui est la vrai valeur, nous trouvons

Distance Terre - Soleil > 400 * Distance Terre - Lune

Démonstration en utilisant la trigonométrie :

Si Aristarque avait connu la trigonométrie, le calcul aurait été très simple !

En effet, comme nous sommes dans un triangle rectangle, on a :

                 Distance Terre- Lune

Sinus(α) = -------------------------

                Distance Terre - Soleil

Donc

                                        Distance Terre - Lune 

Distance Terre - Soleil =  ------------------------

                                                     Sinus(α)

Avec α = 3° comme l'avait trouvé Aristarque, 1/sin( α) = 19,10(on est exactement dans la fourchette d'Aristarque)

Avec α = 0,15° comme l'avait trouvé Aristarque, 1/sin( α) = 382

La grosse difficulté, c'est véritablement le calcul de ce fameux angle α et il ne fut jamais vraiment calculé avec précision avant récemment.

Malgré la méthode géniale d'Aristarque qui valait bien la peine qu'on y passe un peu de temps, ce n'est pas par cette méthode que fut finalement, plusieurs siècles plus tard, calculé la distance Terre – Soleil avec une plus grande certitude...

Mais nous verrons cela un peu plus tard

Maintenant, nous savons

- Quelle est la Taille de la Lune ?

Pour Aristarque 1/3 de la Taille de la Terre

Pour Nous 1/3,46 de la Taille de la Terre (5.6% d'erreur ! Pas mal !!!)

En réalité 1/3,66 de la Taille de la Terre

- Quelle est la distance Terre - Lune ?

Pour Aristarque : entre 22,5 fois et 30 fois le diamètre de la Lune

Pour Nous avec la méthode d'Aristarque : entre 72,6 fois et 96,8 fois le diamètre de la Lune

Pour nous avec la trigonométrie : 92,4 fois le diamètre de la Lune(16,4 % d'erreur)

En réalité : 110,6 fois le diamètre de la Lune

- Quelle est la Distance du Soleil ?

Pour Aristarque : entre 18 fois et 20 fois la distance Terre - Lune

Avec la méthode d'Aristarque s'il avait pu calculer α = 0,15° : entre 382 et 400 fois la distance Terre - Lune

Pour nous : aucune estimation car calculer l'angle α est trop difficile

En réalité : 389 fois la distance Terre - Lune

Je vous invite donc maintenant à regarder le dernier calcul effectué par Aristarque sans le prochain chapitre

Le calcul des distances dans l'antiquité : le diamètre du Soleil