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9 octobre 2013 3 09 /10 /octobre /2013 00:00

Comme nous l'avons vu dans le chapitre précédent, la troisième loi de Kepler montrait l'existence d'une relation entre la distance d'un corps à son étoile et le temps mis pour en faire le tour. Par contre, personne n'était en mesure d'expliquer à quoi était du ce phénomène...

 

En 1665, Newton fit une découverte capitale qu'il fabula ensuite avec cette fameuse histoire de la pomme, qui, même si elle n'est pas vraie, a le mérite d'être très pédagogique...

 

Il raconta qu'il vit tomber une pomme d'un pommier et cette observation lui fit se poser des questions.

 

Il existe une force d'attraction de la Terre sur les objets... 

Si la pomme tombe, c'est qu'une force l'attire. Cette force, c'est la Terre qui en est responsable et on a :

 

F = x avec x restant à déterminer

 

La première chose à laquelle il pensa ensuite fut la déduction suivante :

 

...Inversement proportionnelle au carré de la distance...

La première chose à laquelle il pensa ensuite fut la déduction suivante :

Cette pomme était située à 5 mètres du sol et il était tout naturel qu'elle tomba par Terre.

  • Si la branche de l'arbre où était posée cette pomme était deux fois plus haute, la pomme serait aussi tombée par terre, naturellement.
  • Si la branche de l'arbre où était posée cette pomme était dix fois plus haute, la pomme serait aussi tombée par terre, naturellement.
  • Si la branche de l'arbre où était posée cette pomme était cent fois plus haute, la pomme serait aussi tombée par terre, naturellement...
  • ...
  • De fait, si la branche de l'arbre où était posée cette pomme était à la même distance que la Lune, la pomme serait aussi tombée par terre, naturellement... Donc la Lune, telle une grosse Pomme doit donc tomber sur la Terre... pourtant elle ne tombe pas sur la Terre, mais tourne autour... quel mystère étrange...

 

La différence principale entre la pomme et la Lune, c'est que la pomme, avant de commencer à tomber, était immobile dans l'arbre alors que la Lune est en mouvement. Les conditions initiales de la chute de la Lune et de la pomme ne sont pas identiques et c'est ce qui fait toute la différence.

 

La chute de la pomme :

Newton avait calculé qu'une pomme située à 5 mètres de hauteur met environ 1 seconde pour tomber par terre. Cela signifie qu'en une seconde, la pomme a chuté de 5 mètres. Cette pomme étant à la surface de la terre, elle est à environ 6370 Km de son centre (merci à l'Abbé Picard).

 

La chute de la Lune :

La Lune tourne autour de la Terre à environ 400000 km de son centre. A chaque instant, sa vitesse est perpendiculaire au rayon Terre-Lune puisqu'elle décrit (presque) un cercle, de telle sorte que, si subitement, la Terre disparaissait, la Lune continuerait son chemin en ligne droite, vers l'infini et au delà, comme dirait Buzz l'éclair.

Chute-de-la-Lune.PNG 

La Lune effectue un tour autour de la Terre en 27,321582 jours. Le tour complet de l'orbite de la Lune représente 400000×2Π soit 2513272 Km. On en déduit donc que la vitesse de la Lune est de :

2513474/(27,321582×60×60×24) = 1,064 km/s.

 

La Lune décrivant un cercle autour de la Terre (pour simplifier), au bout d'une seconde, elle aura donc parcouru 1,064 Km autour de ce cercle et sera donc toujours à la même distance de la Terre.

 

Si la Terre n'avait pas été là, la Lune aurait continué son chemin en ligne droite, d'une distance de 1,064 km et le théorème de Pythagore nous permet de dire qu'elle se serait alors retrouvé à une distance de là où se trouvait le centre de la Terre de R² = 400000² + 1,064²

 

D'où R = 400000,0000014 Km et donc H = 1,4 mm.

 

On peut donc en déduire qu'en 1 seconde, la présence de la Terre a fait dévier la Lune de sa trajectoire normalement rectiligne de 1,4 mm. Donc, en quelque sorte, la Lune tombe sur la Terre de 1,4 mm par seconde.

 

  • La pomme tombe de 5 mètres en 1 seconde sur la terre et la Lune tombe de 1,4 mm en 1 seconde sur la Terre. La pomme tombe donc 3571 fois plus vite que la Lune. Cela signifie donc que la Terre exerce sur la Lune une force 3571 fois plus faible qu'elle n'exerce sur la Pomme.
  • La Pomme est située à 6470 Km du centre de la Terre et la Lune est située à 400000 Km du centre de la Terre. La Lune est donc 61,8 fois plus éloignée du centre de la Terre que ne l'est la pomme.

 

Or, on voit que 3571 = 59,8² et 59,8 est très proche de 61,8. Si l'intuition nous donne raison, cela signifie alors que la force qui attire les objets à la terre décroit avec le carré de la distance.

 

Si la pomme tombe, c'est qu'une force l'attire. Cette force vaut

 

F = y/r² avec y restant à déterminer

 

 

...et proportionnelle à la masse de l'objet qui tombe...

Quelques années avant Newton, Galilée avait testé la célèbre expérience depuis le haut de la Tour de Pise (là aussi une histoire plus pédagogique que réelle). Il avait lâché du haut de la tour des billes de même taille (donc avec la même résistance à l'air), mais de masses différentes. Il avait constaté que toutes les billes étaient arrivées en bas en même temps et qu'elles étaient donc soumises à la même accélération.

 

Newton avait quant à lui, de son côté, émis sa seconde loi disant que si un corps de masse m est soumis à une force F, son accélération a sera telle que F=ma et donc a=F/m

 

Nous pouvons donc appliquer cette formule à la force de gravité.

Sachant, grâce à l'expérience de Gallilée que l'accélération ne dépend pas de la masse du corps, si celui-ci avait une masse 10 fois plus importante, on aurait toujours la même accélération. Pour que l'égalité d'accélération soit conservée, si la masse est multipliée par 10, alors la force doit être aussi multipliée par 10:

a = F/m = 10F/10m

 

On en déduit donc que la force de gravité augmente avec la masse de l'objet

 

Si la pomme tombe, c'est qu'une force l'attire. Cette force vaut

 

F = zm/r² avec z restant à déterminer

 

... et proprtionnelle à la masse de l'objet qui attire...

Newton sortit alors sa troisième loi de sa poche : le principe de l'action – réaction.

Si un corps A exerce une force sur un corps B, alors le corps B exerce la même force sur le corps A, opposée en direction.

 

Cela veut donc dire que la Terre de masse M est aussi attirée par le corps de masse m avec une Force proportionnelle à sa masse. Comme les deux forces sont égales, cela signifie que la force de gravitation est proportionnelle à chacune des deux masse et donc à leur produit...

 

Si la pomme tombe, c'est qu'une force l'attire. Cette force vaut

 

F = GMm/r² avec G restant à déterminer

Newton avait alors sa formule finale...

 

...et proportionnelle à une constante universelle...

Que vaut G ? et déjà est-ce une constante ?

Plaçons-nous dans le cas simple d'une planète en Orbite circulaire. La deuxième loi de Newton nous donne donc :

F = GMm/r² = ma

 

Nous voyons dans une annexe que dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme, l'accélération est reliée à la vitesse par la relation : a = v²/r ce qui nous donne donc :

 

mv²/r = GMm/r² d'où v² = GM/r

 

Pour un mouvement circulaire uniforme de période T, en appliquant la relation v = d/t, on a v = 2πr/T et donc

 

4π²r²/T²=GM/r d'où T²/r3=4π²/GM

 

On retrouve ainsi dans cette expression la troisième loi de Kepler. Cela signifie donc que dans un système, 4π²/GM est constant et donc G est constant. Il y a même de très fortes chances que G soit une constante dans tout l'univers... Elle sera appelée la CONSTANTE DE GRAVITATION !

 

La découvrir est une chose.... mais la calculer en sera une autre... car en effet, pour la calculer, il faudrait pouvoir peser le Soleil, ou la Terre... autrement dit ce n'est pas gagné !

 

Mais inversement, si on arrive un jour à connaitre cette fameuse constante G, alors on sera capable par exemple, de connaitre la masse du Soleil simplement en regardant la Terre tourner autour, on connaitra la masse de la Terre simplement en regardant la Lune tourner autour, on connaitra la masse de Jupiter simplement en regardant ses satellites tourner autour... plus globalement, on pourra connaitre la masse de n'importe quel objet, n'importe quel système, simplement en observant les objets tourner autour.... motivant, non ?

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