Overblog Suivre ce blog
Administration Créer mon blog
22 octobre 2013 2 22 /10 /octobre /2013 00:00

50 ans après Eratosthène, Hipparque allait révolutionner les mathématiques en posant les bases de la trigonométrie. Il s'essaya aussi à calculer la distance Terre – Lune en utilisant une autre méthode que celle qu'Aristarque avait utilisée quelques années auparavant. C'est ce calcul d'une simplicité et d'une efficacité déconcertante que nous allons regarder dans ce chapitre.

Pour cela, Hipparque est parti de deux hypothèses :

 

Hypothèse 1 :

Le diamètre apparent du Soleil est de 0,5° (contre 2° par son prédécesseur Aristarque).

 

Hypothèse 2 :

La durée maximale du passage de la Lune dans le cône d'ombre de la Terre est de 2h30mn.

 

Explication de l'hypothèse 2 :

Pour calculer la durée maximale du passage de la Lune dans le cône d'ombre de la Terre, il faut attendre et observer une éclipse de Lune. Ensuite, il faut démarrer le chronomètre au moment où la première partie de la Lune entre dans l'ombre et l'arrêter au moment où la première partie en sort. On peut aussi le faire en démarrant le chronomètre au moment où la dernière partie de la Lune entre dans l'ombre et l'arrêter au moment où la dernière partie en sort.

Avec cette méthode, entre le démarrage et l'arrêt du chronomètre, la Lune aura parcouru exactement une distance égale au diamètre du cône d'ombre.

Bien entendu, pour que cela soit fiable, il faut trouver une éclipse où la Lune passe exactement au milieu du cône d'ombre. Il faut donc trouver l'éclipse de Lune la plus longue possible.

 

Analysons l'une des plus longues éclipses de siècle, celle du 15 juin 2011. Les données sur cette éclipse sont les suivantes :

 

- Premier point de contact avec la pénombre : 17h23

- Premier point de contact avec l'ombre : 18h23

- Début de la totalité : 19h22

- Fin de la totalité: 21h03

- Dernier point de contact avec l'ombre : 22h03

- Dernier point de contact avec la pénombre : 23h02

 

Pour calculer le temps de traversée de l'ombre, il faut prendre :

 

Fin de la totalité - Premier point de contact avec l'ombre = 21h03 – 18h23 = 2h40mn

Ou bien

Dernier point de contact avec l'ombre - Début de la totalité = 22h03 – 19h22 = 2h41mn

 

On est donc très proche des 2h30 calculés par Hipparque.

 

Partant de ces deux hypothèses, Hipparque dessine alors la figure ci-dessous.

Hipparque-copie-1.PNGOn y voit le Soleil à droite en jaune, la Terre au milieu, en bleu entourée de l'orbite de la Lune, et le cône d'ombre à gauche.

Soit C le centre de la Terre, L le point de contact entre l'orbite de la Lune et le cône d'ombre, et T le point de la Terre à l'extrémité du cône d'ombre.

Naturellement, on a CT = Rayon de la Terre et CL = distance Terre-Lune. Comme CTL est un angle droit, on a donc une relation trigonométrique entre CL et CT :

 

cos(δ)= CT / CL = Rayon de la Terre / Distance Terre-Lune

 

Donc, si on trouve la valeur de l'angle δ, alors on connaîtra la distance Terre-Lune !

C'est aussi simple que ça !

 

Si on se concentre sur la moitié haute du dessin d'Hipparque (au dessus de la ligne en pointillé), on voit que :

 

β/2 + δ + γ + α/2 = 180°

Donc, on a

 

δ = 180° - γ – α/2 – β/2

 

Il nous faut donc trouver la valeur des angles α, β et γ pour trouver l'angle δ.

 

Que sait-on de l'angle α ?

C'est simple, α est le diamètre apparent du Soleil, on a dit qu'il était de 0,5°

 

Que sait-on de l'angle β ?

β est l'angle que fait l'ombre de la Terre au niveau de l'orbite de la Lune.

Nous avons vu que la Lune met 2h30 pour traverser cette ombre. On sait aussi que la Lune fait un tour complet du ciel depuis la Terre (360°) en 29,5 jours, soient 708 heures. En appliquant une règle de trois, on en déduit donc que l'angle de l'ombre est de (360/708)*2,5 = 1,27°

 

Plus qu'un seul angle à calculer et on connaîtra la distance de la Lune !!!

 

Que sait-on de l'angle γ ?

γ est en fait lié à la variation d'angle sous lequel on verrait un point du Soleil depuis le centre de la Terre et depuis le pôle. En effet, on a :

γ = 90° - variation d'angle

 Cette variation d'angle, c'est ce qu'on appelle la parallaxe du Soleil. Dit autrement, c'est l'angle sous lequel on voit le rayon de la Terre depuis le Soleil. Ce n'est pas bien grand en réalité puis que c'est de l'ordre de 0,0025° (9'' d'arc) de telle sorte que γ vaut 89,9975° en réalité. Le problème, c'est que pour calculer cet angle, il faut connaître le distance du Soleil (qui était inconnu à cette époque).

Hipparque est donc parti d'un principe : Le Soleil est tellement loin de la Terre que depuis le Soleil, la terre est un point, et donc γ vaut 90°. C'était une bonne intuition.

 

 

Maintenant qu'Hipparque a calculé les trois angles, il peut donc en déduire δ :

 

δ = 180° - 90° – 0,5°/2 – 1,27°/2 = 89,115°

 

On a donc au final :

 

Distance Terre-Lune = Rayon de la Terre / cos(89,115) = Rayon de la Terre × 64,74

 

 

En utilisant le rayon de la Terre calculé par Eratosthène de 6366 Km, on obtient donc :

 

Distance Terre-Lune = 412148 Km

 

Je vous laisse apprécier la précision de calcul au regard de la simplicité de la démonstration : décoiffant !

 


Maintenant, nous savons

 

 

- Quelle est la Taille de la Terre ?

Pour Eratostene : 12732 Km de Diamètre

Pour nous :12827 Km

En réalité : 12742 Km de Diamètre

- Quelle est la Taille de la Lune ?

Pour Aristarque 4247 Km de Diamètre

Pour Nous 3682 Km de Diamètre

En réalité 3474 km de Diamètre

- Quelle est la distance Terre - Lune ?

Pour Aristarque : entre 95557 Km et 127410 Km

Pour Nous avec la méthode d'Aristarque : entre 267313 Km et 356417  Km

Pour nous avec la trigonométrie : 340216 Km

Pour Hipparque : 412148 Km

En réalité : 384400 Km

- Quelle est la Distance du Soleil ?

Pour Aristarque : entre 1,7 Millions de Km et 2,5 Millions Km

Avec la méthode d'Aristarque s'il avait pu calculer α = 0.15° : entre 36,5 Millions et 60 Millions de Km

Pour nous : aucune estimation car calculer l'angle α est trop difficile

En réalité : 149,6 Millions de Km

- Quelle est la Taille du Soleil ?

Pour Aristarque : entre 76446 Km et 127410 Km

Avec la méthode d'Aristarque s'il avait pu calculerα = 0.15° : entre 1.6 et 1.7 Millions de Km

Pour nous : aucune estimation car calculer l'angle α est trop difficile

En réalité : 1.392 Millions de Km

 

 

Ce calcul fut véritablement le dernier de l'antiquité. La raison de cette non progression future vous est expliquée dans le prochain chapitre :

 

Le calcul des distances dans l'antiquité : Le début de la fin ou la révolution en marche

Repost 0
21 octobre 2013 1 21 /10 /octobre /2013 00:00

Après quatre siècles d'avancées importantes caractérisées par les démonstrations des chapitres précédentes et les travaux d'Aristarque, d'Eratostène et d'Hipparque, prouvant au monde entier que nous étions en capacité de comprendre le monde qui nous entoure, après la création du calendrier Julien prouvant lui aussi que la maîtrise du temps était une chose avérée, il était temps de faire une petite pause et surtout de faire le point.

 

C'est exactement ce que fit Ptolémée vers l'an 150 dans son Almageste. Il y recueillit toutes les connaissances d'astronomie de l'époque en 13 livres. Il y explique les tables de trigonométrie, définit et calcule la durée de l'année solaire, le calcul du diamètre de la Lune, du Soleil ainsi que leurs distances, explique la précession des équinoxes (découverte par Hipparque), établit un catalogue de 1022 étoiles et 48 constellations, et enfin publie une modélisation du système Solaire qui explique les mouvements des planètes.

Bien qu'à l'époque Aristarque ait émis l'hypothèse que ce soit la Terre qui tourne autour du Soleil et non l'inverse, cette idée était tout de même très déplacée et assez risquée ! Le géocentrisme était LA solution qui flattait l'ego de l'homme, satisfaisait les religions et surtout correspondait à la première impression qu'on a lorsqu'on sort dehors : La terre est immobile et c'est le ciel qui tourne autour !. Le modèle de Ptolémée allait donc parfaitement dans ce sens-là et devint très rapidement une référence.

 

Son modèle géocentrique était particulièrement convainquant car il expliquait :

  • La variation de vitesse angulaire des planètes

  • La variation de luminosité des planètes

  • Les mouvements rétrogrades

 

Avec autant d'atouts, il était évident que ce modèle avait de beaux jours devant lui !

En fait, il faisait intervenir la notion d'épicycle, génialement introduite vers 200 avant JC par Apolinos de Perga. L'épicycle est en fait une roue, dont le centre est situé sur l'orbite de la Planète et qui tourne plus ou moins vite. Le centre de l'épicycle parcourt donc un cercle, mais la planète, placée sur le bord de cet épicycle, décrit une sorte de serpentin.

 

Vous allez vite vous rendre compte à quel point cette modélisation est géniale :

 

Suivons deux planètes dans leur révolution. Une bleue qui représente la Terre et une rouge qui représente Mars. Le Soleil est au milieu et nous sommes dans un système Héliocentrique. Pour simplifier, nous allons partir du principe que la Terre tourne autour du Soleil deux fois plus vite que Mars.

Suivons maintenant la position de ces planètes avec une photo tous les 3 mois durant deux années. Au bout de deux ans, la Terre aura fait deux fois le tour du Soleil et Mars n'en aura fait qu'une fois le tour.

A chaque photo, nous relions d'un trait noir la Terre et Mars, ce qui nous permet de matérialiser plus facilement la distance et l'angle entre les deux.

Modele-heliocentrique.PNG

Quel mouvement mars fait-il autour de la Terre ?

Posée autrement, la question revient à dire :

Si on ramenait tout cela dans un système Géocentrique, quelle serait la trajectoire de Mars autour de la terre ?

 

Pour cela, rien de plus simple :

 

On prend tous les bâtons « Terre - Mars » que nous avons créés, on les découpe, et on les recentre tous sur la Terre : Nous obtenons alors ceci :

Mouvement apparent-copie-1

Nous obtenons une sorte de coeur. C'est ce que nous appelons le déplacement relatif de Mars par rapport à la Terre. Dans le modèle géocentrique, c'est son déplacement réel.

Bien entendu, les anciens n'ont pas connaissance de cette forme puisqu'ils ne peuvent pas calculer la distance de Mars, mais ils en perçoivent les conséquences directes :

  • Entre les deux mois de janvier la distance Terre-Mars a beaucoup augmenté donc l'éclat de Mars a diminué

  • Entre Janvier et Avril de la Première année, Mars ne bouge pas beaucoup dans le ciel. Par contre, entre Janvier et Avril de la deuxième année, Mars a parcouru plus de 45° dans le ciel. Donc la vitesse angulaire de Mars change.

  • Au mois de janvier, la luminosité de Mars augmente subitement et elle fait même demi tour dans le ciel pendant quelques temps (qui n'est pas visible dans notre schéma, mais dont nous avons parlé dans un chapitre précédent)

Il est donc évident pour les géocentristes que Mars ne peut effectuer un cercle parfait autour de la Terre. Car dans ce cas, sa distance (donc sa brillance) et sa vitesse auraient été constantes. 

 Ptolémée expose la solution du problème dans son Almageste avec les Épicycles :

 

Imaginons maintenant que mars tourne autour de la Terre et qu'en même temps, tourne autour de son épicycle à la même vitesse angulaire que la Terre (un tour complet en un an) :

Modele-geocentrique.PNG

Si maintenant on refait le même exercice que précédemment en regroupant tous les segments autour de la Terre, on obtient :

Mouvement apparent-copie-1

... La même chose !

 

Donc les épicycles expliquent la différence de brillance de Mars, la variation de la vitesse angulaire de Mars,  le mouvement rétrograde de Mars et tout cela dans un modèle géocentrique. De plus, les épicycles sont des cercles (figure parfaite) et sont donc en accord avec des phénomènes divins. Le résultat est si proche de la réalité, qu'il va devenir rapidement quasiment impossible à mettre en défaut.

 

Ce modèle ne connut aucune concurrence sérieuse pendant 1400 ans, et bien que certain aient essayé, par-ci, par-là de parler de leur fumeuse théorie héliocentrique, ils étaient tous ridiculisés, voire brûlés pour hérésie car ils n'avaient aucun moyen de prouver ce qu'ils avançaient.

 

En 1543, Copernic fut le premier à véritablement étayer sa théorie héliocentrique par un modèle mathématique. Il n'osa pas la publier avant sa mort et l'ouvrage fut bien évidemment très critiqué à sa sortie. En revanche, il fut véritablement une source de motivation et d'inspiration pour tous ceux qui dans les années à venir, allaient défendre et tenter de prouver, coûte que coûte, que c'était cette théorie qui était la bonne.

 

L'évolution fut lente. Il y eut tout d'abord Tycho Brahé, qui à force d'observations méticuleuses, était persuadé que les planètes tournaient autour du Soleil, toutes à l'exception de la Terre, bien entendu. Le Soleil et la Lune tournaient bien autour de la Terre, mais les autres planètes tournaient autour du Soleil. Brahé n'était semble-t-il pas convaincu par ce modèle, mais ses convictions religieuses le ramenaient éperdument vers une Terre au centre de l'univers... ce qui finit de le convaincre, c'était que si la Terre tourne autour de la terre, on devrait observer une parallaxe des étoiles, or il n'y en avait pas... Nous reviendrons précisément sur ce point dans quelques lignes.

Modele-Brahe.PNG

Il inventa donc le modèle Géo-Héliocentrique  ci-contre avec  :

- Le Soleil et la Lune tournant autour de la Terre.

- Toutes les autres planètes tournant autour du Soleil.

 

Bien entendu, son nouveau modèle devait être prouvé. Pour cela, il fallait déjà observer sur une longue période la position des planètes et valider qu'elles suivaient son modèle théorique. Mais le télescope n'était pas encore inventé et il n'avait que ses yeux pour faire des relevés qu'il voulait pourtant très précis.

 

Intrument-Brahe.PNGIl inve nta donc des sextants géants comme celui représenté ci-contre:

 

On est loin de Very Large Telescope ou du télescope spatial Hubble, mais son observatoire d'Uraniborg était à l'époque l'un des observatoires les plus modernes. Grâce à ce système de visée, il arrivait à pointer les astres avec une précision d' 1 minute d'arc (c'est à dire 1/60ème de degré, soit 1/30ème du diamètre de la Lune). Évidemment, même si 1 minute d'arc correspond à une précision tout à fait remarquable, c'était encore bien insuffisant pour déceler la fameuse parallaxe des étoiles (promis, nous allons bientôt parler de la parallaxe) et qui était elle de seulement 1 seconde d'arc (1/60ème de minute d'arc) au maximum.

Il nota entre 1585 et 1595, régulièrement et quand le temps le permettait, les coordonnées de nombreux astres dont Mars et le Soleil.

 

Pendant ces années, il nota que le mouvement de Mars n'était pas exactement conforme à ses prévisions, qui pourtant suivaient son modèle. Il conserva donc précieusement ses relevés et demanda à son disciple, un certain Johannes Kepler, d'analyser en détail la trajectoire de Mars et ses relevés. Nous consacrerons un chapitre spécial sur les travaux de Kepler.

 

Le coup dur fut véritablement porté par Galilée, qui fut le premier à utiliser sa fameuse Lunette astronomique en 1610. Il la pointa naturellement sur les objets les plus communs : La Lune, Le Soleil, Venus, Jupiter, Saturne... et il allait en avoir pour ses frais !

  • La lune avait des trous et sa surface n'était pas lisse. Elle n'était donc pas si parfaite et immuable qu'on le croyait...

  • Le Soleil avait des tâches, et n'était, contre toute attente, pas parfait non plus...

  • Jupiter avait des satellites qui lui tournaient autour et ne tournaient donc ni autour de la Terre, ni autour du Soleil...

  • Venus passait par des phases comme la Lune, preuve qu'elle passait derrière, puis devant le Soleil.

  • Saturne avait des oreilles, mais là, personne ne savait ce que cela pouvait bien être...

Nous reviendrons aussi sur ces phénomènes observés par galilée, mais parmi ces observations, ce sont les phases de venus qui portèrent le coup de grâce au modèle de Ptolémée.

 

En effet, Dans le modèle de Ptolémée, Venus restait toujours entre la Terre est le Soleil. Elle devait donc toujours nous apparaître comme un croissant. Il était donc impossible de la retrouver presque pleine tout en étant proche visuellement du Soleil, car c'était la preuve qu'elle se trouvait derrière le Soleil...

Pourtant, c'est ce qui vit Galilée.

 

Ses observations ont permis quasi immédiatement d'enterrer le modèle de Ptolémée et ce fut le modèle géo-héliocentrique de Brahe qui devint le modèle officiel. C'est donc principalement pour s'être opposé à ce modèle que Gallilée eut tous les ennuis qu'on lui connaît !

 

Le souci venait essentiellement qu'aucun fait, aucune observation ne permettait de prouver que c'était la Terre qui tournait autour du Soleil et non l'inverse !

 

Pour les partisans du géocentrisme, l'absence de preuve constituait même une preuve contre. Ce sont ces arguments qui furent utilisés lors de l'audition de Galilée.

 

« Si la Terre tourne bien autour du Soleil, comme vous l'affirmez, et étant donné que nous savons que la distance du Soleil est très très grande, alors cela signifie que le cercle que décrit la Terre autour du Soleil est tout simplement gigantesque !

De ce fait, entre deux positions opposées sur ce cercle, l'angle sous lequel on voit les étoiles devrait changer, et le Nord qui pointe maintenant vers l'étoile polaire, ne devrait plus la pointer dans six mois (cf schéma ci-contre) ! Parallaxe.PNG

 

Revenons dans six mois et vous constaterez comme moi que le nord pointera toujours l'étoile polaire. Ce sera donc la preuve que la Terre est immobile et donc au centre de l'univers »

 

Le souci, c'est que ce fameux angle est tellement petit du fait de l'éloignement des étoiles inimaginable à l'époque, qu'il était non mesurable avec les moyens dont disposaient les astronomes. Ils en ont donc conclu qu'il était nul et donc que la Terre était immobile.

Gallilée leur tint ces propos de l'éloignement des étoiles, mais encore une fois, qui n'étaient pas vérifiables, donc sans valeur.

 

Et c'était pourtant l'existence même de cet angle (ou parallaxe) qui allait peut être causer la fin du modèle géocentrique. Car nous verrons plus tard que sa recherche désespérée par les astronomes les entraînèrent vers une découverte non moins sensationnelle !

 

Il fallut attendre 1729, soient 120 ans après les premières observations de Gallilée et deux ans après la mort d'Isaac newton pour que la preuve de la théorie héliocentrique soit faite. 

 

L'important, c'est de comprendre qu'il n'y a pas une trajectoire, mais des trajectoires.

Ainsi, un homme assis dans un train en marche est mobile par rapport à la Terre, mais immobile par rapport au train. Quant au train, est-il mobile par rapport à la terre, ou bien est-ce la Terre qui bouge sous lui ? En fait, tout dépend du référentiel dans lequel on se trouve. En revanche, c'est le train qui a du produire une certaine énergie pour arriver à sa vitesse de croisière et non la Terre. Par ce fait, il nous est donc logique de dire que c'est le train qui bouge par rapport à la terre.

 

Il en est de même pour le mouvement de la terre...

- Dans un référentiel terrestre, elle est immobile

- Dans un référentiel Solaire, elle décrit un cercle (ou presque)

- Dans un référentiel de Vénus, elle décrit le même coeur que Mars décrit depuis la Terre

- Dans le référentiel d'une autre étoile, on la verrait décrire un mouvement plus compliqué de Spirale étant donné que le Soleil de déplace...

 

Bref nous étions sur le point d'entrer dans un nouvel âge de l'astronomie. C'est ce que nous allons découvrir ensemble dans la prochaine partie.

 

Mais avant d'étudier cette révolution, une petite introduction s'impose :

 

Le calcul des distances dans le grand siècle : Les périodes synodiques

 

 

 

Repost 0
20 octobre 2013 7 20 /10 /octobre /2013 00:00

A vant de rentrer dans le vif du sujet, une introduction s'impose. Elle concerne une notion extrêmement importante : La période Synodique.

 

La période synodique est basée sur le même principe que ce qui différencie le jour sidéral du jour solaire. Je vais vous expliquer tout cela... 

 

Ne vous êtes vous jamais posé la question suivante ? :

Nous avons appris à l'école que la Terre tourne sur elle-même en 23 heures 56 minutes et 4 secondes. Pourtant la durée d'une journée est sur nos montres de 24 heures. Il y a donc un décalage de 3 minutes et 56 secondes, qui est, certes peu important, mais comme nous l'avons vu dans le chapitre consacré au calendrier, les petits décalages peuvent avec le temps avoir de grandes conséquences...

 

Bien entendu, de décalage il n'y en a pas ! c'est simplement qu'il s'agit de deux notions différentes que vous allez comprendre grâce au dessin ci-dessous :rotation-terre.PNG

 

A un instant donné J0, on construit un mur rouge qui pointe directement vers le Soleil. Au bout d'exactement 23 heures 56 minutes et 04 secondes, nous nous trouvons à l'instant J1. La Terre a fait un tour complet sur elle-même et notre mur rouge pointe exactement vers les mêmes étoiles, mais le Soleil ne s'y trouve pas !

En fait, pendant ces 23 heures 56 minutes et 04 secondes, la Terre a bougé d'un angle A dans sa grande course autour du Soleil, si bien que le Soleil se trouve décalé de ce même angle A par rapport à la veille. La Terre devra donc tourner encore un peu (d'un angle A) sur elle même pour corriger le tir et retrouver le Soleil au même endroit. Mais pendant le temps qu'il lui faudra pour corriger le tir, elle aura encore bougé légèrement autour du Soleil et elle devra encore corriger le tir, etc...

Au final, il lui faudra 3 minutes et 56 secondes pour corriger totalement le tir d'un angle total α.

 

Et bien le temps que met la Terre pour tourner et retrouver les étoiles au même endroit, c'est le jour sidéral, et le temps que met la Terre pour tourner et retrouver le Soleil au même endroit, c'est le jour Solaire.

 

Voici la démonstration du lien qui existe entre ces deux notions :

Au bout d'une journée solaire, la Terre a effectué un tour complet plus un angle α pour se retrouver face au Soleil, comme nous venons de le voir.

Elle a donc effectué 1 tour complet, plus α/360ème d'un autre tour sur elle même.

Comme il lui faut un jour sidéral pour faire son tour complet, il lui faudra donc (1 + α/360) × Jour sidéral pour se retrouver face au Soleil.

On a donc logiquement :

 

Jour Solaire = (1+ α/360) * Jour sidéral

 

Que vaut l'angle α ?

α est l'angle qu'a parcouru la Terre en une journée Solaire autour du Soleil. Comme il lui faut 365,25 jours solaires pour parcourir les 360° qui font le tour du Soleil, alors en 1 journée, l'angle est : α = 360°/365,25 et notre relation du dessus vaut donc :

 

Jour Solaire = (1+ 1/365,25) × Jour sidéral

 

Le jour solaire est bien connu puisque c'est par définition 24 heures, soient 86400 secondes. Donc le jour sidéral à une durée de :

 

Jour sidéral = 86400/(1+1/365,25) = 86164,09 secondes = 23h 56mn 04,09sec

 

Comme vous l'avez donc remarqué, il y a une différence entre le temps que met la Terre pour tourner sur elle-même, et le temps que met le Soleil à revenir dans la même position dans le ciel !

Et bien ce principe vaut pour tous les objets.

 

C'est ainsi, par exemple que la Lune tourne autour de la terre (période de révolution) en 27 jours 7 heures 43 minutes alors qu'elle revient dans la même position par rapport au Soleil tous les 29 jours 12 heures 44 minutes.

 

Le principe pour la Lune est exactement le même puisqu'au bout de 27 jours 7 heures et 43 minutes, la Lune aura fait un tour complet de la Terre, mais la Terre aura effectué 27,32/365,25 tour autour du Soleil que la Lune devra encore parcourir afin de se retrouver dans la même position par rapport au Soleil. Il lui faudra plus de deux jours pour rattraper le décalage.

Ce laps de temps au bout duquel on retrouve la Lune dans la même position par rapport au Soleil est appelée période Synodique.

On y retrouve la même relation que pour le jour Solaire :

 

Période synodique = Durée de révolution/(1+29,53/365,25) = 27,32 jours

 

Vous remarquerez qu'il est beaucoup plus facile de calculer la période synodique que la période de révolution. En effet, la période synodique de la Lune, c'est l'intervalle entre deux pleines lunes, ou deux nouvelles lunes. Elle est donc facile à calculer. En revanche, la durée de révolution est beaucoup plus difficile à mesurer. Il faudrait pouvoir prendre suffisamment de recul et  se rendre à un point immobile d'où on aurait une vue nous permettant de la calculer.

Par contre, la bonne nouvelle, c'est que, au regard de la formule du dessus, si on connaît la période synodique, ainsi que la durée de révolution de la terre autour du Soleil, alors on pourra automatiquement en déduire la durée de révolution.

La durée de révolution est bien plus importante que la période synodique puisque c'est elle qui doit être prise en compte dans les modèles héliocentriques. C'est la raison pour laquelle nous devons connaître cette notion avant d'aborder les chapitres suivants : La période synodique permet connaître la période de révolution.

 

Montons encore d'un cran pour nous occuper maintenant des planètes. Tout comme la Lune, les planètes ont des périodes synodiques. Ces périodes correspondent en fait à la récurrence de tous les phénomènes observés :

  • Vu de la terre, Vénus passe derrière le Soleil régulièrement à une cadence correspondant à sa période synodique et pas à sa période de révolution. En effet, au bout d'exactement une année de Venus, la terre ayant tourné, l'angle entre Venus et le Soleil sera totalement différent.

  • Le mouvement rétrograde de Mars à lieu à une cadence correspondant à sa période synodique et non à sa période de révolution, etc...

 

Regardez ce dessin pour vous  en convaincre :

periode-synodique.PNG

 

Nous sommes à J0 et à cet instant, le Soleil (en orange), la Terre (en bleu) et Mars (en rouge) sont alignés. L'angle Terre-Soleil-Mars est donc de 0°.

Au bout d'une journée, à l'instant J1, la Terre a tourné d'un angle B autour du Soleil, et Mars a tourné d'un angle A autour du Soleil. De ce fait, le nouvel angle Terre-Soleil-Mars n'est plus de 0°, mais de B-A degrés.

 

La question que tout le monde de pose est bien sûr : que vaut B, et que vaut A ?

 

A propos de l'angle B :

B, nous l'avons vu est l'angle parcouru par la terre en une journée autour du Soleil. Comme la Terre parcourt les 360° en 365,25 jours (qui est la période de révolution de la terre) alors en une journée, elle parcourt  

B = 360° / période de révolution de la terre,

 

A propos de l'angle A :

A suit exactement le même principe que B en remplaçant la Terre par Mars.

A = 360° / période de révolution de Mars

 

Donc en une journée, l'angle Terre-Soleil-Mars sera passé de 0 à

 

                                    360                               -                         360

B - A = -------------------------------------------         ---------------------------------------

             période de révolution de la terre         période de révolution de Mars

 

Jour après jour, cet angle va augmenter. Lorsque cet angle vaudra 180°, mars passera derrière le Soleil, vu de la Terre, et lorsque cet angle vaudra 360°, alors on retrouvera à nouveau un angle Terre-Soleil-Mars de 0° : Une année synodique de Mars se sera écoulée.

 

L'année synodique de Mars est donc le nombre de jours qu'il faut à cet angle B-A pour faire 360°. Il vaut donc :

 

 

                                                      360                                                     360

Période synodique de Mars  = -------  =  --------------------------------------------------------------------------------------

                                                     B - A                      360                                                      360

                                                                     -----------------------------------------   -   ---------------------------------------

                                                                      période de révolution de la terre     période de révolution de Mars

 

 

Soit

                                                                                                                  1

Période synodique de Mars = --------------------------------------------------------------------------------------

                                                                            1                                                             1

                                                       -----------------------------------------   -   ---------------------------------------

                                                      période de révolution de la terre     période de révolution de Mars

 

Le souci, c'est que, comme je le disais un peu plus haut, il est facile de déterminer la période synodique de Mars par de simples observations, mais pratiquement impossible de calculer la période de révolution de Mars depuis la Terre.

 

Isolons donc notre période de révolution de Mars, et nous obtenons :

 

                                                           Période synodique de Mars × période de révolution de la Terre

période de révolution de Mars = --------------------------------------------------------------------------------------

                                                           Période synodique de Mars - période de révolution de la Terre

 

Application :

On savait depuis longtemps que Mars revenait au même endroit dans le ciel, commençait son mouvement rétrograde, avait son maximum de luminosité, s'approchait visuellement du Soleil, etc... tous les 780 jours à peu près. Ces 780 jours correspondent donc à sa période synodique.

 

Sachant que la Terre tourne autour du Soleil en 365,25 jours, on en déduit donc que :

 

Période de révolution de Mars = (780 × 365,25)/(780-365,25) = 686,9 jours !

 

Nous pouvons donc effectuer ce calcul pour toutes les planètes du Système solaire et nous connaîtrons donc pour chacune leurs périodes de révolution.

 

Et alors ? Me direz-vous !

Vous allez voir dans le prochain chapitre que ce calcul de la période de révolution à partir de la période synodique va avoir une conséquence CAPITALE !!!

 

Je sais que vous êtes impatients d'aller voir les travaux de notre ami Kepler, mais avant cela, une deuxième et dernière notion s'impose :

 

Le calcul des distances dans le grand siècle : La triangulation

Repost 0
19 octobre 2013 6 19 /10 /octobre /2013 00:00

Une dernière précision s'impose avant de rentrer dans l'ère du grand siècle. Il s'agit de la technique de triangulation.

En fait, c'est une technique que nous utilisons tous, chaque seconde, sans nous en rendre compte.

 

La triangulation répond à la question suivante :

Comment connaître la distance d'un objet sans avoir à se déplacer jusqu'à cet objet et sans connaître la taille de cet objet ?

Nous avons vu en effet dans les tous premiers chapitres des mesures des distances dans l'antiquité, qu'on pouvait facilement, grâce au théorème te Thalès, connaître la distance d'un objet si on connaît sa taille. Pour la démonstration, nous avions utilisé la technique du confetti.

 

Mais si on ne connaît pas sa taille, l'application du théorème de Thalès ne nous donnera pas sa distance.

Le principe consiste à faire de la triangulation : C'est très simple et en voici l'explication sur le schéma ci-dessous :

 

triangulation

Je me place en A et je pointe du doigt un arbre dont j'ignore la distance et la taille situé en B.

Je garde mon doigt exactement dans la même direction et je me déplace sur la droite d'une distance de X mètres jusqu'à un point C. Mon doigt ne pointe alors plus sur l'arbre qui s'est légèrement déplacé sur ma gauche. Pour pointer à nouveau l'arbre, je dois donc pivoter sur moi-même d'un angle de α.

 

Cet angle va me permettre de calculer la distance de l'arbre.

 

En effet, je me retrouve avec un triangle ABC, dont je connais la distance AC puisque c'est la distance que j'ai parcourue vers la droite et je connais l'angle α puisque c'est l'angle sous lequel j'ai dû tourner pour pointer l'arbre à nouveau.

Et tout naturellement, grâce à la trigonométrie, j'ai :

 

Tan(α) = AC / AB et donc AB = AC / Tan(α).

 

Bien entendu, si je suis dans mon salon et que je veux connaître la distance de mon radiateur (non, non, je ne m'ennuie pas chez moi !), je n'aurai qu'à faire un pas d'un mètre sur le côté pour avoir un angle α exploitable.

Par contre, si je veux connaître la distance de mon arbre, je vais peut-être devoir me déplacer d'une dizaine de mètres ou d'une centaine de mètres, etc... Cela signifie que plus la distance augmentera, et plus je devrai m'écarter sur la droite pour que l'angle soit significatif, à moins que je ne possède un moyen de mesurer l'angle avec une très grande précision. Mais dans tous les cas, tout appareil ayant ses limites, je trouverai bien un objet suffisamment loin pour qu'il ne soit plus efficace.

 

Vous voyez donc que la triangulation est un moyen pratique et simple de mesurer la distance des objets qui ne sont pas trop loins...

 

En fait, nous faisons à chaque instant de la triangulation sans le savoir.. ou disons plutôt que c'est notre cerveau qui en fait... Effectivement, la distance entre nos deux yeux est suffisante pour que les objets soient vus avec un angle légèrement différent par notre oeil droit et par notre oeil gauche. Le cerveau interprète cet angle et nous donne une information sur la distance de l'objet : C'est la vision stéréoscopique.

 

Donc, quand vous entendrez parler de triangulation, vous saurez ce que c'est : On se déplace dans l'espace et on regarde un objet IMMOBILE. Suite à notre déplacement, l'objet c'est décalé d'un certain angle. La connaissance de l'angle nous donne alors la distance de l'objet.

 

Je sais, vous vous demandez, pourqoi j'ai mis le mot "IMMOBILE" en gras... vous vous demandez aussi quel est le lien entre ce chapitre et le chapitre précédent sur la période synodique... Vous vous demandez aussi pourquoi ces deux chapitres tombent en introduction à un chapitre consacré aux travaux de Kepler.

 

Vous savez depuis le chapitre précédent que la connaissance de la période synodique nous permet d'en déduire la période de révolution des planètes. Vous savez aussi que la période de révolution, c'est la période au bout de laquelle une planète a fait un tour complet autour du Soleil pour revenir exactement au même endroit.

Ainsi, si on prend une photo du système solaire tous les 687 jours par exemple (687 jours correspondant à la période de révolution de Mars), mars apparaîtra IMMOBILE et au même endroit sur toutes les photos.

En revanche, sur les photos, la Terre ne sera jamais au même endroit...

 

Récapitulons... Mars Immobile... La Terre n'est par contre pas au même endroit (un peu comme si elle avait fait des pas sur le côté...) ! Mais OUI ! Nos pourrons faire de la triangulation et connaître la position et la distance de Mars !!!

 

C'est exactement ce que comprit Kepler, et c'est exactement ce que nous allons voir dans les prochains chapitres :

 

Le calcul des distance dans le grand siècle : Copernic et la distance des planètes

Repost 0
18 octobre 2013 5 18 /10 /octobre /2013 00:00

Une fois le modèle Héliocentrique de Copernic établi, et pour ceux qui y croyaient, bien entendu, il devenait possible de calculer les distances des planètes.

Copernic l'avait compris (c'est quand même lui qui avait posé les bases du modèle mathématique héliocentrique) et il trouva le moyen de calculer les distances des planètes intérieures :

Vue de la Terre, les planètes intérieures ne s'éloignent jamais trop du Soleil d'un angle α. Si on arrive à connaître cet angle α, on connaîtra la distance de la planète !

 

Regardez le schéma ci-contre avec l'exemple de Venus :distance-venus.PNG

Lorsque Venus est la plus éloignée du Soleil vue de la Terre, l'angle Soleil-Venus-Terre est un angle droit, et donc la trigonométrie s'applique !

 

On a donc :

 

Distance Soleil-Venus = sin(α)×Distance Terre-Soleil

 

Copernic avait donc noté que l'angle maximal de Venus variait de 45° à 47° et l'angle de mercure variait entre 16° et 27°.

Il trouvait très étrange que cet angle ne soit pas constant, surtout pour Mercure car il variait vraiment beaucoup... Il avait donc ajouté dans son modèle des nouveaux épicycles pour expliquer ces variations d'angle... oui, les épicycles étaient de retour et c'est amusant de voir que Copernic avait finalement ajouté dans son modèle des éléments qui avaient fait les beaux jours d'un modèle qu'il combattait... 

Si ces épicycles existaient, alors leurs centres devaient se trouver au milieu de ces valeurs d'angle qu'il avait calculées. Il prit donc 46° pour Venus et 21,5° pour Mercure et naturellement il obtint :

 

Distance Soleil-Mercure = sin(21,5°) × Distance Terre-Soleil = 0,3665 × Distance Terre - Soleil

et

Distance Soleil-Venus = sin(46°) × Distance Terre-Soleil = 0,7193 × Distance Terre - Soleil

 

En réalité, la distance moyenne de Mercure est de 0,39 × Distance Terre – Soleil et

la distance moyenne de Venus est de 0,72 × Distance Terre – Soleil.

 

Pour les distances des planètes extérieures, c'était un peu plus difficile. Le problème pour ces planètes, c'est qu'il n'y a pas d'angle maximal comme pour les planètes intérieures puisque elles décrivent un cercle complet dans notre ciel. Elle passent donc d'une conjonction (Planète-Soleil-Terre alignés) à une opposition (Soleil-Terre-Planète alignés) avec le Soleil et nous n'avons aucun point de repère.

 

En fait, le principe est le même que pour le calcul de Venus et de Mercure, sauf que les rôles sont inversés.

Pour Mars, par exemple, Mars joue le rôle de la Terre et la Terre jour le Rôle de Vénus dans notre calcul précédent. 

L'inconvénient c'est que lorsque la Terre est la plus éloignée du Soleil vu de Mars, l'angle droit est situé au niveau de la Terre et donc la trigonométrie est inutilisable car il nous faut connaître un autre angle. Pour connaître cet autre angle, il n'y avait pas 36 solutions :

  • Soit aller sur Mars pour calculer l'angle Terre-Soleil (mais ce n'est pas simple)

  • Soit aller sur le Soleil pour calculer l'angle Terre-Mars (c'est encore moins simple...)

  • Soit trouver encore une astuce dont les astronomes du passé avaient le secret...

Par simplicité et pragmatisme, c'est la troisième option qui fut choisie, par Copernic !

 

Il fit donc le schéma ci-contre :Distance-de-Mars.PNG

 

Nous prenons comme instant de référence le jour où le Soleil et mars font un angle de 180° vue depuis la Terre.

Nous attendons patiemment que cet angle de 180° diminue de moitié pour arriver à faire un angle de 90° (Soleil-Mars-Terre fait donc un triangle rectangle en Terre).

Nous comptons alors le nombre de jours qu'il a fallu pour passer de 180° à 90° : n jours.

Comme nous connaissons la période de révolution de la Terre (365,25 jours) et que nous connaissons la période de révolution de la planète Mars (687 jours), nous savons donc quels sont les angles α et β qu'on respectivement parcourus la Terre et Mars :

α = 360 ×(n/Révolution Terre)

 

β = 360 × (n/Révolution Mars)

 

Comme vous pouvez le voir sur le schéma, nous avons γ = α – β

 

Cela signifie que par cette méthode, nous avons été capables de trouver l'un edes  deux autres angles de notre triangle rectangle sans avoir à aller ni sur Mars, ni sur le Soleil !

Et donc :

 

Distance Soleil–Mars = Distance Terre-Soleil / cos(γ), soit

 

Distance Soleil–Mars = Distance Terre-Soleil / cos((360 ×(n/Révolution Terre)) - (360 × (n/Révolution Mars)))

 

 

Les observations de Mars, Jupiter et Saturne avaient donné à Kepler les informations suivantes :

Saturne :

Temps entre l'opposition et la quadrature : 88 jours

Période Synodique : 378 jours

 

Jupiter :

Temps entre l'opposition et la quadrature : 87 jours

Période Synodique : 398 jours

 

Mars :

Temps entre l'opposition et la quadrature : 123 jours

Période Synodique : 780 jours

 

Grâce à la formule vue dans le chapitre précédent, nous pouvons calculer les périodes de révolution de ces planètes :

Pour Saturne : (378 × 365,25)/(378-365,25) = 10828 jours

Pour Jupiter : (398 × 365,25)/(398-365,25) = 4438 jours

Pour mars, mais nous l'avions déjà vu : (780 × 365,25)/(780-365,25) = 687 jours

 

Le fameux angle γ peut donc être calculé, et par là même, la distance de la planète au Soleil !

 

Pour Saturne :

γ = 360×(88/365,25) - 360×(88/10828)= 83,81°

 

Et donc Distance Soleil-Saturne = Distance Terre-Soleil × 9,27

En réalité, le rapport est de 9,53 (soit moins de 3% d'erreur)

 

Pour Jupiter :

γ = 360×(87/365,25) - 360×(87/4438)= 78,69°

 

Et donc Distance Soleil-Jupiter = Distance Terre-Soleil × 5,09

En réalité, le rapport est de 5,2 (soit un peu plus de 2% d'erreur)

 

Pour Mars :

γ = 360×(123/365,25) - 360×(123/687)= 56,77°

 

Et donc Distance Soleil-Jupiter = Distance Terre-Soleil × 1,82

En réalité, le rapport est de 1,52

 

Tout comme dans l'antiquité, les distances étaient calculées relativement au rayon de la Terre ou de la Lune, nous voyons que pour Copernic, les distances le sont relativement à la Distance Terre-Soleil.

C'est ainsi que fut introduite la notion d'Unité Astronomique (notée UA) qui est d'ailleurs toujours utilisée de nos jours.

 

 

 


Maintenant, nous savons

   

- Quelle est la Taille de la Terre ?

Pour Eratostene : 12732 Km de Diamètre

Pour nous :12827 Km

En réalité : 12742 Km de Diamètre

- Quelle est la Taille de la Lune ?

Pour Aristarque 4247 Km de Diamètre

Pour Nous 3682 Km de Diamètre

En réalité 3474 km de Diamètre

- Quelle est la distance Terre - Lune ?

Pour Aristarque : entre 95557 Km et 127410 Km

Pour Nous avec la méthode d'Aristarque : entre 267313 Km et 356417  Km

Pour nous avec la trigonométrie : 340216 Km

Pour Hipparque : 412148 Km

En réalité : 384400 Km

- Quelle est la Distance du Soleil ?

Pour Aristarque : entre 1,7 Millions de Km et 2,5 Millions Km

Avec la méthode d'Aristarque s'il avait pu calculer α = 0,15° : entre 36,5 Millions et 60 Millions de Km

Pour nous : aucune estimation car calculer l'angle α est trop difficile

En réalité : 149,6 Millions de Km

- Quelle est la Taille du Soleil ?

Pour Aristarque : entre 76446 Km et 127410 Km

Avec la méthode d'Aristarque s'il avait pu calculerα = 0,15° : entre 1,6 et 1,7 Millions de Km

Pour nous : aucune estimation car calculer l'angle α est trop difficile

En réalité : 1,392 Millions de Km

- Quelle est la distance Soleil-Mercure ?

Pour Copernic : 0,3665 UA

En réalité : 0,39 UA

- Quelle est la distance Soleil-Venus ?

Pour Copernic : 0,7193 UA

En réalité : 0,72 UA

- Quelle est la distance Soleil-Mars ?

Pour Copernic : 1,82 UA

En réalité : 1,52 UA

- Quelle est la distance Soleil-Jupiter ?

Pour Copernic: 5,09 UA

En réalité : 5,2 UA

- Quelle est la distance Soleil-Saturne ?

Pour Copernic : 9,27 UA

En réalité : 9,53 UA

 

Imaginez qu'à l'époque, les planètes n'étaient que des points lumineux. On ne savait même pas ce que c'était, et encore moins à quoi elles ressemblaient. Il n'était pas question de géantes gazeuses, ou d'anneaux. Et pourtant, à force d'observation et d'ingéniosité, un astronome comme Copernic a réussi le tour de force de calculer la distance de Saturne à 2% près. c'est tout simplement étonnant !

De ces calculs, vous voyez que l'erreur d'évaluation de la distance Soleil-Mars était de presque 20%. Cette erreur était problématique, car les observation pratiques ne coïncidaient pas avec les calculs théoriques et du coup, le modèle de Copernic ne s'avérait pas être plus précis que celui de Ptolémé ou de Brahe.

C'est ainsi que Brahé demanda à Kepler d'analyser précisément les coordonnées et la trajectoire de Mars pour comprendre ce qui clochait dans son modèle...

 

Le calcul des distances dans le grand siècle : Les deux premières lois de Kepler

Repost 0
17 octobre 2013 4 17 /10 /octobre /2013 00:00

Nous sommes vers l'an 1600. Tycho Brahe est en fin de vie et grâce à de nombreuses observations qu'il a réalisées avec des instruments de sa fabrication, il possède maintenant un nombre conséquent de données à analyser.

Il avait remarqué que le déplacement de Mars ne correspondait pas exactement au modèle géo-Héliocentrique qu'il avait inventé, ni d'ailleurs au modèle de Copernic et aux distances qu'il avait calculées. Il ne parvenait pas à trouver le modèle qui expliquerait précisément son déplacement.

D'ailleurs, c'était un des principaux problèmes du modèle de Coprenic : en plus d'être révolutionnaire, il n'était pas plus précis que celui de Ptolémée.

Il confia cette tâche au jeune Kepler qui était très doué, mais fervent partisan de la théorie héliocentrique, ce qui n'était pas vraiment au goût de Brahe.

 

Il ne fallut pas moins de 6 ans à Kepler pour analyser ces données et surtout les faire parler. Bien évidemment, nous allons vous présenter sa démarche globale, mais ses calculs furent beaucoup plus complexes et plus nombreux.

 

Il faut avant tout savoir que les planètes sont assez faciles à suivre dans le ciel, car elles se déplacent toutes à peu de choses près sur le même plan : l'écliptique. L'écliptique étant vu par la tranche depuis la Terre (étant donné qu'elle en fait partie), il apparait donc comme une ligne dans notre ciel.

 

Ainsi, pour identifier l'emplacement d'une planète, il n'est pas nécessaire de connaître les deux coordonnées habituelles (l'ascension droite et la déclinaison) mais simplement une distance par rapport à un point de référence sur l'écliptique.

Ce point de référence est défini et connu officiellement : il s'appelle le point vernal. C'est l'endroit sur l'écliptique où se trouve le Soleil à l'équinoxe de printemps, c'est à dire le 21 mars.

L'angle qui sépare le point vernal de la planète s'appelle la Longitude géocentrique écliptique.

 

Ainsi, une planète se trouvant sur le point vernal aura une longitude géocentrique écliptique de 0°, si elle se trouve à 15° à gauche du point vernal sur l'écliptique, elle aura une longitude géocentrique écliptique de 15°, si elle se trouve à 15° à droite, elle aura une longitude géocentrique écliptique de 345° (soit 360° - 15°), etc...

 

Brahe avait noté les coordonnées de Mars et du Soleil en longitude géocentrique écliptique pendant de nombreuses années. C'est donc ces coordonnées que Kepler a eu à sa disposition pour les analyser.

Après avoir mesuré la durée de la période synodique de Mars et déduit sa période de révolution, il comprit que s'il arrivait à trouver des coordonnées de Mars espacées de 687 jours, il pourrait faire de la triangulation et trouver la position de Mars sur son orbite à ce jour et connaître sa distance.

Si en plus il pouvait trouver dans les archives de Tycho Brahe plusieurs relevés espacés de 687 jours, alors il aurait même plusieurs points de l'orbite de Mars et pourrait peut-être tracer le cercle passant par tous ces points et regarder si quelque chose ne pose pas problème et si le modèle de Brahe ou de Copernic étaient bons.

 

Dix dates dans les archives de Brahé ont alors retenu son attention.

Nous y trouvons : La date, le jour Julien (nombre de jours écoulés depuis le 1er Janvier -4713. Ce nombre est intéressant pour calculer facilement le nombre de jours entre deux dates), la longitude héliocentrique écliptique du Soleil et de celle de Mars.

Je vous ai ajouté une donnée supplémentaire: la différence des deux longitudes, qui nous donne l'angle Soleil-Mars car nous allons nous en servir,

 

Date Longitude du Soleil Longitude de Mars Jour Julien Angle Mars-Soleil
17 février 1585 339,38° 135,2° 2300016 204,18°
10 mars 1585 359,68° 131,8° 2300037 227,88°
05 janvier 1587 295,35° 182,13° 2300703 113,22°
26 janvier 1587 316,1° 184,7° 2300724 131,4°
28 mars 1587 16,83° 168,2° 2300785 208,63°
12 février 1589 333,7° 218,8° 2301472 114,9°
19 septembre 1591 185,78° 284,3° 2302421 261,48°
06 Août 1593 143,43° 346,93° 2303108 156,5°
07 décembre 1593 265,88° 3,07° 2303231 262,81°
25 Octobre 1595 221,7° 49,7° 2303918 172°

    

Rappelez-vous la définition de la période synodique de Mars : C'est la période au bout de laquelle l'angle Soleil-Terre-Mars est identique.

 

Dans notre liste, nous remarquons que certaines dates ont des angles Mars – Soleil presque identiques :

17 février 1585 (204,18°) et le 28 mars 1587 (208,63°) => 769 jours

05 janvier 1587 (113,22°) et le 12 février 1589 (114,9°) => 769 jours

19 septembre 1591 (261,48°) et le 07 décembre 1593 (262,81°) => 810 jours

 

Bien évidemment, entre ces couples de dates, la différence d'angle n'est pas exactement à zéro, mais  Kepler a pu facilement obtenir des couples de dates beaucoup plus précises, en faire une moyenne pour lisser les écarts et arriver à calculer la période synodique de Mars, et par là même sa période de révolution.

Nous voyons qu'avec nos trois couples de mesures, la période synodique de Mars se site aux alentours de 790 jours. Kepler trouva la bonne valeur de la période synodique de Mars de 780 jours et en déduit la période de révolution de Mars de 687 jours.

 

Kepler trouva ensuite que dans cette liste de relevés, deux étaient séparés exactement de 687 jours :

 

Les relevés

Du 17/02/1585 avec une longitude du Soleil de 339,38° et une longitude de Mars de 135,20°

et

Du 05/01/1587 avec une longitude du Soleil de 295,35° et une longitude de Mars de 182,13°

 

Je vous propose donc de faire graphiquement ce qu'à reproduit Kepler. Pour cela, nous n'avons qu'à prendre une feuille de papier...

 

Au centre de la feuille, on place le Soleil. On y trace une grande flèche vers la droite qui correspondra à notre direction de référence : Le point vernal.

 

On trace un cercle noir qui correspond à l'orbite de la Terre. Voilà, notre base est posée, il ne reste plus qu'à utiliser les relevés de Brahe :

  • Une longitude géocentrique écliptique de 339,38° signifie que les Soleil était à 20,62° à droite du point vernal sur l'écliptique (20,62° = 360° - 339,38°). Il existe une infinité d'endroits ou l'angle entre le Soleil et le point vernal est de 20,62°. Tous ces endroits sont en fait sur une demi droite ayant le Soleil pour extrémité et faisant un angle de 20,62° avec la direction du point Vernal. En traçant cette demi droite, on voit qu'elle coupe le cercle d'orbite de la Terre en un point. Ce point, c'est l'emplacement de la Terre au 17/02/1585 !
  • Il ne suffit plus que de répéter l'opération pour la date du 05/01/1587 et nous trouverons alors le deuxième point d'emplacement de la Terre.
  • Pour l'emplacement de Mars, nous savons qu'au 17/02/1585, mars était à gauche du point vernal et faisait avec lui un angle de 135,20°. Comme précédemment, il existe une infinité d'endroit où Mars peut être vu avec un tel angle depuis la Terre. Cette infinité d'endroits est situé sur une droite demi-droite.
  • En revanche, il n'existe qu'un seul point qui fasse à la fois un angle de 135,2° avec l'emplacement de la Terre au 17/02/1587 et un angle de 182,13° avec l'emplacement de la Terre au 05/01/1587, Ce point, c'est tout simplement l'intersection des deux droites.

Orbite-de-Mars.PNGPour la première fois, Kepler eut une idée visuelle de l'emplacement de Mars et de son éloignement. autrement que par la méthode de Copernic. Sur ce tracé, Mars est à peu près 1,7 fois plus éloignée du Soleil que la Terre. Il trouva ce chiffre étonnant car Copernic avait estimé la distance Soleil-Mars à 1,82 UA.

 

Mais l'objectif de Kepler n'était pas de calculer la distance de Mars. Il était bien plus intéressé par autre chose : la trajectoire de Mars.

Pour définir une trajectoire, il faut avoir plusieurs points et pour l'instant, Kepler n'en avait qu'un seul, Il rechercha dans ses données si d'autres relevés de Brahe n'étaient pas espacés d'exactement 687 jours... et il trouva quatre autres couples de dates :

 

-Le 10/03/1585 avec une longitude du Soleil de 359,68° et une longitude de Mars de 131,80°

et

-Le 26/01/1587 soit 687 jours plus tard avec une longitude du Soleil de 316,10° et une longitude de Mars de 184,7°

 

-Le 28/03/1587 avec une longitude du Soleil de 16,83° et une longitude de Mars de 168,2°

et

- Le 12/02/1589 soit 687 jours plus tard avec une longitude du Soleil de 333,7° et une longitude de Mars de 218,8°

 

- Le 19/09/1591 avec une longitude du Soleil de 185,78° et une longitude de Mars de 284,3°

et

- Le 06/08/1593 soit 687 jours plus tard avec une longitude du Soleil de 143,43° et une longitude de Mars de 346,93°

 

- Le 07/12/1593 avec une longitude du Soleil de 265,88° et une longitude de Mars de 3,07°

et

- Le 25/10/1595 soit 687 jours plus tard avec une longitude du Soleil de 221,7° et une longitude de Mars de 49,7°

 

Il suivi donc exactement le même principe pour les quatre autres positions de Mars et pu donc les placer sur sa figure.

Il fut tout d'abord surpris car la position de Mars au 19/09/1591 avait un éloignement de 1,38 UA. Comparé aux 1,82 UA de Copernic, cela faisait une différence de plus 30% ! Il chercha enfin à dessiner un cercle qui passait par ces 5 positions de Mars... Le résultat fut surprenant :

Orbite de Mars kepler

Il constata que le cercle passant par l'ensemble des positions de Mars n'était pas centré sur le Soleil mais sur un autre endroit (croix) assez éloignée du Soleil. Ceci expliquait donc les écarts entre les observations et le modèle de Brahé, mais ne nous donnait pas pour autant le nouveau modèle.

 

Comme Kepler s'était intéressé de très près à l'optique en étudiant l'orbite de Mars (il avait en effet du corriger certaines données de Brahe en prenant en compte la réfraction de l'atmosphère), les paraboles et autres ellipses n'avaient plus de secret pour lui.

Il savait donc que lorsque son excentricité est très faible, une ellipse est très proche d'un cercle donc le centre serait décentré. Il reconnut donc dans ce cercle qui n'était pas centré sur le Soleil, la signature d'une ellipse, et il put donc se focaliser sur cette piste.

 

Quelques temps après, naissait la première loi de Kepler :

 

Les planètes décrivent une ellipse dont le Soleil occupe un des foyers.

 

Cette fameuse loi des ellipses permettait non seulement d'expliquer l'orbite de Mars, mais aussi celle de Mercure sans avoir besoin des épicycles de Copernic.

Grâce à ce nouveau modèle, il fut capable pour la première fois de prédire un transit de mercure (passage devant le Soleil) pour l'année 1631 avec une remarquable précision, Malheureusement pour lui, il mourut en 1630, avant que l'observation n'ait pu confirmer ses calculs.

 

Kepler ne voulait pas s'arrêter en si bon chemin. Il remarqua que la vitesse de déplacement de Mars n'était pas constante sur l'ensemble de son orbite.

D'ailleurs, à partir des 5 points de l'orbite de Mars que nous avons calculé, nous pouvons faire le calcul suivant :

 

Entre le point du 17/02/1585 (jour 2300016) et le point du 10/03/1585 (jour 2300037), il s'est écoulé 21 jours. Pendant ces 21 jours, on calcule (avec un logiciel de géométrie ou au rapporteur) que Mars s'est déplacée d'un angle de 8,92° par rapport au Soleil. Ce qui fait un déplacement moyen de 0,4247° par jour.

 

Entre le point du 10/03/1585 (jour 2300037) et le point du 28/03/1588 (jour 2300785), il s'est écoulé 748 jours, soient 687 + 61 jours, c'est à dire un tour complet plus 61 jours. Pendant ces 61 jours, on calcule que Mars s'est déplacé d'un angle de 27,13° par rapport au Soleil. Ce qui fait un déplacement moyen de 0,4447° par jour.

 

Entre le point du 28/03/1588 (jour 2300785) et le point du 19/09/1591 (jour 2302421), il s'est écoulé 1636 jours, soient 687*2 + 262 jours, c'est à dire deux tours complets plus 262 jours. Pendant ces 262 jours, on calcule que Mars s'est déplacé d'un angle de 144,87° par rapport au Soleil. Ce qui fait un déplacement moyen de 0,5529° par jour.

 

Entre le point du 19/09/1591 (jour 2302421) et le point du 07/12/1593 (jour 2303231), il s'est écoulé 810 jours, soient 687 + 123 jours, c'est à dire un tour complet plus 123 jours. Pendant ces 123 jours, on calcule que Mars s'est déplacé d'un angle de 74,26° par rapport au Soleil. Ce qui fait un déplacement moyen de 0,60° par jour.

 

Enfin, entre le point du 07/12/1593 (jour 2303231) et le 17/02/1585 (jour 2300016), nous devons remonter un peu le temps...

Le 07/12/1593 (jour 2303231), Mars était au même endroit que 687 jours plus tôt soit au jour 2302544, et qu'encore 687 jours plus tôt, soit au jour 2301857 et qu'encore 687 jours plus tôt, soit au jour 2301170, et qu'encore 687 jours plus tôt, soit au jour 2300483 et qu'encore 687 jours plus tôt, soit au jour 2299796...

et le jour 2299796 était exactement 220 jours avant le 17/02/1585 (jour 2300016). Pendant ces 220 jours, on calcule que Mars s'est déplacé d'un angle de 104,81° par rapport au Soleil. Ce qui fait un déplacement moyen de 0,4764° par jour.

 

Mettons tout cela en graphique, et nous obtenons ceci :

Deuxieme-loi-de-Kepler.PNG

On y voit bien que plus Mars est proche du Soleil (vers les droite) et plus elle se déplace rapidement. En revanche, plus Mars est loin du Soleil, et plus elle se déplace lentement. Kepler voulait absolument associer une formule à cette constatation et il eut l'intuition que finalement, la vitesse changeait, mais que l'aire balayée par le rayon de l'orbite de la planète était finalement égale. En partant de ce principe, il s'aperçut que les observations correspondaient à cette théorie et il put donc énoncer sa deuxième loi schématisée par le dessin des deux aires à droite du dernier graphique :

 

Le segment reliant le Soleil à une planète balaye des aires égales en des temps égaux

 

Cette deuxième loi était très importante car elle ouvrait la voie à d'autres théories :

  • On pouvait mieux comprendre la trajectoire des comètes

  • Le fait que les corps accélèrent en s'approchant du Soleil, donnait une première indication sur le fait qu'une force provenant du Soleil, accélérait les planètes... Il pensa à une force électromagnétique, mais c'est cette idée de force qui fit son chemin, jusqu'à un certain Newton...

Il ne restait plus qu'à prouver que le modèle de Ptolémée était faux... C'est ce que nous allons voir dans le prochain chapitre :

 

LE CALCUL DES DISTANCES DANS LE GRAND SIECLE : LE COUP DE GRÂCE DE GALLILEE

Repost 0
16 octobre 2013 3 16 /10 /octobre /2013 00:00

Nous sommes en 1604.

Cette année-là, un phénomène qui s'était déjà produit dans le passé survient à nouveau. On se souvient qu'en 1572 un certain Tycho Brahe avait observé l'apparition d'une nouvelle étoile dans la constellation de Cassiopée. Brahe l'avait bien cataloguée comme une étoile « Stella Nova » car en la suivant sur plusieurs mois, il avait constaté qu'elle ne bougeait pas par rapport aux autres étoiles comme le font les planètes.

En 1574, cette nouvelle étoile brillait plus que Venus, puis son éclat diminua et elle finit par disparaître...

 

Cette nouvelle étoile éphémère ne convenait pas aux anciennes théories d'Aristote qui considéraient les cieux comme immuables. Elle faisait un peu tâche et on finit par l'oublier...

Cette fois ci, le même phénomène se reproduisait dans la constellation d'Ophiuchus, et sous les yeux de Kepler et de Galilée.

Galilée était bien décidé à montrer que les cieux n'étaient peut-être pas ce qu'on croyait.

 

En 1609, Il apprit qu'un belge avait réussi à fabriquer un appareil qui grossissait les objets... Après avoir eu confirmation de ces dires, il se décida d'essayer de construire un tel objet, en se basant sur ses connaissances en l'optique et sur la réfraction. C'est ainsi que 10 mois plus tard, il fabriqua sa première lunette avec un grossissement de 3 fois, qui, comme dit Galilée dans ses ouvrages pour impressionner, multipliait les surfaces par 9 et les volumes par 27 !

Peu après il parvint à fabriquer une lunette grossissant 30 fois, et naturellement, il fit ce que tout astronome en herbe fait après avoir reçu sa première lunette : il observa tout ce qu'il put observer avec le sentiment de découvrir un nouveau monde, à la différence près que lui allait véritablement voir des choses que personne n'avais jamais vu auparavant.

Toutes ses premières observations et ses conclusions sont publiées en avril 1610 dans un livre intitulé « Sidereus Nuncius » et son contenu eut l'effet d'une bombe.

Grâce à son instrument flambant neuf, il peut observer la Lune, les étoiles, Jupiter, Venus et le Soleil, et ce qu'il a à dire est révolutionnaire !!!!! Je vous laisse juger par vous-même...

 

Quand Galilée observe la Lune :

Lune-Galilee.PNGIl annonce la couleur dès le début en expliquant que la Lune n'est pas lisse et polie, ni parfaitement ronde d'ailleurs comme tout le monde le pensait, mais rugueuse, avec des montagnes et des vallées.

Il dessine alors ce qu'il voit avec sa lunette magique.

 

Il voit tout d'abord que la limite d'ombre n'est pas tracée parfaitement. Certaines parties sombres avancent dans la lumière et d'autres parties lumineuses avancent dans l'ombre, montrant l'irrégularité de la Lune. Plus étonnant encore, il remarque des pointes lumineuses émergeant du noir exactement à l'identique des photos de la dent de Crolles que nous avions vu dans uns des tous premiers chapitres. Il y a donc des endroits qui sont éclairés avant les autres : ce sont des montagnes !

 

Dans la partie ensoleillée, la surface lunaire ne semble

pas homogène : les  parties plus sombres semblent plus basses et plus plates... Il pense alors que, comme Pythagore l'avait évoqué dans le passé, ces tâches plus sombres pourraient être de l'eau.

 

lune-terminateur.PNGCeci constitue ses premières observations et conclusions. Il va même encore plus loin en prétendant pouvoir calculer la hauteur de ces montagnes. Il dit que la limite jour/nuit sur la Lune (cette ligne entre la partie sombre et la partie éclairée qu'on appelle le terminateur) n'est pas nette. Si on trace une ligne imaginaire qui serait la moyenne, alors, dans la zone sombre, on trouvera des points éclairés jusqu'à 1/20ème du diamètre de la Lune !

 

Sur la photo ci-contre, on voit la Lune en premier quartier. Le terminateur a été représenté par une ligne et les pics extrêmes éclairés ont été mis en évidence. On remarque que le coefficient 1/20ème indiqué par Galilée est peut-être un peu exagéré, mais assez réaliste tout de même.

 

Comment peut-on se représenter ces pics sur un schéma ?

 

Imaginons la même photo que celle ci-contre, mais en exagérant tout de même un peu la taille de la montagne...

 

A l'endroit où le haut du pic est éclairé, les rayons du Soleil rasent la surface de la Lune et sont donc perpendiculaires à son rayon.

 

Nous avons donc un joli triangle rectangle dans lequel nous allons nous empresser d'appliquer le théorème de Pythagore:

 

hauteur-montagne.PNG

 

(Rayon de la Lune)² + (1/20ème du diamètre Lunaire)² = (Rayon de la Lune + Hauteur de la montagne)²

 

Pour Galilée, la taille de la Lune est de 2/7 de celle de la Terre et le diamètre de la Terre fait 7000 Milles italiques. Ce qui veut dire que le diamètre de la Lune est estimé à 2000 Milles italiques.

1/20ème du Diamètre représente donc 100 Milles italiques.

 

En appliquant la formule de pythagore, nous obtenons : 1000² + 100² = 1010000 = 1004,98², ce qui signifie que les montagnes de la Lune font jusqu'à 4,98 Milles Italiques de hauteur.

 

Le mille Italique faisant à peu près 1680 mètres, on obtient 8,36Km.

 

Même si cette valeur est un peu élevée, c'est tout de même la preuve que sur la Lune, des montagnes font plusieurs kilomètres de hauteur, comme sur Terre, ce qui était une véritable révolution !

 

Quand Galilée observe Jupiter :

Le 7 janvier 1610, alors que Galilée essayait sa toute nouvelle lunette, il vit trois étoiles très faibles autour de Jupiter. La disposition de ces étoiles un peu trop parfaitement en ligne autour de Jupiter intrigua Galilée qui nota leur position :

 

Est    *          * O     *    Ouest

 

Le lendemain, Galilée regarda à nouveau dans la direction de Jupiter et observa les petites étoiles à droite de Jupiter

 

Est    O  *  *  *    Ouest

 

Selon Galilée, ces petites étoiles semblaient plus rapprochées que la veille. Mais ce n'était peut-être qu'une impression puisque la veille, il n'avait sans doute pas noté la position de ces étoiles avec une très grande précision car il ne s'attendait pas alors à découvrir quelque chose d'extraordinaire.

Ce qui le surprit d'avantage, c'était qu'à cette époque, Jupiter était en mouvement rétrograde, et donc en déplacement dans le ciel de l'est vers l'ouest. Elle aurait donc dû se retrouver à droite des étoile et non à gauche... C'était très intriguant.

 

Galilèe attendit avec impatience la nuit suivante, mais les nuages l'empêchent toute observation. Il du donc attendre le 10 janvier pour observer à nouveau Jupiter.

 

Est    *  * O    Ouest

 

Il ne vit que deux étoiles à gauche de Jupiter, et il conclut que la troisième devait se cacher derrière.

 

Trois observations différentes et trois positions totalement différentes de ces étoiles, trois positions défiant toute logique... Galilée en conclut que ces changements de position ne pouvaitent être dus au seul mouvement de Jupiter.

Galilée avait aussi observé que le long de l'écliptique, donc sur le chemin de Jupiter, il n'y avait aucune étoile dans le voisinage direct de Jupiter pour venir jouer les trouble-fait. Il n'y avait donc aucun doute : Il s'agissait des mêmes étoiles d'un jour sur l'autre.

 

Evidemment, le lendemain soir, leurs positions avaient encore changé :

 

Est    *  *     O    Ouest

 

Ce jour-là, Galilée comprit ce qu'il était en train de voir. Il était en train d'observer trois étoiles errant autour de Jupiter de la même manière que Mercure et Venus tournent autour du Soleil ! Il utilisa alors pour la première fois le terme de Planètes pour décrire ces points lumineux, et s'aperçut que leur mouvement était si rapide qu'il pouvait constater leur déplacement au cours d'une même nuit.

Le lendemain fut encore différent :

 

Est    *  *O  *    Ouest

 

Enfin, dans la nuit du 13 janvier 1610, il discerna non pas trois, mais quatre points autour de Jupiter :

 

Est    *  O***    Ouest

 

Il nota ainsi toutes les positions de ces planètes autour de Jupiter jusqu'au 2 mars 1610, et consigna dans son livre 65 dessins. De temps en temps, il notait aussi une étoile fixe qui apparaissait dans son champ de vision afin qu'on puisse mieux se rendre compte du mouvement de Jupiter d'Est en Ouest et de ces corps qui suivaient Jupiter en tournant autour.

 

Il en conclut donc que ces quatre planètes tournent autour de Jupiter, mais ne sont pas toutes à la même distance car les regrouppements sont observés principalement près de Jupiter. Dans son premier livre, il n'a pas encore pu déterminer la période de révolution de chacun de ces corps. Mais il sait déjà, que, tout comme les planètes du Système Soleil, les corps plus proches de Jupiter tournent plus vite autour de lui que ceux qui en sont plus éloignés.

 

Ci dessous, les observations de Galilée comparés aux véritables positions des satellites de Jupiter entre le 07 janvier et le 13 janvier 1610.

Jupiter-satellites-copie-1.PNG

 

Cette observation fit l'effet d'une bombe ! On avait pour la première fois observé des corps qui ne tournaient ni autour de la Terre, ni autour du Soleil, et on en avait la preuve ! Fallait-il pour autant laisser tomber le modèle géocentrique de Ptolémée ? Fallait-il en conclure que la Terre tournait autour de Jupiter ? Fallait-il en conclure que la Terre tournait autour du Soleil ? Toujours est-il que la Terre avait un peu perdu de son monopole et cette découverte ne fit pas plaisir à tout le monde...

 

Quand Galilée observe les étoiles :

Galilée remarque que les étoiles sont en nombre beaucoup plus important que ce que l'on pensait. Il existe un nombre impressionnant d'étoiles invisibles à l'oeil nu, mais qui le deviennent grâce à sa lunette.

Il découvre aussi que la Voie Lactée est en fait une quantité innombrable d'étoiles.

Dans une note qu'il écrit 7 années plus tard, il estime même la distance des étoiles. En fait, sa petite lunette lui fait penser qu'il est capable de discerner le disque des étoiles.

Il estime même qu'il est de de 6'' (c'est à dire 6/3600éme de degré) pour la plus grosse d'entre elle. Comme le Soleil a un diamètre apparent de 0,5°, il en déduit donc que l'étoile est située à 300 UA en partant du principe que cette étoile a la même taille que le Soleil. En réalité, l'étoile la plus proche est située à environ 250000 UA !

Galilié ne connaissait pas le phénomène de tâche d'Airy, qui fait que la lumière est diffractée en passant à travers l'objectif d'un télescope, assimilable à un trou, et que du fait, les étoiles, même ponctuelles, nous apparaissent comme des tâches à travers une lunette ou un télescope. Nous reviendrons dans un prochain chapitre sur ce phénomène.

Cette démarche est cependant très intéressante car elle montre que Galilée a compris que les étoiles sont semblables au Soleil, et que donc le Soleil est une étoile. Il faut savoir qu'en 1600, Giordano Bruno avait été brûlé pour avoir tenu ce genre de propos...

 

Quand Galilée observe Venus :

Les observations de Venus, Saturne et du Soleil furent consignées dans d'autres documents et publiés un peu plus tard. Ses observations sur Venus, sont capitales, car elles vont entrainer sans équivoque la fin du modèle de Ptolémée.

 

Il remarque deux choses étonnantes :

  • Tout d'abord, la taille de Venus change énormément dans un rapport de 1 à 5 au cours du temps. Cela n'est pas impossible dans la modélisation de Ptolémée, mais nécessite un épicycle d'une très grande taille... mais bon, pourquoi pas.

  • Ensuite, Venus passe par des phases tout comme la Lune, et les phases sont en rapport avec sa taille. Lorsque Venus est très petite, elle apparaît totalement éclairée (un peu comme la pleine Lune). Lorsque l'angle Soleil - Venus est le plus important, elle apparaît en quartier. Enfin, lorsqu'elle est très grosse, elle apparaît comme un fin croissant.

 

Le principal souci venait du fait qu'on puisse voir Venus depuis la Terre presque totalement éclairée. Cela n'aurait pas dû arriver... Pour être totalement éclairée vue de la Terre, il n'y a que deux possibilités :

  • Soit Venus est plus loin du Soleil que la Terre et se situe totalement à l'opposé du Soleil dans le Ciel (on sait que cela n'est pas possible car Venus ne s'éloigne jamais visuellement du Soleil)

  • Soit Venus se trouve derrière le Soleil et nous montre sa face éclairée, mais Venus se trouvant toujours entre le Soleil et la Terre dans le modèle de Ptolémée, ce n'est pas possible non plus :

 

Les-phases-de-Venus.PNGDans le schéma ci-contre, on voit que dans le modèle géocentrique de Ptolémée, Venus reste entre la Terre et le Soleil tout en tournant sur son épicycle. Elle est donc soit totalement en contrejour et donc invisible (comme l'est la nouvelle Lune), soit en fin croissant lorsqu'elle s'éloigne un peu du Soleil.

 

Dans le système héliocentrique, Venus tournant autour du Soleil, elle passe donc par toutes les phases, du quartier à la pleine Venus jusqu'à la nouvelle Venus.

Ce modèle est donc totalement conforme aux observations de Galilée et surtout, les observations de Galilée mettent en défaut le modèle de Ptolémée.

 

Le monde n'a donc pas d'autre alternative : il doit bien admettre que le modèle de Ptolémée est faux... mais se raccrochant coûte que coûte à un modèle plaçant la Terre au centre de l'Univers, les yeux ne vont pas se tourner vers le modèle Héliocentrique de Copernic, mais vers le modèle Géo-Héliocentrique de Brahe.

 

Et c'est donc contre ce modèle que Galilée devra se battre, avec les conséquences qu'on connait...

 

Mais les observations chocs (et donc les ennuis) n'étaient pas finies pour Galilée, car il lui restait le Soleil à observer.

 

Quand Galilée observe Le Soleil :

Galilée dirige ensuite sa lunette vers le Soleil. Il partage le résultat de ses observations dans des échanges par lettre avec un autre astronome Marco Velseri.

Sa principale observation concerne les tâches solaires. Le Soleil étant parfait et immuable comme les étoiles, il ne devrait pas avoir d'imperfections comme ceci, car Galilée en est certain, il s'agit d'imperfections. Les conclusions de Galilée sont les suivantes :

  • Les tâches sont bien réelles et ne sont pas des illusions.

  • Les tâches ne sont pas des corps solides car elles apparaissent et disparaissent en semblant se dissoudre.

  • Les tâches bougent régulièrement autour du Soleil. Cela signifie que le Soleil est en rotation avec une durée d'environ 30 jours.

  • Les tâches Solaires sont très proches de la surface du Soleil. En effet elles tournent toutes dans un mouvement d'ensemble. Si elles étaient éloignées du Soleil, elles auraient des vitesses différentes un peu comme les planètes. Elles doivent donc toutes se situer à la même distance du Soleil et probablement très près de sa surface. De plus, elles se déplacent mois vite lorsqu'elles sont sur les bords du Soleil qu'au milieu. C'est donc une preuve supplémentaire que le Soleil est une sphère, et que les tâches sont à sa surface.

soleil-taches galilee

 

 

Les conclusions :

Alors que Galilée espérait convaincre l'opinion avec ses observations, il ne fit que s'attirer les foudres de toutes parts.

Il était clair qu'année après année, publication après publication, Galilée devenait le meilleur défenseur de la théorie Héliocentrique de Copernic.

Deux choses à l'époque étaient extrêmenent importantes pour convaincre l'opinion :

  • Il fallait pouvoir prouver de manière irréfutable cette théorie.

  • Il fallait faire en sorte que la théorie Copernicienne soit en conformité avec les religions.

 

De l'intéressement et de l'excitation on passa donc vite à l'agacement... Les défenseurs de la théorie Copernicienne devenaient de plus en plus nombreux et cela devenait mauvais pour les ecclésiastiques...

 

Les véritables attaques religieuses contre la théorie Copernicienne et contre Galilée commenceront vraiment à partir de 1612 et iront en s'amplifiant. En février 1616, le Pape Paul V condamne et censure officiellement la théorie Copernicienne. Comme nous vous en parlions dans un chapitre précédent, le fait qu'aucune parallaxe ne soit observée pour les étoiles constitue l'argument principal contre la théorie héliocentrique et aucune expérience, aucune démonstration ne pouvait y répondre.

Cette loi de 1616 s'applique dans tous les pays catholique et l'héliocentrisme, est redescendu au rang d'hypothèse. Cette interdiction ne sera levée qu'en 1757.

 

En 1632, le pape Urbain VIII convoque Galilée pour une mission périlleuse : Il lui demande, en tant que spécialiste, de rédiger un article, neutre, objectif et impartial, comparant les deux systèmes géocentriques et héliocentriques. Galilée publie alors son dialogue sur les deux grands systèmes du monde comparant les deux modèles.

Bien évidemment, l'écrit de Galilée fut perçu comme un livre de propagande de la théorie copernicienne, allant donc contre la censure de cette théorie prononcée en 1616...

En 1633, le livre est interdit, et Galilée condamné à la prison à vie. Cette condamnation est transformée en assignation à résidence moyennant qu'il abjure, c'est à dire qu'il renonce ouvertement à son opinion et à cette croyance en l'héliocentrisme... et c'est ce qu'il fit. Il resta donc chez lui, jusqu'à sa mort en 1642.

 

Suite à cette condamnation injuste de Galilée, de nombreux scientifiques s'opposèrent au système, Descartes en tête, mais sans preuve, il était impossible de faire admettre la vérité. Cette preuve n'arriva qu'en 1728 et nous consacrerons un chapitre spécial à cette découverte.

 

En 1741, devant l'existence de cette preuve évidente, le pape Benoît XIV autorisa à nouveau la plublication de l'oeuvre de Galilée, et en 1757, les oeuvres partisantes de l'héliocentrisme furent à nouveau autorisées... Mais Galilée était mort depuis 115 ans !

 

Gallilée avait ouvert la voie et d'autres avancées allaient être possibles. C'est ce que nous allons voir dans le prochain chapitre :

 

LE CALCUL DES DISTANCES DANS LE GRAND SIECLE : LA TROSIEME LOI DE KEPLER

Repost 0
15 octobre 2013 2 15 /10 /octobre /2013 00:00

323

Nous sommes maintenant en 1618, et la lunette a été inventée depuis plus de 8 ans par Galilée. Grâce à ces lunettes, des observations beaucoup plus précises ont pu être réalisées, et la méthode de Kepler pour calculer l'orbite de Mars a pu être utilisée de manière beaucoup plus fine et surtout, être appliquée à toutes les planètes.

 

Kepler avait bien énoncé sa 2ème loi sur les aires, mais pour lui, ce n'était pas suffisant. Il voulait montrer qu'il existait un rapport harmonique entre tout cela et il en était certain !

 

L'harmonique ? Qu'est-ce que ce mot bizarre ?

L'harmonique à l'époque de Pythagore et jusqu'à Kepler, c'était de montrer que le monde qui nous entoure est réglé par des nombres magiques qui le rendent harmonieux. Aujourd'hui, nous avons le fameux nombre d'Or, mais à l'époque, ces nombres étaient plutôt 2, 3/2 et 5/2. Ils avaient été déterminés il y a bien longtemps par Pythagore sur la base des fréquences des notes musicales. Voyez plutôt :

harmoniques.PNG

 

Le principe de Pythagore était le suivant :

Si une corde de guitare de longueur L est tendue, elle vibrera en émettant un son (en noir sur le graphique).

  • Si je pince cette corde à sa moitié, j'obtiendrai une nouvelle note avec une fréquence double (en bleu sur le graphique), donc qui sera un Octave au-dessus. Cette note est en harmonie avec la première, car, lorsqu'on les fait sonner toutes les deux en même temps, l'interférence des deux notes ne crée aucun battement audible. D'ailleurs ces deux notes sont tellement en harmonie qu'elles ont le même nom ! Elles appartiennent juste à deux octaves différentes.

  • Si maintenant je pince cette corde aux 2/3, j'obtiens une note qui est une quinte au-dessus. Pincer la corde aux 2/3 revient en fait à la pincer aux 1/3, donc multiplier la fréquence par 3, puis réloigner le pincement deux fois plus loin, et donc diviser la fréquence par deux. Au final, la fréquence est donc multipliée par 3/2, soit 1,5. Cette note obtenue (en Orange) est aussi en harmonie avec la première. L'intervalle des notes de cette harmonique est donc appelée la gamme de Pythagore et a été utilisée comme gamme de référence pendant très longtemps. C'est d'ailleurs elle qui a donné les notes des cordes des violons qui sont séparées par un intervalle de quinte juste.

  • Enfin, si je pince cette corde aux 2/5ème, j'obtiens une note une tierce au-dessus. Avec le même principe que précédemment, nous voyons que cette nouvelle note a une fréquence de 5/2 de la note de base et est en harmonie avec elle (courbe verte).

 

C'est ainsi que du temps de Pythagore, les harmonies dans le monde étaient principalement générées par les nombres 2, 3/2 et 5/2. Pythagore avait même émis l'hypothèse que les planètes tournant à des vitesses différentes, elles devaient certainement émettre des sons qui étaient tous en harmonie les uns avec les autres...

 

Bien entendu, les harmoniques avaient énormément intéressé Kepler qui tenta aussi de les retrouver dans le mouvement des planètes.

 

Il avait donc à sa disposition les distances des planètes et leurs périodes de révolution sidérale. Il savait plus que n'importe qui, pour avoir émis ses deux premières lois, que plus les planètes étaient éloignées, plus elles allaient doucement.... mais existait-il un rapport entre les deux ?

Il essaya donc de chercher dans les harmoniques de Pythagore, et fit plusieurs tests en calculant les rapports entre la distance d'une planète Dn avec celle qui la précède juste Dn-1, élevées à des puissances harmoniques. Il fit de même avec les périodes de révolution Tn et Tn-1 :

 

 

Planète Distance (UA) Période de révolution (Année) Dn/Dn-1 (Dn/Dn-1)2 (Dn/Dn-1)3/2 (Dn/Dn-1)5/2 Tn/Tn-1 (Tn/Tn-1)2 (Tn/Tn-1)3/2 (Tn/Tn-1)5/2
Mercure 0,39 0,24                
Venus 0,72 0,61 1,87 3,49 2,55 4,77 2,55 6,51 4,08 10,41
Terre 1 1 1,38 1,91 1,63 2,25 1,63 2,64 2,07 3,37
Mars 1,52 1,88 1,52 2,32 1,88 2,87 1,88 3,54 2,58 4,85
Jupiter 5,2 11,86 3,41 11,66 6,31 21,54 6,31 39,76 15,83 99,85
Saturne 9,53 29,46 1,83 3,36 2,48 4,55 2,48 6,17 3,91 9,72

 

 

Et là, deux colonnes attirèrent son attention. Il s'aperçut en effet que le rapport des périodes de deux planètes était toujours égal au rapport de leur distance élevé à la puissance 3/2. Et cela n'est pas seulement vrai en le calculant entre deux planètes proches. On peut  tenter par exemple de calculer le rapport entre deux planètes éloignées, comme Venus et Jupiter, et on a :

(DJupiter / DVenus)3/2 = (5,2 / 0,72)3/2 = 7,223/2 = 19,41

et

TJupiter / TVenus) = 11,86 / 0,61 = 19,44

 

Etait-ce un hasard ou était-il sur le point de découvrir quelque chose... comment le savoir ?

 

 

Il lui faudrait étudier un autre système de planètes pour vérifier que sa loi est bonne, mais lequel ? La Lune était seule à tourner autour de la Terre, et.... mais oui ! Jupiter et ses quatre satellites !

 

Heureusement pour lui, Galilée lui avait déjà mâché le travail en calculant les distances et les périodes des quatre satellites.

En effet, à la fin de l'année 1610 Galilée avait observé et déterminé les périodes des 4 satellites de Jupiter et ses résultats publiés dans sa théorie des corps flottants étaient les suivants :

  • Io tourne autour de Jupiter en 42,5 heures

  • Europe tourne autour de Jupiter en 85,33 heures

  • Ganymède tourne autour de Jupiter en 172 heures

  • Callisto tourne autour de Jupiter en 402 heures

 

Les périodes étaient assez faciles à déterminer précisément en se basant par exemple sur les disparitions des satellites derrière Jupiter.

Il faut savoir qu'à l'époque, les satellites n'avaient pas encore de nom et Galilée les nommait de I à IV. Ce n'est qu'en 1614 et après la publication d'un ouvrage de l'allemand Simon Marius prétendant être celui qui a découvert les satellites de Jupiter avant Galilée qu'on utilisa les noms qu'il leur avait donnés.

 

Pendant l'été 1610, Galilée avait aussi essayé de calculer la distance des quatre satellites par rapport au centre de Jupiter. Il effectua ce calcul en multiples de rayon de Jupiter. Bien évidemment, il n'avait à sa disposition, ni Appareil Photo, ni Webcam, ni imprimante et ne pouvait estimer les distances qu'à l'oeil. Il commença donc par donner au début des distances en nombre entier de rayons de Jupiter, puis il affina ses calculs pour aboutir au final à :

  • Io se trouve à 5 Rayons et 11/16èmes de Jupiter

  • Europe de trouve à 8 Rayons et 5/8èmes de Jupiter

  • Ganymède se trouve à 14 rayons de Jupiter

  • Callisto se trouve à 25 Rayons de Jupiter.

 

Bien évidemment, ces dernières valeurs n'étaient pas vraiment précises et il fallait en tenir compte.

 

En refaisant les mêmes calculs qu'avec les planètes, Kepler trouva :

 

Satellite Distance (Rayon Jupiter) Période de révolution (Heures) Dn/Dn-1 (Dn/Dn-1)² (Dn/Dn-1)3/2 (Dn/Dn-1)5/2 Tn/Tn-1 (Tn/Tn-1)² (Tn/Tn-1)3/2 (Tn/Tn-1)5/2
Io 5,69 42,5                
Europe 8,63 85,33 1,52 2,30 1,87 2,83 2,01 4,03 2,84 5,71
Ganymède 14 172 1,62 2,63 2,07 3,36 2,02 4,06 2,86 5,77
Callisto 25 402 1,79 3,19 2,39 4,26 2,34 5,46 3,57 8,35

 

 Il constata donc que les rapports des carrés des distances étaient encore très proches des rapports des cubes de périodes, surtout avec les imprécisions dues aux mesures des distances.

 

Cette fois si, il en était certain, on avait bien une égalité :

 

(Distance planète X)3/2                   Période planète X

---------------------------             =        ------------------------

(Distance planète Y)3/2                    Période planète Y

 

On en déduit donc que

 

(Distance planète X)3       (Distance planète Y)3         (Distance planète Z)3

---------------------------    =   -----------------------------  =   ----------------------------       =..... = une constante

(Période planète X)2        (Période planète Y)2              (Période planète Z)2

 

Cette constante est-elle la même dans tout l'univers ?

On voit clairement dans le tableau des planètes, que si les distances sont exprimées en UA (donc 1 pour la terre) et les périodes en années (donc 1 pour la terre), ce rapport vaut 1 pour la Terre.

Si cette constante est la même dans tout l'univers, alors cela signifie que ce rapport, s'il est exprimé dans ces unités, vaut 1 pour l'ensemble des planètes de l'Univers.

Le problème, c'est qu'à cette époque, on ne connait pas très bien la valeur d'une UA, mais essayons tout de même de calculer quelle serait la distance Terre-Lune si cette constante était unique dans l'univers :

 

   (Distance Terre-Lune en UA)3

----------------------------------------------    =  1 ce qui nous donne (Distance Terre-Lune en UA)3 = (27,5/ 365,25)²

(Période révolution Lune en années)2

 

Ce qui nous donne : Distance Terre-Lune en UA = 0,1783 (0.0026 en réalité).

 

Bien évidemment, cette distance est absolument impossible pour plusieurs raisons : 

  • Un tel rapport de distances nous donnerait, lors des quartiers de Lune, un angle Lune-Soleil de 80°, ce qui n'est absolument pas le cas. Cet angle est en effet de 89,85°.
  • Un tel rapport de distances nous donnerait une Lune presque autant éloigné de la Terre que Venus, or il est évident que Venus est des dizaines de fois plus éloignéque la Lune.

Cette constante est donc différente d'un système à l'autre, mais est identique pour tous les corps tournant autour du même astre.

 

Il put donc publier sa troisième loi :

 

Le carré de la période de révolution des planètes est proportionnel au cube de leur distance au Soleil.

a3/T2=k

 

Cette loi est extrêmement importante et d'ailleurs toujours utilisée aujourd'hui !

En effet, vous allez voir qu'avec cette simple formule, on peut par exemple calculer l'altitude d'un satellite géostationnaire !

 

Et oui ! la Lune est à environ 390000 Km de la Terre, et nous savons qu'elle tourne autour de la Terre en 27,32 jours. L'intérêt de cette formule, c'est que la constante n'étant pas connue, on peut donc utiliser les unités que l'on veut, à partir du moment où l'on ne change pas d'unité pendant le calcul.

Nous allons donc exprimer la distance en milliers de Km et la durée en jours.

On a donc k = 3903 / 27,322 = 79475.Voilà donc notre fameuse constante pour les objets tournant autour de la terre !

 

Un satellite géostationnaire, c'est par exemple un satellite de télévision. On y pointe notre parabolle pour capter des centaines de chaînes, et heureusement pour nous, nous n'avons pas besoin de la bouger toutes les cinq minutes !

En effet, ce satellite est immobile dans le ciel. Il est Immobile par rapport à nous, bien sûr ! En fait, il tourne exactement en même temps que nous donc il fait un tour complet de la Terre en 1 jour.

 

Ce satellite, lui aussi est lié à la troisième loi de Kepler, et comme il est, tout comme la Lune, en orbite autour de la Terre,  alors la constante k que nous venons de calculer est la même pour lui, de telle sorte que :

a3/T2 = k = 79475

Or, comme T=1 (car le satellite fait le tour de la terre en 1 jour), on a donc a3 = 79475, et donc a = 43.

Comme a est exprimé en milliers de km, on en déduit donc qu'un satellite géostationnaire est situé à 43000 km du centre de la Terre, c'est à dire à 43000 km - 6370 km = 36630 km de sa surface !

 

Nous ne sommes pas loin de la vérité (35800 km) avec un calcul très simple !

 

L'astronomie avait véritablement progressé avec les trois lois de Kepler, mais on ne connaissait toujours pas avec précision la taille de la Terre, ce qui était assez paradoxal. Ce souci fut résolu rapidement, et c'est ce que nous allons voir dans le prochain chapitre :

 

LE CALCUL DES DISTANCES DANS LE GRAND SIECLE : LE CALCUL DE LA TAILLE DE LA TERRE

Repost 0
14 octobre 2013 1 14 /10 /octobre /2013 00:00

Depuis qu'Eratosthène avait mesuré la taille de la Terre (avec un peu de chance, il faut bien l'avouer), personne n'avait véritablement réussi à faire l'unanimité avec une expérience imparable pour la calculer une bonne fois pour toute...

La taille de la terre n'était donc toujours pas connue avec précision et cela eu les conséquences que l'on connaît pour Christophe Colomb...

 

D'où venait donc le souci qui empêchait les scientifiques de calculer sa taille ?

On était en capacité de mesurer précisément les différences d'angles sous lequel on voit une étoile de deux endroits différents du globe donc le problème ne venait pas de là.

En revanche, il était beaucoup plus difficile de mesure la véritable distance entre les deux points sur le globe d'où avaient été effectuées ces mesures... C'était, rappelez-vous la principale faiblesse du calcul d'Eratosthène qui avait calculé la distance entre Assouan et Alexandrie en fonction du nombre de jours qu'il fallait pour rallier les deux villes en chameau...

 

On ne pouvait pas relier les deux villes en ligne droit en comptant les mètres car le sol n'était pas droit, il y avait des rivières, des forêts, des monts, et puis la distance était trop importante (800km). De plus, comme on ne voyait pas Alexandrie depuis Assouan, on n'était pas certain de partir exactement dans la bonne direction...

 

En 1670, l'abbé Picard trouva un moyen de résoudre ce problème... Si on ne voyait pas Alexandrie depuis Assouan, peut-être pouvait-on voir depuis Assouan un endroit d'où on voyait Alexandrie... et si ce n'était pas le cas, peut-être pouvait-on voir depuis Assouan un endroit d'où on voyait un autre endroit d'où on voyait Alexandrie, etc... et à partir du moment où on voit un endroit, on peut en calculer la distance par triangulation...

 

Le principe est expliqué dans le schéma ci-dessous :

Methode-des-triangles.PNG

Je veux connaître la distance d'un point A à un point B qui sont trop éloignés l'un de l'autre pour que je puisse mesurer la distance avec un mètre...

 

Depuis A, je vois une église dont la distance peut-être facilement calculée car une route toute droite y mène et donc, je pourrai, même laborieusement avec un mètre connaître sa distance exacte.

 

Depuis le point A et depuis cette église, j'aperçois deux montagnes au loin... En calculant l'angle Montagne – Église depuis A et l'angle A – Montagne depuis l'église, je pourrai alors faire de la triangulation pour en déduire la distance de ces montagnes (je peux le faire car je connais la distance de A à l'église).

 

En me rendant sur ces deux montagnes, j'aperçois le point B. Je peux donc calculer l'angle Montage – B depuis chacune des montagnes et donc faire de la triangulation pour connaître l'éloignement du point B par rapport aux montagnes.

 

Une fois que j'ai mes trois triangles bleu, vert et orange dont je connais tous les angles et tous les côtés, je peux donc facilement en déduire la distance A-B !

 

C'est exactement ce principe qu'a appliqué notre ami l'abbé Picard entre Sourdon (près D'amiens) et Malvoisine au sud de Paris. Évidemment, la distance entre ces deux points de référence était bien plus grande que sur notre exemple (133 Kilomètres) et il dû calculer les angles de 13 triangles pour y arriver.

 

Le dessin d'explication suivant est extrait de son livre « Mesure de la Terre » publié en 1671.

Les-treize-triangles-de-Picard.PNG

On y voit Sourdon en haut, Malvoisine en bas.

 

Dans l'exemple que nous avions donné plus haut, nous avions expliqué que, quel que soit le nombre de triangle, il fallait absolument connaître le côté de l'un des 13 triangles pour pouvoir calculer la distance globale.

L'abbé Picard avait remarqué qu'entre le moulin de Ville-Juive (le point A) et le pavillon de Juvizy (point B), il y avait une grande voie pavée et droite de plus de 10 kilomètres dont il pourrait calculer la distance exacte.

Il faut savoir qu'à l'époque de l'abbé Picard, les distances étaient exprimées en Toise de Paris qui valait environ 1,949 mètres.

 

Nous allons donc reprendre les valeurs trouvées par L'abbé Picard, et nous convertirons ensuite le résultat en Kilomètres.

Il faut savoir qu'il y a 6 pieds dans une toise.

 

Il effectua tout d'abord la mesure de cette fameuse ligne droite à l'aide de bâtons et de cordes. La mesure fut faite 2 fois et la moyenne des deux mesures donna 5663 toises (11037 mètres).

 

Il put donc effectuer les triangulations et consigna les résultats de tous les angles trouvés dans son ouvrage. Il en déduit les distances suivantes :

 

AB : 5663 toises, BC : 8954 toises, AC : 11012 toises 5 pieds

CD : 13121 toises 3 pieds, AD : 9922 toises et 2 pieds

DE : 8870 toises 3 pieds, CE : 12389 et 3 pieds

DF : 21658 toises

DG : 25643 toises, FG : 12963 toises 3 pieds

EG : 31895 toises

GH : 9695 toises

GI : 17557 toises, HI : 21037 toises

IK : 11683 toises

KL : 11188 toises 2 pieds, IL : 11186 toises 4 pieds

LM : 6036 toises 2 pieds

MN : 10691 toises

IN : 18905 toises

 

Il était intéressant de voir que les distances EGIN correspondant presque à la ligne droite entre les deux villes qui était donc proche de 31895 + 17557 + 18905 = 68359 toises

 

L'abbé Picard ajouta quelques calculs supplémentaires pour calculer la distance entre Sourdon et le projeté de Malvoisine sur le méridien de Sourdon (car ils n'étaient pas exactement sur le même méridien).

Il trouva donc 68347 toise et 3 pieds en différence de latitude entre ces deux points.

 

Il fallait donc maintenant regarder la différence de hauteur des étoiles entre ses deux villes, pour en déduire la circonférence de la Terre... Comme il ne put pas installer exactement ses instruments au sommet du clocher de Sourdon, il dû se décaler légèrement des points E et N de référence de telle sorte que ses deux points de mesure furent faits avec une différence de latitude de 68430 toises et 3 pieds (133,371 km).

 

Il installa donc ses instruments aux deux points en septembre 1670 et observa au même moment l'étoile Ruchbach de la constellation de Cassiopée (appelée aussi le genou de Cassiopée, d'où son nom tiré de l'arabe Al Rukbah : le genou).

 

Il observa la distance en degrés entre cette étoile et le zénith (à 90° au-dessus de sa tête) et il trouva les valeurs suivantes :

A malvoisine, la distance au zénith de l'étoile était de 9°59'05''

A Sourdon, la distance au zénith de l'étoile était de 8°47'08''

 

La différence de latitude entre les deux endroits était donc de 1°11'57'' pour une distance de 68430,5 toises

 

1°11'57'' représentant 4317'' pour 68430,5 toises, il en déduit donc qu'un degré (3600'') représentait donc :

 

68430,5 * 3600 / 4317 = 57065 toises (111,220 Km)

 

Il n'y avait donc plus qu'à multiplier le résultat par 360 pour obtenir la circonférence de la Terre :

 

57065*360 = 20543400 toises = 40039 Km

 

Cette nouvelle mesure (qui donnait à la Terre un rayon de 6372 Km) ne pouvait plus faire l'objet d'aucune contestation.

 

Nous connaissions maintenant précisément la distance de la Lune, la taille de la terre, il ne restait plus qu'à s'attaquer à l'Unité Astronomique.

 

C'est ce que nous allons voir dans le prochain chapitre :

LE CALCUL DES DISTANCES DANS LE GRAND SIECLE : LA DISTANCE DE MARS

Repost 0
13 octobre 2013 7 13 /10 /octobre /2013 00:00

Pour la première fois, avec l'invention de la lunette, on pouvait observer le disque des planètes. Les planètes passaient donc du statut de point brillant à celui de véritables sphères qu'on pouvait distinguer.

 

De plus, le grossissement qu'elles offraient permettait de pointer les étoiles et les planètes avec une précision sans comparaison avec le passé, et comme vous le savez maintenant, la position des objets est très importante pour le calcul des parallaxes et donc pour le calcul des distances par triangulation...

 

...L'astronomie allait donc faire un bond immense !

 

Nous avions vu dans un chapitre précédent que Kepler avait utilisé la méthode des parallaxes pour décrire la trajectoire de Mars et en calculer la distance. Cette méthode n'était pas très précise car elle s'appuyait sur les relevés visuels de Tycho Brahe, et surtout la distance de Mars était déterminée en Unité Astronomique dont on ne connaissait toujours pas la valeur...

 

Grâce à la première loi de Kepler, on savait maintenant que les trajectoires des planètes sont des ellipses et non des cercles.

Grâce à la troisième loi de Kepler, on connaissait toutes les distances des planètes les unes par rapport aux autres, mais encore une fois en Unité Astronomique... Il suffisait donc de réussir à connaître l'une de ces distances pour pourvoir en déduire toutes les autres, Unité Astronomique comprise. C'était quand même assez motivant...

 

Étant donné que toute triangulation se basant sur la révolution de la Terre nous bloquait forcément à cause de la non connaissance de l'Unité Astronomique, il fallait revoir nos prétentions à la baisse...

Il fallait donc faire de la triangulation en restant sur Terre, étant donné que la taille de la Terre était maintenant bien connue grâce à l'Abée Picard. Or, comme nous l'avions vu avant, faire de la triangulation sans se déplacer beaucoup ne permettait de déterminer la distance que des objets assez proches. Heureusement, les lunettes astronomiques nous permettaient d'être plus précis et donc d'augmenter les distances... mais était-ce suffisant ?

 

D'après un astronome Italien naturalisé Français, Jean-Dominique Cassini, les lunettes étaient maintenant suffisamment précises pour effectuer de la triangulation en restant sur Terre pour Venus et Mars, les deux planètes les plus proches de la Terre.

 

Il décida donc de tenter l'expérience avec la planète Mars.

Avec l'astronome français Jean Richer (non, il n'a aucun lien avec le commissaire Maigret, mais ce n'est pas n'importe qui : Il prouvera en effet quelques années plus tard que la Terre n'est pas parfaitement ronde), ils décidèrent de calculer la position de Mars depuis deux endroits éloignés sur la Terre.

 

Cassini resta à Paris et Richer alla à Cayenne en Guyane. La distance entre les deux villes devait être suffisante pour y voir Mars sous deux angles différents. Ils profitèrent en plus d'un moment où Mars était au plus près de la Terre pour effectuer cette mesure en 1672.

 

Le principe est (en théorie très simple) :

Cassini-richer.PNG

 

Tout d'abord, on considère que les étoiles sont tellement éloignées qu'elles sont vues sous le même angle entre Paris et Cayenne. Ainsi, les étoiles vont nous servir de point de repère.

L'observateur de Cayenne note par exemple qu'à une certaine heure, Mars est juste au-dessus d'une étoile. Il note donc l'angle qu'il y a entre Mars et cette étoile.

A la même heure, à Paris, l'observateur voit Mars en dessous de l'étoile et il note donc l'angle entre Mars et cette étoile.

La somme de ces deux angles est tout simplement égale (comme on peut le voir sur le dessin) à l'angle sous lequel on verrait Paris et Cayenne vu de Mars.

 

Comme la trigonométrie n'a plus aucun secret pour nous, nous savons donc que la distance Terre – Mars est égale à la distance Paris-Cayenne divisée par la tangente de l'angle !

 

Figurez-vous que malgré cette simplicité, ce calcul fut sujet à de nombreuses controverses :

 

Paris-Cayenne.PNG

Paris et Cayenne ne sont en effet ni sur la même longitude, ni sur la même latitude. A cette période, les montures équatoriales de nos télescopes d'aujourd'hui n'étaient pas encore utilisées, et il était très difficile de distinguer une différence en latitude de celle en longitude avec des observations.

 

Comme la différence de longitude entre Paris et Cayenne est de 54,66° (soit 0,152ème d'un cercle complet), il suffit d'attendre environ 3h30mn entre l'observation faite à Paris et celle faite à Cayenne pour que la rotation de la Terre fasse arriver Cayenne à la Même position que Paris et ainsi annuler la différence de longitude, comme le montre le dessin ci-contre.

 

Premier souci : comme on ne connaissait pas à cette époque exactement cet angle, il pouvait y avoir des erreurs de quelques minutes entre les deux prises de mesures. De plus, le téléphone n'existant pas à cette époque, il était très difficile de synchroniser exactement des prises de mesure.

Second souci : pendant ces 3h30mn, Mars a bougé du fait de sa révolution autour du Soleil (très légèrement, bien sûr, mais suffisamment pour que ce mouvement vienne parasiter notre résultat).

Nous avions vu en effet dans un chapitre précédent que la période synodique de Mars était de 780 jours.

Cela signifie que Mars effectue un tour complet dans le ciel (soient 360°) en 780 jours. Donc en 0,152 jours, Mars aura bougé de 0,07° qu'il faudra penser à enlever des observations.... Mais le souci de trop, c'est que cet angle de 0,07° est une moyenne et n'est certainement pas l'angle que Mars avait parcouru à cette date...

 

Figurez-vous que Cassini avait trouvé une solution pour synchroniser les deux prises de mesures sans avoir à connaître exactement l'angle entre Paris et Cayenne. Il s'agit d'observer le passage au méridien de Mars.

 

Qu'est-ce que le passage au méridien d'une étoile ?

Il ne s'agit pas de savoir si l'étoile a dormi à l'hôtel, mais d'une notion beaucoup plus intéressante pour nos calculs.

 

Le passage au méridien d'une étoile signifie que le méridien du lieu où on se trouve est exactement égale au méridien de l'étoile. En fait, c'est le moment où l'étoile est la plus haute dans le ciel. A ce moment là, la connaissance de la hauteur de l'étoile nous renseigne directement sur la latitude du lieu où l'on se trouve.

Ce passage au méridien des étoiles pouvaient du temps de Cassini être connus pratiquement à la seconde près, car il s'agissait exactement du moment où l'étoile est au plus haut dans le ciel.

 

Donc naturellement, si j'observe le passage au méridien d'une étoile à un instant T à paris (c'est donc que le méridien de l'étoile est égale au méridien de Paris), j'observerai alors à Cayenne le passage au méridien de la même étoile une fois que cette étoile aura atteint le méridien de Cayenne, c'est à dire exactement 3h30 minutes plus tard.

 

La solution n'était donc pas d'attendre les 3h30, mais simplement d'observer la position de Mars au moment de son passage au méridien, sans se soucier de l'heure exacte... Il fallait y penser...

 

Cassini a parlé de cette expérience dans son livre « Recueil d'observations » mais en laissant quelques zones assez obscures... Nous allons donc voir ensemble comment il s'y est pris.

 

Il indique tout d'abord qu'il avait observé à une certaine date, que, de Paris, lors de son passage au méridien, Mars était en dessous d'une certaine étoile d'un angle de 15'45'' (il avait alors noté l'heure exacte).

Au passage au méridien à Cayenne, à cette même date (c'est à dire 3h30 plus tard), Mars était en dessous de cette étoile d'un angle de 15'30'' (il avait aussi noté l'heure exacte).

 

En faisant la comparaison à postériori de ces deux heures de relevé, on pouvait alors savoir qu'il s'était écoulé exactement 3 heures et 29 minutes.

 

Cassini avait calculé qu'à Cayenne à cette époque, du fait de l'inclinaison de l'axe de la Terre, et de l'inclinaison de l'orbite de Mars sur l'écliptique, la hauteur méridienne de Mars diminuait de 15'' toutes les 24 heures, soit une diminution de 2'' en 3 heures et 29 minutes. Il fallait donc corriger l'angle calculé à Cayenne de 15'30'' à 15'28''. Cela nous donnait donc une différence d'angle entre Cayenne et Paris de 17''.

Dans son calcul, Cassini ne parle pas du mouvement de Mars du fait de sa révolution et comment il l'a géré.

 

Il indique par contre que ces calculs furent répétés plusieurs fois et que les 17'' correspondent à la moyenne des résultats trouvés.

Les 17'' trouvés signifient qu'en fait, vu de Mars, la distance Paris-Cayenne représente un angle de 17''.

 

Essayons de refaire le calcul de Cassini (dont il n'a pas donné de détail)... Les observations ont été faites aux alentours du 24 septembre 1672 si on se réfère à son recueil d'observations.

Vers le 24 septembre donc, c'est l'équinoxe et le Soleil est presque au Zénith à Cayenne. A cette époque, Cassini avait profité d'un rapprochement Terre – Mars pour faire ses observations. Mars était alors presque exactement en opposition par rapport au Soleil vu de la Terre.

 

Regardons sur la figure ci-dessous : Cassini indique que le 24 septembre 1672, vu de Paris et au moment de son passage au méridien, Mars est située à 30°4' au dessus de l'horizon. Vu de Cayenne, Mars est située à 73°57'40'' au-dessus de l'horizon au moment de son passage au méridien, 3 heures 29 minutes plus tard. Etant donné que Mars n'était pas exactement située sur l'écliptique à cet instant, la distance Paris – Cayenne (ou distance Paris – h sur le schéma) vue depuis Mars doit être calculée précisément.

parallaxe-Mars-calcul.PNG

Si depuis la planète Mars, on observe la distance Paris-Cayenne, c'est en effet la distance h (en bleu) qui sera calculée. On a donc intérêt à bien connaître cette distance si on veut en déduire la distance Terre-Mars ! Et il semblerait que Cassini n'ait pas fait ce calcul, nous allons le voir un peu plus bas...

 

Le triangle C-Paris-Cayenne a un angle C de 43°55', soit 43,92°. C'est un triangle Isocèle. Le rayon de la Terre étant de 6370 Km, on en déduit donc que Paris-Cayenne = 2 × 6370 × Sin(43,92/2) = 4764 Km.

 

Calculons maintenant l'angle Paris-Cayenne-H : Comme le triangle Paris-Cayenne-C est isocèle, et que l'angle C fait 43,92°, alors on en déduite que l'angle Paris-Cayenne-C est de = (180 – 43,92) / 2 = 68,04°.

 

Comme depuis Cayenne, la planète Mars est à 73°57'40'' (c'est à dire 73,9611°), alors l'angle C-Cayenne-H est de 90-73,9611 = 16,0389°.

On en déduit naturellement que l'angle Paris-Cayenne-H = Paris-Cayenne-C – C-Cayenne-H = 68,04° – 16,0389° = 52,0011°

 

La fameuse distance H est donc de : sin(52,0011) × 4764 = 3754 Km

 

Ainsi, une distance de 3754Km, vue depuis la surface de Mars, représente un angle de 17'', soit (0,00472°).

 

Donc

 

Distance Terre – Mars = 3745 km / tan(0,00472°) = 45,5 Millions de km

 

Nous venons ensemble de calculer ces valeurs, mais le résultat trouvé par Cassini n'est pas tout à fait identique. En effet, il a trouvé 55 Millions de km en partant certainement d'une distance Paris-Cayenne différente, mais le détail de son calcul n'a manifestement pas été conservé. C'est sans doute aussi pour cela que ses calculs furent controversés.

 

Il y a fort à parier qu'il est parti de l'approximation que Mars était alors situé sur l'écliptique au moment de l'observation, et que la distance H était simplement de sin(43,92)×6370 = 4419 Km.

 

De ce fait, la distance Terre - Mars était de 4419 km / tan(0,00472°) = 53,6 Mkm, qui est très proche des 55 Mkm qu'il a trouvés.

Vous comprenez certainement mieux maintenant pourquoi son calcul fut très critiqué.

 

Cependant, critiquée ou pas, on disposait enfin d'une valeur de la distance de Mars qui allait nous permettre d'en déduire la valeur de l'Unité Astronomique et aux distances de toutes les planète :

CALCUL DES DISTANCES DANS LE GRAND SIECLE : LA DISTANCE DU SOLEIL ET DES AUTRES PLANETES 

Repost 0