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5 octobre 2013 6 05 /10 /octobre /2013 00:00

Après la fameuse formule de Newton, on avait mis en évidence l'existence d'une constante universelle de gravitation : la constante G.

 

On n'avait par contre aucune idée de sa valeur et le but était d'essayer de la calculer... 

Le principe était simple : on prend deux boules de fer dont on connait la masse, une grosse et une petite, on les lâche dans l'espace et on regarde la petite boule tourner autour de la plus grosse. Comme on connait leur masse, leur distance, et la période de révolution de la plus petite, alors on en déduira la constante de gravitation... Mais ça, c'est la théorie... en pratique, bien évidemment, c'est impossible...

 

A première vue, les deux seules boules à disposition nous permettant de faire cette expérience étaient la Terre et la Lune. On en connaissait la taille, la distance, et on connaissait la période de révolution de la Lune... et donc il ne restait plus qu'à connaitre la masse de la Terre pour en déduire la constante de gravitation. Inversement, si on arrivait à connaitre la constante de gravitation, alors on en déduirait la masse de la Terre...

 

Vous vous souvenez que dans le chapitre consacré à la pomme de Newton, une dérivée de sa formule de base était :

T²/r3=4π²/GM

et donc

G= 4π²r3/MT²

 

Si on applique cette formule à la Lune, on a : 

r = 380 000 km, soient 380 000 000 mètres pour la distance de la Terre à la Lune.

T = 27,32 jours soient 2 360 450 secondes pour la période de révolution de la Lune autour de la Terre.

M = ??, pour la masse de la Terre et donc la seule inconnue qui nous manque pour calculer G !

 

Vous comprenez mieux maintenant pourquoi la masse de la Terre était liée à la détermination de G et inversement.

 

Intuitivement, on pouvait se faire une idée de la masse de la Terre en fonction des roches qui la composent et de leur densité, ou du moins, c'est ce que l'on croyait.

 

La Terre est composée d'eau dont la masse volumique est de 1 : c'est à dire qu'un cube d'eau de 1 mètre de côté pèse une tonne. On savait aussi que les roches principales qui composent les continents (le granit et le basalte) avaient une densité autour de 2,7.

En partant du principe que l'eau est certainement négligeable et que les roches sont majoritaires sur la Terre, on arrivait rapidement à une masse de l'ordre de :

(4/3)*π*63700003*2700 = 2 923 281 717 561 006 226 603 292 kg ou 2,9 × 1024 kg

 

Avec cette valeur approximative, bien entendu, on arrive alors à une valeur de G de

 1,33 × 10-10 m3.s-3.kg-1

 

Le problème avec cette estimation, c'est qu'on se base sur les matériaux qu'on connait (et donc les roches de surface) pour calculer la masse de la Terre et sans avoir aucune idée de la densité des roches qui sont au coeur de la Terre.

 

Il fallait donc une véritable expérience dans lesquelles toutes les variables étaient connues pour déterminer G avec précision.

 

mesurer-la-gravitation.PNG

Le principe de cette expérience était simple et expliqué sur le graphique ci-contre : On attache un ressort dont on connait la taille au repos. On attache à ce ressort une boule de masse m qui fait que le ressort s'étire. On note alors la nouvelle taille du ressort.

Enfin, on approche sous l'ensemble une nouvelle boule de masse M qui va, naturellement attirer par gravitation la boule plus petite. Le ressort va donc d'étirer un peu plus.

Si on arrive à mesurer la différence d'étirement du ressort avec et sans la boule de masse M, alors on connaitra la force de gravitation que produit la boule de masse M sur la boule de masse m et donc on pourra calculer G !

 

Malheureusement, il n'existe pas le ressort avec une raideur telle qu'elle permette de mesurer cette différence. D'ailleurs, si un tel ressort existait, alors le simple fait de lui accrocher la boule de masse m l'étendrait certainement de plusieurs kilomètres !

 

Il fallait donc trouver un autre moyen, une autre expérience où la force de gravité que l'on veut mesurer serait perpendiculaire à la force de gravité naturelle de la Terre et donc au poids des boules.

 

Il y avait bien le pendule, aussi : mesurer-la-gravitation-pendule.PNGOn attache une boule à une ficelle fixée au plafond. Naturellement, l'angle que fait la ficelle avec le sol est d'exactement 90°. Si maintenant j'approche une boule de grande masse vers sa gauche ou vers sa droite, celle-ci attirera la boule suspendue de telle sorte que l'angle avec le sol ne sera plus exactement de 90°. Si on arrive à mesurer ce nouvel angle, alors on connaitra G.

 

Encore une fois, là aussi, il faudrait une boule énorme pour réussir à mesurer un angle, et cette boule ne tiendrait jamais dans un laboratoire...

 

Vers 1750, des scientifiques comme Bouguer ou Hutton essayèrent l'expérience à côté d'une montagne. En théorie, près d'une montagne, un fil à plomb ne devrait pas être exactement à la verticale puisque la montagne, située à côté l'attire très légèrement. La déviation était imperceptible et l'expérience ne fut pas véritablement concluante... Et puis il fallait pouvoir peser la montagne... dans tous les cas, on n'arriverait pas à obtenir mieux qu'une valeur très grossière de G.

 

Il fallait trouver une expérience équivalente avec un système d'une plus grande sensibilité.

 

Le pendule de torsion

Si vous prenez un pendule (une boule accrochée à un fil), vous pouvez faire tourner la boule très facilement autour de l'axe du fil. Tour après tour, le fil va se torsader et offrir de plus en plus de résistance. Si vous lâchez la boule, alors la force de torsion du fil va naturellement lui faire effectuer des tours dans l'autre sens, jusqu'au retour à son point de départ qu'elle dépassera du fait de son élan et torsadera le fil dans l'autre sens, etc.

A chaque passage, la boule tournera un tout petit peu moins que la fois précédente, et arrivera finalement au bout d'un certain temps à se retrouver immobile. C'est ce qu'on appelle des oscillations amorties.

Le premier tour n'offre quasiment pas de résistance (vous le voyez avec un bilboquet, ou en tournant la queue d'une pomme) et il suffit d'une très très faible force pour la faire tourner... tiens, tiens....

Si on prenait un matériau approprié, qui puisse naturellement se tordre facilement (un câble très fin par exemple), peut-être que la force de gravité suffirait à le faire tourner...

 

Alors... observons les caractéristiques d'un pendule... Trois facteurs permettent de déterminer le comportement d'un pendule :

 

  • La force de torsion du fil K qui tend à le ramener à sa position d'équilibre. Cette force est proportionnelle à l'angle θ avec lequel la boule à tourné par rapport à sa position d'équilibre.
  • Le frottement de l'air A qui tend à freiner la rotation du pendule. Cette force augmente avec la vitesse de rotation du pendule (vitesse angulaire  dθ/dt ).
  • Le moment d'inertie M qui, comme vous pouvez le voir sur une roue tournant à grande vitesse (qu'il est déconseillé d'essayer d'arrêter avec les mains...), un corps tournant possède une inertie qui fait qu'il devient difficile de modifier sa vitesse de rotation (donc de lui donner une accélération dθ²/d). 

Pour bien comprendre la suite de ce chapitre, je vous invite à lire l'annexe consacrée aux notions de base de mécanique, qui explique les formules utilisées dans la suite de ce chapitre.

 

L'expérience de Cavendish

 

pendule de torsion

En 1798, Henry Cavendish décida d'utiliser un pendule de torsion pour calculer  la constante de gravitation : Il créa donc un pendule constitué d'un câble très fin, de 0,05 millimètres (l'épaisseur d'un cheveu) en cuivre argenté de très faible force de torsion.

Au bout de ce câble, se trouve une baguette en bois rigide de 2 mètres de long, attachée au câble en son milieu. Enfin, deux boules de plomb de 730 grammes chacune et de 5 cm de diamètre sont fixées à chacune des extrémités de la baguette. L'ensemble constitue un pendule de torsion extrêmement sensible.

Au centre de la baguette, il fixe un petit miroir, parallèle à la baguette. En éclairant le miroir avec un rayon lumineux (aujourd'hui, on utiliserait un LASER), le rayon se réfléchit et retourne à son point de départ où se situe une règle. Lorsque le pendule oscille, le point lumineux sur la règle se déplace et si on connait la distance séparant la règle de l'axe du pendule, alors la mesure sur la règle de ce déplacement nous permettra de connaitre l'angle avec lequel le pendule a tourné.

 

Si vous avez lu l'annexe consacré aux notions de base de mécanique, alors vous savez que le moment cinétique des deux boules de plomb par rapport à l'axe est de L=2.m.r.v.

Comme v=r.dθ/dt, alors L=2.m.r².dθ/dt

La dérivée du moment cinétique est donc dL/dt=2.m.r².d²θ/dt = I. d²θ/dt avec I=2.m.r² le moment d'inertie des deux boules.

 

Enfin, le théorème du moment cinétique nous dit que dL/dt=Mf. On néglige les frottements de l'air sur les deux boules, ce qui fait que le seul moment qui s'exerce sur l'axe, c'est la force de rappel due à la constante de torsion K du fil de cuivre qui dépend de l'angle Mf=-Kθ.

 

Le théorème du moment cinétique nous donne donc :

dL/dt=Mf soit I. d²θ/dt + Kθ=0 soit encore  d²θ/dt + (K/I)θ=0

Cette équation différentielle est appelée équation du mouvement de notre pendule.

 

On retrouve la signature de l'équation de mouvement d'un oscillateur harmonique dont la période est de :

T=2.Π.√(I/K)=2.Π.√(2.m.r²/K) d'où K=8.Π².m.r²/T²

 

Une fois le pendule de Cavendish équilibré, il l'écarta très légèrement, et constata grâce au miroir et au faisceau lumineux qu'il oscillait autour de sa position d'équilibre avec une période d'oscillation T de 7 minutes (420 secondes). Une fois T connu, il pouvait calculer la constante de torsion K de son pendule.

K = (8×Π2×0,730×12)/420²=3,2675 × 10-4 kg.m².s-2.

 

Le système était si sensible que Cavendish dut enfermer son pendule dans une pièce spéciale car la moindre variation de température dans les éléments du système entrainait dans la pièce un courant d'air qui le faisait osciller. la moindre vibration le faisait aussi osciller. En fait, il ne pouvait même pas entrer dans la pièce et dut l'isoler en plaçant le système d'observation à l'extérieur.

 

Après plusieurs heures, le système était totalement immobile et stabilisé. Cavendish nota alors l'endroit exact ou le faisceau lumineux éclairait la règle.

 

C'est alors qu'il approcha comme sur le dessin deux grosses boules de plomb de 30 cm de diamètre et de 158 kg chacune à 22,5 cm (distance d) des petites boules. Il attendit à nouveau quelques temps que le pendule se stabilise à nouveau, et il constata que le faisceau lumineux s'était très légèrement décalé par rapport à sa position initiale.

Le décalage est très infime puisqu'avec une règle située à 5 mètres du miroir, il aurait observé une variation de 8,7 millimètres du faisceau. Avec les moyens de l'époque, vous imaginez la difficulté pour voir la différence entre 8,6 et 8,8 millimètres ! Vous n'avez qu'à prende une règle pour vous rendre compte de ce que représentre 0,1 millimètre !

 

Vous voyez sur le schéma que le décalage observé sur la règle correspond à cause de l'effet miroir au double de l'angle avec lequel le pendule a tourné. Cavendish en déduit que le pendule a tourné de 0,053°.

 

Il avait donc tous les éléments pour calculer G, et nous allons refaire ce calcul ensemble !

Comme le pendule est à nouveau en équilibre après avoir attendu quelques temps, alors cela signifie que le moment des force de gravitation des grosses boules de 158 Kg sur les petites est exactement égale au moment de la force de rappel du à la torsion du fil. Détaillons donc ces deux moments :

  • La force de gravitation de la grosse boule de masse M sur la petite boule de masse m est :

F = G.M.m/d²

Comme il y a deux grosses boules, la force est donc multipliée par deux, et son moment est donc :

MF=2.r.G.M.m/d²

  • Le moment de rappel du fil qui a tourné d'un angle θ est :

Mk=Kθ=8.θ.Π².m.r²/T²

 

L'équilibre du pendule nous donne donc l'égalité entre les deux moments et donc

2.r.G.M.m/d²= 8.θ.Π².m.r²/T², d'où

G=4. Π². r.θ.d²/M.T²

 

Avec :

r = 1 m

θ = 0,053° soit 0,00092 rad

d = 0,225 m

M = 158 Kg

T = 420 s

on trouve

G=(4×Π²×1×0,00092×0,225²)/(158×420²)=6,6×10-11 m3.kg-1.s2

 

Ce résultat est CAPITAL ! D'abord parce que la précision du résultat était impressionnante. En effet, la véritable valeur est de 6,73384.10-11 m3.kg-1.s2 ± 0.0008.10-11

C'est à dire que l'erreur de la valeur trouvée par Cavendish n'est que de 2% !

 

Vous remarquerez aussi que même aujourd'hui, cette constante, qui est l'une des plus importantes de l'univers n'est connue qu'avec une précision de 3 chiffres après la virgule. C'est très peu, mais cela s'explique par l'incapacité de réaliser une expérience plus précise... La simple présence des parois de la pièce par exemple fausse légèrement le résultat...

 

Ensuite, la connaissance de cette constante nous ouvre maintenant la perspective de pouvoir peser les planètes, de pouvoir peser le Soleil, de pouvoir peser n'importe quel objet de l'univers pour peu qu'on observe un satellite tournant autour. Vous allez voir quelques exemples d'application...

 

Calcul de la masse de la terre 

Reprenons la variante de la formule de Newton :

T²/r3=4π²/GM

 En isolant mintenant la masse M, il vient : 

M=4π²r3/G

 

Vous voyez donc qu'on peut déduire la masse de la Terre, par exemple en connaissant la distance r et la période T d'un objet tournant autour. Pour les trajectoires elliptiques, la 3ème loi de Kepler nous dit qu'il faut prendre r égale au demi grand axe de l'ellipse.

Prenons la Lune, par exemple, puisque c'est un objet que nous connaissons maintenant bien :

 

r = 384 400 000 m

T = 27,3 jours = 27,3×24×60×60 = 2 358 720 secondes

 

Et donc

M= 6.1024 Kg

 

Quel scoop ! On connait enfin la masse de la Terre ! Cela n'est pas très représentatif puisque personnellement j'ai du mal à m'imaginer ce que cette masse représente, mais si on calcule le ratio du nombre de kg sur le nombre de dm3 que représente le volume de la Terre, alors on connaitra sa densité :

D = 6×1024 / (4.Π.63 700 0003/3)= 5.54 !!!

Cette densité est beaucoup plus importante que ce qu'on imaginait et ce résultat fut vraiment une surprise, ce qui nous laisse penser que le centre de la Terre est composé de métaux comme le cuivre, ou le fer. L'étude plus tard des météorites confirmera que le noyau de la Terre est composé de Fer.

 

Calcul de la masse du Soleil

Utilisons le même principe pour calculer la masse du Soleil. En regardant la Terre tourner autour du Soleil, on a :

r = 150 000 000 000 m

T = 365,25 jours = 31 557 600 secondes

Et donc

M=2×1030kg

Tiens... on peut même calculer la densité du Soleil :

D = 2.1030 / (4.Π.70000000003/3)= 1,39

 

Encore plus fort !!!

 Nous allons juste pour quelques instants quitter les années 1700 pour revenir dans notre temps et utiliser des observations et calculs plus récents :

 

On peut peser la Voie Lactée 

Le Soleil est à 26000 Années lumière du Centre de la Voie Lactée et il fait le tour de la Voie Lactée en 226 millions d'années... donc nous avons

 

r = 26 000×300 000 000×365,25×24×60×60=246 115 584 000 000 000 000 m = 2,4 ×1020m

T = 226 000 000×365,25×24×60×60  = 7 132 017 600 000 000 = 7.13 ×1015 s

 

D'où

MG = 1.6 ×1041 kg

 

C'est à dire 80 milliards de fois le poids du Soleil. En partant du principe que le Soleil est une étoile de grosseur moyenne, on peut extrapoler que la Voie Lactée contient environ 100 milliards d'étoiles.

 

On peut peser un trou noir et plus particulièrement celui se trouvant au centre de la Voie Lactée

En 1992, grâce à l'optique adaptative utilisée sur le quatrième télescope du VLT (Very Large Telescope) du Chili, les astronomes ont pu observer dans l'infrarouge le centre de la Voie Lactée situé à 26000 années-lumière.

La précision de l'optique adaptative permettant de déformer en temps réel le miroir du télescope pour compenser les perturbations de l'atmosphère, permet d'observer cet endroit de notre Galaxie avec une précision de 0,02". Imaginez que l'aberration de la lumière est de l'ordre de 20", c'est à dire que les télescopes d'aujourd'hui permettent une résolution 1000 fois plus grande qu'en 1700 lorsque ce phénomène a été mis en évidence.

Une telle précision nous permet de voir à cette distance avec une résolution de moins d'une journée lumière, c'est à dire 150 UA, ce qui n'est pratiquement rien comparé aux distances astronomiques !

Après dix années d'observations régulières de cet endroit très spécial de la Voie Lactée, ils purent réaliser une sorte de film montrant les mouvements des étoiles entre 1992 et 2002 dans cette région du ciel.

Ce qu'ils virent fut renversant !

S2bis.PNGOn voit sur les clichés ci-dessus cette fameuse région. Une étoile attira particulièrement l'attention des astronomes. Elle est notée en rouge sur chacune des photos. Durant ces dix années, on voit cette étoile, baptisée S2 effectuer pratiquement une orbite complète autour de... rien du tout...

Trou-noir-voie-lactee.PNG

L'image ci-contre retrace l'ensemble des observations de cette étoile avec les incertitudes de position et l'échelle.

On voit donc que l'étoile S2 décrit une ellipse et qu'elle a parcouru entre 1996 et 2001 la même distance qu'il lui restera à parcourir entre le dernier point d'observation jusqu'à avoir effectué un tour complet. On peut donc imaginer que la période de révolution de cette étoile autour de ce rien (baptisé Sagittarius A*) est environs de 15 ans.

Le grand axe de son orbite représente environ 10 jours lumière, de telle sorte que le demi grand axe est d'environ 5 jours lumière.

 

Donc

r = 5×24×60×60×300 000 000= 155 520 000 000 000 m

T=15×365,25×24×60×60= 473 364 000 s

 

et donc

 

 

M=4π²r3/GT²= 5,7×1036 kg, soit 3 000 000 de fois la masse du Soleil !

 

Cela signifie donc que l'étoile S2 tourne autour d'un objet invisible qui pourtant est 3 millions de fois plus massif que le Soleil ! Cet objet est relativement petit puisqu'en 2002, S2 s'en est approché à moins de 0,5 jour lumière, soit moins de 100 UA (3 fois la distance Soleil-Neptune).

Autant de masse confinée dans si peu d'espace tout en étant invisible... Il ne peut s'agir que d'un trou noir ! Je vous invite d'ailleurs à consulter l'annexe sur ce sujet qui vous en dira plus sur ces objets fantastiques que sont les trous noirs !

 

Nous avons ainsi pu connaitre la masse des planètes du système solaire. Pour celles ayant des satellites (Mars, Jupiter, Saturne), c'était un jeu d'enfant.

Pour Mercure et Venus, en revanche, il fallut soit ruser en observant les perturbations qu'elles engendraient sur les trajectoires des comètes s'en approchant, soit attendre que des satellites artificiels soient envoyés autour de ces planètes pour la connaitre exactement, en fonction de leur distance et de leur période de révolution.

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commentaires

Nanjinois 06/09/2015 14:52

L'article est vraiment bien, très clair, bien organisé, compréhensible et précis. Pas souvent qu'on explique la démarche pour déduire les choses (masse de la terre, présence un trou noir...). Merci

hey 21/07/2015 17:49

Super article, je cherchais des explication sur le calcul de G, j'ai trouvé bien plus, merci

astronomie-smartsmur 21/07/2015 18:03

Merci ! C'est un commentaire qui fait très plaisir à lire ! :)