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26 septembre 2013 4 26 /09 /septembre /2013 00:00

Vous remarquerez bien vite que la plupart de nos démonstrations, bien qu'étant simples, reposent principalement sur trois bases :

  • Le théorème de Thalès
  • Le théorème de pythagore
  • La trigonométrie

Il est donc préférable que vous soyez à l'aise avec ces notions si vous voulez bien comprendre le contenu de tous ces chapitres.

Vous verrez, encore une fois, que si ces théorèmes, ou notions repoussent pas mal de personnes, en fait, ils sont très simples et je vais tout faire pour vous en convaincre.

 

Le théorème de Pythagore

 

Bien que ce pauvre théorème fasse souvent peur, vous allez voir que sa démonstration est d'une simplicité étonnante.

 

Voici le théorème.

triangle-rectangle.PNG

Soit un triangle ABC rectangle en A. 

Le relation entre les trois côtés de ce triangle est :

AB² + AC² = BC²

 

Pour rappel, un triangle rectangle est en fait une moitié de rectangle. Sa particularité, est que l'un de ces angles est un angle droit (un angle à 90°, ou un angle à l'équerre). Il est souvent noté avec un petit carré pour montrer justement qu'une équerre viendrait juste s'emboîter dedans, montrant que c'est un angle droit.

 

Dans notre exemple, c'est l'angle en A qui est droit. C'est pour cela qu'on dit que le triangle est rectangle en A.

 

 

Démonstration du Théorème :

Observez la figure ci-contre :

 

pythagore1

Nous y voyons quatre triangles rectangles gris de côtés A, B et C, qui sont posés à l'intérieur d'un grand carré de côté A+B.

Dans cette disposition, nos quatre triangles rectangles laissent apparaître un grand vide blanc au milieu.

Ce vide est un carré de côté C, et donc sa surface est C².

 

Gardons les mêmes petits triangles rectangles, mais disposons les d'une autre manière à l'intérieur de notre grand carré, comme ceci :

pythagore2.PNG

On voit maintenant que la surface blanche n'est plus un grand carré, mais deux carrés plus petits : l'un de côté A, et l'autre de côté B. La surface blanche vaut donc A² + B².

Comme nous avons gardé le même nombre de triangles rectangles dans le même grand carré, alors la surface blanche n'a pas changé.

 

On a donc naturellement C² = A² + B²

 

Mais à quoi cela sert-il, me direz vous ?

Vous l'aurez compris, cela sert à trouver facilement la longueur d'un côté d'un triangle rectangle lorsqu'on connaît les deux autres... Voyons voir....

  • J'ai acheté une télévision 16/9 dont la diagonale fait 120cm... Bon d'accord... mais quelle est donc la hauteur et la largeur de ma télévision ? Hop ! on applique Pythagore ! Si X est la hauteur de ma télévision, alors j'ai :

X² + (16/9X)² = 120 ² d'où X = 58.83 cm.

Donc ma télévision  fait 58,8 cm par 104,5 cm.

  • Je peux par exemple calculer la diagonale d'une feuille de papier X² = 21² + 29.7² donc X=36.37cm.
  • Ne vous êtes vous jamais demandé un jour, quelle est la distance de l'horizon lorsqu'on est, par exemple au deuxième étage d'un immeuble au bord de la mer ? Et bien la solution vient encore de pythagore :

    distance-de-l-horizon-copie-1.PNG

 

Au niveau de l'horizon, notre ligne de vue est tangente à la Terre. Elle est donc perpendiculaire au rayon de la Terre à cet endroit.

Notons H le point le plus éloigné de l'horizon que nous puissions voir, C le centre de la Terre, et A l'observateur à sa fenêtre au 2ème étage, à 7 mètres du sol.

Notre triangle CAH est rectangle en H donc on peut appliquer pythagore :

CH = 6470 Km (le rayon de la Terre), soit 6470000 mètres

CA = 6470 Km + 7 mètres, soit 6470007 mètres.

 

On a donc AH² = 6470007²-6470000²,  et donc AH = 9517 mètres

 

Vous voyez comme avec Pythagore, les problèmes compliqués sont résolus facilement. !

 

A vous de jouer :

Sachant que les montagnes de la Corse les plus proches du continent sont environ à 194 km de la côte niçoise et qu’elles culminent à environ 2300 m, à quelle hauteur minimale h devrait-on s’élever pour espérer observer les montagnes corses depuis les hauteurs de Nice ?

Un petit indice :

Nous avons maintenant deux triangles rectangles, donc deux fois le théorème de Pythagore à appliquer !

Déjà, nous avons :

AH + HB = 194 000 m

Ensuite Pythagore nous dit

HB² = 6372300² - 6370000²

Et

HA² = (6370000 + h)² - 6370000²

 

En remplaçant HB et HA dans la première relation, nous avons :

racine(6372300²-6370000²)+racine((6370000 + h)²-6370000² = 194000

Soit

171194 + racine((6370000+h)²-6370000²)=194000

Soit

h = racine((194000-171194)²+6370000²)-6370000 = 40 mètres

Donc, si je m’élève de plus de 40 mètres au-dessus du niveau de la mer, alors je devrais pouvoir espérer, par temps très clair, voir les hauteurs des montagnes corses. En dessous de 40 mètres, il n’y a aucun espoir. Vous verrez dans l’annexe consacrée aux notions de base de l’optique qu’en réalité, c’est un peu différent !

 

 

La trigonométrie

 

Aille ! Aille ! Aille !!! Encore un gros mot qui fait peur, mais qui pourtant est bien utile...Trigonometrie-copie-1.PNG

 

Imaginons le cercle ci-contre, de rayon 1 mètre et un point P qui tourne autour de ce cercle. Pour tourner autour du cercle, notre point P reste sur la circonférence du cercle et la parcourt en faisant un angle α qui va de 0° à 360°.

A chaque instant, on aimerait bien savoir quelle est la hauteur du point (y sur le dessin) et sa position au sol (notée x sur le dessin). On voit rapidement que :

Si α = 0°, alors x = 1 et y =0

Si α = 90°, alors x = 0 et y = 1

 

Et bien figurez-vous simplement que y est appelé le sinus de l'angle α (ou sin(α)) et x est appelé le cosinus de l'angle α (ou cos(α)).

Cela vaut pour un cercle de rayon 1 mètre.

Pour un cercle de rayon 2 mètres, pour le même angle α, X sera deux fois plus grand de telle sorte que Y=2*sin(α).

Plus globalement, si on a un cercle de rayon R, on aura Y=R*sin(α), ou sin(α) = y/R.

 

Bien entendu, l'intérêt de la trigonométrie, c'est qu'il ne s'applique pas uniquement aux cercles :

Remarquez le triangle OxP... Il est rectangle en x !

Donc, la trigonométrie s'applique aussi aux triangles rectangles, avec la même relation, mais un vocabulaire différent :

R ou OP n'est plus le rayon du cercle mais l'hypoténuse du triangle

y ou xP est le côté opposé de l'angle α

x ou yP est le côté adjacent de l'angle α

 

Avec ce vocabulaire, on a donc :

sinus(α) = Côté opposé / hypoténuse

cosinus(α) = côté adjacent / hypoténuse

et on a même

Sinus(α)/cosinus(α) = tangente(α) = côté opposé / côté adjacent

 

Grâce à pythagore, on a une relation entre deux côtés et le troisième dans un triangle rectangle

Grâce à la trigonométrie, on a une relation entre un côté et un angle et les deux autres côtés d'un triangle rectangle...

 

Ce n'est pas tout de connaître la définition du Sinus, du Cosinus et de la Tangente, encore faut-il connaître leurs valeurs et là, ça se complique un peu... mais heureusement, nous sommes à l'ère des calculatrices et elles nous donnent cela instantanément !

Dans l'antiquité, Hipparque et Ptolémée avaient publiés des tables qui indiquaient, pour des valeurs précises de l'angle la valeur du Sinus et du Cosinus. On n'avait donc plus qu'à trouver la valeur d'angle dans la table la plus proche de notre angle et le tour était joué.

 

Sachez enfin que toute fonction ayant son inverse, il existe aussi les fonctions Sin-1 ou Arcsinus, Cos-1 ou Arccosinus et Tan-1 ou Arctangente qui ne donnent plus un rapport de longueur en fonction d'un angle, mais un angle en fonction d'un rapport de longueurs...

 

L'application la plus simple de la trigonométrie consiste à calculer la taille d'un objet si on connait sa distance et l'angle sous lequel on le voit... (un peu comme la lune, le Soleil, les planètes...).

 

Si l'angle α devient tout petit, on se rend compte que la distance x devient très très proche du rayon du cercle... En vocabulaire du triangle, on dirait que le côté adjacent devient très très proche de l'hypoténuse. Du fait, on a alors (pour les tout petis angles) : cos(α) = tan(α)

 

Nous avons donc pour les petits objets : tan(α) = Taille de l'objet / Distance de l'objet

 

Le théorème de Thalès

 

Bien que ce théorème était connu avant la découverte de la trigonométrie, je préfère que nous l'abordions après car sa démonstration est extrêmement simple en utilisant la trigonométrie.

On l'appelle  "Le Théorème de Thalès", bien qu'en réalité Thalès n'en soitpas le père. C'est donc plus en hommage à Thalès que ce théorème porte son nom aujourd'hui.

 

Voici l'énoncé du théorème :

Soit ABC un triangle quelconque. Soit une droite parallèle au côté BC coupant le segment AB en D et AC en E. La relation entre toutes ces distances est telle que :

AB/AD = AC/AE = BC/DE

 

Dit autrement : deux triangles homothétiques ont tous leurs segments multipliés par le même rapport.

Theoreme-de-Thales.PNG

En astronomie, ce théorème est bien utile, et je vais vous expliquer pourquoi :

Imaginons qu'on se place exactement au point A. Nous ne voyons alors pas le segment BC, car il est caché exactement par le segment DE... Cela ne vous rappelle pas quelque chose...

Les éclipses de Soleil : la Lune (segment DE) cache exactement le Soleil (segment BC). Donc il existe un lien entre toutes ces distances. Si on connaît la distance du Soleil et la taille de la Lune, alors nous pourrons en déduire la taille du Soleil !

 

Depuis très longtemps, une démonstration de ce théorème existe. Il ne s'agit que d'une demi démonstration car elle ne démontre que AB/AD = AC/AE.

On doit cette démonstration à Euclide vers 300 avant JC. Cette démonstration s'appelle "la démonstration par les aires" car elle utilise uniquement les aires des triangles.

Nous allons voir cette démonstration

 

Préliminaire :

Comme vous devez vous y habituer, il y a souvent un petit préliminaire aux démonstrations pour bien comprendre leur raisonnement. Ce préliminaire concerne le calcul de l'aire d'un triangle.

 

Aire-triangle.PNG

Observez le triangle ABC ci-dessous. Il est totalement quelconque.

Par contre, en prenant la projection de A perpendiculairement à BC sur BC, j'obtiens le point H et du coup, deux triangles rectangles en H : ACH et AHB.

Comme un triangle rectangle est un demi rectangle, son aire est facile à calculer :

Aire ACH  = (CH * AH) / 2

et

Aire AHB = (AH * HB) / 2

 

L'aire totale de mon triangle quelconque n'est autre que la somme des deux :

Aire ABC = AH * (CH + HB) / 2 = (AH * CB) /2

AH est en fait la hauteur du triangle ABC en A et donc la formule générique d'un triangle est donc :

Aire triangle = Base * Hauteur / 2

 

On voit donc que tous les triangles ayant la même base et la même hauteur ont la même surface : ainsi, sur la figure du dessus, les triangles AC1B, AC2B et AC3B ont la même surface.

 

Dit autrement : Tous les triangles qui ont la même base et leur troisième sommet sur une même droite parallèle à la base ont la même surface. On voit en effet que C1C3 est parallèle à AB

Nous allons nous servir de cette propriété pour la démonstration des aires d'Euclide

 

Démonstration par les aires d'Euclide :

On reprend notre construction de départ.

Thales-par-Euclide.PNG 

 

D'après ce que nous venons de voir juste à l'instant, comme ED est parallèle à CB, alors les triangles CBE et CBD ont la même surface car ils ont la même base et la même hauteur.

Décomposons l'aire du triangle ABC :

Aire (ABC) = Aire (ACD) + Aire(CBD)

et

Aire (ABC) = Aire (AEB) + Aire(CBE)

 

Or, comme nous avons vu que Aire(CBE) = Aire (CBD), alors on a aussi ;

Aire (ACD) = Aire (AEB)

 

Si on projette B perpendiculairement à AC, on obtient le point B' et on a BB' est la hauteur des triangles ACB, AED et ECB de telle sorte que :

Aire (ABC) = AC*BB' / 2 et Aire (AEB) = AE *BB' / 2 et donc

Aire (ABC) / Aire (AEB) = AC / AE = Aire (ABC) / Aire (ACD)

Si on projette C perpendiculairement à AB, on obtient le point C' et on a CC' est la hauteur des triangles ACB, ACD et DCB de telle sorte que :

Aire (ABC) = AB*CC' / 2 et Aire (ACD) = AD *CC' / 2 et donc

Aire (ABC) / Aire (ACD) = AB / AD = Aire (ACB) / Aire (ACB)

 

Et don AC/AE = AB/AD

 

Démonstration par la trigonométrie :

 

Thales-par-la-trigo.PNGOn reprend à nouveau notre schéma de départ et on projette tous les points B, C, D et E perpendiculairement sur la droite opposés. On aura alors plein de triangles rectangles pour pouvoir utiliser les formules de trigonométrie.

Soit α l'angle BAD, β l'angle E'EC et D'DB, et γ l'angle ECC' et DBB'.

 

On a les relations trigonométriques suivantes :

 

Sin(α) = E'E/EA = D'D/DA d'où E'E/D'D = EA / DA

 

Cos(β)= E'E/CE = D'D/BD d'où E'E/D'D = CE/BD et donc :

AE / AD = CE / BD

 

On a aussi :

Sin(α) = CC' / CA = BB'  / BA d'où CC'/BB4 = CA / BA

 

Cos(γ) = CC' / CE = BB' / BD d'où CC'/BB' = CE / BD

et donc :

CA / AB = CE / BD

 

 et au final

AE / AD = CE / BD = CA / AB

 

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Published by astronomie-smartsmur - dans Annexes
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