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3 octobre 2013 4 03 /10 /octobre /2013 00:00

Lorsque vous entendez une voiture de police passer devant vous, vous entendez le son de la sirène changer entre le moment où elle s'approche et celui où elle s'éloigne.

Si vous regardez un grand prix de formule 1 à la télévision, vous entendez nettement le son plus aigu de la voiture qui approche et plus grave une fois qu'elle est passée devant la caméra et qu'elle s'éloigne.

 

Ce phénomène est appelé l'effet Doppler car il fut exposé en 1842 par Christian Doppler.

 

effet-doppler.PNG

Regardez son explication avec le schéma ci-contre :

 

  • Une source rouge immobile émet un bip à intervalle régulier. L'homme qui se situe à droite de la source entend le bip à la même fréquence qu'elle a été émise de la source rouge.
  •   Une source bleue bougeant vers la droite émet un bip à intervalle régulier. Le premier Bip est émis à un certain endroit et se propage en cercle à partir de ce point . Le deuxième bip est émis à droite du premier car la source s'est déplacée. Ce bip se propage en cercle à partir de ce nouvel endroit, et ainsi de suite.

 

On voit que l'homme situé à droite de la source entend les bips plus rapprochés que la fréquence avec laquelle ils ont été émis et celui situé à gauche plus éloignés.

 

Maintenant que nous avons vu l'explication de ce phénomène, il ne reste plus qu'à le calculer.

Pour plus de simplicité, nous allons partir du principe que l'observateur est immobile et que c'est la source du bip qui bouge. Vous pourrez, si vous le souhaitez, refaire ces mêmes calculs en ajoutant un observateur mobile et une source mobile.

 

Analysons le phénomène en détail :

Calcul-doppler.PNGAu temps T0, une source émet un signal.

Cette source se déplace vers la droite à une vitesse Vs, et l'onde du signal se propage à la vitesse Vo. On part aussi du principe que la fréquence du signal est f, c'est à dire que la source émet f signaux par seconde, ou elle emmet un signal toutes les 1/f secondes.

 

Comme le signal se propage à la vitesse Vo, lorsque le prochain signal sera émis, 1/f seconde plus tard, le premier signal se sera éloigné de la source, d'une distance de λ=Vo/f.

En effet, comme v=d/t, alors d=v.t d'où λ=Vo.(1/f)=Vo/f

 

λ est appelée la longueur d'onde du signal, c'est à dire la distance entre deux signaux. Si le signal n'était pas un bip, mais une onde, alors la longueur d'onde serait la distance entre deux sommets de l'onde sinusoïdale.

 

1/f secondes après l'émission du premier signal, la source s'est déplacée vers la droite d'une distance de Vs/f.

La source (et donc le deuxième signal) est donc à ce moment éloignée du premier signal (qui s'est propagé) de  :

Vo/f - Vs/f vers la droite, et Vo/f + Vs/f sur la gauche.

 

Naturellement, un observateur situé à droite de la source verra alors le signal lui parvenir avec une longueur d'onde de λ'=Vo/f - Vs/f et celui situé vers la gauche verra le signal lui parvenir avec une longueur d'onde de λ''=Vo/f + Vs/f.

 

Concentrons-nous sur la première formule : λ'=Vo/f - Vs/f

Nous avons vu que la longueur d'onde d'origine est λ=Vo/f. Ainsi, en remplaçant Vo/f par λ, dans l'expression de λ', on obtient :

λ'=Vo/f - Vs/f = Vo/f - Vs.Vo/(f.Vo)= Vo/f.(1-Vs/Vo) = λ.(1-Vs/Vo)

 

En appliquant le même principe pour la seconde formule, on obtient :

λ"=Vo/f + Vs/f = Vo/f + Vs.Vo/(f.Vo)= Vo/f.(1+Vs/Vo) = λ.(1+Vs/Vo)

 

Ces formules nous donnent une relation entre les longueurs d'onde. Il est intéressant d'avoir aussi une relation avec les fréquences (car en effet, pour le cas de notre formule 1, le son est plus souvent exprimé en fréquence).

Nous avons donc, avec λ=Vo/f, λ'=Vo/f' et λ''=Vo/f''

Vo/f'=Vo/f.(1-Vs/Vo)= 1/f .(Vo-Vs.Vo/Vo) = 1/f .(Vo-Vs) et donc  

f'=f.(Vo/(Vo-Vs))

 

et par le même principe,  

f"=f.(Vo/(Vo+Vs))

 

Allez, une petite mise en pratique tout de même...

Reprenons notre formule 1 qui fonce en pleine ligne droite à Vs=305 km/h (soit 305×1000/(60×60) = 84,7 m/s).

Le son se propage dans l'air à la vitesse de Vo=340 m/s.

Supposons que le moteur de notre formule 1 émette un bruit en faisant un LA (f=440 hz).

Lorsque la voiture approche de nous, nous entendrons un son à la fréquence f'=440.(340/(340-84,7))=586 Hz, soit un RE !

Lorsque la voiture s'éloigne de nous, nous entendrons un son à la fréquence f''=440.(340/(340+84,7))=352 Hz, soit un FA !

 

Imaginez-vous la différence en regardant ces notes sur la gamme :

 DO DO# RE MIb MI  FA FA# SOL SOL# LA SIb SI DO DO# RE MIb MI FA FA# SOL SOL# LA SIb SI DO

 

Cela nous fait une différence de 5 notes, soient 9 demi-tons ! Faites-y attention la prochaine fois que vous regarderez un grand prix, les 5 notes de différence sont bien là !

 

Mais, j'y songe ! le bruit est une onde et c'est pour cela que l'effet Doppler s'entend... mais si vous lisez les annexes, vous verrez que la lumière aussi est une onde ! Cela signifie donc que l'effet Doppler se voit ! C'est ce que proposa Hippolyte Fizeau en 1848 en généralisant l'effet Doppler pour toute onde électromagnétique.

 

Reprenons notre formule 1 verte (longueur d'onde du vert 540 nm, ou 540×10-9 m). Vous remarquez au passage qu'on parle plus souvent de fréquence pour les sons et de longueur d'onde pour la lumière, et c'est pour cette raison que nous avons exprimé nos formules avec les deux notions !

Normalement, la couleur de la voiture devrait changer selon qu'elle approche, ou qu'elle s'éloigne, c'est logique... Cependant je n'ai jamais remarqué cela à la télévision... Faisons tout de même le calcul pour voir la nouvelle couleur de la voiture....

 

La vitesse de la lumière dans le vide est de 300 000 km/s, soient 300 000 000 m/s. La nouvelle longueur d'onde de la couleur de la voiture à l'approche est donc de :

 

λ'=λ.(1-Vs/Vo)=540.(1-84,7/300000000) = 539,99985 nm, soit... un vert...En fait, la différence de longueur d'onde est tellement minime qu'elle est imperceptible. Cette différence vient essentiellement du rapport entre la vitesse de la formule 1 et la vitesse de l'onde.

Dans le cas du son, la vitesse de la voiture représente 25% de la vitesse du son. En revanche, elle ne représente que 0,0000282% de la vitesse de la lumière.

 

Il faut donc des vitesses beaucoup plus importantes pour qu'un changement de couleur puisse être observable...

 

Quelles sont les vitesses élevées qu'on peut observer dans le monde qui nous entoure ? 

  • La Terre tourne autour du Soleil en 365,25 jours et donc parcourt pendant cette période 2Π×150 000 000 000 mètres, ce qui fait une vitesse de 2Π×150 000 000 000/(365,25×24×60×60) = 29 865 m/s
  • Le Soleil est à 26 000 années-lumière du centre de la voie lactée et en fait le tour en 226 millions d'années, soit une vitesse de 220 000 m/s
  • La galaxie d'Andromède se rapproche de la Voie Lactée à environs 300 000 m/s.

  Donc, une lumière verte (longueur d'onde 540 nm) nous venant de la galaxie d'Andromède nous apparaitra avec une longueur d'onde de :

λ'=λ.(1-Vs/Vo)=540.(1-300000/300000000)=539.46 nm

 

Cela peut vous paraitre encore très peu, mais il faut savoir que les instruments d'aujourd'hui, tels que le spectromètre HARPS installé au chili permet de distinguer une différence de vitesse de seulement 1 m/s !

Autant vous dire qu'il peut facilement mettre en évidence le rapprochement de la galaxie d'Andromède, il peut aussi mesurer sa vitesse de rotation, il peut mesurer la vitesse d'éloignement ou de rapprochement des étoiles voisines du Soleil, etc. Mais ces mesures sont d'une simplicité presque inintéressante pour HARPS qui est capable, pour les étoiles proches de mesurer non seulement leur vitesse de rapprochement, mais également les petites oscillations dans leurs positions dues à la présence de planètes !

Pour vous donner un exemple, Jupiter entraine une oscillation du Soleil de 13 m/s, Saturne entraine une Oscillation du Soleil de 3 m/s, et la Terre entraine une oscillation du Soleil de 0,1 m/s ! Nous reviendrons sur ce point dans l'annexe consacrée à la recherche des exoplanètes.

 

Pour visualiser ce décalage, rien de tel qu'un graphique, non ?

Nous avons vu que le décalage de fréquence d'une source approchant est

f'=f.(Vo/(Vo-Vs))

 

La gamme des notes de musique est la gamme tempérée, c'est à dire qu'il y a exactement le même rapport de fréquence entre deux notes de musique. De plus, au bout de 12 demi-tons, on change d'octave, c'est à dire que la fréquence est multipliée par deux.

La fonction qui permet de décrire cela est f(n)=f0.2n/12 où f0 est une note qui nous sert de point de départ.

Pour notre exemple, nous allons prendre f0 = 440 hz et donc f(n) = 440.2n/12

Donc, avec cette formule, je peux donc calculer que la fréquence du SI (2 demi tons au dessu du LA) est de 440.22/12 = 494 Hz

 

Le but est de réaliser une courbe avec en abscisse la vitesse du véhicule, et en ordonnée le décalage en 1/2 tons. Nous allons exprimer les vitesses en km/h et non en m/s, pour que le résultat soit plus parlant, car cela n'a aucun impact sur la formule.

Dans ce cas, la vitesse du son sera de (340×60×60)/1000 = 1224 km/h.

 

nous avons f' = 440.2n/12=440.(Vo/(Vo-Vs))=440.(1224/(1224-Vs)

 

Pour isoler n, nous allons utiliser les propriétés de la fonction exponentielle.

 

La fonction exponentielle

On appelle Exp(x) la fonction exponentielle définie par Exp(x) = ex, avec e≈2,71828.

Sa fonction inverse est la fonction ln(x) de telle sorte qu'on a Exp(ln(x))=x=eln(x)

Sachant cela, on peut jouer avec ces fonctions pour exprimer par exemple des puissance. Regardez par exemple :

2x=(Exp(ln(2))x=(eln(2))x=ex.ln(2)

 

Sachant cela, on peut ainsi exprimer 2n/12 comme étant e2.ln(n/12), et donc, notre expression calculée plus haut devient :

e(n/12).ln(2)=(en.ln(2))1/12=1224/(1224-Vs)

Donc en.ln(2)=(1224/(1224-Vs))12 et n.ln(2)=ln((1224/(1224-Vs))12) et enfin

n=(ln((1224/(1224-Vs))12))/ln(2) 

dop.PNG

Grâce à ce graphique, on voit qu'un décalage d'un demi ton a lieu pour une vitesse d'environ 50 km/h.

A 600 km/h, le décalage est d'une octave. Il est de deux octaves pour une vitesse de 920 km/h...

 

Un point dont nous n'avons pas parlé pour simplifier les calculs mais qui est important, c'est que nos calculs fonctionnent si l'objet nous fonce directement dessus. Si vous écoutez une voiture passer depuis le bord de la route, il faudra prendre en compte l'angle sous lequel la voiture se déplace.

Ainsi, si la vitesse réelle de la voiture est de Vs, la vitesse perçue par effet Doppler par l'observateur sera de Vs.cos(α)

 

Nous pouvons utiliser cet effet Doppler à notre avantage.

Concrètement, si un objet approche de moi en émettant un son, en l'écoutant approcher, j'entendrai un son légèrement plus aigu, nous venons de la voir. Si je connais la fréquence du son réellement émis, alors en utilisant l'abaque ci-dessus, je pourrai connaitre la vitesse de l'objet (à son angle d'approche près). En revanche, si je ne connais pas cette fréquence d'origine, jamais je ne pourrai connaitre sa vitesse avec la seule fréquence perçue.

 

C'est pour cette raison que souvent, la détermination de la vitesse d'un objet se fait en envoyant nous-même un son, et en écoutant la fréquence de l'écho qui nous parvient.

Ainsi, si un objet s'approche de moi alors que j'émets un son dans sa direction, par effet Doppler, la personne située sur cet objet entendra un son légèrement plus aigu. De ce fait, le son qu'il réfléchira vers moi aura ce même son plus aigu. Or, comme l'objet s'approche de moi, alors le son plus aigu qu'il me renvoie sera perçu par moi encore un peu plus aigu.

Tout cela peut se mettre facilement en formule et connaissant la fréquence du son que j'ai émis et enregistrant la fréquence de l'écho que j'ai reçu, alors je peux en déduire la vitesse de l'objet.

C'est exactement ce principe qui est utilisé par les radars de la gendarmerie à ce détail près que l'onde émise n'est pas un son (ça ne serait pas très discret sinon...) mais des micro-ondes, de fréquence comprise entre 1Ghz et 300Ghz.

 

Pour les étoiles, on ne peut pas envoyer un signal quel qu'il soit et enregistrer la fréquence de l'écho simplement parce que les objets sont si loins qu'il faudrait un signal avec une intensité phénoménale, et ensuite, on devrait attendre, plusieurs années, voire plusieurs milliers d'années pour entendre l'écho.

La solution allait venir de l'analyse du spectre des étoiles. Je vous invite pour cela à consulter l'annexe consacrée à l'analyse de la composition des étoiles pour comprendre ce principe.

 

Les étoiles, puisqu'elles contiennent de l'hydrogène dans leur chromosphère ont dans leur spectre des raies noires d'absorption caractéristiques de cet atome d'hydrogène aux fréquences 410 nm, 434 nm, 486 nm et 656 nm.

Tout naturellement, si cette étoile s'approche de nous, alors j'observerai les bandes caractéristiques de l'hydrogène sur des longueurs d'onde plus courte (décalage vers le bleu) et si elle s'éloigne, j'observerai ces bandes noires sur des longueurs d'onde plus longue (décalage vers le rouge).

 

doppler-raie-spectrale.PNGRegardez sur cet exemple trois raies spectrales de 3 étoiles différentes.

La première est une étoile fixe et je constate que sur son spectre, les raies d'absorption de l'hydrogène sont exactement à la bonne place.

La deuxième étoile contient un spectre dont les raies sont décallées d'une quinzaine de nanomètres vers le rouge. J'en déduis donc que l'étole s'éloigne de nous à une vitesse d'environ 10 000 km/s.

La troisième étoile contient un spectre décalé de près de 80 nm vers le rouge. J'en déduis donc que l'étoile s'éloigne de nous à une vitesse d'environ 50 000 km/s.

 

C'est par cette méthode que nous avons pu savoir la vitesse des étoiles voisines par rapport à nous et ainsi connaitre la structure spirale de la Voie Lactée. C'est ainsi que nous avons pu savoir que la Galaxie d'Andromède se rapproche de nous, et qu'elle est aussi en rotation. Nous pouvons même observer, pour une même étoile, une bande d'absorption un peu plus large que la normale, trahissant une variation de vitesse à la surface de l'étoile, souvent révélateur d'une rotation très rapide de l'étoile.

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commentaires

clovis simard 20/03/2013 01:52


299,792,458 m/s: erreur de 0.14% de celle du FERMATON: 300,212,165 m/s(fermaton.over-blog.com)