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8 octobre 2013 2 08 /10 /octobre /2013 00:00

Grâce à Kepler et ses trois lois, on était capable enfin de faire coller la théorie avec les observations pratiques ! On pouvait alors prévoir à l'avance des phénomènes astronomiques, ce qui était impensable avant.

C'est ainsi que kepler arriva à prévoir les transits de Mercure et de Venus en 1631 ! Et donc pour la première fois, les transits de ces deux planètes pouvaient être observés !

Pour rappel, un transit, c'est lorsque l'une des deux planètes inférieures (Mercure ou Venus) passe devant le Soleil, vue de la Terre. Si on regarde le Soleil à ce moment là (jamais directement, bien entendu !), alors nous verrons un petit point noir traverser le disque solaire. Un transit est en fait une éclipse de Soleil par Mercure ou Venus, à la différence près qu'il est invisible pour quelqu'un ne disposant pas d'instrument.

 

C'était quand même paradoxal : on était capable de prévoir les transits à dix minutes près, mais on était incapable de savoir si la distance Terre-Soleil calculée par Cassini était correcte ou non ! D'ailleurs, officiellement, c'était toujours la Terre le centre de l'univers...

 

En observant les premiers transits de Vénus les astronomes de l'époque comprirent rapidement qu'on avait enfin un bon moyen de calculer la distance Terre-Soleil ! Je vais vous expliquer cela :

Transit.PNG

Comme vous pouvez le voir sur la figure ci-dessus (qui n'est pas à l'échelle, bien sûr), le principe est le suivant. Depuis deux endroits différents de la Terre suffisamment éloignés, je ne verrai pas Venus passer exactement au même endroit devant le disque Solaire. Si alors j'arrive à mesurer la distance entre les deux lignes de passage (en degrés), alors j'en déduirai la distance du Soleil. Je peux arriver à cette conclusion étant donné que :

  • Je connais la distance entre les deux villes d'observation
  • Grâce à Kepler, je connais en Unité Astronomique la distance Terre-Soleil et la distance Venus-Soleil, et donc le rapport entre les deux.

La preuve en image :

Regardez l'image ci-dessous : on y voit la Terre, le Soleil et Venus au moment d'un transit. Depuis la Ville A, on voit le transit passer par le point D sur le Soleil, et depuis la ville B, on voit le transit passer par le point C sur le Soleil.

transit-angles.PNGOn peut appliquer le théorème de Thalles avec les triangles ABV et VCD et on a :

CD/AB = VC/VB ≈ VS/VT

avec VS = Distance Venus-Soleil et VT = Distance Venus-Terre

et donc

CD= VS.AB/VT

 

Si on arrive à calculer la distance CD, c'est à dire l'angle α, on aura :

Tan(α) = CD/BD = CD/UA

avec

BD = UA = Distance Terre-Soleil

 

Et donc, en remplaçant CD par la valeur trouvée au dessus :

 

UA = (VS/VT).(AB/tan(α))

 

VS/VT est connue depuis Kepler et vaut environ 2,61.

 

Si on connaît la distance entre les deux villes, alors il ne reste plus qu'à mesurer l'angle α pour connaître enfin l'Unité Astronomique !!!

 

Mais comment calculer ce fameux angle, c'est à dire la distance entre les deux lignes de passage ?

Je vous rappelle que nous sommes en 1631 et que l'appareil photographique n'est pas inventé, ni même l'électricité d'ailleurs, et donc les moteurs qui entraînent les mouvements des lunettes...

Aujourd'hui, on n'aurait qu'à prendre une photo toutes les minutes depuis les deux villes, puis les superposer pour obtenir la ligne de passage de Venus (exactement comme sur le premier dessin). On pourra alors très facilement mesurer sur les photos la distance entre les deux traits...

Mais comment faire cela en 1631 ? C'était mission impossible, autrement dit, on n'avait aucune chance d'arriver à calculer cette distance avec précision...

 

En 1716, Edmund Halley a une idée aussi simple que géniale !

Si on connaît le temps maximum tmax que peut durer un transit de venus (un transit qui passerait exactement par le milieu du Soleil) alors en mesurant le temps d'un transit quelconque de Venus, on pourra savoir à quelle distance du milieu du Soleil ce transit a eu lieu (c'est de la trigonométrie car le Soleil est rond !).

Si on répète cette opération pour un transit vu de deux villes différentes, les seuls temps de durée de transit vu depuis ces deux villes nous permettront d'en connaître la hauteur et on pourra en déduire la distance entre les deux !

 

Regardez le graphique ci-dessous.

Duree-du-transit.PNG

Il contient un dessin du Soleil et un abaque à droite basé sur la fonction cos-1.

En notant les temps sur l'axe des abscisses de l'abaque et en reportant sur le Soleil la hauteur obtenue sur la courbe rouge en cos-1, on trace alors sur le Soleil l'endroit exact où est passé le transit.

 

Cette méthode proposée par Halley a plusieurs avantages :

  • Il est très facile de calculer une durée et avec une bonne précision.
  • Le transit durant plusieurs heures, il peut donc y avoir plusieurs minutes de différence entre la durée observée depuis deux villes.
  • Comme il ne s'agit que de calculer une durée, nul besoin de synchroniser les observations, ni de se soucier de la différence de longitude entre les lieux d'observation comme pour le calcul de Cassini. Il faut seulement aller dans deux villes où le transit est observable...

Halley  fit donc un calcul pour préparer le terrain avant le prochain transit de Venus :

 

Calcul-Halley.PNG

Depuis la ville 1, On voit Venus entrer devant le disque du Soleil au point A1, arriver au milieu du transit au point B1, puis sortir du disque solaire au point C1.

Depuis la ville 1, le transit dure un temps T1.

 

Depuis la ville 2, on voit Venus entrer devant le disque du Soleil au point A2, arriver au milieu du transit au point B2, puis sortir du disque solaire au point C2.

Depuis la ville 2, le transit dure un temps T2.

 

Si on avait pu observer un transit de Venus passant exactement par le milieu S du Soleil, ce transit aurait duré un temps Tmax.

 

Le diamètre apparent du Soleil est de .

 

Sur la figure ci-contre, on voit que les triangles SB1C1 et SB2C2 sont des triangles rectangles. Nous pouvons donc y appliquer Pythagore et nous avons donc :

 

SB12+B1C12=SC12       et       SB22+B2C22=SC22

 

Comme la vitesse de passage de Venus est la même depuis les deux villes, et que V = D/T, nous avons donc:

 

A1C1/T1= A2C2/T2 = D/Tmax

d'où 

  A1C1/2= B1C1 = D × T1 / 2Tmax       et       A2C2/2= B2C2 = D × T2 / 2Tmax

 

Naturellement aussi, nous avons SC1 = SC2 = D/2

 

En remplaçant les valeurs dans la formule de pythagore, nous avons :

SB12=SC12-B1C12= (D/2)² - (D × T1 / 2Tmax

et

SB22=SC22-B2C22= (D/2)² - (D × T2 / 2Tmax

 

Et enfin B1B2 = SB1-SB2 = √((D/2)² - (D × T1 / 2Tmax )²) - √((D/2)² - (D × T2 / 2Tmax )²)

 

Il ne suffit pas d'avoir une belle formule encadrée, il faut pouvoir connaitre la valeur des différentes variables qui la composent si on veut pouvoir s'en servir.

Naturellement, donc, nous nous posons alors les questions suivantes :

 

Que vaut D ?

Nous ne sommes plus à l'époque d'Aristarque, et on sait maintenant que le diamètre apparent du Soleil est de 32', soit 0,53°.

 

Que vaut Tmax ?

Pour calculer Tmax, il nous faut aborder une notion de trigonométrie dans les triangles quelconques :

 

Regardez le triangle ABC ci-dessous :

trigo-trangle-quelconque.pngLes angles de ce triangle sont a, b et c. On a donc a + b + c = 180°.

Les hauteurs de ce triangle nous donnent les points A', B' et C'.

Ces hauteurs nous donnent donc plein de triangles rectangles dans lesquels nous pouvons appliquer la trigonométrie :

Sin(c) = BB'/BC donc BB' = Sin(c)×BC

Sin(a) = BB' / BA donc BB' = Sin(a)×BA

=> Sin(a)/BC = Sin(c)/BA

 

Sin(c) = AA'/AC donc AA' = Sin(c)×AC

Sin(b) = AA' / BA donc AA' = Sin(b)×BA

=> Sin(c)/BA = Sin(b)/AC

 

Et donc

 

 

 

Sin(c)/AB = Sin(b)/AC = Sin(a)/BC

 

Duree-transit-max.PNGOn peut très bien appliquer cette formule dans le triangle Soleil-Venus-Terre (vue de dessus) au moment où Venus sort du disque solaire, à la fin du transit.

 

Nous avons donc :

Sin(A)/SV = Sin(C)/ST

 

Donc Sin(C)= ST.Sin(A) / SV

 

 

 

Le but, est de connaitre l'angle B. En effet, lorsque Venus est au milieu du Soleil, cet angle est de zéro, donc en connaissant l'angle B, et en connaissant la période synodique de Venus, on pourra savoir combien de temps il aura fallu pour que l'angle Terre - Soleil - Venus passe de 0 à B.

Cette durée, c'est exactement la moitié de la durée maximale du transit de Venus !

 

  • Le diamètre apparent du Soleil est de 0,53° (32'), ce qui fait que l'angle A vaut la moitié de cet angle, soit 0,265°.
  • La distance Terre Soleil UA vaut bien évidemment 1 UA.
  • La distance Soleil Vénus SV est connue depuis Kepler et vaut 0,723 UA.

  On a donc Sin(C) = Sin(0,265)/0,723= 0,0064

et donc C = 179,63°, et B = 180 - A - C = 0,10153°

 

Ainsi, l'angle Terre-Soleil-Venus parcouru par Venus pendant la totalité du transit est de deux fois cet angle, soit 0,20306°

 

La période synodique de Venus est de 593,92 jours, c'est à dire que l'angle Terre - Soleil - Venus parcourt 360° durant cette période.

A cette vitesse, les 0,20306° représentent : (593,92 / 360) × 0,20306 = 0,335 jours, soient :

 

8 heures 2 minutes 24 secondes

 

Bon... pour plus de simplicité pour nos calculs, nous pourrons arrondir ce temps maxi de transit à 8 heures. 

 

Maintenant que nous connaissons les valeurs numériques du diamètre du Soleil et du temps max du transit, la formule de Halley devient :

 

B1B2 =α = √((0,265)² - (0,53 × T1 / 16)²) - √((0,265)² - (0,53 × T2 / 16 )²)

 

Et bien, B1B2 est en fait exactement l'angle de décalage entre les deux trajectoires de Venus vu depuis la Terre ! Souvenez-vous la première formule que nous avons vue plus haut :

 

UA = (VS/TV).(AB/tan(α)) = 2,61 . AB/tan(α)

 

Halley pose donc cette formule en 1716, qui permettra enfin de calculer la distance Terre - Soleil !

Pas besoin de synchroniser les prises de vues, il suffit s'implement de mobiliser plein d'observateurs dans tout le monde entier (d'où les transits sont visibles), d'indiquer leur emplacement et la durée observée du transit, et il n'y aura plus qu'à analyser ces résultats à tête reposée.

Mais Halley à 60 ans et le prochain transit est prévu pour dans 45 ans (en 1761)! Il est clair qu'il n'assistera pas à ce transit et ne connaîtra jamais le résultat de sa théorie, mais il a le temps pour mobiliser la communauté scientifique afin que des campagnes d'observations soient menées pour le transit de 1761.

 

La campagne de 1761 n'est pas véritablement une réussite pour plusieurs raisons (guerre franco-anglaise, mauvaise météo, problèmes techniques...), mais certaines mesures peuvent toutefois être prises en compte. Selon les sites d'observation, la parallaxe du Soleil est estimée entre 8,28 et 10,60 secondes d'arc, ce qui laisse tout de même une incertitude importante car cela plaçait le Soleil entre 125 et 160 Millions de Km

 

Par chance, les transits de Venus arrivent par paquet de 2, et le transit de 1761 fut suivi d'un autre transit en 1769 ! Une seconde campagne de grande ampleur fut encore menée et aboutit à une fourchette plus précise : entre 8,43 et 8,80 secondes d'arc.

 

Nous allons reprendre un exemple de mesure effectuée en 1761, entre deux villes, l'une en Suède, et l'autre à Tahiti  séparées de 13400 Km.

Dans la ville suèdoise, le transit a duré 5h53 (5,883 Heures) alors qu'à Tahiti, il a duré 5h30 (5,5 heures).

 

On en déduit donc

B1B2 =α =((0,265)² - (0,53 × 5,5 / 16)²) - √((0,265)² - (0,53 × 5,883 / 16 )²) =

√(0,070225 - 0,0332) -(0,070225 - 0,038)= 0,19242 - 0,1795= 0,01292°

et donc 

UA = 2,61 × 13400 / tan(0,01292) = 155097721 Km

 

Ce sont ces valeurs qui furent calculées à la suite des différentes campagnes afin de calculer cette moyenne et donc la parallaxe solaire. La parallaxe solaire, c'est en fait la taille en degrés qu'aurait le rayon de la Terre vu depuis le Soleil.

Avec notre calcul par exemple, nous obtenons une parallaxe du Soleil de : tan-1(6370/155097721) = 0,00235°, c'est à dire 0,00235 × 60 × 60 = 8,47''

A la suite de la campagne de 1769, cette parallaxe du Soleil fut estimée entre 8,43'' et 8,80'', soit entre 0,02342° et 0,00244°.

 

La distance du Soleil à cette époque était donc estimée entre 149,6 Millions de Km (parallaxe de 8,8'') et 155,8 Millions de Km (Parallaxe de 8,43'')

 

La moyenne communément admise fut alors arrondie à 150 Millions de Km.

 

L'Unité Astronomique était enfin connue !

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