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12 octobre 2013 6 12 /10 /octobre /2013 00:00

Grâce au récent calcul de Cassini et au calcul de la distance Terre-Mars lorsque Mars est au plus près de la Terre, on allait enfin pouvoir estimer la distance Terre-Soleil, c'est à dire l'Unité Astronomique !

 

Le dernier calcul effectué pour connaître cette fameuse distance datait du temps d'Aristarque qui l'évaluait entre 18 et 20 fois la distance Terre-Lune, soit entre 7,2 et 8 Millions de Km !

 

Mais en quoi la connaissance de la distance Terre-Mars va-t-elle nous permettre de connaitre la distance Terre - Soleil ?

Si on retrouve les calculs de Copernic, la distance Soleil-Mars était évaluée à 1,82 UA. C'est à dire que la distance Terre-Mars était de 0,82 UA, soit 55 Millions de Km, ce qui nous fait une unité Astronomique de 67 Millions de Km...

 

Mais depuis Copernic, les chose avaient changé et Kepler était passé par là... On savait maintenant que les orbites des planètes ne sont pas des cercles parfaits, mais des ellipses, et on savait donc qu'il fallait prendre en compte ce facteur pour réussir à calculer notre fameuse distance.

 

L'orbite de la Terre était très proche du cercle, mais celle de Mars avait une excentricité plus grande qui devait être prise en compte... Mais au fait... qu'est-ce-que l'excentricité ?

 

L'excentricité de l'orbite de Mars

Nous vous disions dans le chapitre précédent que le calcul de Cassini avait été effectué au moment où Mars était au plus près de la Terre. Kepler avait découvert quelques années auparavant que l'orbite des planètes et plus particulièrement celle de Mars n'était pas exactement un cercle, mais une ellipse.

De ce fait, pour calculer la distance de la Terre avec la meilleure précision possible, il nous faut absolument tenir compte de ce facteur.

Excentricite.PNG

 

Comme vous pouvez le voir sur le dessin ci-contre, une ellipse est la figure qu'on obtient en fixant une corde (verte sur le dessin) à deux clous F1 et F2 (qu'on appelle les foyers de l'ellipse) et en faisant le tour des deux clous avec un crayon, tout en maintenant la corde tendue.

 

La forme obtenue sera plus ou moins elliptique en fonction de deux facteurs :

  • La longueur de la corde

  • L'espacement des deux clous

 

On voit sur la figure que si la corde à une longueur très proche de la distance entre F1 et F2, alors la forme sera très allongée. En revanche, plus la corde aura une grande taille et plus la forme dessinée sera grande et ressemblera presque à un cercle.

Dans le même sens, si on garde la même corde, mais qu'on espace progressivement les deux clous, l'ellipse sera de plus en plus allongée. Si on les resserre, elle deviendra plus ronde jusqu'à devenir un cercle lorsque les deux clous seront tous les deux au même endroit.

 

Ainsi, l'aplatissement de l'ellipse dépend donc du rapport entre l'espacement des deux clous et la longueur de la corde. Ce rapport, c'est l'excentricité !

 

Au pire, la corde ne peut pas être plus courte que la distance des deux clous (sinon on ne peut pas l'attacher !!!). Dans ce cas, l'excentricité est de 1 puisque les deux longueurs sont égales et notre ellipse est un trait tellement elle est aplatie.

Dans l'autre sens, soit la corde devient très très grande, soit l'espacement entre les deux clous devient tout petit, et l'ellipse devient un cercle. Dans ce cas, l'excentricité est de 0.

 

Si on reprend notre définition de l'excentricité on a :

                                                           Espacement entre les deux clous ou foyers

Excentricité =    -----------------------------------------------------------

                                                                            Longueur de la corde

 

Avec sur notre dessin :

  • Distance entre les deux clous = F1F2
  • Longueur de la corde = F1F2 + 2.F1M2 (en effet, la longueur de la corde peut être facilement calculée lorsque les crayon est en M2)

 

Si on ajoute le point C qui est au milieu des deux clous (C est appelé le centre de l'ellipse), on obtient :

  • Distance entre les deux clous = F1F2 = F1C + CF2 = 2.CF1
  • Longueur de la corde = F1C + CF2 + 2.F1M2 = 2.CF1 + 2.F1M2 = 2.CM2

 

Et donc

 

Excentricité = CF1 / CM2

 

Mais revenons à nos moutons... C'est à dire à la planète Mars... Dans sa première loi, Kepler avait énoncé que l'orbite des planètes (et donc celle de Mars) est une ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers.

 

Terre-Mars.PNG

Regardons donc plus précisément les deux orbites de la Terre et de Mars au moment où Mars est le plus proche de la Terre dans le dessin ci-contre.

L'orbite de la Terre est considérée comme étant un cercle et celle de mars comme une ellipse dont le Soleil occupe un foyer, l'autre foyer étant le point F. Le milieu des deux foyers est le point C.

 

Par définition de l'excentricité, nous avons

e = CS / CM

 

Or CM = CS + ST + TM = e.CM + ST + TM et donc

 

CM = (ST + TM) / (1 – e)

 

D'un autre côté, la troisième loi de Keppler nous donne :

ST3/Tt² = CM3/Tm²

avec Tt et Tm les périodes de révolution de la Terre et de Mars, et donc :

 

CM = ST.(Tm/Tt)2/3

 

En remplaç ant CM dans les deux formules, on obtient :

 

ST = TM / ((1-e).(Tm/Tt)2/3-1)

 

Quelle révolution !!! Vous ne vous en rendez peut-être pas encore compte, mais cette formule signifie que si on connaît la distance minimale Terre-Mars, si on connait les périodes de révolution de la Terre et de Mars et si on connaît l'excentricité de l'orbite de Mars, alors on peut connaître la distance Terre-Soleil !!!!... et c'est le cas maintenant !

 

Nous avons en effet toutes ces données et pouvons effectuer ce calcul !

 

Tt = 1 an (la période de révolution de la Terre),

Tm = 1,88 ans (la période de révolution de Mars, connue depuis Keppler),

e = 0,093 (l 'excentricité de l'orbite de Mars connue aussi depuis Keppler).

TM = 55 Millions de Km (calculé par Cassini)

 

On en déduit donc

 

ST = Distance Terre-Soleil = 55 / ((1 – 0,093).(1,88)2/3-1) = 144 MKm !

 

C'est très proche de la réalité, mais avec notre calcul de 44 Mkm, cela nous donne une distance Terre-Soleil de 115 MKm...

Tout comme son illustre prédécesseur Eratosthene, Cassini a eu tout de même beaucoup de chance... et tout comme lui, son calcul devra être confirmé par de futures expériences...

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commentaires

JPP 15/10/2017 15:18

c pas sa que je cherche xsh

huet ouissal 30/11/2013 11:25

c'est trés important de connaître

mamina 25/02/2015 17:55

oui