Overblog Suivre ce blog
Editer l'article Administration Créer mon blog
27 octobre 2013 7 27 /10 /octobre /2013 00:00

Avec nos connaissances en trigonométrie et en connaissant maintenant la taille (relative) de la Lune, il serait très facile de calculer la distance de la Terre à la Lune et nous verrons comment.

Pourtant, à son époque, Aristarque n'avait pas de trigonométrie. Il connaissait en effet uniquement le Théorème de Pythagore et le théorème de Thalès.

 

Nous allons voir comment il est parvenu, avec juste une règle et un peu de logique, à encadrer la distance de la Terre à la Lune et d'en conclure que :

 

 

 22,5 * Diamètre de la Lune< Distance Terre – Lune < 30 * Diamètre de la Lune

 

 

La seule hypothèse qui lui a été utile pour arriver à cette conclusion fut :

- Le diamètre apparent de la Lune est de un quinzième d'un signe du Zodiaque(c'est à dire 2°, mais nous avons déjà parlé de cette hypothèse au chapitre précédent),

 

Pour comprendre sa démonstration, une étude préalable (premiers pas vers la trigonométrie) est nécessaire :

 

Démonstration préalable:

 Triangle 

Soit le triangle ABC ci-contre.

Nous divisons l'angle CAB en 4 angles égaux. On crée  donc  les points D, E  et Fsur le segment BC.

 

On projette ensuite D perpendiculairement sur le segment AE pour former le point G. Les deux triangles ADB et AGD ont tous leurs angles égaux. En fait, ils sont identiques et on a donc BD = DG.

 

On continue le principe pour créer les points H et I tels que ABD, ADG, AGH et AHI soient tous identiques avec donc BD = DG = GH = HI.

 

G étant la projection de D perpendiculaire à AE, G est donc le point de AE le  plus proche de D.On a donc DG < DE.

Par le même procédé, on a aussi GH < EF et HI < FC

 

On en déduit donc que :

BD + DG + GH + HI = 4 BD < BD + DE + EF + FC = BCd'où BD < BC/4

 

 Cela fonctionne aussi si on coupe l'angle CAB en n parties et on aura BD < BC/n

 

Cette démonstration préalable étant faite, nous pourrons donc nous en servir plus tard et démarrer maintenant l'explication de la démonstration d'Aristarque

 

Voici donc comment Aristarque s'y est pris pour l'estimation basse :Distance Lune maxi

 

Construisons un carré ayant pour côté la distance Terre - Lune.

Comme c'est un carré, on a donc :

 

  • AB = Distance Terre-Lune

  • L'angle A-Terre-B est de 45°

     

  • Terre-A-B est un triangle rectangle en A

En appliquant la démonstration faite au dessus, on en déduit donc que si l'angle sous lequel nous apparaît la Lune est α, alors nous avons la relation :

 

 

 

Diamètre de la Lune <(α/45) * Distance Terre Lune

 

Ce qui nous fait, avec les 2° d'Aristarque :

 

Diamètre de la Lune < (2 / 45) * Distance Terre - Lune

 

et avec le diamètre apparent de 0.62° de la Lune que nous avons calculé, nous aurions eu :

 

Diamètre de la Lune < (0,62 / 45) * Distance Terre - Lune

 

Voici maintenant comment Aristarque s'y est prit pour l'estimation haute :

Distance Lune mini

 

Traçons un cercle de centre la Terre et de rayon la distance Terre - Lune. Les deux points tangents à la Lune sont les points A et B.

Comme l'angle de la Lune est de α, alors on a :

 

Arc de cercle AB = Cercle total * (α / 360)

 

On trace maintenant un cercle de centre B et de rayon la distance Terre - Lune. Il coupe l'orbite de la Lune en C.

On reconnaît par cette méthode la manière de tracer un hexagone. C'est à dire :

 

Arc de cercle BC = Cercle total / 6

 

Or, comme l'arc de cercle BC est beaucoup plus grand que l'arc de cercle AB, alors

 

Arc de cercle BC           BC

--------------------- > -------

Arc de cercle AB           AB

 

Cette inégalité s'explique par le fait que plus un arc de cercle est grand, et plus la différence entre la Longueur de l'arc et la longueur du segment est importante. Or BC est bien plus grand que AB. Donc :

 

         Cercle total / 6               BC

------------------------- > -------       donc

  Cercle total * (α/ 360 )         AB

 

 AB *(60/α) > BC, et en remplaçant AB par le Diamètre de la Lune et BC par la Distance Terre Lune, on a :

 

Diamètre de la Lune *(60 / α) > Distance Terre Lune

 

 Ce qui nous fait, en prenant l'angle de 2° trouvé par Aristarque :

 

Diamètre de la Lune * 30 >  Distance Terre Lune

 

Pour être tout à fait honnête, il faut reconnaître qu'Aristarque n'avait pas fait l'approximation AB = diamètre de la Lune.

Cette différence a compliqué un peu sa démonstration et je l'ai zappée pour plus de clarté car le résultat est le même.

 

Avec notre estimation du diamètre apparent de la Lune à 0,62°, nous obtenons :

 

Diamètre de la Lune * (60 / 0,62) >  Distance Terre Lune

 Soit

Diamètre de la Lune * 96,8 >  Distance Terre Lune

 

 

Deux autres moyens de calculer la distance de la Lune :

 

1er Moyen : Le théorème de Thales.

Rappelez-vous l'expérience avec un confetti ou une pièce de monnaie, qui nous a permis de calculer le diamètre de la Lune:

diametre apparent lune

Et bien nous allons réutiliser les données que nous avions trouvées, et en déduire la distance de la Lune :

 

On a donc :

 

 Distance Oeil - Lune            Taille de la Lune

------------------------- = ------------------------

 Distance Oeil - Pièce            Taille de la pièce

 

                                                Taille de la Lune * Distance Oeil - Pièce

 D'où  Distance Oeil - Lune =  ------------------------------------------

                                                               Taille de la Pièce

 

Avec les données que nous avions trouvées, par l'expérience de la pièce, cela nous donne :

 

                                                 Taille de la Lune * 176

 D'où Distance Terre / Lune =  -----------------------------

                                                                2

 

2nd Moyen : La trigonométrie

Par définition de la tangente, nous avons

 

                      Diamètre de la Lune

Tan(α)=      ---------------------------- et donc  

                    Distance Terre - Lune      

 

Distance Terre - Lune = Diamètre de la Lune * (1/Tan(α))  

 

Avec les 2° d'Aristarque, nous trouvons

 

Distance Terre / Lune = 28,6 * Diamètre de la Lune

 

Avec les 0,62° trouvés par nos expériences, nous trouvons

 

Distance Terre / Lune = 92,4 * Diamètre de la Lune

 Avec les 0,52° réels, nous trouvons

 

Distance Terre / Lune = 110,2 * Diamètre de la Lune

 

 


Maintenant, nous savons

 

 

- Quelle est la Taille de la Lune ?

Pour Aristarque 1/3 de la Taille de la Terre

- Quelle est la distance Terre - Lune ?

Pour Aristarque : entre 22,5 fois et 30 fois le diamètre de la Lune

Pour Nous avec la méthode d'Aristarque : entre 72,6 (45/0,62) fois et 96,8 (60/0,62) fois le diamètre de la Lune

Pour nous avec la trigonométrie : 92,4 fois le diamètre de la Lune(16,4 % d'erreur)

En réalité : 110,6 fois le diamètre de la Lune

 

 

Aristarque ne s'arrêta pas là. Il était certain de pouvoir calculer aussi la distance du Soleil. Il fallait pour cela effectuer l'observation qu'il fallait pour démarrer sa démonstration. C'est ce que nous allons voir dans le prochain chapitre

 

Le calcul des distances dans l'antiquité : La distance du Soleil

Partager cet article

Repost 0

commentaires

Lilly 30/12/2013 06:12

Really informative post.

Smartsmur 30/12/2013 22:02

Thanks for your comment, it's very nice !

Luciole 10/12/2013 15:00

Félicitation pour la qualité de ce site ! J'ai juste relevé une petite erreur "de frappe" dans la formule du calcul de la distance Terre-Lune. Il s'agit de "Diamètre de la lune*60/alpha > Distance Terre-lune" et non "Diamètre de la lune*alpha/60 > Distance Terre-lune".

Smartsmur 10/12/2013 21:18

Merci pour ce commentaire et surtout pour cette lecture attentive !
Effectivement, pour une borne supérieure de la distance Terre-Lune, Diamètre de la Lune * (α/60), ça nous faisait une Lune bien proche !!!!
J'ai corrigé l'erreur et du coup remis la Lune à sa place (sans prétention !).

Merci encore pour cette remarque pertinente