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26 septembre 2013 4 26 /09 /septembre /2013 00:00

Vous remarquerez bien vite que la plupart de nos démonstrations, bien qu'étant simples, reposent principalement sur trois bases :

  • Le théorème de Thalès
  • Le théorème de pythagore
  • La trigonométrie

Il est donc préférable que vous soyez à l'aise avec ces notions si vous voulez bien comprendre le contenu de tous ces chapitres.

Vous verrez, encore une fois, que si ces théorèmes, ou notions repoussent pas mal de personnes, en fait, ils sont très simples et je vais tout faire pour vous en convaincre.

 

Le théorème de Pythagore

 

Bien que ce pauvre théorème fasse souvent peur, vous allez voir que sa démonstration est d'une simplicité étonnante.

 

Voici le théorème.

triangle-rectangle.PNG

Soit un triangle ABC rectangle en A. 

Le relation entre les trois côtés de ce triangle est :

AB² + AC² = BC²

 

Pour rappel, un triangle rectangle est en fait une moitié de rectangle. Sa particularité, est que l'un de ces angles est un angle droit (un angle à 90°, ou un angle à l'équerre). Il est souvent noté avec un petit carré pour montrer justement qu'une équerre viendrait juste s'emboîter dedans, montrant que c'est un angle droit.

 

Dans notre exemple, c'est l'angle en A qui est droit. C'est pour cela qu'on dit que le triangle est rectangle en A.

 

 

Démonstration du Théorème :

Observez la figure ci-contre :

 

pythagore1

Nous y voyons quatre triangles rectangles gris de côtés A, B et C, qui sont posés à l'intérieur d'un grand carré de côté A+B.

Dans cette disposition, nos quatre triangles rectangles laissent apparaître un grand vide blanc au milieu.

Ce vide est un carré de côté C, et donc sa surface est C².

 

Gardons les mêmes petits triangles rectangles, mais disposons les d'une autre manière à l'intérieur de notre grand carré, comme ceci :

pythagore2.PNG

On voit maintenant que la surface blanche n'est plus un grand carré, mais deux carrés plus petits : l'un de côté A, et l'autre de côté B. La surface blanche vaut donc A² + B².

Comme nous avons gardé le même nombre de triangles rectangles dans le même grand carré, alors la surface blanche n'a pas changé.

 

On a donc naturellement C² = A² + B²

 

Mais à quoi cela sert-il, me direz vous ?

Vous l'aurez compris, cela sert à trouver facilement la longueur d'un côté d'un triangle rectangle lorsqu'on connaît les deux autres... Voyons voir....

  • J'ai acheté une télévision 16/9 dont la diagonale fait 120cm... Bon d'accord... mais quelle est donc la hauteur et la largeur de ma télévision ? Hop ! on applique Pythagore ! Si X est la hauteur de ma télévision, alors j'ai :

X² + (16/9X)² = 120 ² d'où X = 58.83 cm.

Donc ma télévision  fait 58,8 cm par 104,5 cm.

  • Je peux par exemple calculer la diagonale d'une feuille de papier X² = 21² + 29.7² donc X=36.37cm.
  • Ne vous êtes vous jamais demandé un jour, quelle est la distance de l'horizon lorsqu'on est, par exemple au deuxième étage d'un immeuble au bord de la mer ? Et bien la solution vient encore de pythagore :

    distance-de-l-horizon-copie-1.PNG

 

Au niveau de l'horizon, notre ligne de vue est tangente à la Terre. Elle est donc perpendiculaire au rayon de la Terre à cet endroit.

Notons H le point le plus éloigné de l'horizon que nous puissions voir, C le centre de la Terre, et A l'observateur à sa fenêtre au 2ème étage, à 7 mètres du sol.

Notre triangle CAH est rectangle en H donc on peut appliquer pythagore :

CH = 6470 Km (le rayon de la Terre), soit 6470000 mètres

CA = 6470 Km + 7 mètres, soit 6470007 mètres.

 

On a donc AH² = 6470007²-6470000²,  et donc AH = 9517 mètres

 

Vous voyez comme avec Pythagore, les problèmes compliqués sont résolus facilement. !

 

A vous de jouer :

Sachant que les montagnes de la Corse les plus proches du continent sont environ à 194 km de la côte niçoise et qu’elles culminent à environ 2300 m, à quelle hauteur minimale h devrait-on s’élever pour espérer observer les montagnes corses depuis les hauteurs de Nice ?

Un petit indice :

Nous avons maintenant deux triangles rectangles, donc deux fois le théorème de Pythagore à appliquer !

Déjà, nous avons :

AH + HB = 194 000 m

Ensuite Pythagore nous dit

HB² = 6372300² - 6370000²

Et

HA² = (6370000 + h)² - 6370000²

 

En remplaçant HB et HA dans la première relation, nous avons :

racine(6372300²-6370000²)+racine((6370000 + h)²-6370000² = 194000

Soit

171194 + racine((6370000+h)²-6370000²)=194000

Soit

h = racine((194000-171194)²+6370000²)-6370000 = 40 mètres

Donc, si je m’élève de plus de 40 mètres au-dessus du niveau de la mer, alors je devrais pouvoir espérer, par temps très clair, voir les hauteurs des montagnes corses. En dessous de 40 mètres, il n’y a aucun espoir. Vous verrez dans l’annexe consacrée aux notions de base de l’optique qu’en réalité, c’est un peu différent !

 

 

La trigonométrie

 

Aille ! Aille ! Aille !!! Encore un gros mot qui fait peur, mais qui pourtant est bien utile...Trigonometrie-copie-1.PNG

 

Imaginons le cercle ci-contre, de rayon 1 mètre et un point P qui tourne autour de ce cercle. Pour tourner autour du cercle, notre point P reste sur la circonférence du cercle et la parcourt en faisant un angle α qui va de 0° à 360°.

A chaque instant, on aimerait bien savoir quelle est la hauteur du point (y sur le dessin) et sa position au sol (notée x sur le dessin). On voit rapidement que :

Si α = 0°, alors x = 1 et y =0

Si α = 90°, alors x = 0 et y = 1

 

Et bien figurez-vous simplement que y est appelé le sinus de l'angle α (ou sin(α)) et x est appelé le cosinus de l'angle α (ou cos(α)).

Cela vaut pour un cercle de rayon 1 mètre.

Pour un cercle de rayon 2 mètres, pour le même angle α, X sera deux fois plus grand de telle sorte que Y=2*sin(α).

Plus globalement, si on a un cercle de rayon R, on aura Y=R*sin(α), ou sin(α) = y/R.

 

Bien entendu, l'intérêt de la trigonométrie, c'est qu'il ne s'applique pas uniquement aux cercles :

Remarquez le triangle OxP... Il est rectangle en x !

Donc, la trigonométrie s'applique aussi aux triangles rectangles, avec la même relation, mais un vocabulaire différent :

R ou OP n'est plus le rayon du cercle mais l'hypoténuse du triangle

y ou xP est le côté opposé de l'angle α

x ou yP est le côté adjacent de l'angle α

 

Avec ce vocabulaire, on a donc :

sinus(α) = Côté opposé / hypoténuse

cosinus(α) = côté adjacent / hypoténuse

et on a même

Sinus(α)/cosinus(α) = tangente(α) = côté opposé / côté adjacent

 

Grâce à pythagore, on a une relation entre deux côtés et le troisième dans un triangle rectangle

Grâce à la trigonométrie, on a une relation entre un côté et un angle et les deux autres côtés d'un triangle rectangle...

 

Ce n'est pas tout de connaître la définition du Sinus, du Cosinus et de la Tangente, encore faut-il connaître leurs valeurs et là, ça se complique un peu... mais heureusement, nous sommes à l'ère des calculatrices et elles nous donnent cela instantanément !

Dans l'antiquité, Hipparque et Ptolémée avaient publiés des tables qui indiquaient, pour des valeurs précises de l'angle la valeur du Sinus et du Cosinus. On n'avait donc plus qu'à trouver la valeur d'angle dans la table la plus proche de notre angle et le tour était joué.

 

Sachez enfin que toute fonction ayant son inverse, il existe aussi les fonctions Sin-1 ou Arcsinus, Cos-1 ou Arccosinus et Tan-1 ou Arctangente qui ne donnent plus un rapport de longueur en fonction d'un angle, mais un angle en fonction d'un rapport de longueurs...

 

L'application la plus simple de la trigonométrie consiste à calculer la taille d'un objet si on connait sa distance et l'angle sous lequel on le voit... (un peu comme la lune, le Soleil, les planètes...).

 

Si l'angle α devient tout petit, on se rend compte que la distance x devient très très proche du rayon du cercle... En vocabulaire du triangle, on dirait que le côté adjacent devient très très proche de l'hypoténuse. Du fait, on a alors (pour les tout petis angles) : cos(α) = tan(α)

 

Nous avons donc pour les petits objets : tan(α) = Taille de l'objet / Distance de l'objet

 

Le théorème de Thalès

 

Bien que ce théorème était connu avant la découverte de la trigonométrie, je préfère que nous l'abordions après car sa démonstration est extrêmement simple en utilisant la trigonométrie.

On l'appelle  "Le Théorème de Thalès", bien qu'en réalité Thalès n'en soitpas le père. C'est donc plus en hommage à Thalès que ce théorème porte son nom aujourd'hui.

 

Voici l'énoncé du théorème :

Soit ABC un triangle quelconque. Soit une droite parallèle au côté BC coupant le segment AB en D et AC en E. La relation entre toutes ces distances est telle que :

AB/AD = AC/AE = BC/DE

 

Dit autrement : deux triangles homothétiques ont tous leurs segments multipliés par le même rapport.

Theoreme-de-Thales.PNG

En astronomie, ce théorème est bien utile, et je vais vous expliquer pourquoi :

Imaginons qu'on se place exactement au point A. Nous ne voyons alors pas le segment BC, car il est caché exactement par le segment DE... Cela ne vous rappelle pas quelque chose...

Les éclipses de Soleil : la Lune (segment DE) cache exactement le Soleil (segment BC). Donc il existe un lien entre toutes ces distances. Si on connaît la distance du Soleil et la taille de la Lune, alors nous pourrons en déduire la taille du Soleil !

 

Depuis très longtemps, une démonstration de ce théorème existe. Il ne s'agit que d'une demi démonstration car elle ne démontre que AB/AD = AC/AE.

On doit cette démonstration à Euclide vers 300 avant JC. Cette démonstration s'appelle "la démonstration par les aires" car elle utilise uniquement les aires des triangles.

Nous allons voir cette démonstration

 

Préliminaire :

Comme vous devez vous y habituer, il y a souvent un petit préliminaire aux démonstrations pour bien comprendre leur raisonnement. Ce préliminaire concerne le calcul de l'aire d'un triangle.

 

Aire-triangle.PNG

Observez le triangle ABC ci-dessous. Il est totalement quelconque.

Par contre, en prenant la projection de A perpendiculairement à BC sur BC, j'obtiens le point H et du coup, deux triangles rectangles en H : ACH et AHB.

Comme un triangle rectangle est un demi rectangle, son aire est facile à calculer :

Aire ACH  = (CH * AH) / 2

et

Aire AHB = (AH * HB) / 2

 

L'aire totale de mon triangle quelconque n'est autre que la somme des deux :

Aire ABC = AH * (CH + HB) / 2 = (AH * CB) /2

AH est en fait la hauteur du triangle ABC en A et donc la formule générique d'un triangle est donc :

Aire triangle = Base * Hauteur / 2

 

On voit donc que tous les triangles ayant la même base et la même hauteur ont la même surface : ainsi, sur la figure du dessus, les triangles AC1B, AC2B et AC3B ont la même surface.

 

Dit autrement : Tous les triangles qui ont la même base et leur troisième sommet sur une même droite parallèle à la base ont la même surface. On voit en effet que C1C3 est parallèle à AB

Nous allons nous servir de cette propriété pour la démonstration des aires d'Euclide

 

Démonstration par les aires d'Euclide :

On reprend notre construction de départ.

Thales-par-Euclide.PNG 

 

D'après ce que nous venons de voir juste à l'instant, comme ED est parallèle à CB, alors les triangles CBE et CBD ont la même surface car ils ont la même base et la même hauteur.

Décomposons l'aire du triangle ABC :

Aire (ABC) = Aire (ACD) + Aire(CBD)

et

Aire (ABC) = Aire (AEB) + Aire(CBE)

 

Or, comme nous avons vu que Aire(CBE) = Aire (CBD), alors on a aussi ;

Aire (ACD) = Aire (AEB)

 

Si on projette B perpendiculairement à AC, on obtient le point B' et on a BB' est la hauteur des triangles ACB, AED et ECB de telle sorte que :

Aire (ABC) = AC*BB' / 2 et Aire (AEB) = AE *BB' / 2 et donc

Aire (ABC) / Aire (AEB) = AC / AE = Aire (ABC) / Aire (ACD)

Si on projette C perpendiculairement à AB, on obtient le point C' et on a CC' est la hauteur des triangles ACB, ACD et DCB de telle sorte que :

Aire (ABC) = AB*CC' / 2 et Aire (ACD) = AD *CC' / 2 et donc

Aire (ABC) / Aire (ACD) = AB / AD = Aire (ACB) / Aire (ACB)

 

Et don AC/AE = AB/AD

 

Démonstration par la trigonométrie :

 

Thales-par-la-trigo.PNGOn reprend à nouveau notre schéma de départ et on projette tous les points B, C, D et E perpendiculairement sur la droite opposés. On aura alors plein de triangles rectangles pour pouvoir utiliser les formules de trigonométrie.

Soit α l'angle BAD, β l'angle E'EC et D'DB, et γ l'angle ECC' et DBB'.

 

On a les relations trigonométriques suivantes :

 

Sin(α) = E'E/EA = D'D/DA d'où E'E/D'D = EA / DA

 

Cos(β)= E'E/CE = D'D/BD d'où E'E/D'D = CE/BD et donc :

AE / AD = CE / BD

 

On a aussi :

Sin(α) = CC' / CA = BB'  / BA d'où CC'/BB4 = CA / BA

 

Cos(γ) = CC' / CE = BB' / BD d'où CC'/BB' = CE / BD

et donc :

CA / AB = CE / BD

 

 et au final

AE / AD = CE / BD = CA / AB

 

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Published by astronomie-smartsmur - dans Annexes
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25 septembre 2013 3 25 /09 /septembre /2013 00:00

Si toutes les planètes et les satellites tournaient dans le même plan autour du Soleil, on aurait beaucoup d'éclipses et beaucoup de transits.

On aurait ainsi une éclipse de Soleil à chaque nouvelle Lune (donc tous les 29,5 jours) et une éclipse de Lune à chaque pleine Lune (tous les 29,5 jours également) !

On aurait aussi un transit de Mercure à chaque alignement Soleil - Mercure - Terre (tous les 115,8 jours soit la période synodique de mercure) et un transit de venus tous les 583,9 jours (période synodique de Venus)...

 

...Or il n'en est rien !

 

Vous l'aurez compris, cela est donc dû au fait que les planètes ne tournent pas toute exactement dans le même plan.

Le plan dans lequel tourne la Terre autour du Soleil s'appelle l'écliptique. Ce plan passe par chacune des 12 constellations du Zodiaque et bien évidemment le Soleil ne le quitte jamais, puisque par définition l'écliptique est le plan qui contient la Terre et le Soleil.

La Terre est la seule a se trouver exactement dans ce plan et tous les autres objets (planètes, comètes...) du système solaire tournent autour du Soleil avec un léger angle par rapport à l'écliptique, et même s'il est petit, il est toujours différent. Ils tournent donc dans des plans différents.

Voici ci-dessous les inclinaisons des orbites des planètes par rapport à l'écliptique.

Lune : 5,145°

Mercure :

Venus : 3,39 °

Mars : 1,85°

Jupiter : 1,31°

Saturne : 2,48°

Uranus : 0,77°

Neptune : 1,77°

Cela signifie qu'une partie du temps, les planètes sont sous l'écliptique, et l'autre partie du temps, elles en sont au-dessus.

Ce sont ces tout petits degrés qui font toute la différence. A cause d'eux, les éclipses et les transits sont assez rares et un des travaux des premiers astronomes fut bien évidemment d'essayer de les prédire.

Ce sont ces moyens de prédictions que nous allons vous montrer dans cette annexe. Bien sûr nous n'avons pas la prétention de prédire le prochain transit de Venus ou l'endroit d'où sera visible la prochaine éclipse de Soleil, mais nous allons essayer de comprendre quels sont les critères requis pour qu'une éclipse ou un transit survienne et donc comment leur fréquence peut-être prévue.

Vous verrez qu'il existe plusieurs méthodes plus ou moins simples pour comprendre les éclipses et les transits. 

 

Première méthode : Les inclinaisons des orbites et probabilités

 

Les éclipses de Soleil

 

Pour les éclipses concernant la Lune, le calcul est assez simple, car la Lune tourne autour de la Terre. Comme l'orbite de la Lune est inclinée à 5,145° par rapportà l'écliptique, cela signifie qu'à tout moment, elle peut donc se retrouver entre +5,145° et -5,145° dans notre ciel autour de l'écliptique.

Comme la Lune tourne autour de la terre, cet angle ne varie pas exactement linéairement mais en suivant une sinusoïde d'amplitude 5,145°, et de fréquence 27,32 jours (la période de révolution de la Lune).

 

On peut donc dire que si à T0, l'angle est de 0°, alors il variera en fonction des jours x selon la formule :

Angle = 5,145 * sin(360X/27,32)

 

Cette variation d'angle en fonction des jours est décrite dans le graphique ci-contre.

Comme vous le savez, le diamètre apparent du Soleil et celui de la Lune sont à peu près équivalents et valent 0,53°.

Cela signifie que si l'écart entre le centre du Soleil et le centre de la Lune est de plus de 0,53° (un rayon du Soleil plus un rayon de la Lune), alors nous n'aurons pas d'éclipse. S'il est en dessous, alors nous aurons une éclipse !

Cela est expliqué dans le dessin ci-contre : si la distance entre les deux centres est inférieure à la somme des deux rayons, il y aura une éclipse

A T0, donc, l'angle que fait la Lune avec l'écliptique est de 0°. Il va augmenter et rester  sous la barre des 0,53° pendant une durée X telle que :

5,145*sin(360X/27,32)=0,53

 

C'est à dire

X= (27,32/360)*sin-1(0,53/5,145)= 0,44 jours.

Vous pouvez voir sur le graphique que cette séquence de 0,44 jours de répète 4 fois durant la période de révolution de la Lune (deux fois juste au dessus et deux fois juste en dessous de l'écliptique) ce qui fait que les éclipses sont possibles pendant une période totale de 0,44×4=  1,76 jours durant une révolution complète de la Lune autour de la Terre qui dure 27,32 jours. 

 

De manière simple, je peux donc dire qu'au moment d'un alignement Terre-Lune-Soleil, nous avons une chance sur 27,32/1,76 = 15,52 qu'une éclipse intervienne.

Dit autrement, cela signifie qu'il y a en moyenne 1 éclipse de Soleil tous les 15,52 mois lunaires (attention, cette estimation est fausse, nous allons tout de suite vous expliquer pourquoi !)

 

Cette estimation est bien supérieure à la réalité car nous avons oublié un facteur très important : le rayon de la Terre est non négligeable comparé à la distance Terre - Lune. Or dans notre calcul, nous avons supposé la Terre réduite à un point.

Il faut donc ajouter les cas, où depuis le centre de la Terre, la Lune apparaît au delà des 0,53°, mais si on se situe à 6370 Km du centre (au pôle par exemple), le simple décalage de 6370 Km ramènera la Lune dans le disque Solaire.

Angle-Terre-Lune.PNG

Sur le dessin ci-contre, cela signifie que ce n'est pas l'angle a qui doit être inférieur à 0,53°, mais l'angle b !

 

 

 

Quelle relation existe-t-il entre l'angle a et l'angle b ?

 

Considérons les distances suivantes :

TL = la distance Terre-Lune 

Rt = le rayon de la Terre

H : La distance entre le centre de la Lune et la droite Soleil-Terre

 

On a

Tan(a) = H/TL d'où a = tan-1(H/TL)

et

Tan(b) = (H-Rt)/ TL d'où H = ((Tan(b) × TL) + RT)/TL

 

Ce qui nous donne :

 a = Tan-1(((Tan(b)×TL) + Rt)/TL)

 

Avec b=0,53° (nous avons vu plus haut à quoi correcpond cet angle), cela nous donne a=1,44°

 

En reprenant notre calcul précédent avec un angle de 1,44°, nous n'obtenons alors plus 0,44 jour, mais 1,2334 jours et donc 4,93 jours pendant lesquels une éclipse est possible.

Du coup, nous avons une chance sur 27,2/4,93 = 5,55 d'observer une éclipse de Soleil lors d'un alignement Terre-Lune-Soleil et donc les éclipses doivent arriver en moyenne tous les 5,55 mois lunaires.

La fréquence moyenne est de 5,45 mois, donc vous pouvez voir qu'avec un calcul simple, nous arrivons à un résultat très proche.

 

Vous allez voir dès à présent, que pour Mercure et Venus et pour les éclipses de Lune, le rayon de la Terre à moins d'importance. Pour les éclipses de Lune d'abord puisque contrairement aux éclipses de Soleil, elles sont visibles depuis tous les endroits de la terre (voyant la Lune au moment de l'éclipse tout de même !) et pour les transits de Mercure et Venus, les distances sont si grandes que le rayon de la Terre peut être négligé.

 

Les éclipses de Lune

 

Pour les éclipses de Lune, le principe est le même que pour les éclipses de Soleil, en remplaçant le Soleil par le cône d'ombre de la terre. Nous avons vu dans un précédent chapitre que la taille de l'ombre de la Terre au niveau de l'orbite de la Lune est d'environ 2,6 fois le diamètre de la Lune.

Cela signifie que si l'écart entre le centre de l'ombre de la Terre et le centre de la Lune est de moins de 0,954° (le rayon du cône d'ombre de 2,6 fois le rayon de la Lune (0,265° × 2,6) plus un rayon de la Lune de 0,265°, alors nous aurons une éclipse de Lune.

 

En reprenant le calcul de notre sinusoïde, nous avons :

X= (27,32/360)×sin-1(0,954/5,145)= 0,811 Jours

 

Donc dès que la Lune passe dans le plan de l'écliptique, elle reste à moins de 0,954° pendant 0,811 jours.

Cela nous fait donc une période de 0,811×4 = 3,244 jours pendant laquelle nous pouvons observer une éclipse de Lune au cours d'une révolution complète de la Lune autour de la Terre.

 

Nous pouvons donc dire qu'au moment d'un alignement Soleil-Terre-lune, nous avons une chance sur 27,32/3,244 = 8,42 d'observer une éclipse de Lune. Cela signifie qu'il y a en moyenne une éclipse de Lune tous les 8,42 mois lunaires. La réalité est de 7,69. Encore une fois, nous sommes très proches de la réalité !

 

Les transits de Mercure et de Venus

  

Occupons-nous maintenant des transits de Venus et de Mercure...

Regardez l'image ci-dessus : On y voit une coupe du système Solaire dans le plan de l'écliptique au moment d'une conjonction Soleil Planète (Alignement vue de dessus). On note a l'angle que fait la planète avec le plan de l'écliptique à cet instant.

 

Ce qui compte, c'est l'angle b qui doit être inférieur à 0,265° pour obtenir un transit (le rayon apparent du Soleil).

Comme pour la Lune juste au-dessus, nous pouvons dire que l'angle a que fait la planète à un instant x par rapport à l'écliptique est sinusoïdale :

 

a = Angle de la planète × sin(360X/durée de révolution)

 

Que vaut donc ce fameux angle B ?

Nous avons vu dans le chapitre consacré au calcul de la distance du Soleil par la méthode de Halley et des transits de Venus, la relation qui existe entre les angles d'un triangle quelconque. Si nous appelons c l'angle Soleil-Planète-Terre, alors nous avons :

sin(a)/Terre-Planète = sin(b)/Soleil-Planète=sin(c)/Soleil-Terre

et

a+b+c=180°

 

Cela signifie que

sin(c)=(sin(b)×(Soleil-Terre))/(Soleil-Planète)

et donc c=sin-1((sin(b)×(Soleil-Terre))/(Soleil-Planète))

 

d'où

b=180-(Angle orbite planète × sin(360X/durée de révolution))-sin-1((sin(b)×(Soleil-Terre))/(Soleil-Planète))

 

Et enfin

et donc le transit pourra arriver pendant une durée de X jours pendant une révolution de la planète avec :

 

X= 4×(durée de révolution/360).sin-1((180-sin-1(Sin(b)×Soleil-Terre/Soleil-Planète)-b)/Angle de la planète)

 

Pour Mercure, on a :

  • b = 0,265°
  • Durée de révolution = 87,97 jours
  • Soleil-Terre/Soleil-Mercure vaut entre 2,17 et 3,33 car son orbite est assez excentrique... nous prendrons 2,75 comme moyenne en sachant que cette approximation entrainera certainement une erreur au final.
  • Angle de l'orbite de la planète =

Ce qui donne

X=4×87,97/360 × sin-1((180-sin-1(sin(0,265×2,75)-0,265))/7)=3,71 jours

 

Cela signifie donc qu'on a une chance sur 87,97/3,71=23,71 d'observer un transit de Mercure.

Les alignements Soleil-Mercure-Terre ayant lieu tous les 115,88 jours (période synodique de Mercure), cela signifie qu'on a en moyenne un transit tous les 4748 jours, soit tous les 7,5 ans.

 

La réalité est très proche avec en moyenne 13 ou 14 transits par siècle soit  un tous les 7,40 ans.

Pour Venus, on a :

  • b = 0,265°
  • Durée de révolution = 224,7 jours
  • Soleil-Terre/Soleil-Venus vaut environ 1,38.
  • Angle de la planète =3,39°

 

X=4×224,7/360 × sin-1((180-sin-1(sin(0,265×1,38)-0,265))/3,39)=4,25 jours

 

Cela signifie donc qu'on a une chance sur 224,7/4,25=52,87 d'observer un transit de Venus au moment d'une conjonction Soleil-Venus.

Les alignements Soleil-Venus-Terre ayant lieu tous les 583,9 jours (période synodique de Venus), cela signifie qu'on a en moyenne un transit tous les 30871 jours, soit tous les 84,52 ans.

 

Ici aussi, la réalité est un peu différente car la fréquence est en fait parfois de un tous les 60 ans (c'est le cas depuis l'année 1518 et jusqu'en 2846 avec 4 transits tous les 243 an), parfois de 1 tous les 80 ans (ce sera le cas après 2846) et parfois de 1 tous les 121,5 ans (ce fut le cas entre -426 et 425).

 

Seconde méthode : Les noeuds et plus petits multiples

Comme vous pouvez le voir sur le dessin ci-contre, l'orbite inclinée de Venus, par exemple, ne coupe le plan de l'écliptique qu'en deux points. La droite passant par ces deux points passe aussi par le centre du Soleil. On appelle cette droite la ligne des Noeuds.

Ce n'est que lorsque La Terre et Venus se trouvent sur cette droite (d'un côté ou de l'autre) que nous pouvons avoir un transit.

Pour Venus, les moments où la Terre croise la ligne des noeuds se produisent vers le 10 juin et vers le 10 décembre de chaque année. Mais bien souvent, à ces moments précis, Venus est à un tout autre endroit que sur la ligne des noeuds et donc aucun transit n'est possible. C'est pour cette raison que les transits sont extrèmements rares.

 

Si à un instant T0 un transit se produit, alors le prochain transit pourra soit se produire sur le même noeud, soit sur le noeud opposé.

Si le prochain transit se produit sur le même noeud, alors cela signifie que La Terre et Venus se retrouveront exactement au même endroit. Dit autrement, cela signifie que et la Terre et Venus auront parcouru un nombre entier de révolution. Ce temps, c'est donc le plus petit multiple commun des deux périodes de révolution...

Si le transit se produit sur le noeud opposé, alors cela signifie que la Terre et Vénus auront parcouru un nombre entier de révolution plus un demi-tour.

 

La Terre fait un tour du Soleil (année sidérale) en 365,25636 jours et Venus fait un tour du Soleil (année sidéral) en 224,70096 jours...

Malheureusement, si à un instant donné venus se trouve exactement sur la ligne des nœuds, au bout d’une année sidérale de Venus (année prise en compte pour le calcul de la période synodique) elle ne s’y trouvera pas exactement.

En effet, les très légères perturbations des autres planètes font que l’ellipse de l’orbite de Venus tourne très légèrement et, chaque année, l’intersection de l’orbite de Venus et de la ligne des nœuds se déplace de 50,47747'' chaque année. Ainsi, Venus se retrouve exactement sur la ligne des nœuds au bout d’exactement 224,6989 jours, soit une année draconitique.

 

Donc supposons qu’à notre instant T0 un transit de Venus se produise, disons sur le nœud ascendant (au moment où Venus passe du dessous vers le dessus de l’écliptique).

Nous avons vu aussi qu'un transit de Venus pouvait avoir lieu jusqu'à 1 journée avant ou après un alignement parfait car durant cette période, Venus reste à moins de 0,265° en hauteur par rapport au Soleil.

Le prochain transir arrivera sur le même nœud à condition :

  • Que la Terre et Venus soient parfaitement alignées (nombre entier de périodes synodiques de Venus)
  • Que Venus revienne exactement sur ce même nœud (nombre entier d’années draconitiques de Venus)

 

Cela signifie que s'il existe des multiples entiers de période synodique et d’année draconitique ayant une différence de moins d'une journée en plus ou en moins (donc en valeur absolue), alors il y aura aussi un transit !

Effectuons quelques calculs (avec une feuille Excel par exemple) pour trouver ces valeurs... Nous obtenons ceci :

Noeud ascendant :

Nb années draconitiques=0, Nb périodes synodiques=0 décalage = 0 j

Nb années draconitiques=13, Nb périodes synodiques=5 décalage = -1,48 j

Nb années draconitiques=382, Nb périodes synodiques=147 décalage = 1,46 j

Nb années draconitiques=395, Nb périodes synodiques=152 décalage = -0,02 j

 

Au bout de 395 années draconitiques de Venus (243 année terrestres), le décalage est si faible qu'on se retrouve presque la même situation qu'en T0.

 

On voit que sur ce nœud, si à T0, l’alignement est parfait et engendre un transit, alors le prochain transit n’aura lieu qu’au bout de 152 périodes synodiques de venus. En revanche, si à T0 un transit a lieu avec un décalage d’alignement de 0,7 jours par exemple, le prochain transit aura lieu au bout de 5 périodes synodiques et aussi au bout de 152 périodes synodiques.

De même, si à T0 un transit a lieu avec un décalage d’alignement de -0,7 jours par exemple, le prochain transit aura lieu au bout de 147 périodes synodiques et aussi au bout de 152 périodes synodiques.

 

Noeud descendant :

Nb années draconitiques = 184.5, Nb périodes synodiques = 71, décalage = 1,47

Nb années draconitiques = 197,5, Nb périodes synodiques = 76, décalage = -0,01

 

Au bout de 76 périodes synodiques, le décalage est si faible qu'on se retrouve pratiquement à la même situation qu'en T0. D'ailleurs, en ajoutant 71 périodes et 76 périodes synodiques aux 76 du décalage infime, on se retrouve à 147 et 152 périodes synodiques, des périodes identifiées dans le tableau des nœuds ascendants.  

 

Donc récapitulons...

A0 :        Années draconitiques= 0, périodes synodiques= 0, décalage= 0 j

A8 :        Années draconitiques= 13, périodes synodiques= 5, décalage= -1,48 j

A113,5 : Années draconitiques= 184,5, périodes synodiques= 71, décalage= 1,47 j

A121,5 :  Années draconitiques=197,5, périodes synodiques= 76, décalage= -0,01 j

A235 :    Années draconitiques= 382, périodes synodiques= 147, décalage= 1,46 j

A243 :    Années draconitiques= 395, périodes synodiques= 152, décalage= -0,02 j

 

Que peut-on apprendre de ce tableau ?

Tous les 152 périodes synodiques (243 ans), la même séquence se reproduit pratiquement à l’identique, avec un décalage de -0,02 jours.

Ainsi, au bout d’environ 25 périodes de 243 ans (6075 ans), le décalage de -0,02 se sera accumulé au point de donner -0,5 jours de décalage total.

 

Si un transit passant par le milieu du Soleil arrive, alors nous aurons d’autres transits aux années 121,5 (76 périodes synodiques) et 243 (152 périodes synodiques). Nous aurons donc 2 transits tous les 243 ans.

Au bout des 25 périodes environ, le décalage de -0,5 jours rendra les transits des années 113,5 (71 périodes synodiques) et 235 (147 périodes synodiques) de telle sorte qu’à partir de cette date, les transits de 113,5 ans, 121,5 ans, 235 ans et 243 ans seront visibles. Nous aurons donc dans cette période, 4 transits tous les 243 ans, regroupés par paquet de 2 transits tous les huit ans séparés de 121,5 ans. Cette situation est exactement la situation que nous avons actuellement.

 

Au bout d’encore 25 périodes de 243 ans, le décalage sera devenu de -1 jour, si bien que les transits des années 0, 8 et 121,5 ne seront plus visibles. Les seuls transits visibles seront ceux des années 113,5 et 235. Nous aurons donc à nouveau deux transits tous les 243 ans, etc.

 

Vous voyez qu'assez facilement, on peut prévoir les transits de Venus !

 

Pour Mercure, l'année draconitique dure 87,9691317. Cette durée est assez éloignée de l’année sidérale qui est de 96,879 jours. Ceci indique que l’orbite de Mercure est très fortement perturbée. L’année synodique de Mercure est de 115,8774771 jours. En appliquant le même principe que précédemment, on a :

 

Nœud ascendant :

A0 :        Années draconitiques= 0, périodes synodiques= 0, décalage = 0 j

A13 :       Années draconitiques= 54, périodes synodiques= 41, décalage = -0,64 j

A33 :      Années draconitiques= 137, périodes synodiques= 104, décalage = 0,51 j

A46 :      Années draconitiques= 191, périodes synodiques= 145, décalage = -0,13 j

 

Nœud descendant :

A16,5 :    Années draconitiques= 68,5, périodes synodiques= 52, décalage = 0,2 j

A29,5 :   Années draconitiques=122,5, périodes synodiques=93, décalage = -0,39 j

A62,5 :   Années draconitiques=259,5, périodes synodiques=197, décalage= 0, 13 j

 

Pour Mercure, l'excentricité de son orbite ne permet toutefois pas d'obtenir un résultat si proche de la réalité que pour Vénus. Cependant, on y retrouve les  séquences de 13, 33 et 46 ans qui est une séquence réelle.

Le plus intéressant, c’est que le décalage de l’année 46 sur le nœud ascendant se compense exactement avec l’année 62,5 du nœud descendant.

Dit autrement, après 46 ans, le décalage sera de -0,13 jours. 62,5 années plus tard (soient 108,5 ans après le premier transit) le décalage sera de -0,13 + 0,13 = 0 jours.

On aura alors un transit pratiquement central, mais cette fois-ci sur l’autre nœud. En attendant à nouveau 105,5 années (soient 217 années en tout), on aura exactement le même transit dans la même configuration. Cette grande période de 217 ans est une réalité que nous avons pu trouver avec nos simples calculs.

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Published by astronomie-smartsmur - dans Annexes
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24 septembre 2013 2 24 /09 /septembre /2013 00:00

Dans cette annexe, nous allons prendre un peu de temps pour vous expliquer les notions fondamentales qui vous permettront de comprendre les chapitres de ce livre, et particulièrement le chapitre consacré à l'expérience de Cavendish et son pendule de torsion. Ces concepts sont : La position, la vitesse, l'accélération, le travail d'une force, l'énergie cinétique, les forces concervatives, le moment d'une force, les mouvements circulaires, le moment d'inertie, le moment cinétique, le théorème du moment cinétique et les équations différentielles.

 

Position, vitesse et accélération :

Vous verrez qu'il existe une relation très étroite entre ces trois notions.

  • La position, c'est simplement les coordonnées d'un objet afin de le localiser. On note ainsi X sa position droite-gauche, Y sa hauteur et Z sa position en profondeur. Pour simplifier la suite, nous allons partir du principe que notre objet est juste situé à une hauteur Y et nous oublierons X et Z. On peut donc mettre en équation la position d’un objet. Par exemple, un objet qui, à chaque seconde monte d’un mètre aura donc une hauteur Y dépendant du temps telle que Y=f(t)=t. S’il montait de deux mètres à chaque secondes, on aurait Y=f(t)=2t. Si à chaque seconde sa vitesse était multipliée par 2, alors on aurait Y=f(t)=2t, etc.
  • Si notre objet se déplace, alors la variation de son déplacement dans le temps s'appelle la vitesse. On connait tous la formule v=d/t, mais cette formule ne marche que si le mouvement est uniforme et constant. Si le mouvement ne l'est pas, alors on peut trouver à tout moment une période de temps suffisamment petite dt pour que la vitesse soit finalement presque constante sur cette intervalle. On note ainsi : v=dy/dt c'est à dire la dérivée (on l'appelle comme ça) de la position, ou la variation de la position lorsque dt tend vers 0. Ainsi, si la valeur de y est fonction du temps, alors la vitesse sera déduite en dérivant cette fonction par rapport au temps.

derivee.PNG

Les fonctions les plus courantes que nous utiliserons et dont les dérivées nous seront utiles sont  :

y=f(t)=t (x varie linéairement en fonction du temps et donc la vitesse est constante),

y=f(t)=t² (x varie avec le carré du temps).

 

Pour calculer ces dérivées, regardons le dessin du dessus.  La dérivée de cette fonction y=f(x) en un point de cette courbe est  en fait la pente de cette courbe en ce point.

En effet, nous avons vu, par exemple que la vitesse en un point était v=dy/dt. Si par exemple, la vitesse est de 10 m/s, cela signifie qu'à chaque seconde, la position change de 10 mètres. Sur la courbe, si j'augmente de 1 vers la droite, alors j'augmente de 10 vers le haut (ou vers le bas dans le cas de notre courbe).  C'est la définition de la pente de la courbe.

 

Donc, si on calcule en un point de la courbe, la pente de la courbe, alors on connaitra la dérivée, c'est aussi simple que cela !

Pour calculer la pente de la coube en un point (et donc la dérivée), il suffit de prendre un second point sur cette courbe et de le rapprocher du premier. La pente de la courbe au premier point sera la limite de la pente du segment reliant les deux points lorsque le second point se rapproche du premier.  

Partant de ce principe, les dérivées de ces deux fonctions sont :

 

pour y=f(t)=t,  

dy/dt= (f(t+dt)-f(t))/(t+dt-t) = (t+dt-t) / dt = 1

 

 

pour y=f(t)=t²,

dy/dt= (f(t+dt)-f(t))/(t+dt-t) = ((t+dt)²-t²) / dt = (t²+2tdt+dt²-t²) / (dt)= 2t + dt => 2t quand dt tend vers 0

 

Donc la dérivée de x est 1 et la dérivée de x² est 2x.

 

De même, la dérivée de sin(ax) est acos(ax) et la dérivée de cos(ax) est -asin(ax). Enfin, la dérivée de Xn est n.Xn-1.Nous ne démontrerons pas cela car c'est un peu complexe, mais nous nous en resservirons par la suite.

 

L'opposée de la dérivée s'appelle la primitive. Donc la primitive de 1 est x et la primitive de x est x²/2 à une constante près.

  • Si la vitesse n'est pas constante, alors la variation de la vitesse dans le temps s'appelle l'accélération, et, tout comme la vitesse est la dérivée de la position, l'accélération est la dérivée de la vitesse. Dès que la position change, alors forcément, cela signifie que la vitesse est non nulle. Dès que la vitesse change, alors l'accélération est non nulle.

Prenons un exemple :

Une pomme est immobile dans un arbre

Sa position ne bouge pas dans le temps et donc sa vitesse et son accélération sont nulles... Sa position (ses coordonnées) est donc constante (par exemple y = 5 mètres du sol).

Une voiture roule sur l'autoroute.

Sa vitesse v est constante, donc son accélération est nulle et sa position varie linéairement dans le temps x(t)=vt + x0 (la constante dépend effectivement de l'endroit où se trouve la voiture à t0=0)

Une pomme tombe d'un arbre.

Son accélération (la pesanteur) est constante et vaut 9,81 m.s-2 (nous reviendrons très bientôt sur cette valeur), sa vitesse augmente donc linéairement en fonction du temps... en fait, la vitesse augmente de 9,81 m.s-1 à chaque seconde on a v(t) = at + v0, avec v0 la vitesse initiale de la pomme.

Sa position augmente donc avec le carré du temps et on a : x = (a/2).t² + v0t + x0

 

Bien évidemment, dans la plupart des cas, on choisit de faire le calcul en se plaçant à un endroit où la vitesse V0 est nulle et la position x0 initiale est nulle.

 

Vous avez compris le principe ? Très bien, nous allons pouvoir compliquer un peu les choses ! Nous allons juste voir une dernière notion qui nous servira dans notre annexe consacrée aux notions de base d'optique :

La dérivée d'une fonction composée est g(f(x))' = g'(f(x)).f'(x)

 

 


Petit détour par les intégrales...

Ce petit détour n'a pas de rapport direct avec les notions de bases de mécaniques, mais étant donné que nous sortons de parler de dérivées et de primitives, il existe une application très intéressante qui va vous montrer une utilisation très pratique des primitives.

 

Imaginez une courbe y = f(x) croissante. Pour vous aider à l'imaginer, je vous en ai tracé une ci-dessous :

Integrales.PNG

Soit G(x) la fonction renvoyant la valeur de la surface grise de largeur x située sous la courbe, entre l'axe Y et l'axe X.

 

On voit que la surface jaune située sous la courbe entre x et x + h est en fait G(x+h) - G(x).

Comme la courbe est croissant (cela veut dire que si x ≥ y alors f(x) ≥ f(y)) alors l'aire jaune est plus petite que l'aire délimitée en pointillé orange (f(x+h)×h) et est plus grande que l'aire délimitée en pointillé bleu (f(x)×h).

 

Nous avons donc :

 

f(x)×h ≤ G(x+h) - G(x) f(x+h)×h

Soit

 

f(x) ≤ (G(x+h) - G(x))/h f(x+h)

Si h tend vers 0, alors f(x+h) tend vers f(x) et (G(x+h) - G(x))/h tend vers la dérivée de G au point x, que nous appellerons G'(x), et naturellement, nous avons :

G'(x) = f(x)

f(x) est la dérivée de G(x) et donc G(x) est une primitive de f(x)

 

Bon d'accord, me direz vous, et alors ?

Si je veux connaitre l'aire située sous la courbe entre les points a et b, je n'ai donc qu'a calculer G(b) - G(a)

Calculer cette aire, revient en fait à sommer toutes les petites aires de largeur dx (en gris) pour x variant de a à b, et dx devenant de plus en plus petit.

Chaque petite aire valant f(x).dx, le fait de faire varier X entre a et b et faire tendre dx vers 0 se note :

On l'appelle l'intégrale de la fonction entre a et b.

 

Voyez plutôt à quoi cela peut servir...

Vous savez tous que le volume d'une sphère est 4.Π.R3/3... mais savez-vous pourquoi ?

 

Sphere-volume.PNGTout comme plus haut, nous avons découpé la surface sous notre courbe en petits rectangles de plus en plus petits, il suffit d'utiliser la même démarche, mais cette fois-ci, en découpant le volume de notre sphère en petits disques de plus en plus petit.

 

Un disque à une hauteur h et de hauteur dh aura pour rayon (en appliquand Pythagore) √(R² - h²) et donc aura pour volume :


Π.(R² - h²).dh

 

Empiler des disques de hauteur dh entre la hauteur +R et -R en les rendant de plus en plus petits.... c'est exactement la définition de notre intégrale !

Le volume de notre sphère n'est donc autre que :


 

La primitive de f(h) = Π.R² - Π.h² est G(x) = Π.R².h - Π.h3/3

 

Le volume de la sphère est donc :

G(R) - G(-R) = Π.R².R - Π.R3/3 + Π.R².R - Π.R3/3 = 2.Π.R3 - 2.Π.R3/3 = 4.Π.R3/3

 

Le challenge du jour :

Maintenant que les primitives et intégrales n'ont plus de secrets pour vous, je vous propose un petit exercice pour mettre en application ce que nous avons appris :

 

 

 

Quel est le volume d'un cône de hauteur H et de largeur à la base D ?

cone.PNG

 

 

 

 

C'est simple, non ? la base du cône est un cercle de largeur D, et donc de rayon R.

 

 

L'angle au sommet du cône α est tel que tan(α) = R/H

Imaginons maintenant une galette située à la hauteur x, de largeur dx et rentrant parfaitement dans le cône.

 

Le rayon de cette galette est tel que tan(α) = r/x et donc r = x.R/H

Comme la hauteur de notre galette est de dx, alors son volume est de  :

 

π.x².R².dx/H²

 

Le volume du cône est en fait un empilement de galettes de plus en plus petites. On a donc :

 

 

Le travail d'une force

Lorsqu'une force F s'applique sur un objet, le travail de cette force est l'énergie qu'elle devra fournir pour déplacer cet objet d'un point A vers un point B. Si la force est parallèle au déplacement, alors le travail vaut W=F.AB. Son unité est le Joule ou N.m. Si la force fait un angle α avec le déplacement, alors le travail sera W=F.AV.cos(α). C'est ce qu'on appelle un produit scalaire.

Inversement, pour arrêter le même objet en déplacement, il faudra fournir une force de freinage équivalente à celle qu'il a fallu pour l'amener à cette vitesse. En cas de choc, l'énergie dégagée par ce choc sera cette fameuse énergie.

De fait, du simple fait de sa vitesse, un objet acquiert une énergie... A quoi est donc égale cette énergie ?

 

L'énergie cinétique

Imaginons une force F s'appliquant sur un objet de masse m. Cette force provoque le déplacement de l'objet entre A et B. On imagine qu'au départ, en A, l'objet est immobile.

D'après la seconde loi de Newton, nous avons F=ma avec a, l'accélération. On a donc a=F/m, et donc comme l'accélération est la dérivée de la vitesse donc la vitesse est l'intégrale de l'accélération, et on en déduit que v = (F/m)t + v0. Comme v0 est la vitesse au point A, nous avons v0=0 et donc v = (F/m).t et finalement t=v.m/F

Comme la vitesse est la dérivée de la position alors la position est l'intégrale de la vitesse, et on en déduit que x = (F/2m)t² + x0 = (F/2m)t² car on suppose que A est situé à la position 0.

Au point B, nous avons donc x = (F/2m)t² = (F/2m).v²m²/F²=v²m/(2F)

Le travail de la force F pour amener l'objet du point A vers le point B est donc : W=F.x = 1/2.mv²

Cette énergie, c'est l'énergie cinétique

 

Les forces conservatives

Si je veux monter au 15ème étage d'un immeuble, je peux escalader la façade de l'immeuble, monter par les escaliers, ou par l'échelle de secours. Dans tous les cas, je devrai hisser le poids de mon corps du sol au 15ème étage. Selon la méthode utilisée, l'effort à fournir sera plus violent mais plus court, ou bien moins violent mais plus long. Au total, que j'utilise chacun des trois moyens, le travail des forces que je devrai fournir sera la même. Dit autrement le travail des forces déployées pour déplacer un objet d'un point A vers un point B soumis à la gravité terrestre ne dépend pas du chemin emprunté : La force de gravitation est donc une force conservative.

 

A l'opposé, les forces de frottement par exemple, ne s'appliquent que sur un chemin bien précis. A 10 cm au-dessus du sol, il n'y a plus de frottement. Donc pour aller d'un point A vers un point B, selon que je suis sur le sol ou à 10 cm au-dessus de sol, les forces de frottement et donc leur travail seront totalement différentes : les forces de frottement sont dites non conservatives.

 

L'énergie potentielle

Lorsqu'un objet est soumis à une force conservative, on appelle énergie potentielle à un endroit donné, l'énergie qui pourrait être transformée en énergie cinétique si l'objet était mis en mouvement par cette force.

Prenons l'exemple de la pomme de Newton accrochée à son arbre. Cette pomme à cet instant donné est immobile donc son énergie cinétique est nulle. Cependant, il suffirait de lâcher cette pomme pour qu'elle se mette à tomber, prenne de la vitesse et acquiert donc de l'énergie cinétique.

Ce potentiel d'énergie cinétique, c'est donc l'énergie potentielle.

Nous vous disions plus haut que le travail d'une force pour parcourir une distance de x et acquérir la vitesse v est  W=F.x = 1/2.mv²

1/2.mv² est l'énergie cinétique à l'arrivée et F.x est l'énergie potentielle au départ.

 

Dans le cas de la gravité, et de notre pomme de 200g accrochée dans l'arbre à 5 mètres du sol, son énergie cinétique est nulle. Son énergie potentielle est dont Ep=m.g.h.avec h=5 et m=0,2 kg.

Lorsqu'elle s'est décrochée de l'arbre et est tombée sur la tête de Newton, au niveau du sol, son énergie potentielle était alors nulle (car h=0) mais pas son énergie cinétique puisque la pomme avait acquis une certaine vitesse. En fait, l'énergie potentielle du départ s'est totalement transformée en énergie cinétique.

On a donc m.g.h = 1/2mv², et donc v=√(2.g.h)=9.9 m.s-1

Vous voyez donc, comme l'avait montré Galilée au sommet de la tour de Pise : La vitesse d'un objet lâché en chute libre est indépendante de son poids !

L'énergie mécanique

Nous venons de voir que l'énergie potentielle était transformée en énergie cinétique lorsqu'une force conservative mettait un objet en mouvement.

Cela signifie qu'à tout moment, la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle est constante.

Cette somme, c'est l'énergie mécanique, et on a donc :

Energie mécanique = Energie cinétique + Energie potentielle

 

La quantité de mouvement

La quantité de mouvement d'un objet est le produit de sa masse par sa vitesse : P=m.v.

Cette notion est intéressant car la dérivée de la quantité de mouvement dP/dt=m.dv/dt=m.a est égale (seconde loi de newton) à la somme des forces qui s'éxercent sur cet objet.

On peut aussi trouver une relation entre énergie cinétique et quantité de mouvement :

Ec=1/2.m.v²=1/2.m²v²/m=P²/(2.m)

 

Moment d'une force

Lorsque vous utilisez une clé à molette, vous vous rendez compte facilement que vous aurez plus de force pour défaire un boulon en tenant la clé à son extrémité plutôt qu'en la tenant près du boulon. C'est le principe du levier.

On voit donc que dans un levier, la force (appelée moment de la force) exercée sur l'axe du levier est d'autant plus important que la force exercée sur le levier est éloignée de son centre. Ce moment augmente de manière constante avec la distance. Ainsi, la même force exercée à une distance 2x aura deux fois plus d'effet sur l'axe du levier que si elle est exercée à une distance x.

Ainsi, sur une balançoire, un homme de 50 kg situé sur un siège à 10 mètres de son axe sera en équilibre avec un éléphant de 5 tonnes situé de l'autre côté de l'axe sur un siège à 1 mètre de l'axe. Dans le dessin ci-contre, les deux moments des forces sont égaux et opposés et créent l'équilibre de la balancoire.

 

Dans le cas d'une force exercée perpendiculairement à l'axe du levier à une distance x, on a M=x.F

 

Les mouvements circulaires

mouvement-circulaire.PNG

 

Imaginons un objet tournant autour d'un point en décrivant un cercle.

 

A chaque instant, la position de l'objet fait un angle θ avec l'horizontale. θ n'est pas constant car sinon l'objet ne bougerait pas... il varie donc avec le temps en fonction d'une vitesse angulaire ω. Tout comme dans un mouvement rectiligne, on a d=v.t, dans un mouvement circulaire, on a θ=ω.t.

A chaque instant, donc, on peut noter x(t) et y(t) les coordonnées de la position de notre objet.

Comme vous maîtrisez maintenant la trigonométrie, vous constaterez qu'on a donc :

x(t)=R.cos(θ)=R.cos(ω.t)

y(t)=R.sin(θ)=R.sin(ω.t)

 

La vitesse étant la dérivée de la position, on a aussi :

Vx(t)=dx/dt=--R .sin(ω.t)

Vy(t)=dy/dt =R. ω.cos(ω.t)

 

Etant donné que V²(t) = Vx²(t) +  Vy²(t) = R ².ω².(cos²(ω.t) +    sin²(ω.t))=R ².ω² car sin²(x) + cos²(x) = 1

d'où, au final :  

V=R 

 

L'accélération  étant la dérivée de la vitesse, on a

Ax(t)=dVx/dt=-R .ω².cos(ω.t)

Ay(t)=dVy/dt =--R. ω².sin(ω.t)

 

Et donc A² = R².ω4 et donc

A=R.ω²=R².ω²/R=V²/R

 

Le moment cinétique

Nous avons vu un peu plus haut ce qu'était la quantité de mouvement d'un objet P=m.v.

Nous avons vu aussi qu'une force s'exerçant sur un axe avait un effet levier d'autant plus important que cette force était exercée loin de l'axe. Cela nous avait introduit le concept de moment d'une force.

Si on calcule le moment de la quantité de mouvement nous obtenons alors le moment angulaire, plus connu sous le nom de moment cinétique qui vaut donc

L=P.R=m.R.v

 

Le moment d'inertie

La quantité de mouvement P=m.v est donc variable en fonction de la vitesse (puisque m est normalement constant). Dans le moment cinétique L=m.R.v, nous allons essayer de faire apparaitre la vitesse angulaire, et la constante restante jouera le même rôle que la masse dans la quantité de mouvement :

 

L=m.R.v=m.R².ω=I.ω avec I=m.R² I étant le moment d'inertie de notre solide.

 

Donc récapitulons, voici les notions équivalentes entre un mouvement rectiligne et un mouvement circulaire :

Mouvement Rectiligne   Mouvement circulaire
V (Vitesse) <=> ω (Vitesse angulaire)
F (Force) <=> M (Moment de la force)
P (quantité de mouvement) <=> L (Moment cinétique)
m (Masse) <=> I (Moment d'inertie)

 

Le théorème du moment cinétique

Nous avons vu plus haut que le moment cinétique d'une force F s'exerçant perpendiculairement à une distance R d'un axe est de L=m.R.v=R.P, avec P la quantité de mouvement.

Dérivons cette expression (soyons fous !):

dL/dt=R.dP/dt=R.m.a

Or, comme la seconde loi de Newton nous dit que F=m.a, alors nous avons dL/dt=R.F=MF

 

Cette égalité (la dérivée du moment cinétique d'une force est égale au moment de la force), c'est le théorème du moment cinétique.

 

Les équations différentielles

Vous vous souvenez sans doute des équations du premier et second degré qui nous ont hanté à l'école :

Ax + B = 0 ou Ax² + Bx + C = 0

Ces équations sont en fait utiles lorsqu'il existe une relation entre les puissances de x.

 

Un exemple simple pour mettre l'ambiance à Noël : 

A Noël, chacune des x personnes invitées donne un cadeau aux x-1 autres personnes présentes.

On se retrouve donc avec un nombre de cadeau sous le sapin de Noël de x(x-1)=x²-x.

Ainsi, en comptant simplement le nombre de cadeaux sous le sapin, une personne peut donc connaitre le nombre d'invités, à condition bien sûr de résoudre une équation du second degré x²-x-Nb=0

 

Il existe aussi des équations mettant en relation, non pas des puissances de x, mais des dérivées de x. Par exemple :

Ad²x/dt + Bdx/dt + Cx = 0

 

C'est par exemple le cas s'il j'arrive à trouver dans un cas précis, une relation entre l'accélération la vitesse et la position d'un objet.

Une telle équation mettant en relation des dérivées est appelée équation différentielle.

 

Les équations différentielles sont très souvent utilisées dans la description des mouvements à cause de la seconde loi de Newton (F=ma).

 

En effet, Si une force F constant s'exerce sur un objet, et qu'on met en jeu une force de frottement K (qui augmente en fonction de la vitesse comme le frottement de l'air), alors la seconde loi de Newton nous donnera :

F - Kv = ma, ou F - Kdx/dt = md²x/dt

 

Un cas particulier et très intéressant d'équations différentielles sont les équations du type :

dx²/dt + Ax = 0

 

Elles correspondent à l'équation de mouvement de ce qu'on appelle un oscillateur harmonique. Si un système peut se mettre sous cette forme alors il possèdera des caractéristiques intéressantes :

  • Il oscillera autour de sa position d'équilibre jusqu'à se stabiliser avec une fréquence qui est constante. La période des oscillations sera de T=2.Π.√(1/A)

 

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23 septembre 2013 1 23 /09 /septembre /2013 00:00
Au fait, c'est quoi un trou noir ?
Pour faire rapide, la stabilité d'une étoile est un équilibre entre la force nucléaire qui est en son centre (et qui fusionne des atomes d'hydrogène) et la force de gravitation.
La force nucléaire fait ressembler une étoile à une bombe... Le souffle de l’énergie dégagée (appelé pression de radiation) a tendance à tout pousser vers l’extérieur et donc à faire grossir l’étoile.
Inversement, la force de gravitation fait que chaque portion de l'étoile attire les autres et fait que l'étoile aurait tendance à rétrécir...
Ces deux forces s'équilibrent pour donner à l'étoile la taille qu'elle gardera pendant une grande partie de sa vie.
 
Le fonctionnement d’une étoile peut-être résumé ainsi :
Une étoile est une concentration d’hydrogène tellement dense qu’elle chauffe à un point que la fusion nucléaire démarre. Les atomes d’hydrogène rentrent en collision les uns avec les autres et fusionnent en donnant des atomes d’Hélium. Ça, c’est le fonctionnement normal de l’étoile qui est alors dans ce qu’on appelle sa séquence principale. Cette fusion n’a lieu qu’au cœur de l’étoile, où la température est de 15 millions de degrés !
 
Bien évidemment, plus le temps passe, et plus l’hydrogène du cœur de l’étoile s’est transformé en Hélium… il y a donc de moins en moins de combustible et petit à petit, la fusion de l’hydrogène va s’arrêter dans le cœur de l’étoile, entrainant une baissse de la pression de radiation… la gravitation va alors prendre temporairement le dessus…
L’étoile va donc commencer à se contracter et cette contraction va avoir deux conséquences :
  • Les couches extérieures au noyau de l’étoile et qui étaient trop froides pour fusionner arrivent alors à bonne température (car la gravitation les resserre alors) et la fusion va démarrer. Comme cette fusion n’a plus lieu dans le cœur de l’étoile, mais dans les couches entourant le cœur, la pression de radiation va l’emporter et les couches de l’étoile vont se mettre à gonfler… L’étoile devient une géante.
  • Le noyau composé majoritairement d’Hélium va se contracter par gravitation et, arrivé autour de 100 millions de degrés, les atomes d’Hélium vont alors pouvoir fusionner les uns avec les autres pour donner des éléments plus lourds (essentiellement de l’Oxygène et du Carbone).
Donc pour résumer, une géante, c’est une étoile qui est arrivée à un stade où son cœur se contracte, mais les autres couches se dilatent.
 
Dans le cœur de l’étoile, l’histoire va se répéter tant que c’est possible, c’est-à-dire qu’une fois que l’Hélium aura disparu dans le cœur de l’étoile au profit du Carbone et de l’oxygène, alors la réaction nucléaire va progressivement s’arrêter. Le cœur va continuer alors à se contracter du fait de la présence d’éléments plus lourds et de la baisse de la pression de radiation.
Selon la masse de l’étoile, deux scénarios sont possibles :
·        Soit la quantité d’Oxygène et de Carbone est trop peu importante à l’intérieur de l’étoile et le noyau de l’étoile va mourir. Il va devenir une naine blanche autour duquel les couches externes du noyau sont propulsées dans l’espace, formant ce qu’on appelle une nébuleuse planétaire.
·    Soit la quantité d’Oxygène et de Carbone est suffisante, et la contraction par gravitation du cœur va entrainer une température telle (1 milliard de degrés) que la fusion de ces éléments va avoir lieu !
...Et ainsi de suite, en fonction de la taille de l’étoile :
-          Le carbone pourra fusionner pour donner du Néon, du Sodium et du Magnésium. Pour des étoiles de la taille du Soleil, cette étape n’aura jamais lieu et la dernière fusion sera celle de l’Hélium.
-          Au-delà de 1,2 milliards de degrés, le Néon fusionne pour donner de l’Oxygène et du Magnésium. Pour les étoiles assez grosses pour en arriver à ce stade, cette fusion va durer à peine plus d’un an !
-          Au-delà de 2 milliards de degrés, l’Oxygène fusionne pour donner du Chlore, du Silicium, de l’Argon, du Calcium, du Potassium, du Titane. Cette étape dure 6 mois environs… Arrivés à ce stade, il vaut mieux ne pas rester dans les parages….
-          Au-delà de 3 milliards de degrés, c’est au tour du Silicium de fusionner pour donner du Fer. Cette étape ne va durer que quelques heures. Cette étape est réservée aux étoiles ayant une masse d’au moins 8 fois celle du Soleil.
-          Très rapidement, le Fer créé par la fusion du Silicium va augmenter dans le cœur de l’étoile qui a continué à se contracter. Dès que les atomes de fer vont commencer à fusionner une chose extraordinaire va se passer :

     Contrairement à toutes les autres fusions qui se sont passées jusqu’à présent et qui libèrent de l’énergie, la fusion du Fer consomme de l’énergie. Très rapidement, toute l’énergie de l’étoile va être absorbée par cette fusion et la pression de radiation va subitement s’arrêter. L’étoile n’est plus alors soumis qu’à sa gravitation et en quelques secondes, elle s’effondre sur elle-même en une gigantesque explosion : Une supernova.

C’est dans cette dernière explosion (quand je dis gigantesque, je suis encore sous la réalité car une supernova est plus brillant qu’une galaxie, pour vous donner une idée !) que tous les autres éléments sont créés (Uranium, Plomb, Or, Platine…)
 
C’est intéressant de savoir que les éléments qui nous composent (Oxygène, Carbone…) et donc qui sont à l'origine de la vie, ont été créés lors de la mort des étoiles… et je suis sûr que vous ne regarderez plus vos bijoux en or de la même manière maintenant que vous savez dans quelles conditions exceptionnelles il a été créé !
 
A l'issu de cette explosion, il reste, au centre, le reste de l'étoile comprimée, appelée étoile à neutron car c'est un objet essentiellement composé de neurons collés les uns aux autres et qui, en fonction de la masse de l'étoile qui a explosé, peut devenir un trou noir... La suite dépend de la vitesse de libération...
 
La vitesse de libération
Si je jette un caillou en l'air, il va retomber sur ma tête ou par terre un peu plus loin.
Si je le jette un peu plus fort alors il ne retombera pas et partira en orbite autour de la Terre.
Si je le jette encore plus fort, alors il ne se mettra jamais en orbite et s'éloignera définitivement de la Terre.
 
Cette vitesse limite à partir de laquelle un objet quitte définitivement l'attraction d'une étoile ou d'une planète est appelée vitesse de libération.
La vitesse de libération se calcule à partir du théorème de la conservation de l'énergie mécanique en partant de ce principe :
 
Au niveau de la surface de la Terre, l'objet de masse m est lancé avec cette fameuse vitesse Vlib et on connait son énergie potentielle à cet endroit :
Ep0=(-GmM/r²).r=-GmM/r
  
L’énergie cinétique quant à elle vaut :
Ec0=1/2.m.Vlib²
Par définition, la vitesse de libération est la vitesse minimale à partir de laquelle l'objet lancé ne reviendra pas sur Terre.
Cet objet se retrouvera à une distance infinie de son point de départ avec une vitesse nulle (puisque c'est la vitesse minimale nécessaire pour quitter à jamais la terre).
On a donc
Epinfini=(-GmM/r²).r=-GmM/r=0 à l'infini car r est très grand
Ecinfini=1/2.m.Vlib²=0 car v=0
 
La conservation de l'énergie mécanique nous donne donc :
1/2.m.Vlib²=GmM/r et donc Vlib=√(2.G.M/r)
 
Que vient faire la vitesse de libération dans un paragraphe consacré aux trous noirs, me direz-vous ?
Voyez plutôt :
Avec la formule que nous venons de calculer, on voit que la vitesse de libération augmente avec la masse de l'objet auquel on veut échapper et de l'endroit d'où on veut en échapper. Il est évident qu'il sera plus facile d'échapper à l'attraction de la Terre si on est au niveau de Jupiter que si on est à la surface de la Terre. Il est aussi plus facile d’échapper à l’attraction de la Lune que d’échapper à celle de la terre et plus facile d’échapper à l’attraction de la Terre qu’à celle du Soleil.
 
Ainsi, par exemple, pour la Terre (M=6.1024kg), la vitesse de libération à sa surface est de :
Vlib=√(2*6,6 10-11*6 1024/6370000)= 11 150 m.s-1
Par contre, au niveau de l'orbite de la Lune,la vitesse de libération pour quitter l'attraction de la Terre est :
Vlib=√(2*6,6 10-11*6 1024/380000000)= 1 432 m.s-1  
Au niveau de la surface du Soleil, la vitesse de libération pour quitter l'attraction du Soleil est :
Vlib=√(2*6,6 10-11*2 1030/700000000)= 614 000 m.s-1  
 
Que se passe-t-il si la vitesse de libération à la surface d'un objet est supérieure à 300 000 km.s-1?
La vitesse de la lumière étant la vitesse maximale que l'on peut atteindre (nous traitons ce point dans une annexe), cela signifie que si, à la surface d'une étoile, la vitesse de libération dépasse la vitesse de la lumière, alors la lumière elle-même ne peut échapper à la gravité de l'étoile.
 
Si la vitesse de libération est supérieure à la vitesse de la lumière, cela signifie que la lumière émise à la surface de l’étoile s'éloignera, et, tel un caillou, retombera sur l'étoile. L'étoile n'émet donc aucune lumière vers l'extérieur et donc est invisible !
 
C'est la définition d'un trou noir !
 
Cette définition est importante, car contrairement à ce que beaucoup de gens imaginent, un trou noir n’est pas un aspirateur ! C’est juste une masse concentrée en un volume très petit.
Cela signifie que si demain matin, on remplaçait le Soleil par un trou noir de même masse, les planètes continueraient à tourner autour comme actuellement, car au final, c’est la masse qui compte.
En revanche, près de la surface du trou noir, l’attraction serait telle que tout serait transformé (l’espace et le temps) et il serait quasiment impossible d’en échapper.
 
De ce fait, connaissant la vitesse de libération minimale d'un trou noir (qui est donc la vitesse de la lumière), connaissant le poids du trou noir, on peut estimer sa taille maximale !
 
Par exemple, pour le trou noir se situant au centre de la Voie Lactée dont nous avons calculé la masse dans le chapitre sur la constante de gravitation (1037 kg) :
 
r=2.G.M/V2lib= (2*6,6.10-11*1037)/9.1016 = 14 666 666 Km=0,1 UA
 
Inversement, si on connait la taille d’un trou noir, alors on peut en déduire sa masse minimale.
Pour information, un trou noir de la masse du Soleil mesurerait 3 km et un trou noir de la masse de la Terre mesurerait moins de 1 centimètre ! Cela vous laisse imaginer l'importance du trou noir situé au centre de la Voie Lactée au regard de sa taille (0,1 UA = 15 Millions de km!) !
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24 mars 2013 7 24 /03 /mars /2013 00:15

Une fois la vitesse de la lumière connue avec précision, une question venait tout naturellement :

La vitesse de la lumière est si grande que rien que nous ne connaissons ne se déplace plus vite que cette vitesse. Existe-t-il des objets se déplaçant plus vite que la lumière ? D'ailleurs, peut-on aller plus vite que la vitesse de la lumière ? La lumière elle-même peut-elle aller plus vite que la lumière ?

Après le mur du son, on arrivait un peu au mur de la lumière !

 

Comme un certain Einstein le dira quelques années plus tard, tout est relatif, c'est à dire qu'un objet n'est en mouvement que parce qu'il est observé depuis un référentiel différent. Regardez le dessin ci-dessous pour comprendre :

addition-vitesses.PNGUn train avance à la vitesse v1 par rapport à un observateur assis au bord de la voie.

Dans le wagon de ce train, un voyageur marche vers l'avant du train à la vitesse V2.

On peut donc déduire que le voyageur se déplace à la vitesse V2 par rapport au train, et il se déplace à la vitesse V1 + V2 par rapport à la personne assise au bord de la voie pisque les deux vitesses s'ajoutent.

 

Maintenant, notre voyageur tient à la main une lampe torche et l'allume. La lumière part donc de la lampe à la vitesse C (la vitesse de la lumière).

Nous pouvons donc déduire que la lumière se déplace à la vitesse C par rapport au voyageur, mais se déplace à la vitesse C + V2 par rapport au train et enfin à la vitesse C + V1 + V2 par rapport à l'observateur assis au bord de la voie.

Donc l'observateur assis au bord de la voie verra donc le rayon de lumière se déplacer à une vitesse légèrement supérieure à la vitesse de la lumière. Le souci, c'est que la vitesse du train, et de l'homme qui marche sont tellement négligeables par rapport à la vitesse de la lumière (de l'ordre de 0,00001%) que cette différence sera imperceptible, mais si on pouvait trouver une vitesse plus importante, on pourrait tenter de faire une expérience pour vérifier que la lumière peut, dans certains cas, aller plus vite que sa propre vitesse...

 

C'est l'expérience que tenta Albert Abraham Michelson à partir de 1881, en partant d'un principe très simple... Nul besoin de trouver un train, la Terre tourne autour du Soleil à la vitesse de 30 km/s, la Terre jouera donc le rôle du train, et il ne reste plus qu'à trouver une expérience permettant de mettre en évidence cette différence de vitesse.

L'expérience que nous allons décrire ci-dessous sera menée conjointement avec Edward Morley et vaudra à Michelson un prix Nobel de physique en 1907.

 

Pour cela, il créa un interféromètre, connu sous le nom d'interféromètre de Michelson-Morley. Le principe de son interféromètre est le suivant :

 

michelson.PNGUne lampe A éclaire un miroir sans teint B. En arrivant sur B, le faisceau lumineux se divise en deux : un rayon partant vers la droite vers un miroir M1 et un rayon continuant tout droit vers un miroir M2. A leur retour, les deux rayons se rejoignent et reviennent en A.

Nous partons du principe que la distance BM1 et la distance BM2 est de L. ce qui fait qu'un rayon lumineux se divisant en B se reconstituera exactement à l'identique après être passée par le miroir M1 et M2.

 

La question qu'on se pose alors... Si la Terre se déplace autour du Soleil vers la droite (selon la direction BM1) à la vitesse v, alors il se peut fort que l'un des deux trajets soit finalement plus rapide car la vitesse de la lumière se combinera à la vitesse de la Terre.

En clair, l'aller retour BM1 prendra légèrement moins de temps que l'aller retour BM2 et de ce fait, le faisceau lumineux ne se reconstituera pas exactement à son retour en A.

 

Pour cela, rien de tel qu'un petit calcul pour le savoir...

 

Mais avant cela, une petite introduction s'impose sur la notion de développement limité, et particulièrement celui de la fonction f(x)=1/(1-x)

 

 


Développement Limité

On dit qu'une fonction admet un développement limité en un point si au voisinage de ce point, on peut l'approximer par une fonction polynomiale (c'est à dire une combinaison des puissances de x).

 

Voici un exemple qui va nous servir par la suite.

Soit la suite géométrique Sn = 1 + x + x2 + x3 + ... + xn-1

Cette suite géométrique est une fonction polynomiale. On a aussi

Sn - xSn = 1 + x + x2 + x3 + ... + xn-1 - x(1 + x + x2 + x3 + ... + xn-1) =

1 + x + x2 + x3 + ... + xn-1 - x - x2 - x3 - ... - xn-1  - xn) = 1 - xn, c'est à dire  

Sn = (1 - xn)/(1-x)

 

On voit que si x est proche de 0, xn est très petit et si n devient très grand xn sera tellement proche de 0 qu'on aura Sn = 1/(1-x)

donc, au voisinage de 0, on a :

1/(1-x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6+ x7 +...

Nous venons donc de trouver une approximation polynomiale de 1/(1-x) au voisinage de 0, c'est à dire son développement limité.

 

Regardons ce que valent x, x2 et x3 lorsque x est très petit :

si x = 0,5, x2 = 0,25 et x3 = 0,125

si x = 0,05, x2 = 0,0025 et x3 = 0,000125 

si x = 0,005, x2 = 0,000025 et x3 = 0,000000125, et donc x + x2 + x3 = 0,005025125 ≈ x

Ce n'est pas nécessaire de continuer, tout cela pour dire que si x est très petit, alors les puissances plus élevées de x sont négligeables devant x ainsi que leur somme. On a donc :

1/(1-x) = 1 + x + o(x)

o(x) se dit "petit o de x" et représente des termes négligeables devant x.

 

Dit autrement, si x est très petit, alors 

1/(1-x) ≈ 1 + x


Revenons maintenant à nos moutons, et observons le trajet effectué par la lumière dans l'interféromètre de Michelson Morley vu par un observateur situé hors de la Terre.

 

Etude du temps mis par la lumière pour partir et revenir de B en passant par M1 :

michelson-branche-1.PNG

Si la lumière met un temps t1 pour aller frapper le miroir M1, alors pendant ce temps, la Terre se sera déplacée vers la droite d'une distance v.t1. Au total, la lumière aura parcouru une distance L + v.t1 (étant donné que la Terre emmène le miroir avec elle).

La lumière se déplaçant à la vitesse c, on a donc t1 = (L + v.t1)/c, c'est à dire t1 = L/(C-V)

 

Si la lumière met ensuite un temps t2 pour revenir de M1 vers B, alors pendant ce temps, la Terre se sera déplacée vers la droite d'une distance v.t2. Au total, la lumière aura parcouru une distance L - v.t2. La lumière se déplaçant à la vitesse c, on a donc t2 = (L - v.t2)/c, c'est à dire t2 = L/(C+V).

Le temps mis par la lumière pour faire l'aller/retour est donc

t = t1 + t2 = L/(C-V) + L/(C+V) = (2.L/c).(1/(1-v2/c2)

Comme v = 30 000 m/s et c = 300 000 000 km/s, alors v2/c2 = 0,00000001 

Comme v2/c2 est très petit, alors on peut utiliser le développement limité que nous avons vu au dessus pour simplifier 1/(1- v2/c2) en 1 + v2/c2

 

Et nous avons donc :

t = (2.L/c).(1+v2/c2)

 


Etude du temps mis par la lumière pour partir et revenir de B en passant par M2:

 

michelson-branche-2.PNGSi la lumière met un temps t'1 pour aller frapper le miroir M2, alors pendant ce temps, la Terre se sera déplacée vers la droite d'une distance de v.t'1.

La lumière n'aura donc pas parcouru une distance L, mais la diagonale d'un triangle de grand côté L et de petit côté v.t'1.

En appliquant Pythagore, on voit donc que la lumière parcourt une distance √(L2 + v2.t'12). La lumière se propageant à la vitesse c, elle parcourra cette distance en un temps :

t'12 = (L2 + v2.t'12)/c2

c'est à dire

c2.t'12 = L2 + v2.t'12

et donc

 

t'1 = L/√(c2-v2)

Comme il se passe exactement la même chose sur le trajet retour M2B, alors le temps mis par la lumière pour faire l'aller retour est donc

t' = 2L/√(c2-v2)=(2L/c)/√(1-v2/c2)

 

Comme précédemment, nous pouvons appliquer le développement limité de 1/√(1-x) pour trouver un équivalent de t'. Nous n'allons pas le démontrer, mais au voisinage de 0, 1/√(1-x)=1 + x/2 + o(x)

Ce qui nous donne

t' = (2.L/c).(1+ v2/2c2)

 

Récapitulons...

En passant par M1, la lumière mettra un temps de t = (2.L/c).(1+v2/c2) pour faire l'aller retour

En passant par M2, la lumière mettra un temps de t' = (2.L/c).(1+ v2/2c2) pour faire l'aller retour

 

On note donc une légère différence entre les deux temps, différence de l'ordre de :

t-t' = (2.L/c).(1+v2/c2) - (2.L/c).(1+ v2/2c2) = (2.L/c) + (2.L.v2/c3) - (2.L/c) - (L.v2/c3) = L.v2/c3

Avec L = 11m, v = 30 000 m/s et c = 300 000 000 m/s, on obtient t-t'=3,6×10-16s

 

Sachant que la longueur d'onde de la lumière visible est de l'ordre de 500 nm, soit 500×10-9m, et que la vitesse de la lumière des de 300 000 000 m/s, alors un décalage de 3,6×10-16s correspond à :

300 000 000×1,6×10-16=0,00000011 m, soit 110×10-9m. Cette différence correspond environ à 1/5ème de la longueur d'onde de la lumière.

 

Cela signifie donc que le faisceau qui s'est divisé au moment de passer à travers le miroir sans teint se recomposera avec un léger décalage que l'on doit pouvoir mesurer.

 

Pour mesurer ce décalage, il suffit de se poser la question suivante :

Que ce passe-t-il maintenant si on fait tourner l'ensemble de l'interféromètre ?

En faisant tourner l'interféromètre, on va alors passer successivement d'une configuration ou le chemin BM1 est parralèle à la trajectoire de la Terre à celle ou elle en devient perpendiculaire. Il en sera de même pour le chemin BM2.

Les deux faisceaux lumineux se séparant puis se recomposant, on devrait donc obtenir une interférence qui change avec la rotation de l'interféromètre. On passera donc pas des alternances où parfois c'est en passant par M1 que le trajet sera le plus court, et parfois par M2.

La figure d'interférence devrait donc changer avec la rotation de l'interféromètre.

 

Or l'expérience montra qu'il n'en était absolument rien, et que les deux faisceaux étaient toujours synchronisés indépendemment de la position de l'interféromètre.

En gros la lumière met le même temps à parcourir le trajet que la Terre soit immobile ou non... cela était contraire à tout ce qu'on pouvait imaginer, et les conséquences incroyables !!!

 

Il y avait trois explications possible à cela :

  • Soit la Terre est immobile, au centre de l'univers, ce qui explique l'invariance du temps mis par la lumière pour parcourir l'interféromètre. Malheureusement pour cette hypothèse, il est montré clairement depuis plusieurs siècles (aberration de la Lumière, lois de kepler et de newton...) que c'est bien la Terre qui tourne autour du Soleil et non l'inverse, donc cette hypothèse ne tenait pas debout....
  • Soit la lumière parcourant la plus grand distance accélère pour mettre autant de temps que celle qui a parcouru une distance plus petite... Cela est absolument impossible car dans le cas ou la Terre aurait été immobile, et que c'était l'observateur qui se déplaçait, la lumière aurait du accélérer en sachant que quelqu'un l'observait.... et si deux personnes se déplaçant à des vitesses différentes l'observaient, comment aurait-elle fait ? cela n'a aucun sens...
  • Soit la vitesse du déplacement de la Terre sur son orbite ralentit légèrement le temps et donc la lumière parcourant la plus grande distance a eu (dans son référentiel) plus de temps pour faire son trajet... C'était la seule hypothèse qui tenait la route : la vitesse modifie l'écoulement du temps !

 

Partant de cette hypothèse, que peut-on déduire ?

Depuis la Terre (donc depuis un référentiel se déplaçant avec elle et dans lequel l'interféromètre est immobile), un observateur regardant la lumière passer par M2 dira qu'elle a mis un temps t = (2.L/c) pour faire l'aller retour.

Depuis l'espace (donc depuis un référentiel immobile dans lequel l'interféromètre se déplace avec la Terre), un observateur regardant la lumière passer par M2 dira qu'elle a mis un temps t' =(2.L/c)/√(1-v2/c2) pour faire l'aller retour.

 

Naturellement, en remplaçant dans la seconde équation 2.L/c par t, on voit que

t' = t/√(1-v2/c2)

Cette première formule est appelée transformation de Lorentz et constitue la formule qui véritablement servit de base à la théorie de la relativité restreinte. Elle indique que le temps passe moins vite pour un observateur en mouvement que pour un observateur au repos.

 

La question que beaucoup de personnes se posent alors (qui s'appelle le paradoxe des jumeaux), est le suivant :

Comme tout est relatif, si A se déplace par rapport à B, alors B se déplace par rapport à A. Donc le temps passe moins vite pour A que pour B puisque A se déplace par rapport à B, mais aussi le temps passe moins vite pour B que pour A puisque B se déplace par rapport à A ! Voilà un paradoxe intéressant...

En fait, il n'y a pas de paradoxe, car a partir du moment ou A et B étaient immobiles l'un par rapport à l'autre, seul un des deux à subi une accélération pour atteindre au final une vitesse différente, et donc sortir du référentiel de l'autre. C'est donc pour celui qui a subi cette accélération que le temps s'écoule moins vite.

 

Une autre formule découlant de la transformation de Lorentz est aussi très intéressante :

Imaginons maintenant un vaisseau parcourant à la vitesse v un chemin L avec un observateur dans le vaisseau, et un observateur à l'extérieur, immobile, regardant la scène...

Pour l'observateur dans le vaisseau, la distance est en mouvement (il mesure donc ce qu'on appelle la distance impropre, notée L'), par contre, il lui suffit de déclencher son chronomètre pour connaitre la durée de son voyage. Comme c'est lui qui bouge, il n'a besoin que d'une seule montre qu'il déclenche au départ et arrète à l'arrivée pour connaitre le temps de son voyage. Ce temps est donc appelé le temps propre.

Nous avons donc

t = L'/v

 

Pour l'observateur situé à l'extérieur, la distance L est immobile (il mesure donc la vraie distance, ou distance propre), part contre, à cause de la vitesse de la lumière finie, il devra disposer de deux montres (une au départ et une à l'arrivée) pour connaitrte le temps du parcours. Le top départ et le top d'arrivée ne se passent pas au même endroit. Il devra donc synchroniser deux montres, une au départ et une à l'arrivée pour mesurer le temps. Ce temps mesuré s'appelle le temps impropre, noté t'.

Nous avons donc

t'=L/v

 

Or nous venons de voir que

t' = t/√(1-v2/c2)

 

Donc

L/v = (L'/v)/√(1-v2/c2), et donc

 

L' = L.√(1-v2/c2)

 

Cette seconde équation indique que les longueurs en mouvement rétrécissent par rapport aux longueurs immobiles.

 

 

Bien évidement, il faut que la vitesse soit proche de la vitesse de la lumière pour que cette différence se fasse sentir.

prenons par exemple l'exemple de la sonde Voyager 1 qui voyage à la vitesse de 60 000 km/h (16 000 m/s) depuis 35 ans (1 104 516 000 secondes)...

Sur cette sonde, il s'est écoulé depuis son départ : 1 104 515 998,4 secondes ! Donc la sonde Voyager 1 est donc plus jeune de 1,6 secondes qu'une sonde qui serait restée sur Terre depuis 35 ans !!! Vous voyez que la contraction du temps est très faible si le rapport netre la vitesse de l'objet et la vitesse de la lumière est important.

 

Par contre, ce décalage, si petit soit-il peut, même pour notre vie de tous les jours, avoir un effet important :

Les satellites GPS sont en orbite autour de la Terre à 26 500 km du centre de la terre et effectuent un tour complet de la Terre en 12h. Cela fait donc une vitesse de révolution de 3,85 km/s.

 

Le fonctionnement des satellites GPS est assez simple dans le principe :

On dispose de 30 satellites répartis partout autour de la terre et tournant tous ensemble. A chaque instant, on connaît la position exacte de chacun des satellites. Le système GPS resté sur Terre (le GPS de votre voiture par exemple) doit donc capter la présence de 4 satellites parmi les 30. Le temps mis entre l'émission d'un signal et son renvoi par le satellite, nous indique donc exactement à quelle distance du satellite se trouve l'émetteur car on connaît la vitesse de la lumière avec précision. Comme on réalise cela avec 4 satellites, alors on peut connaître la position exacte de l'émetteur.

La précision du système doit être très importante car une imprécision ne serait-ce que d'un millionième de secondes peut conduire à une approximation de plus de 300 mètres sur le positionnement de l'émetteur. En effet, la vitesse de la lumière étant de 300 000 000 m/s, elle parcourt 300 mètres à chaque millionième de seconde.

 

Or tout dépend de la position exacte du satellite à l'instant exact ou la position GPS est demandée, sachant que le temps ne s'écoule pas de la même manière pour le véhicule resté sur Terre et pour le Satellite en orbite autour de la Terre.

A la surface de la terre (à 6 370 km de son centre) nous effectuons un tour complet en 24h, soit une vitesse de rotation de 463 m/s à l'équateur et 0m/s au pôle.

La différence de vitesse avec le satellite est comprise entre 3,38 km/s et 3,85 km/s. A cette vitesse, chaque jour, la différence de temps entre les deux référentiels est au maximum de :

86 400/√(1-3,85²/300 000²)-86 400 = 0,0000071 s, soient 7,1 millionièmes de secondes.

Il est donc nécessaire de corriger ce décallage au niveau de l'horloge atomique des satellites afin qu'elle soit bien synchronisée avec celles restées sur terre

Le début de la relativité générale

La relativité restreinte était une révolution à l'époque, mais elle avait un gros inconvénient : elle ne s'appliquait qu'aux mouvements à vitesse constante... et cela avait mené au fameux paradoxe des jumaux, qui passait sous silence l'accélération qu'il avait fallu subir pour arriver à cette vitesse constante...

10 ans après la relativité restreinte Einstein publia une généralisation de ces calculs, mais cette fois-ci, étendue aux mouvements accélérés.

Son premier constat fut le suivant : la gravitation génère une accélération. De ce fait, un mouvement accéléré génère la même sensation qu'une immobilité dans un champ gravitationnel.

 

En gros, l'attraction de la Terre à sa surface génère une accélération de 9,81 m/s², c'est à dire, que si je me mets en haut d'une tour, et que je laisse tomber un caillou (on néglige les frottements de l'air), au bout d'une seconde, sa vitesse sera de 9,81 m/s, au bout de 2 secondes, elle sera de 19,62 m/s etc.

Donc si je suis à la surface de la Terre, je suis soumis à une force qui génère une accélération de 9,81 m/s². C'est donc grâce à cette accélération que nous restons les pieds sur Terre, et que les Australiens n'ont pas plus que nous la tête à l'envers.

Donc, si je suis dans l'espace, loin de la terre, je suis en apesenteur, c'est à dire que je flotte puisque plus aucune planète ne m'attire. Par contre, si je suis dans une fusée qui accélère à exactement 9,81 m/s², alors cette accélération me permettra de tenir debout, exactement comme si j'étais sur Terre.

Pire encore, si quelqu'un est enfermé dans une pièce noire sur Terre, il sera incapable de dire s'il se trouve sur Terre, ou s'il se trouve quelquepart dans l'univers, dans une fusée soumis à une accélération de 9,81 m/s² !

 

A partir de cette hypothèse, il n'y avait plus qu'à effectuer des calculs...

Imaginons une fusée soumise à une accélération constante g (c'est à dire que sa vitesse augment de g à chaque seconde). Cette fusée à une taille de h, et possède une lampe au sol et un capteur de lumière au plafond.

Relativite-et-acceleration.PNGElle dispose aussi d'une lampe sur l'un de ses murs, dont nous nous occuperons plus tard. Comme l'accélération de la fusée est g, nous avons donc :

a(t) = g

la vitesse de la fusée (cela est décrit en annexe) est donc :

v(t) = v0 + gt = gt (si au départ la fusée est immobile)

et la position de la fusée est de :

y(t) = y0 + v0t + gt²/2 =  gt²/2 (si au départ la fusée est au sol)

  

Pour l'instant, concentrons-nous sur la lampe orange, qui emmet un flach lumineux toutes les T secondes.

  • Si le 1er flash est émis au temps t1 = T, le deuxième flash au temps t2 = 2.T, et le nième flash est émis au temps tn = n.T. A ce moment précis, le sol de la fusée est donc situé à la hauteur y = g.(n.T)²/2. Sa vitesse à cet instant est de v = g.n.T
  • Le nième flash atteindra le plafond de la fusée au temps t'n. A ce moment précis, a quelle hauteur est située le plafond ?
  • Si la fusée avait été au repos, la lumière aurait mis un temps de t = h/c pour aller du sol au plafond, et nous aurions eu t'n = tn + h/c
  • Or pendant ce temps t = h/c, qui est très petit, on peut négliger l'accélération et faire l'approximation que la fusée a été à la vitesse constante de v = g.n.T. pendant le temps t nécessaire, elle a donc parcouru la distance g.n.T.h/c (car d = v.t)
  • Nous pouvons donc faire l'approximation que pour aller du sol au plafond, la lumière a du parcourir au final une distance très proche de h + g.n.T.h/c
  • Cette distance, la lumière a naturellement mis un temps de h/c + g.n.T.h/c²  pour la parcourir

 

Récapitulons... si le nième flash met un temps de  h/c + g.n.T.h/c² pour atteindre le plafond, alors le (n+1)ième flash mettra un temps (il suffit de remplacer n par n+1 dans la formule) de h/c + g.(n+1).T.h/c², soit :

  h/c + g.n.T.h/c² + g.T.h/c²

 

La différence de temps entre les deux trajets est donc de
ΔT = h/c + g.n.T.h/c² + g.T.h/c² - h/c - g.n.T.h/c² = g.T.h/c² et donc :


ΔT/T = g.h/c²

 

Cette différence de temps entraine donc un rallongement de la fréquence des flashs, qui, si ils sont émis toutes les T secondes au sol, sont donc reçus à la fréquence T + g.h/c² au plafond... Nous voyons donc que ce retard de g.h/c² ne dépend pas du temps (et donc ne dépend pas de la vitesse qui elle-même dépend du temps), mais seulement de l'accélération. Ce phénomène est donc uniquement lié à l'accélération et non à la vitesse !

 

Comment doit-on interpréter ce résultat ?

Dans notre fusée, la fréquence des flashs émis au sol est différente de la fréquence des flashs reçus au plafond. Pourtant, nous avons vu grâce à l'expérience de Michelson-Morley que la vitesse de la Lumière est toujours constante, quel que soit le référentiel dans lequel on se trouve... De ce fait, si un observateur place deux montres, l'une au sol et l'autre au plafond de la fusée (donc dans un référentiel dans lequel la fusée est immobile), il devrait mesurer ce décalage de g.h/c² entre le moment de l'émission mesuré par la montre au sol, le moment de la réception mesuré à la montre au plafond, et le temps qu'aurais du mettre la lumière pour aller du sol au plafond (étant donné que dans le référentile des deux montres, la fusée est immobile).

Mesurant cette différence, il devrait donc conclure que la vitesse de la lumière dans la fusée est inférieure à la vitesse théorique de la lumière... Or l'expérience de Michelson-Morley a prouvé le contraire....

 

Encore une fois, la seule explication possible, est que le temps s'écoule moins vite au plafond de la fusée qu'au sol de la fusée...

Donc l'accérération ralentit le temps...

Or la gravitation génère une accélération

Donc la gravitation ralentit le temps

 

Ainsi, le temps s'écoule moins vite au niveau de mes pieds qu'au niveau de ma tête, et il s'écoule moins vite au niveau du GPS de ma voiture qu'au niveau du Satellite GPS, situé à 20 000 km d'altitude.

Si nous étions dans une fusée de 20 000 km de hauteur, soumise à une accélération de 9,81 m/s², chaque seconde écoulée au sol de la fusée correspondrait à 1 + 9,81×20000000/300000000² = 1 + 2.18×10-9 s. Nous aurions donc, une différence de temps de 188 μs par jour.

Mais contrairement à notre fusée ou l'accélération est la même au sol qu'au plafond, sur Terre, l'accélération n'est pas la même au sol qu'au niveau du satellite, car la force (donc l'accélération) décroit avec le carré de la distance.

Si au sol, l'accélération est de g = G×Mt / Rt² (soit 9,81 m/s²), elle n'est plus que de g' = G×Mt / (Rt + 20 000 000)² à 20 000 km d'altitude, soit 0,57 m/s², soit 17 fois moins !

La réalité du décalage de temps entre le GPS au sol et le satellite GPS est donc moins élevé que 188 μs, et nous allons essayer de le calculer.

 

En fait, le principe est simple... si entre mes pieds et ma tête, la variation de g est tellement petite que je peux la négliger, il me suffirait par exemple de sommer toutes les différences de temps avec ma formule de 1 mètre en 1 mètre depuis le sol jusqu'à 20000 km d'altitude, en prenant en compte l'accélération à chacune des ces hauteurs et j'aurai donc...

Décalage = Σ(G×Mt / (r²×c²))   pour r variant de 6 370 000 à 26 370 000 de 1 en 1.

Mais si je veux être encore plus précis, je devrais peut-être utiliser des intervalles de 0,5 m, voire moins encore...

Dit autrement, Si je suis à une altitude r du centre de la Terre, la variation de temps sur une hauteur dr sera :

G×Mt×dr / (r²×c²) = (G×Mt)/c²×dr/r²

Si je veux sommer toutes ces variation pour r variant de Rt à Rt + 20 000 km, et en faisant tendre dr vers 0, ce calcul s'appelle une intégrale, et se note :

La primitive (l'inverse de la dérivée) de 1/r² est -1/r, et l'intégrale se calcule en faisant la différence de la primitive entre les deux bornes de l'intégrale, c'est à dire :

G.Mt/c²×(-1/(Rt + 20km) + 1/Rt) =

((6,7×10-11.5,97×1024)/(300 000 000²))×((1/6 370 000)-(1/26 370 000))=5,29×10-10 s

Donc le ralentissement du temps entre une montre située à la surface de la Terre et une montre située à 20 000 km de hauteur est de 5,29×10-10 secondes par seconde, c'est à dire 45,7 μs par jour !

 

Pour résumer, du simple fait de sa vitesse et par la relativité restreinte, la montre d'un satellite GPS retarde de 7 μs par jour. En contrepartie, du simple fait de sa hauteur, et par la relativité générale, la montre d'un satellite GPS avance de 45 μs par jour. Au total, la montre d'un satellite GPS avance de 45 - 7 = 38 μs par jour.

 

Dernier point pour lequel je vous épargnerai les calculs, si on s'occupe cette fois de la lumière bleue placée horizontalement dans notre ascenseur, on voit que l'accélération de la fusée entraine, dans le référentiel de la fusée une courbure de la lumière. Donc :

 

L'accélération entraine une courbure de la lumière

La gravité entraine une accélaration

Donc la gravité entraine une courbure de la lumière

 

Nous avons donc trois faits qui sont prédits par la relativité, et qui, depuis maintenant plus de cent ans, n'ont jamais pu être remis en cause par aucune expérience, malgré la précision grandissante de nos instruments de mesure.

Mieux encore, à l'époque cette théorie ne pouvait être prouvée car aucune expérience ne permettait à l'époque de mesurer ce trois faits :

  • La vitesse ralentit le temps
  • La gravité ralentit le temps
  • La gravité courbe la lumière

Tout cela uniquement à partir du résultat de l'expérience de Michelson-Morley et de la constatation que la vitesse de la lumière est constante quel que soit le référentiel dans lequel on soit, et qui a pour conséquence que la vitesse de la lumière est une limite infranchissable.

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Published by astronomie-smartsmur - dans Annexes
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17 avril 2012 2 17 /04 /avril /2012 19:59

 

Avant d'aborder le fond de ce chapitre, plusieurs introductions à de nouveaux concepts importants sont nécessaires. Il ne s'agit pas à proprement parler de notions astronomiques puisque  nous allons plonger quelques temps dans l'infiniment petit, mais vous verrez (et c'est cela qui est magique) qu'un événement survenant dans l'infiniment petit aura des conséquences dans notre vision et donc dans notre compréhension de l'infiniment grand !

Il est important d'imaginer que dans les années 1800, on pensait bien qu'à part la distance des étoiles les plus proches par la méthode des parallaxes, on ne saurait jamais, ni la tempréature, ni la composition, ni la taille des étoiles sans aller y voir sur place.

 

Nous allons donc aborder les notions suivantes en guise d'apéritif :

  • Les photons  
  • Les atomes
  • Les transitions électroniques
  • Un focus sur l'atome le plus simple et le plus répandu dans l'univers : l'hydrogène

 

Qu'est-ce qu'un photon ? 

La lumière est une onde. On peut s'en rendre compte lorsqu'onhoule-diffraction.jpg fait pass er   à travers un petit trou un faisceau lumineux qui forme une tâche de diffraction (tâche d'Airy), propre des ondes. La lumière se comporte comme une vague sur l'eau.

Regardez cette image à droite issue de Google Earth qui matérialise ce phénomène : La houle arrive à gauche de la photo sous forme d'ondes parallèles.

En traversant le trou laissé entre les deux iles, on voit qu'elle en ressort sous forme d'une onde circulaire : C'est la diffraction.

L'espace entre les deux iles à la même effet sur l'a houle à la surface de l'eau qu'un petit trou ou une fente a d'effet sur la lumière. C'est bien la démonstration que la lumière est une onde.


La lumière est aussi une particule. Elle est créée lors de collisions de particules avec leur anti-particule et peut-être émise par les atomes (nous allons revenir dans quelques lignes sur ce point). Dans ce cas, elle est assimilable à une bille ou grain de lumière qu'on appelle un photon.

 

Mais alors, la lumière est-elle une onde ou un un flot de photons ? D'ailleurs, le photon lui-même est-il une particule où une onde ? On n'y comprend plus rien...

 

Il existe des objets de tous les jours qui permettent de comprendre cette problématique...

Existe-t-il un objet permettant de rentrer exactement dans un trou rectangulaire, mais en même temps rentrer exactement dans un trou rond ? Existe-t-il un objet permettant de rouler, mais aussi de rester stable, posé sur une table si bien qu'on puisse en empiler plusieurs ?

A priori, ces propriétés sont incompatibles, mais cet objet existe : le cylindre !

 

Le cylindre n'est ni un rond, ni un rectangle, mais possède les propriétés des deux.

C'est exactement la même chose pour le photon : le photon n'est ni une particule, ni une onde, mais possède les propriétés des deux. 

C'est ce qu'on appelle la dualité onde-corpuscule de la lumière. 

 

young.PNG

L'expérience la plus flagrante pour mettre en évidence cette dualité consiste à faire passer de la lumière à travers deux fentes très fines (appelées fentes d'Young). Chacune des fentes se comporte alors comme une nouvelle source de lumière, et comme la lumière est une onde, alors ces deux nouvelles sources de lumière interfèrent de telle sorte que nous verrons sur un écran situé de l'autre côté des deux fentes la figure d'interférence à gauche :

 

dualite-onde-corpuscule.PNG

L'expérience maintenant consiste à ne plus faire passer une faisceau de lumière à travers deux fentes, mais des photons un par un (nous verrons un peu plus loin qu'il est possible d'émettre des photons un par un).

L'écran est alors remplacé par une plaque photographique et le résultat présenté sur la figure de droite. On voit bien que chaque photon impacte comme une particule la plaque photographique, mais au bout d'un certain nombre d'impact, la figure obtenue est une figure d'interférence !

Si les photons avaient été remplacés par des vraies micro billes de peinture, on aurait obtenu seulement deux franges correspondant aux deux fentes...

 

Ainsi, la photon impacte la plaque photographique comme une bille, mais donne une figure d'interférence comme une onde...


Comme toute particule qui se respecte, le photon possède une énergie. C'est elle qui par exemple nous chauffe lorsque nous allons au Soleil. C'est elle aussi qui est la source d'énergie de la photsynthèse.

L'énergie de cette particule est déterminé par la relation :

E=h.v

Avec v, la fréquence de la particule (donc la fréquence de l'onde), et h la constante de Planck qui vaut 6,626 ×10-34 J.s.

Ainsi, plus la fréquence du photon (et donc de la lumière) est élevée, et plus son énergie est grande.

La fréquence d'une onde peut être déduite de sa longueur d'onde (la distance entre deux sommets de la sinusoïde) et la vitesse de l'onde.

La fréquence, c'est simplement l'inverse du temps que mets la mulière pour parcourir la distance de sa longueur d'onde, et donc on a :

λ.v=c

Avec c la vitesse de la lumière et λ la longueur d'onde de l'onde. En remplacant v dans les deux expressions, on obtient :

E=h.c/λ

 

Un petit exemple...

La lumière rouge a une longueur d'onde de 700 nanomètres (700*10-9m). La vitesse de la lumière est de 3.109 m/s.

L'énergie d'un photon de lumière rouge est donc :

E=(6,626 ×10-34 J.s*3.109 m/s)/700*10-9m=2.8*10-18J

Bien évidemment, il n'est pas question que je fasse chauffer mon café avec une énergie pareille, mais vous allez voir que nous allons retrouver très bientôt des énergies de même ordre de grandeur dans les lignes qui vont suivre. 

 

Dans le spectre complet de la lumière, on distingue plusieurs grandes typologies d'ondes en fonction de leur longueur d'onde :

  • Les ondes radio avec une longueur d'onde de plus de 10 m
  • Les micro-ondes avec une longueur d'onde comprise entre 1 mm et 30cm. Ces ondes sont utilisées par les téléphones portables, le Wifi et les radars
  • L'infra rouge avec des longueurs d'onde comprises entre 500μm et 780 nm.
  • La lumière visible avec des longueurs d'onde de 380 nm à 780 nm
  • Les Ultraviolets avec des longueurs d'onde de 10-8 m à 380 nm.
  • Les rayons X avec des longueurs d'onde de 10-11 m à 10-8 m.
  • Les rayons gammas avec des longeurs d'onde de moins de 5.10-12 m

Calculons donc l'énergie d'un photon gamma standard de longueur d'onde 10-12 m :

E=(6,626 ×10-34 J.s*3.109 m/s)/10-12m=2*10-12

c'est à dire presque 1 million de fois l'énergie d'un photon de couleur rouge.

 

Quand on sait que certains photons émis ont une longueur d'onde beaucoup plus faible encore, vous comprenez pourquoi ces photons sont un véritable danger pour l'homme !

 

Qu'est-ce qu'un atome ?

Si vous vous ête déjà cogné la tête contre un mur, vous savez donc que la matière est dure et compacte. Eh bien détrompez-vous ! La matière est en fait essenciellement constituée de vide !

Si on avait un microscope suffisamment puissant pour voir un millième de milliardième de millimètre (10-15m) on verrait des petits grains de matière, espacés les uns des autres avec des petits objets diffus tournant autour. Même si cette vision est extrèmement simpliste, car on ne peut comparer un atome à un système solaire en miniature, cela permet de se faire une idée très simple et à comprendre ce qu'est un atome.

 

Le noyau de l'atome est constitué de particules minuscules ayant une charge positive. Ces particules sont appelées des PROTONS. Comme vous savez certainement que deux aimants de même charge se repoussent, il en est de même avec les protons qui donc ne devraient pas pouvoir s'approcher les uns des autres. Cependant, il existe une force, plus forte que la force électromagnétique, et qui parvient à coller tout de même les protons les uns aux autres. Cette force est l'une des quatre forces fondamentales de l'univers : c'est l'interaction forte.

 

Ainsi, même si la force électromagnétique les repousse, plusieurs protons pourront s'aglutiner grâce à la force forte pour former un noyau plus lourd. Dans ce cas, une autre particule appelée NEUTRON, de charge nulle, intervient (la nature est bien faite !) pour donner encore plus de cohésion à l'ensemble.

Le noyau des atomes peut donc avoir un ou plusieurs protons, et des neutrons qui lient l'ensemble. En fonction du nombre de protons, l'atome sera plus ou moins lourd, et on aura donc une matière différente (1 proton pour l'hydrogène, deux protons pour l'hélium, etc.).

Pour un même nombre de protons (et donc une même matière), il existe des configurations possibles avec des nombres de neutrons différents. On parle alors d'isotopes. Certains sont stables, et d'autres  moins (par exemple le carbone 14). Ils vont alors rapidement se casser pour donner des atomes plus petits et en libérant de l'énergie. C'est pour cela qu'on les appelle des isotopes radioactifs.


Pour vous donner une idée de ce qu'est ce noyau, la masse d'un neutron est de 1,675×10−27 kg et sa taille est de 10-13 centimètres, ce qui nous donne un volume de 4π/3*(10-13)3=4.2 10-39 cm3.

Une telle masse dans un tel volume nous donne une densité de (tenez-vous bien) :

400 000 000 000 kg/cm3... un centimètre cube de neutron pèse 400 millions de Tonnes !!!

 

Quand je vous dit que la matière est constituée de vide, sachez par exemple que dans une molécule H2 (deux atomes d'hydrogènes assemblés), la distance entre les deux noyaux est de 64*10-12 mètres (64 picomètres), soit 64000 fois la taille du noyau de l'atome d'hydrogène (un proton). Pour vous donner une idée, et en respectant les proportions, si le noyau de l'atome d'hydrogène avait la taille d'un ballon de football de 11 cm de rayon, le second atome d'hydrogène serait, à 14 km de distance !

 

Sachez que ces particules constituant le noyau (les protons et les neutrons) sont en fait aussi composées de particules encore plus petites : les quarks.

Nous ne rentrerons pas dans le détail, mais il est intéressant de savoir que ce sont les quarks qui sont à l'origine de l'interraction forte qui lie les protons les uns aux autres. Les quarks sont ce qu'on appelle des particules élémentaires, c'est à dire qu'ils font partie des composants ultimes de la matière, ou des briques de base de la matière. Nous n'avons en effet pas pu trouver jusqu'à aujourd'hui de sous-composants des quarks..

Les protons et neutrons, font partie de la famille des baryons, c'est à dire des particules formées de Quarks.

 

Maintenant que nous savons en gros de quoi est formé le noyau de l'atome, nous voyons donc que sa charge électrique est positive du fait des protons qui le composent. Pour équilibrer le tout, des particules encore plus minuscules chargées négativement tournent autour du noyau. Ces particules sont appelées des ELECTRONS.

Quand je dis "tournent autour", n'allez pas vous imaginer un ballais orchestré. Les électrons sont un peu partout et nulle part à la fois autour du noyau. Il faut donc plus s'imaginer l'atome comme un noyau et un nuage autour dans lequel les électrons sont on ne sais trop où. L'atome est donc dans l'ensemble neutre électriquement.

 

Ainsi un noyau avec 1 proton aura un électron qui lui tournera autour pour équilibrer la charge globale, un noyau avec deux protons aura deux électrons qui tournent autour, etc.

 

Les transitions électroniques

Pour schématiser et vous donner une image, imaginez-vous que ces fameux électrons ne trournent pas tous sur la même orbite autour du noyau, un peu comme si il existait des couches bien définies où les électrons pourront se retrouver. Bien sûr nous savons que les électrons forment une sorte de nuage et ces couches ne sont pas réelles. Elles permettent en fait de se représenter de manière imagée des niveaux d'énergie des électrons différents.

 

En 1925, Wolfgang Pauli a imaginé que les électrons (d'autres particules répondent aussi à ce principe) ne peuvent avoir les mêmes caractéristiques et ne peuvent donc pas se retrouver dans le même état à un instant donné autour du même atome.

Pour les électrons, il existe quatre caractéristiques permettant de décrire l'état de l'électron. Nous n'allons pas vous les expliquer en détail car cela dépasserait largement le cadre de ce chapitre, mais sâchez que ces caractéristiques sont :

- Le numéro de couche.

- Le spin.

- Le nombre quantique azimutal.

- Le nombre quantique magnétique.

Comme le spin, le nombre quantique azimutal et le nombre quantique magnétique ne peuvent prendre que certaine valeurs bien définie, alors il existe une combinaison finie de valeurs distinctes de chacun d'entre eux.

De ce fait, pour une couche donnée, si toutes les valeurs des trois autres caractéristiques sont déjà prises par des électrons, alors on dira que la couche (ou l'orbite) est pleine et plus aucun électron ne pourra s'y positionner. C'est ce qu'on appelle le principe d'exclusion de Pauli. Pauli recevra d'ailleurs le prix Nobel de physique en 1945 pour cette découverte. D'autres règles s'appliquent aussi sur le remplissage des couches, mais c'est de loin la plus importante, et ainsi :

 

La couche n°1 la plus basse a deux places

 

La couche suivante n°2 a 8 places

La couche suivante n°3 a 8 places

La couche suivante n°4 a 18 places

La couche d'après n°5 a 18 places

etc.

 

Plus les électrons se trouvent dans les couches basses et donc à des niveaux d'énergie bas, et plus l'atome est stable. Plus les couches occupées sont remplies, et plus l'atome est stable (stable dans le sens où il n'aura pas de possibilité de s'associer avec un autre atome pour faire une molécule).

 

Si en revanche la dernière couche n'est pas totalement remplie, l'atome va pouvoir combler ce trou en s'allliant avec un autre atome ayant, lui aussi, une place libre.

Vous l'avez donc certainement compris, les atomes ayant toutes leurs couches pleines (2, 10, 18, 36, 54, 86 et 118 protons et donc autant d'électrons) sont tellement stables qu'ils ne s'alieront jamais avec aucun autre atome. On ne les retrouve donc dans aucune molécule. C'est pour cette raison (par exemple pour 2 proton) qu'il n'existe pas d'Oxyde d'Helium, ou de Chlorure d'Helium... C'est le même cas pour le Néon, l'Argon, etc. L'Hélium existe tout seul, mais jamais associé à un autre atome.

 

Prenons des exemple concrets avec des éléments bien connus.

L'Hydrogène (1 proton et un électron) :

Comme il ne contient qu'un seul électron, sa première couche contient une place libre et il pourra s'alier avec d'autres atomes ayant aussi une place libre comme le Chlore par exemple, ou un autre Hydrogène pour former une molécule de H2 ou HCl

 

L'oxygène (8 protons et 8 électrons) :

Sa première couche est pleine et sa deuxième couche contient 6 électrons. Il lui reste donc deux places libres. Il pourra s'alier, par exemple avec deux atomes d'hydrogène, ayant chacun une place libre pour donner H2O.

 

Le carbone (6 protons et 6 électrons) :

Sa première couche est pleine et sa deuxième couche contient 4 électrons. Il lui reste donc quatre places libres. Il pourra s'alier, par exemple avec deux atomes d'Oxygène pour donner du CO2 ou quatre atomes d'hydrogène pour donner du CH4.

 

Les transitions électroniques

Bien que les atomes soient plus stables avec leurs électrons sur les couches les plus basses, si un atome est excité avec de l'énergie (l'énergie d'un photon par exemple), ses électrons peuvent "sauter" sur le couches supérieure (donc monter en niveau d'énergie). C'est ce qu'on appelle une transition électronique. Une fois que l'atome se désexcite, l'électron qui avait sauté redescend d'une ou plusieurs couches en rendant l'énergie correspondante sous forme d'un photon.

Comme pour un même atome, les différences d'énergie entre les couches N1, N2 etc. sont toujours identiques, alors l'électron qui redescend d'une couche x vers une couche y emettra toujours un photon de même énergie.

C'est exactement sur ce principe que se basent les LASER (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) où des atomes sont désexcités sous l'effet d'une onde électromagnétique bien précise. On aura alors des passages d'électrons sur de nombreux atomes d'une couche vers la même couche plus basse produisant des photons de même énergie et donc de même fréquence.

 

Un focus sur l'atome le plus simple et le plus répandu dans l'univers : l'hydrogène

L'atome d'hydrogène ne contient qu'un seul proton et donc un seul électron. C'est donc l'atome le plus simple et aussi le plus répandu de l'univers.

Le seul électron qu'il contient se trouve naturellement sur la première couche. Si l'atome est excité, l'électron pourra sauter sur la couche 2, ou directement sur la couche 3, ou 4, en fonction de l'énergie qui l'aura excité. Si l'électron a sauté sur la couche 4, alors il pourra redescendre soit sur la couche 3, soit sur la couche 2 soit retrouner directement à la couche 1. Selon, le scénario, un photon d'une énergie différente sera émise.

De même, si l'électron a sauté sur la couche 2 et qu'un photon de la bonne fréquence (donc de la bonne énergie) frappe l'atome, alors l'électron pourra sauter sur une couche supérieure.

Ainsi, il existe une quantité finie de possibilités de passage de l'électroin d'Hydrogène d'une couche à une autre.

 

Si on déroule toutes les possibilités on obtient :

Retour à la couche 1 (série de Lyman) :

Depuis la couche 6, ou 5, ou 4, ou 3, ou 2

Inversement, cette série décrit aussi les sauts sur les couches supérieures depuis la couche 1.


Retour à la couche 2 (série de Balmer) :

Depuis la couche 6, ou 5, ou 4, ou 3 

Inversement, cette série décrit aussi les sauts sur les couches supérieures depuis la couche 2.

 

Retour à la couche 3 (série de Paschen) :

Depuis la couche 6, ou 5, ou 4

Inversement, cette série décrit aussi les sauts sur les couches supérieures depuis la couche 3.

 

Retour à la couche 4 (série de Brackett) :

Depuis la couche 6, ou 5

Inversement, cette série décrit aussi les sauts sur les couches supérieures depuis la couche 4.


Retour à la couche 5 (série de Pfund) :

Depuis la couche 6

Inversement, cette série décrit aussi les sauts sur les couches supérieures depuis la couche 5.

 

Dans cette liste, nous avons limité le nombre de couches à 6, mais en réalité les électrons peuvent venir de couches supérieures. Nous verrons bientôt que ces couches ne sont pas très intéressantes et nous les ignorerons donc.

On peut imaginer une couche ultime à partir de laquelle l'élecron est finalement arraché à l'atome. C'est ce qu'on appelle alors l'énergie d'ionisation, puisqu'avec cette énergie, l'atome perd un électron et n'est alors plus neutre électriquement. Il est devenu un ion.

 

Vous voyez donc que lorsqu'il est désexité, l'atome d'Hydrogène émettra des photons d'une énergie bien distincte et donc de longueur d'onde différente. Nous verrons que parmi ces longueur d'onde, peu seulement sont dans le domaine du visible.

La totalité des longueur d'ondes émises par un atome représentera donc une sorte d'emprunte, de signature qui lui est caractéristique. Celle de l'Hydrogène est différente de celle de l'Hélium, etc.

Si l'hydrogène emmet de la lumière (par une onde électromagnétique) il emettra toujours des photons avec l'une des longueurs d'onde correspondant à celle du retour de ses électrons sur les couches inférieures. Et comme il faut la même énergie pour aller d'une couche vers une autre qu'il en est rendu pour redescendre, alors les énergies (et donc les longueurs d'ondes) des photons captés sont les mêmes que celles des photons produits.

 

Comment donc faire pour connaitre ces longueurs d'onde ?

C'est en principe assez simple: on force des atomes à se désexciter par une onde électromagnétique, et lorsque la matière en question produit de la lumière, alors je saurai que mon onde électromagnétique correspond exactement à la fréquence de la lumière. En variant l'intensité de l'onde, on devrait pouvoir créer toutes les fréquences des séries vues plus haut.


Une autre possibilité est beaucoup plus simple : raie-spectrale.PNGOn émet une lumière régulière (en chauffant un gaz par exemple). Cette lumière contient des photons avec toutes les fréquences possibles (du bleu au rouge). On fait tensuite traverser la lumière dans un grand récipient d'hydrogene.

Certains photon de la lumière émise, s'ils ont l'énergie (et donc la fréquence) exactement suffisante pour exciter les atomes d'hydrogène, seront absorbés par ces derniers.

Ainsi, si on fait passer le rayon lumineux à travers un prisme par exemple, on obtiendra un spectre continu dans le premier cas, et dans le second, un spectre avec certaines bandes noires. Ces bandes correspondent aux fréquences des photons qui ont été absorbés par les atomes d'hydrogène.

 

Ces bandes peuvent être observées, mais surtout, elles peuvent être calculées, car elle dépendent de l'énergie de transition des électrons entre différentes couches.

Johannes Rydberg a calculé (je vous épargnerai ces calculs) que l'énergie nécessaire pour ioniser un atome d'hydrogène était au maximum (cas où l'électron est sur la première couche) de 13.6 eV (avec 1 eV = 1.6*10-19 J). Dit autrement, lorsque l'électron est sur la première couche, son énergie par rapport à une énergie de référence qui serait l'énergie d'ionisation est de -13.6 eV.

Plus généralement, si l'électron de l'atome d'hydrogène est sur la couche n, son énergie par rapport à l'énergie d'ionisation est de :

En = -13.6 eV/n2

Connaissant maintenant l'énergie de chacune des couches, il suffit de faire leur différence pour connaitre l'énergie nécessaire pour passer de l'une à l'autre, et par là même, la fréquence du photon absorbé, ou émis.

 

Voici donc la matrice des énérgies de transition sur les 6 premières couches.

On reconnait sur la première ligne les énergies de la série de Lyman à partir de n=2, (en noir) sur la deuxième ligne, les énergies de la série de Balmer à partir de n=3. (en bleu), et ainsi de suite (Pashen en rouge, Brackett en vert et Pfund en Orange).

Couche départ\

Couche arrivée

1 2 3 4 5 6
1 X 10.21 eV 12.09 eV 12.75 eV 13.06 eV 13.22 eV 13.6 eV
2 -10.21 eV X 1.88 eV 2.54 eV 2.85 eV 3.01 eV 3.39 eV
3 -12.09 eV -1.88 eV X 0.66 eV 0.97 eV 1.13 eV 1.51 eV
4 -12.75 eV -2.54 eV -0.66 eV X 0.31 eV 0.47 eV 0.85 eV
5 -13.06 eV -2.85 eV -0.97 eV -0.31 eV X 0.16 eV 0.54 eV
6 -13.22 eV -3.01 eV -1.13 eV -0.47 eV -0.16 eV X 0.38 eV
-13.6 eV -3.39 eV -1.51 eV -0.85 eV -0.54 eV -0.38 eV X

 

Et leur correspondance en longueur d'onde des photons émis ou absorbés:

Couche départ\

Couche arrivée

1 2 3 4 5 6
1 X 122 nm 103 nm 97.5 nm 95.2 nm 94 nm 91.4 nm
2 122 nm X 658 nm 487 nm 435 nm 412 nm 366 nm
3 103 nm 658 nm X 1883 nm 1281 nm 1100 nm 823 nm
4 97.5 nm 487 nm 1883 nm X 4052 nm 2625 nm 1458 nm
5 95.2 nm 435 nm 1281 nm 4052 nm X 7476 nm 2279 nm
6 94 nm 412 nm 1100 nm 2625 nm 7476 nm X 3282 nm
91.4 nm 366 nm 823 nm 1458 nm 2279 nm 3282 nm X

 

On peut donc ainsi créer une signature de l'Hydrogène, qui correspond à des bandes noires aux longueurs d'ondes 91.4, 64, 95.2, 97.5, 103, 122, 366, 412, 135, 487, 658, 823, 1100, 1281, 1883, 1458, 2279, 2625, 4052 et 7476 nm.

Cela signifie que si on observe le spectre d'une lumière, que cette lumière traverse un élément inconnu, et que le spectre contient des bandes sombres à ces exactes fréquences, alors on pourra en déduire que l'élément inconnu contient de l'Hydrogène !

On voit que pour la série de Balmer, les longueur d'ondes des photons émis ou absorbés correspondent à la lumière visible. On peut donc dire que dans le spectre de la lumière visible, une sous signature de l'hydrogène correspond aux longueurs d'ondes 412 nm, 435 nm, 487 nm et 658 nm.

Si le spectre de la lumière ayant traversé l'élément inconnu contient d'autres raies noires que celle correspondant à la signature de l'hydrogène, alors il suffira de trouver quel autre atome a un spectre correspondant pour identifier cet élément supplémantaire !

Evidemment, plus les atomes sont présents en grande quantité dans l'élément inconnu, et plus les raies noires seront pronnoncées.

 

Coupe d'une étoile :

Au centre de l'étoile se trouve le noyau dans lequel les réactions nucléaires ont lieu. Des neutrinos et des rayon gamma y sont produits. Ce noyau représente environ 25% du rayon de l'étoile.

A l'extérieur du Noyau se trouvent deux couches plus importantes menant jusqu'à la surface.

Une première couche appelée zone de transfert radiatif, où la chaleur et la densité sont moins importantes (et donc il n'y a pas de réaction nucléaire), mais suffisement grande pour que l'énergie qui sort du noyau sous forme de photons soit systématiquement absorbés et réémise continuellement par les atomes qui constituent le gaz sous pression. C'est de là que vient le nom de cette zone car la chaleur produite n'est transmise que pas radiation, c'est à dire par échange de photons. Cet échange est tel qu'on estime qu'un photon sortant du noyau, mettra plus d'un million d'années pour sortir de cette couche, de par ses absorbtions et réémissions successives.


Une dernière couche allant jusqu'à la surface est appelée zone de transfert convectif. Dans cette partie du Soleil, la température et baisse légèrement (moins d'1 million de degrés) et de ce fait, l'énergie n'est plus transmise par radiation, mais par convection. C'est à dire qu'il y a une circulation des particules de gaz plus chaudes vers l'extérieur (un peu comme les courants dans la mer).

 

Nous arrivons maintenant dans les deux dernières couches les plus fines, mais les plus intéressantes pour nous :

Tout d'abord la photosphère. Cette couche, épaisse de quelques centaines de kilomètres d'épaisseur seulement est la partie visible su Soleil. Il s'agit en fait du sommet des zones de convection de la couche inférieure. Cette partie est chauffée à blanc et émmet donc de la lumière.

Comme tout corp chauffé, il emmet donc l'ensemble des fréquences lumineuses et l'intensité sera maximale pour la couleur correspondant à sa température. Ainsi, la couleur d'une étoile nous indique la température de sa photosphère.

 

En 1896, Wilhelm Wien a établi une loi (la loi de Wien) qui établit la relation entre la température d'un corps noir et son intensité lumineuse. Un corps noir est, comme son nom l'indique, un objet qui est tout noir (c'est à dire qu'il absorbe toute la lumière qu'il reçoit). Seul le fait de le chauffer permet de le rendre lumineux (un peu comme un morceau de charbon qui devient rouge dans le barbecue). En fait, le corps noir est noir au zéro absolu (-273,15°C) et emmet de la lumière dès que sa température augmente. Pour des basses températures, la lumière qu'il emmet est invisible à l'oeil nu car uniquement dans l'infrarouge, mais passé une certaine température, il emmet de la lumière visible. C'est ainsi que le corps humain produit de la lumière qui n'est visible que par une caméra infrarouge... Donc détrompez-vous, notre corps emmet de la lumière, même dans le noir, mais à des fréquences que nous ne voyons pas.

Certains animaux comme les chats ou les moustiques peuvent voir ces fréquences lumineuses... Eh oui, même dans le noir complet, un moustique arrivera toujours à vous retrouver...


Même si c'est exagéré, on peut considérer les étoiles comme des corps noirs et sa loi s'applique.

Cette loi a été ensuite complétée par un certain Max Planck en 1900.

Il a ainsi établi l'intensité lumineuse par fréquence émise par un corps noir dépendait de la température avec la formule :

Cette formule, mise en graphique nous donne les informations suivantes :

 

Spectre-des-etoiles2.PNGOn voit plusieurs choses intéressantes. Tout d'abord, on voit qu'un corps à 1000K (700°C) emmet toute sa lumière dans l'infrarouge. C'est à peu près la température limite à partir de laquelle l'objet va commencer à rougir.

Plus la température augmente, et plus le spectre glisse vers les bleu.

En dessous de 5000K, la courbe est nettement plus haute au niveau des rouges qui l'emportent sur le couleur de l'étoile.

Entre 5000K et 7000K, on voit que la courbe est presque plane sur l'ensemble des fréquences de lumière visible. C'est pour cette raison que ces étoiles (Soleil en tête) apparaissent blanches même si le maximum d'intensité lumineuse se situe dans les verts.

Au dessus de 7000 K, la courbe est nettement plus haute au niveau des bleus qui l'emportent sur la couleur de l'étoile.

 

Orion-global2.JPGRegardez la photo ci-contre :

On y voit l'une des constellations les plus célèbres du ciel, la constellation d'ORION.

On remarque Betelgeuse, rougeatre, en haut à gauche dont la température est d'envriron 3600°C, et les autres étoiles plus bleutés sont la température est de plus de 20000°C.

La différence de couleur est très nette.

Betelgeuse était, il y a quelques temps aussi bleue que ses voisines, mais elle est maintenant en fin de vie, a gonflé et s'est refroidie. Elle explosera bientot en supernovae et pourrait, pendant quelques semaines, être presque visible en plein jour.

 

Au centre de l'image, les trois célèbre étoiles de la ceinture d'Orion, presque parfaitement alignées.

De la gauche vers la droite, Alnitak (25000°C), Alnilam (25000°C) et Mintaka(30000°C) très légèrement plus bleutée.

 

Cette ceinture d'Orion est très riche en étoiles, nuages de gaz et mérite bien une photo dédiée. On y voit presque toutes le s couleurs possibles. Du bleu au rouge, en passant par le blanc.

 

Orion_Belt.jpgEn 1910, Ejnar Hertzsprung et Henry Norris Russell ont estimé qu'il devait y avoir une relation entre la brillance d'une étoile et sa température. En clair, si on affiche les étloiles sous formes de points sur un graphique ayant en abscisse la température de l'étoile et en ordonnées sa brillance, les étoiles seront-elles éparpillées partout sur le graphique, ou seront-t-elles regrouppées par familles ?

hr.PNG

 

Richard Powell a réalisé le diagramme ci-onctre avec plus de 20000 étoiles des catalogues Hipparcos et Gliese.

On voit que les étoiles sont regrouppées en une ligne lorsqu'elle sont dans leur séquence principale.

Les naines blanches se retrouvent aussi ensembles en bas à gauche et les supergéantes en haut à droite.

 

En reprenant ce diagramme, on peut y positionner les étoiles les plus proches ou les plus connues du ciel.

Ceci est très intéressant pour la raison suivante :

Si j'observe une étoile, je commence par regarder son spectre et à quelle fréquence son intensité est la plus forte. Connaissant cette fréquence, je peux alors en déduire la température de cette étoile. Si cette étoile est dans sa séquence principale (c'est à dire si elle n'est ni une naine blanche, ni une supergéante), alors la connaissance de sa température m'indique sa luminosité et donc sa magnitude absolue. Connaissant sa luminosité, je peux alors en déduire sa distance !

En fonction de leur température, les étoiles sont un peu difféerentes et les phénomènes qui s'y produisent dans le coeur ou en surface sont différents. Ainsi des catégories d'étoiles identifiées par une lettre ot tété créées, avec, de la plus chaude à la prus froide, les catégories O, B, A, F, G, K et M.

 

Luminosité, magnitude, magintude absolue et distance.

Il y a plus de 2000 ans, Hipparque avait déjà classifié les étoiles par classe de brillance. Cette classe allait de 1 pour les plus brillantes à 6 pour la limite des étoiles visibles à l'oeil nu.

En 1856, Norman Pogson remarqua qu'entre deux étoiles ayant 5 magnitudes de différence, de rapport de brillance entre elles était à peu près de 100.

De là, arriva une mise en équation de la magintude indiquant qu'entre 2 magnitudes, la différence de brillance est de 1001/5 = 2,51.

La question qu'on se posa alors était simple : la magnitude est-elle proportionnelle à la brillance de l'étoile ?

La réponse était bien entendu non car si deux étoiles ont la même magnitude, mais que l'une est 100 fois plus éloignée de nous que la première, on voit bien qu'elle doit être bien plus lumineuse pour briller à cette distance avec la même intensité. Cette fameuse magnitude observée depuis la Terre devint alors la magnitude relative.

 

Pour pouvoir comparer magnitude et brillance, il faudrait que toutes les étoiles soient à la même distance de nous. Arbitrairement, nous avonsdéfini la magnitude absolue la magnitude qu'aurait une étoile si elle était située à 10 parsec (32,616 années lumière) de nous.

Ainsi, si notre soleil a une magnitude apparente de -26,8, sa magnitude absolue est de 4,83.

C'est donc seulement en comparant les magnitudes absolues qu'on peut comparer la brillance des étoiles.

Comme nous aimons bien comparer les choses avec ce que l'on connait, nous exprimons souvent la luminosité d'une étoile en rapport avec celle du Soleil.

Dans ce cas, la formule est de :

M = -2.5 Log(luminosité (Soleil=1)) + 4.83

Ainsi, connaissant la magnitude relative m et la magnitude absolue M d'une étoile on peut en déduire sa distance D exprimée en parsecs :

m - M = 5 log(D) - 5

diagramme-hr.jpg

Prenons l'exemple de l'étoile Mintaka (Delta orionis). Sa magnitude apparente est de 2.23.

L'analyse de son spectre nous indique que son intensité maximale se situe dans l'utravilolet, vers la longueur d'onde 100nm, ce qui correspond à une température de sa photosphère de 30000 K.

Dans le diagramme Hertzsprung-Russel, pour une étoile dans sa séquence principale, cela correspond a une luminosité de 10000 fois celle du Soleil.

 

En appliquant notre formule, nous obtenons alors une magnitude absolue de cette étoile de M = -2.5 Log(10000) + 4.83 = -5.17 et donc nous pouvons estimer sa distance à :

D = Log-1((5 + 2.23 + 5.17)/5) = 302 parsec, soit 966 Années lumière.

La distance connue pour cette étoile est d'environ 900 années lumière, ce qui nous montre que le ce diagramme est fiable.

 

Nous avons un peu dérivé car nous parlions initialement de la photosphère des étoiles qui est en fait la couche externe qui emet la lumière, et permet donc, de conaitre la température, la luminosité et la distance des étoiles.

 

La dernière couche de l'étoile est la chromosphère. C'est une couche de gaz d'une épaisseure de 10000 km contenant des échantillons des atomes de l'étoile.

Comme cette couche de gaz se situe entre la photosphère qui emet la lumière et notre oeil qui la reçoit, alors, tout comme notre récipient d'Hydrogène, elle absorbe la lumière à des longueurs d'onde bien précise en fonction de sa composition.

Si nous reprenons la classification des étoiles (OBAFGKM avec une subdivision de 0 à 9), on obtient les spectres ci-dessous :

etoiles-spectrales.PNGNous y voyons bien le spectre se décaler du rouge au bleu au fur et à mesure que la température augmente.

On voit aussi que si pour les étoiles A et F, les raies d'hydrogène sont très marquées, ce n'est pas le cas pour les étoiles O et B, ni pour les G, K et M pour lesquelles le nombre de raies augmente énormément avec la température.

 

Les étoiles de type A (Sirius, Deneb, Vega, Altair) et F (étoile polaire) ont un spectre montrant clairement des raies d'Hydrogène et très peu d'autres raies.

Les étoiles de type O (Sigma Orionis, Naos) et B (Rigel) sont si chaudes que les raies d'Hydrogène sont très faibles. En fait, l'énergie dégagée par ces étoiles crée un vent stellaire qui repousse les atomes d'Hydrogène ionisés par les photons ultraviolets. Les ions repoussés se refroidissent et se désexitent en émettant alors de la lumière. Ainsi, le spectre contient donc des raies d'absorbtion mais aussi des raies d'émission qui se compensent.

Les étoiles de type G (Le Soleil, Capella, Alpha du centaure) , K (Arcturus, Aldebaran) et M (Antares, Betelgeuse pour les géantes, Proxima du Centaure pour les naines) sont de plus en plus froide. Leur énergie est plus faible et les photons capables d'être captés par les atomes d'hydrogène sont plus faibles. Les raies d'hydrogène sont donc moins pronncées. En revanche, les raies des métaux sont plus présentes. On retrouve même dans le spectre des étoiles de type M la présence de molécules comme le monoxyde de Titane TiO, Monoxyde de Carbone CO, ou Cyanure CN.

 

Regardez la diférence entre la raie de Betelgeuse (3600°C, 15 fois la masse du Soleil, 600 fois le diamètre du Soleil et 60000 fois sa luminosité) et Sirius (9900°C, 2 fois la masse du Soleil, 1.7 fois le diamètre du Soleil et 26 fois sa luminosité) :

spectre-betelgeuse-sirius.jpg

 

Nous avons donc vu que grâce à l'analyse du spectre des étoiles, nous pouvions connaitre leur température, leur type, leur taille, leur composition, leur distance, leur luminosité et leur masse.

Bien entendu, la détermination de leur distance par cette méthode ne vaut pas la méthode de la parallaxe qui s'avère bien plus précise pour les courtes distances, mais pour des étoiles situées à plusieurs centaines d'années lumières, ce fut longtemps le seul moyen de connaitre leur distance.

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