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29 octobre 2013 2 29 /10 /octobre /2013 00:00

Avant de rentrer dans le vif du sujet, nous allons voir quelles sont les grandes dates qui ont marqué l'histoire du calcul des mesures dans l'astronomie.

 

Nous allons distinguer ces mesures en trois catégories

- La mesure des distances

- La mesure du temps

- La mesure des masses

 

|--   753 Avt JC : Romulus, selon la légende, crée Rome et le calendrier Romain

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|--   ≈ 580 Avt JC : Thalès généralise le théorème qui porte maintenant son nom

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|--   ≈ 550 Avt JC : Pythagore généralise le théorème qui porte maintenant son nom

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|--   ≈ 350 Avt JC : Aristote affirme que la Terre est ronde

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|--   ≈ 270 Avt JC : Aristarque mesure la taille de la Lune, du Soleil, les distances Terre-Lune

|        et Terre - Soleil.

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|--   ≈ 220 Avt JC : Eratosthène mesure la circonférence de la Terre

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|--   150 Avt JC : Hipparque pose les premières bases de la trigonométrie et calcule avec

|        précision la distance Terre - Lune.

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|--   ≈ 45 Avt JC : César crée le calendrier Julien

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|--   150 : Ptolémée rédige l'Almageste qui modélise entre autres choses le Système Solaire (

|       ou plutôt le  Système Terrestre) 

|

 

Avec l'Almageste de Ptolémée, la théorie Géocentrique s'impose comme une évidence et est reprise ensuite par les religions. Nous avons donc une modélisation de référence, fausse, mais totalement ancrée.

Le modèle étant faux, plus aucune avancée ne pouvait être faite car nous étions dans une impasse. S'en suivi près de 1500 ans où aucune découverte ne fut faite (ou du moins publiée)... Quel gâchis !

 

|--   1543 : Copernic attend sa mort pour faire imprimer le livre De Revolutionibus 

|       et sa théorie héliocentrique

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|--   1582 : Le pape Grégoire XIII crée le calendrier Grégorien

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|--   1609 : Après 6 ans de travail d'étude de l'orbite de Mars, Kepler publie  

|       Astronomia Nova avec ses deux premières lois

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|--   1610 : Grâce à sa lunette Galilée découvre les satellites de Jupiter et les phases de Vénus,

|       preuves du modèle héliocentrique    

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|--   1618 : Kepler publie sa troisième loi, qui a des conséquences immenses sur les calculs des

|       distances dans le Système Solaire

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|--   1670 : L'abbée Picard mesure précisément la circonférence de la terre

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|--   1672 : Cassini calcule la Distance Terre-Mars et en déduit la distance Terre-Soleil

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|--   1676 : Römer prouve que la vitesse de la lumière est finie et en fait une estimation

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|--   1684 : Huygens calcule le diamètre apparent de Jupiter et sa taille

|--   1685 : Newton publie De motu corporum in gyrum et sa théorie de la gravitation,

|        toujours utilisée aujourd'hui

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|--   1691 : Halley trouve un moyen génial de calculer la distance Terre - Soleil à partir de

|       l'observation du transit de Venus. Il faudra attendre 1761 et 1769 pour la mettre en pratique

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|--   1728 : Bradley découvre l'aberration de la lumière, preuve que la Terre tourne autour du

|       Soleil

|--   1751 : Lalande et La Caille calculent la distance Terre – Lune par la méthode des parallaxes

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|--   1798 : Henry Cavendish parvient à calculer la constante de gravitation G

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|--   1821 : Bessel calcule la distance d'une étoile : 61 Cygni

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|--   1848 : Découverte de l'effet Doppler par Doppler et Fizeau

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|--   1848 : Fizeau calcule la vitesse de la lumière

|--   1912 : Henrietta Leavitt découvre les propriétés des Céphéides

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|--   1917 : Shapley calcule la distance de la première Céphéide : on en déduit la distance

|       du nuage de Magellan et la distance de la galaxie d'Andromède

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|--   1930 : Grâce à l'effet Doppler, Hubble regarde la vitesse des Galaxies et découvre qu'elles

|       s'éloignent les unes des autres

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|--   1969 : La mission Apollo 11 dépose un réflecteur sur la Lune qui permet de calculer

|       exactement la distance Terre - Lune

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|--   1989 : Lancement du satellite Hipparcos qui va calculer la distance de plusieurs centaines

|       de milliers d'étoiles

 

 

Cette chronologie vous retrace les découvertes importantes qui nous ont permis de connaître les distances dans l'univers. On voit que finalement, à travers les mesures des distances, c'est toute l'histoire de l'astronomie qui est affichée. Il manque tout de même quelques grands noms, comme Einstein, mais nous leur consacrerons un chapitre spécial.

 

Revenons maintenant plus de 2000 ans dans le passé pour étudier les premiers calculs et les premières mesures effectuées dans la prochaine partie.

 

Le calcul des distances dans l'antiquité : Le diamètre de la Lune

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28 octobre 2013 1 28 /10 /octobre /2013 00:00

Il est toujours difficile d'analyser un objet quand on a le nez collé dessus...

Et bien c'est exactement notre problème avec la Terre... pas moyen de prendre du recul, pas moyen de connaître sa forme, pas moyen de connaître sa taille autrement qu'en se promenant dessus (en tout cas à l'époque)...

 

Pourtant nous vivons sur la Terre et les hommes ont voulu en savoir un peu plus...

Ils savaient que la Terre était grande, très grande, et peu importe dans quelle direction ils voyageaient, ils n'en voyaient pas le bout... vous avouerez que comme indice, c'était un peu mince...

A cause de ce manque de recul, les premières mesures, contre toute attente, n'ont pas concerné la Terre, mais d'autres objets...

 

Comme nous l'avons vu dans un chapitre précédent, les astronomes de l'antiquité pouvaient observer dans le ciel : le Soleil, la Lune, les planètes et les étoiles.

Ils pouvaient observer aussi leurs déplacements, mais malheureusement pour eux :

- La Terre était trop proche

- Les étoiles et les planètes étaient trop petites

- Le Soleil était trop brillant

Bref, ça ressemblait un peu au casting de la vache qui rit...

 

Il ne restait que la Lune à observer, mais elle était très intéressante. Elle passait par des phases qui permettaient de compter le temps, elle brillait mais contenait des tâches bizarres. Parfois même, alors qu'elle était pleine, elle s'assombrissait, provoquant ce qu'on appelait une éclipse de Lune. Enfin, pour couronner le tout, on avait remarqué que les éclipses de Soleil avaient toujours lieu les jours de nouvelle Lune...

 

A l'époque d'Aristote (384-322 avant JC), on avait déjà compris que la Lune était éclairée par le Soleil, et que c'est en passant devant le Soleil qu'elle l'éclipsait. A l'inverse, ils avaient aussi compris que les éclipses de Lune avaient lieu lorsque la Lune passait dans l'ombre de  la Terre.

Aristote fut d'ailleurs le premier, dans son traité du ciel, à affirmer que la limite courbe d'ombre qu'on observait sur la Lune durant les éclipses de lune représentait en fait la forme de la Terre !

 

Quelques années plus tard, Aristarque de Samos (310-230 avant JC) (il a dû bien se faire chambrer à l'école avec un nom pareil !) passa de la théorie à la pratique en se disant qu'en regardant la taille de l'ombre de la Terre sur la Lune, on pouvait peut-être en déduire le rapport entre les deux ! Il ouvrait ainsi la voie à tous les astronomes.

 

Il expliqua et démontra tout cela dans son Traité sur les grandeurs et les distances du Soleil et de la Lune. Ce livre est un peu indigeste car Aristarque ne connaissait pas à l'époque la Trigonométrie (qui fut inventée par Hipparque (190-120 Avant JC)). Il a donc dû démontrer ses calculs par des tracés géométriques très ingénieux mais pas vraiment très simples. Je vous invite cependant véritablement à y jeter un coup d'oeil car c'est vraiment très enrichissant..

 

Nous allons donc étudier ses démonstrations en les expliquant, et nous referons ensuite les mêmes calculs par la trigonométrie. 

 

Aristarque bâtit tous ses calculs pour calculer la taille de la Lune sur trois hypothèses de départ que nous allons voir.

On ignore comment Aristarque s’y est prit pour arriver à ces hypothèses, mais il existe plusieurs moyens faciles d’y arriver et il a certainement utilisé l’un d’entre eux :

 

Hypothèse 1 : L'arc sous-tendu dans le ciel par la Lune est la quinzième partie d'un signe.

Evidemment, sans plus d'explications, il est difficile de savoir ce qu'Aristarque voulait dire... Il faut se rappeler qu'Aristarque vivait il y a 2300 ans, et que bien des notions mathématiques évidentes pour nous maintenant étaient alors inconnues.

S'il s'était exprimé dans notre vocabulaire d'aujourd'hui, il aurait sans dout écrit :

Le diamètres apparent de la Lune est de un quinzième d'un signe du zodiaque.

En clair, comme il y a douze signes du zodiaque qui décrivent un cercle de 360° dans le ciel, alors un signe fait 30° et donc le diamètre apparent de la Lune est de 2° (en fait il s'est un peu planté car il est en réalité de 0,5°).

Il existe au moins trois méthodes pour retrouver cette valeur :

 

Méthode 1 :La trigonométrie et la méthode du confetti

On prend un objet (un confetti, une pièce de monnaie, un arbre…) dont on connaît la circonférence exacte. On se recule de cet objet de manière à ce qu’il apparaisse avec le même diamètre apparent que la Lune.

A ce moment là, le rapport entre la taille des deux objets et leurs distances sont égaux (et est d’ailleurs égal à tangente de l’angle). On voit donc que

 

α = Artan(diamètre de la pièce / Distance de la pièce à l'oeil)

 

 diametre apparent lune

Aristarque ne connaissait pas la trigonométrie, mais  à certainement pu approcher l’angle par des constructions géométriques en utilisant cette méthode.

 

 

Je vous invite à réaliser l'expérience avec moi :

 

Je découpe un rond de 2 cm de diamètre que je scotche sur une fenêtre donnant à l'est. Vers la pleine Lune, je me mets face à ma fenêtre et je me recule jusqu'à ce que le rond ait exactement la même taille que la Lune. Je mesure alors la distance de mon oeil à la Fenêtre.

 

Mon expérience a été faite le 09/11/2011 à 19h30. J'ai donc collé un rond de 2 cm de diamètre sur ma fenêtre et j'ai du m'éloigner de 1,50 m de la fenêtre pour qu'il apparaisse de la même taille que la Lune.

J'en déduis donc que le diamètre apparent de la Lune est de :

α = Artan(2 / 150) = 0,76°

J'ai rententé l'expérience le 10/11/2011 à 19h00. Cette fois ci j'ai demandé à ma femme de faire la mesure. Elle s'est reculée de 1,76m de la fenêtre pour que la Lune lui apparaisse dela même taille que le rond collé à la fenêtre. Cette nouvelle mesure nous fait un angle de :

  α = Artan(2 / 176) = 0,.65°.

Il  faut savoir qu'en réalité, ces 09 et 10 novembre 2011, la Lune était à 405000 Km de la Terre. Comme sa taille est en réalité de 3474 km, le véritable angle est de :

 α = Artan(3474/405000)= 0,49°

 

Je vous invite à faire ce test pour voir si vous arriverez à un meilleur résultat que moi.

 

 

Méthode 2 :Chambre noire et trigonométrie.

La première méthode que nous avons vu est assez subjective : comment savoir que la taille du confetti et celle de la lune sont exactes ? Il s'agit en effet d'un jugement qui peut très bien changer d'un individu à un autre et la précision n'est pas vraiment au rendez-vous.

Il existe une solution équivalente qui ne souffre d'aucune interprétation subjective :  

La chambre noire.

Pour cela, nous allons reprendre les expériences effectuées par RPI Roumagne et nous en servir pour calculer ce fameux angle.

 

Qu'est-ce qu'une chambre noire ?

Le principe de la chambre noire, c'est de percer un petit trou (le sténopé) sur une plaque noire. Les rayons lumineux traversant cette plaque par ce petit trou iront créer une image inversée sur une feuille de papier placée de l'autre côté du trou. On dit que ce principe fut inventé par Leonard de Vinci, mais on sait qu'à son époque, Aristote l'avait déjà évoqué. On peut donc imaginer de créer une chambre noire en utilisant un tube. D'un côté le sténopé, et de l'autre côté une feuille de papier millimétré qui permettra de mesurer la taille de l'image.On peut ainsi observer la pleine Lune ou le Soleil. Comme ils ont le même diamètre apparent, l'étude du Soleil nous suffira pour définir le diamètre apparent des deux :

 

chambre-noire.PNG

Ainsi, huit chambres noires en tube de longueur différentes ont été réalisées et des photos de l'image du Soleil sur leurs papiers millimétrés respectifs ont été prises :

 

 

 

 

 

 

experience chambre noire

 

La moyenne de ces 8 mesures nous donne un diamètre apparent de 0,565°

 

Méthode 3 :Le déplacement de la Lune.

On sait que la Lune revient à la même position par rapport aux étoiles dans le ciel tous les 29,5 jours en moyenne. En 29,5 jours (soit 708 heures), elle fait donc un tour complet (apparent) de la Terre, soit un cercle de 360° dans notre ciel. Ce qui nous fait une progression de 0,5085° par heure par rapport aux étoiles.

 

Donc, si on attend qu’une étoile brillant soit très proche de la Lune, et qu'on déclenche le chronomètre, au bout d’une heure, l’étoile se sera déplacée de 0,5085° par rapport à la lune, elle se sera déplacée de 1,017° au bout de 2 heures etc... (en fait c'est la Lune qui a bougé, bien entendu !).

Au bout d'une heure, on observe le déplacement de la Lune par rapport à l’étoile. Il suffit ensuite d’estimer quel pourcentage du diamètre de la Lune ces 0,5085° représentent, et le tour est joué !

 

Malheureusement pour Aristarque, il ne disposait que de ses yeux et n’avait ni télescope, ni ordinateur, ni Photoshop pour effectuer ses calculs. Il n’est donc pas étonnant qu’il ait trouvé une valeur quatre fois trop grande !

 

Heureusement pour nous, ce n’est pas notre cas, et des sites comme celui de l'Association Réunionnaise  d'Etude du Ciel Austral a déjà fait le travail pour nous :

deplacement lune

Cette photo nous montre un petit montage réalisé à partir de leurs photographies, montrant le déplacement de la Lune par rapport à une étoile en 1 heure. Cette étoile, de magnitude 3,2, est l'étoile Phi Sagittarii, de la constellation du Sagittaire.

 

En mesurant le diamètre de la Lune, et la distance entre l'étoile de l'image 1 et celle de l'image 5, on voit qu’en une heure, l’étoile s’est déplacée d’environ 0,82 fois le diamètre de la Lune.

 

Donc, si le déplacement de 0,5085° correspond à 0,82 fois le diamètre de la Lune, alors le diamètre apparent de la Lune est de 0,62°.

 

Nous sommes un peu au dessus de la réalité (le diamètre apparent moyen de la Lune est de l'ordre de 0,52°).

 

 Remarque :

Cette différence vient du fait que le déplacement de 0,5085° par heure est une moyenne et que la vitesse apparente de la Lune par rapport aux étoiles varie de près de 29% entre l'apogée et le périgée de la Lune (nous aurons l'explication lorsque Kepler aura énoncé ses lois dans quelques siècles...)

Le 30 mars 2008, la Lune était à près de 400000 Km de la Terre et proche de son Apogée (cf calendrier  lunaire de ce jour), ce qui fait que sa vitesse angulaire était certainement plus faible que la vitesse angulaire moyenne.

Mais ceci nous donne une valeur assez approchée : nous pouvons être fiers de nous !

 

Méthode 4 possible :  Les signes du zodiaque

Si l'hypothèse d'Aristarque fait référence aux signes du zodiaque (pourquoi n'a-t-il pas dit en effet, comme pour d'autres proposition "Le diamètre de la Lune est de un quarante-cinquième du quart de la circonférence" ?), c'est que peut-être il a véritablement utilisé les constellations du zodiaque pour mesurer le diamètre apparent de la Lune. Pour cela, la méthode est un peu archaïque, mais peut fonctionner :

On dessine une constellation du zodiaque avec un maximum d'étoiles et on dessine la Lune lorsqu'elle la traverse en essayant de garder les proportions. Ensuite, il ne reste plus qu'à mesurer sur notre dessin la distance entre les deux étoiles les plus éloignées de notre constellation (30° à peu près) et de mesurer la taille de la Lune. Il aurait donc ainsi pu calculer que sur son dessin, le diamètre de la Lune était 15 fois plus petit que la distance des deux étoiles les plus éloignées de la constellation. Cette méthode très imprécise pourrait expliquer pourquoi il a trouvé une valeur quatre fois trop grande.

 

Hypothèse 2 :

- La largeur de l'ombre est de deux Lunes : En clair, au niveau de l'orbite de la Lune, le cône d'ombre formé par la Terre est large de deux fois le diamètre de la Lune.

 

Ici aussi, deux hypothèses s'affrontent sur la manière dont Aristarque s'y est pris. Les deux techniques se basent sur l'observation des éclipses de Lune.

 

Méthode 1 : l'observation de l'ombre sur la Lune

C'est une méthode très visuelle qui consiste tout simplement à imaginer, à partir de la courbure de l'ombre sur la Lune, quelle est la taille du cercle d'ombre. Ce calcul peut se faire à partir d'un dessin (c'est certainement ce qu'a pu fait Aristarque) ou à partir d'une photographie (c'est ce que nous allons faire), C'est bien entendu la méthode la plus connue :

Taille de la Lune

 

En prenant plusieurs points sur la limite d'ombre de la Lune lors d'une éclipse de Lune, on peut créer des segments.

Si on dessine ensuite la médiatrice de chacun de ces segments (la médiatrice passe par le milieu du segment et en est perpendiculaire), on voit qu'elles se coupent toutes en un seul point.

Ce point, c'est le centre du cercle passant par toutes les extrémités de nos segments. Ce cercle, c'est donc l'ombre de la Terre !!!

En répétant l'opération sur le disque Lunaire, on peut aussi définir le centre de la Lune.

On peut donc tracer deux rayons : Celui de la Lune (en rouge) et celui de l'ombre de la Terre (en bleu).

 

Avec le dessin ci-dessus, nous arrivons à un rapport Taille de l'ombre / Taille de la Lune de 2,4.

Le rapport est en fait de 2,65 : nous n'en sommes pas loin du tout !

 

  Méthode 2 : le temps maximal de la Phase d'ombre pendant l'éclipse de Lune.

Comme nous connaissons maintenant le diamètre apparent de la Lune (en degrés) et sa vitesse de révolution autour de la Terre, alors, si nous connaissons le temps maximal d'une éclipse, nous pourrons en déduire le diamètre apparent de l'ombre et donc le rapport entre les deux !

 

Selon certaines sources, Aristarque aurait trouvé que la plus grande période d'ombre durant une éclipse de Lune était de 3 heures (il est en fait de 107 minutes soit 1,783 heures).

Comme la période d'ombre commence lorsque le bord haut (sur la figure ci-dessous) entre dans le cône et finit lorsque c'est le bord du bas qui sort du cône, alors la taille de l'ombre est de :

Ombre et lune 3

 

 

Diamètre de la lune + 3 * distance parcourue par la lune en 1 heure = 2° + 3 * 0,5085° = 3,5255°, soit presque 1,8 fois la taille de la Lune, proche des 2 fois trouvées par Aristarque.

   

Avec les données que nous avons précédemment calculées, nous aurions :

Diamètre de la lune + 1,783 * distance parcourue par la lune en 1 heure = 0,62 + 1,783 * 0,5085 = 1,5266 soit 2,46 fois la taille de la Lune

 

   

 

Hypothèse 3 :

- Comme lors des éclipses de Soleil la Lune masque exactement le Soleil, alors ils ont le même diamètre apparent.

Je pense que cette hypothèse n'a même pas besoin d'explication, car nous l'avons appliquée précédemment avec notre pièce de monnaie pour calculer le diamètre apparent de la Lune !

 

 

 


Le premier verdict 


 

A partir de ces 3 hypothèses de départ que je vous rappelle :

  • Le diamètre apparent de la Lune est de un quinzième d'un signe du Zodiaque.

  • L’ombre de la Terre est deux fois le diamètre de la Lune

  • Comme lors des éclipses de Soleil la Lune masque exactement le Soleil, alors ils ont le même diamètre apparent

Aristarque en déduisit que :

 

La Terre est 3 fois plus grosse que la Lune

 

Voici comment il s'y est pris, et contrairement à beaucoup de choses qu'on peut lire à droite et à gauche, Aristarque avait bien compris que l'ombre de la Terre était un cône et non un cylindre !

 

Il créa donc un schéma géométrique avec Le Soleil, La terre, l'ombre de la Terre et l'orbite de la Lune :

Ombre et lune 2

L'hypothèse de départ est que le sommet du cône d'ombre fait un angle α.

 

On voit que cet angle α se retrouve à plein d'endroits si on trace les parallèles (en bleu pointillé) passant par le sommet du Soleil, le sommet de la Terre et le sommet du cône d'ombre au niveau de l'orbite de la Lune.

 

Aristarque dessina les deux triangles rouges et, Thales ayant déjà sévi à l'époque (625-547 Avant JC), il put appliquer son théorème :

 

Diamètre du Soleil – Diamètre de la Terre          Diamètre de la Terre – Diamètre du cône d'ombre

      -------------------------------------------              =    ------------------------------------------------------

                  Distance Terre Soleil                                           Distance Terre Lune

 

Comme le Soleil est considéré très grand par rapport à la Terre, on peut dire que :

 

Diamètre du Soleil – Diamètre de la Terre ≈ Diamètre du Soleil

 

 

Or, comme le Soleil et la Lune ont le même diamètre apparent (hypothèse n°3), on a donc :

 

   Diamètre du Soleil            Diamètre de la Lune

----------------------- = --------------------------

 Distance Terre Soleil          Distance Terre Lune

 

Ce qui nous donne au final :

 

Diamètre de la Lune = Diamètre de la Terre – Diamètre du cône d'ombre

 

Comme nous avons vu juste avant que le diamètre du cône d'ombre = 2 * Diamètre de la Lune, Aristarque en conclut que

 

Diamètre de la Lune = Diamètre de la Terre / 3

 

 

De notre côté, avec nos propres calculs, nous trouvons :

 

Diamètre de la Lune = Diamètre de la Terre / 3,46

 

 

Sachant qu'en réalité, le rapport est de 3,66,ni nous, ni Aristarque ne sommes tombés très loin de la vérité. Donc félicitations à nous deux, et surtout à lui !

   

Par contre, nous ne sommes toujours pas avancés... car si nous connaissons le rapport de dimension entre la Terre et la Lune, nous ne connaissons toujours pas leur taille... c'est un peu frustrant tout de même !!!!

 

Aristarque ne s'arrêta pas en si bon chemin, et il était sur le point de découvrir d'autres rapports de distances.

Certes, ce n'est qu'un début, mais notre liste de choses à découvrir commence enfin à se remplir !!!

   


Maintenant, nous savons

 

- Quelle est la Taille de la Lune ?

Pour Aristarque 1/3 de la Taille de la Terre

Pour Nous 1/3,46 de la Taille de la Terre (5,6% d'erreur ! Pas mal !!!)

En réalité 1/3,66 de la Taille de la Terre

 

Maintenant que nous connaissons le diamètre de le Lune (relativement à celui de la Terre, mais c'est déjà un début), il est naturel qu'Aristarque ait essayé de savoir à quelle distance elle était.

 

Le calcul des distances dans l'antiquité : La distance de la Lune

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27 octobre 2013 7 27 /10 /octobre /2013 00:00

Avec nos connaissances en trigonométrie et en connaissant maintenant la taille (relative) de la Lune, il serait très facile de calculer la distance de la Terre à la Lune et nous verrons comment.

Pourtant, à son époque, Aristarque n'avait pas de trigonométrie. Il connaissait en effet uniquement le Théorème de Pythagore et le théorème de Thalès.

 

Nous allons voir comment il est parvenu, avec juste une règle et un peu de logique, à encadrer la distance de la Terre à la Lune et d'en conclure que :

 

 

 22,5 * Diamètre de la Lune< Distance Terre – Lune < 30 * Diamètre de la Lune

 

 

La seule hypothèse qui lui a été utile pour arriver à cette conclusion fut :

- Le diamètre apparent de la Lune est de un quinzième d'un signe du Zodiaque(c'est à dire 2°, mais nous avons déjà parlé de cette hypothèse au chapitre précédent),

 

Pour comprendre sa démonstration, une étude préalable (premiers pas vers la trigonométrie) est nécessaire :

 

Démonstration préalable:

 Triangle 

Soit le triangle ABC ci-contre.

Nous divisons l'angle CAB en 4 angles égaux. On crée  donc  les points D, E  et Fsur le segment BC.

 

On projette ensuite D perpendiculairement sur le segment AE pour former le point G. Les deux triangles ADB et AGD ont tous leurs angles égaux. En fait, ils sont identiques et on a donc BD = DG.

 

On continue le principe pour créer les points H et I tels que ABD, ADG, AGH et AHI soient tous identiques avec donc BD = DG = GH = HI.

 

G étant la projection de D perpendiculaire à AE, G est donc le point de AE le  plus proche de D.On a donc DG < DE.

Par le même procédé, on a aussi GH < EF et HI < FC

 

On en déduit donc que :

BD + DG + GH + HI = 4 BD < BD + DE + EF + FC = BCd'où BD < BC/4

 

 Cela fonctionne aussi si on coupe l'angle CAB en n parties et on aura BD < BC/n

 

Cette démonstration préalable étant faite, nous pourrons donc nous en servir plus tard et démarrer maintenant l'explication de la démonstration d'Aristarque

 

Voici donc comment Aristarque s'y est pris pour l'estimation basse :Distance Lune maxi

 

Construisons un carré ayant pour côté la distance Terre - Lune.

Comme c'est un carré, on a donc :

 

  • AB = Distance Terre-Lune

  • L'angle A-Terre-B est de 45°

     

  • Terre-A-B est un triangle rectangle en A

En appliquant la démonstration faite au dessus, on en déduit donc que si l'angle sous lequel nous apparaît la Lune est α, alors nous avons la relation :

 

 

 

Diamètre de la Lune <(α/45) * Distance Terre Lune

 

Ce qui nous fait, avec les 2° d'Aristarque :

 

Diamètre de la Lune < (2 / 45) * Distance Terre - Lune

 

et avec le diamètre apparent de 0.62° de la Lune que nous avons calculé, nous aurions eu :

 

Diamètre de la Lune < (0,62 / 45) * Distance Terre - Lune

 

Voici maintenant comment Aristarque s'y est prit pour l'estimation haute :

Distance Lune mini

 

Traçons un cercle de centre la Terre et de rayon la distance Terre - Lune. Les deux points tangents à la Lune sont les points A et B.

Comme l'angle de la Lune est de α, alors on a :

 

Arc de cercle AB = Cercle total * (α / 360)

 

On trace maintenant un cercle de centre B et de rayon la distance Terre - Lune. Il coupe l'orbite de la Lune en C.

On reconnaît par cette méthode la manière de tracer un hexagone. C'est à dire :

 

Arc de cercle BC = Cercle total / 6

 

Or, comme l'arc de cercle BC est beaucoup plus grand que l'arc de cercle AB, alors

 

Arc de cercle BC           BC

--------------------- > -------

Arc de cercle AB           AB

 

Cette inégalité s'explique par le fait que plus un arc de cercle est grand, et plus la différence entre la Longueur de l'arc et la longueur du segment est importante. Or BC est bien plus grand que AB. Donc :

 

         Cercle total / 6               BC

------------------------- > -------       donc

  Cercle total * (α/ 360 )         AB

 

 AB *(60/α) > BC, et en remplaçant AB par le Diamètre de la Lune et BC par la Distance Terre Lune, on a :

 

Diamètre de la Lune *(60 / α) > Distance Terre Lune

 

 Ce qui nous fait, en prenant l'angle de 2° trouvé par Aristarque :

 

Diamètre de la Lune * 30 >  Distance Terre Lune

 

Pour être tout à fait honnête, il faut reconnaître qu'Aristarque n'avait pas fait l'approximation AB = diamètre de la Lune.

Cette différence a compliqué un peu sa démonstration et je l'ai zappée pour plus de clarté car le résultat est le même.

 

Avec notre estimation du diamètre apparent de la Lune à 0,62°, nous obtenons :

 

Diamètre de la Lune * (60 / 0,62) >  Distance Terre Lune

 Soit

Diamètre de la Lune * 96,8 >  Distance Terre Lune

 

 

Deux autres moyens de calculer la distance de la Lune :

 

1er Moyen : Le théorème de Thales.

Rappelez-vous l'expérience avec un confetti ou une pièce de monnaie, qui nous a permis de calculer le diamètre de la Lune:

diametre apparent lune

Et bien nous allons réutiliser les données que nous avions trouvées, et en déduire la distance de la Lune :

 

On a donc :

 

 Distance Oeil - Lune            Taille de la Lune

------------------------- = ------------------------

 Distance Oeil - Pièce            Taille de la pièce

 

                                                Taille de la Lune * Distance Oeil - Pièce

 D'où  Distance Oeil - Lune =  ------------------------------------------

                                                               Taille de la Pièce

 

Avec les données que nous avions trouvées, par l'expérience de la pièce, cela nous donne :

 

                                                 Taille de la Lune * 176

 D'où Distance Terre / Lune =  -----------------------------

                                                                2

 

2nd Moyen : La trigonométrie

Par définition de la tangente, nous avons

 

                      Diamètre de la Lune

Tan(α)=      ---------------------------- et donc  

                    Distance Terre - Lune      

 

Distance Terre - Lune = Diamètre de la Lune * (1/Tan(α))  

 

Avec les 2° d'Aristarque, nous trouvons

 

Distance Terre / Lune = 28,6 * Diamètre de la Lune

 

Avec les 0,62° trouvés par nos expériences, nous trouvons

 

Distance Terre / Lune = 92,4 * Diamètre de la Lune

 Avec les 0,52° réels, nous trouvons

 

Distance Terre / Lune = 110,2 * Diamètre de la Lune

 

 


Maintenant, nous savons

 

 

- Quelle est la Taille de la Lune ?

Pour Aristarque 1/3 de la Taille de la Terre

- Quelle est la distance Terre - Lune ?

Pour Aristarque : entre 22,5 fois et 30 fois le diamètre de la Lune

Pour Nous avec la méthode d'Aristarque : entre 72,6 (45/0,62) fois et 96,8 (60/0,62) fois le diamètre de la Lune

Pour nous avec la trigonométrie : 92,4 fois le diamètre de la Lune(16,4 % d'erreur)

En réalité : 110,6 fois le diamètre de la Lune

 

 

Aristarque ne s'arrêta pas là. Il était certain de pouvoir calculer aussi la distance du Soleil. Il fallait pour cela effectuer l'observation qu'il fallait pour démarrer sa démonstration. C'est ce que nous allons voir dans le prochain chapitre

 

Le calcul des distances dans l'antiquité : La distance du Soleil

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26 octobre 2013 6 26 /10 /octobre /2013 00:00

Non content d'avoir estimé la taille et la distance de la Lune, Aristarque essaya de calculer l'éloignement du Soleil.

 

Le principe était de trouver un phénomène, une hypothèse permettant d'établir une relation entre le Soleil et la Lune, étant donné qu'il avait réussi à calculer la distance de celle-ci.

Et il réussit à trouver une telle hypothèse.

 

Hypothèse :

- Lorsque la lune nous paraît dichotome (exactement en premier ou dernier quartier), sa distance du soleil est moindre du quart de la circonférence, de la trentième partie de ce quart.

 

Il est vrai que c'est aussi clair qu'une prédiction de Nostradamus, mais on peut le comprendre en l'analysant calmement :

Un quart de la circonférence, c'est un quart de cercle, donc un angle droit, donc 90°. La trentième partie de 90°, c'est 3°. Donc dans son hypothèse, Aristarque dit que l'angle entre le Soleil et la Lune est de 90°-3° = 87°.

 

Vous comprendrez certainement mieux avec ce dessin : 

 

 Lune dichotome

Il représente la Lune au moment où elle nous apparaît en premier quartier (donc dichotome).  

Ici, le Soleil est représenté très près de la terre (2 ou 3 fois la distance de la Lune seulement) et on voit bien que l'angle Lune - Terre - Soleil est inférieur à 90°.

Il est égal à 90° - α.

 

Plus le Soleil sera loin, et plus cet angle sera proche de 90° (donc α tend vers 0). On peut voir la différence entre l'angle α1 et α2  selon que le Soleil est plus près ou plus loin de la Terre.

 

Ainsi, en calculant cet angle α ou l'angle 90-α, on peut en déduire la distance du Soleil.

 

Malheureusement, il y a deux problèmes :

- Il est très difficile de savoir quand la Lune est exactement en premier ou dernier quartier.

- L'angle Lune-Soleil est très difficile à mesurer avec précision.

 

Mais Aristarque ne reculant devant rien, il calcula cet angle et lui trouva la valeur de 87°. Soit une valeur α de . On ne sait pas comment Aristarque s'y est pris pour calculer cet angle.

En réalité, cet angle est de 89,85° et nous verrons que cela fait toute la différence.

 

A partir de cette hypothèse, Aristarque va en déduire que :

 

18 × Distance Terre - Lune < Distance Terre - Soleil < 20 × Distance Terre - Lune

 

 

...Attachez vos ceintures...

 Alors, pour les plus motivés, je vais vous expliquer la démonstration d'Aristarque avec un dessin, et ensuite, nous ferons le calcul plus simplement avec la Trigonométrie.

 

!!!Attention !!!


Il faut savoir que le résultat erroné que trouva Aristarque (en fait ce rapport n'est pas proche de 19, mais proche de 400 en réalité) est simplement dû au fait que l'angle de 87° est faux.
Sa démonstration, est, quant à elle, remarquable et donnerait un résultat très proche si nous utilisions le véritable angle de 89,85°.
Pour vous en convaincre, nous allons adapter légèrement la démonstration d'Aristarque en remplaçant l'angle de 3° par un angle α. Nous allons donc rendre la formule d'Aristarque générique et à la fin, nous prendrons α=3° pour trouver le résultat d'Aristarque, et nous prendrons  α=0,15° pour trouver quel aurait été son résultat s'il avait pu calculer α avec précision.
De plus, sa démonstration utilise des propriétés géométriques évidentes, mais bien souvent oubliées.


Chapeau bas Mr Aristarque ! 

 

 

Mais avant de commencer... 

Un petit préambule s'impose. Il s'agit, vous allez voir, d'une première approche de la trigonométrie pour les angles à 45° dont nous nous servirons dans la démonstration.Trigonometrie

 

 

Démonstration préalable : 

Soit le triangle rectangle ABC isocèle ci-contre (en fait, c'est un demi carré).

L'angle CAB est de 45°.

On trace un arc de cercle de centre A passant par B. Cet arc coupe AC en D. On a donc AB = AD

Enfin, On trace la bissectrice de l'angle CAB (la bissectrice coupe l'angle en deux angles égaux) qui coupe BC en E.

On a donc égalité entre les angles CAE et EAB (ils valent 22,5° chacun).

 

Si on projette E perpendiculairement sur AC, on obtiendra donc un point qu'on appellera X pour l'instant...

On a donc AXE est un angle droit, et donc les triangles AXE et ABE ont chacun un angle droit. Comme nous avons vu au-dessus que les angles CAE et EAB sont identiques, alors nos deux triangles ont deux angles égaux... et donc forcément leurs 3 angles identiques (car la somme des angles d'un triangle fait 180°).

Deux triangles avec exactement les mêmes angles sont dits homotétiques, c'est à dire qu'ils ont exactement la même forme, exactement les mêmes proportions, mais ne sont pas forcément de la même dimension... Sauf que ces deux triangles ont la même hypoténuse AE...

Ils sont donc exactement identiques (à une symétrie près) et donc notre fameux point X n'est autre que le point D ! En effet, il est situé sur AC et AX = AB = AD !

Encore plus fort : Comme CDE = 90° et que DCE = 45°, alors forcément CED = 45° aussi. Le triangle CDE est donc rectangle isocèle et donc DE = CD = BE...

 

En appliquant le théorème de pythagore dans le triangle DCE, on obtient DC² + DE² = EC² = 2 BE²

 

....Vous verrez qu'on va s'en resservir bientôt... 

   

 

Etudions maintenant la démonstration d'Aristarque.

Aistarque va donc démontrer d'abord que  

18 × Distance Terre - Lune < Distance Terre - Soleil

 

On construit pour cela la figure suivante :

Soit T le centre de la Terre, L le centre de la Lune lorsqu'elle est exactement en dernier quartier (dichotome), et S le centre du Soleil.

L'angle entre la Lune et le Soleil (angle STL) est considéré comme étant de 90° - α.

Distance Soleil mini

 

Comme nous venons de le voir,

=> Pour Aristarque α = 3°

=> En réalité α = 0,15°

Mais nous garderons α pour la démonstration.

 

On dessine donc le triangle TLS qui est rectangle en L.

Soit le point A, placé sur l'orbite du Soleil (eh oui, on est dans le passé !!!) de telle sorte que STA soit un angle droit.


On prolonge TL qui coupe l'orbite du Soleil en O.
Comme l'angle OTA est de α et l'angle STA de 90°, on a donc :

 

arc OA = arc SA × (α / 90)


On trace maintenant le carré passant par S, T et A qui nous crée un nouveau point B.

Si on trace la diagonale TB du carré STAB, on obtient naturellement un angle BTA de 45°.

Si on trace TC la bissectrice de l'angle BTA, on obtient un angle CTA fait qui 22,5° soit 1/4 d'un angle droit.


On a donc : Angle CTA = Angle OTA × (22,5/α) 

 

Soit D l'intersection de BA avec TO. Nous avons montré dans une démonstration du chapitre précédent que


Angle CTA        22,5°      AC

-------------- = ----   <   ----

Angle DTA         α           AD


Comme TAB est un angle droit, en utilisant Pythagore, on a TA² + AB² = TB² c'est à dire 2TA² = TB² car TA = AB

Comme il fallait bien que notre préambule nous serve, nous avons prouvé que 2 AC² = CB².

 

Comme Aristarque ne connaissait pas √2, il va l'approcher de la manière suivante :

2 = 50/25 > 49/25 = 7²/5² d'où √2>7/5

 

Notre relation 2 AC² = CB² trouvée juste au dessus devient AC × 7/5 < CB

 

Et comme AB = AC + CB, on a alors AB/AC = 1 + CB/AC > 1 +7/5 = 12/5, c'est à dire  

AB > (12/5) × AC

 

Et comme AC/AD > 22,5 / α, c'est à dire AC > (22,5/ α) * AD, on en déduit donc que :

 

AB = TA > (12/5) * AC > (12/5) * (22,5/ α) * AD

soit
TA > AD * (22.5 * 12) / (5*α) = AD * 54 / α  

 

Or TD > TA donc on a TD > AD * 54 / α

 

Concentrons-nous sur le triangle TLS... Que savons-nous de lui ?

- On sait que TLS est un angle droit

- On sait que STL = 90° - α

- Donc forcément TSL = α

 

Relâchons notre concentration pour mieux nous concentrer maintenant sur le triangle TDA... Que savons-nous de lui ?

- On sait que TAD est un angle droit

- On sait que ATD = α

- Donc forcément TDA = 90° - α

 

On voit donc que les deux triangles TLS et TDA ont les mêmes angles donc sont homothétiques... Cela veut dire que les rapports de leurs longueurs sont égaux (Théorème de Thales)... Et on a donc :

 

TD/AD = TS / TL > 54 / α

 

D'ou

Distance Terre - Soleil > Distance Terre - Lune × 54 / α

 

Avec  α = 3° trouvé par Aristarque nous avons donc

 

Distance Terre - Soleil > 18 ×× Distance Terre - Lune

 

Avec  α = 0,15° qui est la vrai valeur, nous trouvons

 

  Distance Terre - Soleil > 360 * Distance Terre - Lune

 

 

... On vient de finir la moitié de la démonstration ! 

 

 

Nous allons voir ensuite comment Aristarque démontre que  

20 * Distance Terre - Lune > Distance Terre - Soleil

 

La démonstration est un peu plus simple, je vous rassure !

Distance Soleil maxi

Reprenons notre figure de départ avec le triangle TLS et le prolongement de TL qui coupe l'orbite du Soleil en O.

Traçons OE parallèle à AT. Construisons ensuite le cercle passant par T, O et E. Comme l'angle OET est un angle droit et que ce triangle est contenu dans un cercle alors OT en est un diamètre.

 

Ensuite, nous construisons le point M, sur le cercle de manière à ce que TM soit le premier côté d'un hexagone situé sur le cercle. TM est égal au rayon du cercle.

Tout comme ATO, l'angle TOE est de α. Donc, si C est le centre du cercle alors l'angle TCE = 2α

 

On sait que TCM = 60° car TM est un côté d'un hexagone centré en C.

 

Donc nous avons : Arc TM = Arc TE × (60 / 2α)

 

Comme nous l'avons utilisé plusieurs fois jusqu'à maintenant, le rapport du grand arc sur le petit arc est plus grand que le rapport du grand segment sur le petit segment et donc nous avons

 

TM < TE × (60 / 2α)

 

Et Comme TM = TO / 2, alors TO < TE × (60 / α)

 

Enfin, comme les triangles TEO et TLS sont homothétiques, alors TO/TE = ST/TL < 60 / α

 

D'où       

 

Distance Terre - Soleil < Distance Terre - Lune × 60 / α

 

Avec  α = 3° trouvé par Aristarque nous avons donc

 

Distance Terre - Soleil > 20 × Distance Terre - Lune

 

Avec  α = 0,15° qui est la vrai valeur, nous trouvons

 

Distance Terre - Soleil > 400 * Distance Terre - Lune

 

 

Démonstration en utilisant la trigonométrie :

Si Aristarque avait connu la trigonométrie, le calcul aurait été très simple !

 Lune dichotome

En effet, comme nous sommes dans un triangle rectangle, on a :

 

                 Distance Terre- Lune

Sinus(α) = -------------------------

                Distance Terre - Soleil

 

Donc

 

                                        Distance Terre - Lune 

Distance Terre - Soleil =  ------------------------

                                                     Sinus(α)

 

Avec α = 3° comme l'avait trouvé Aristarque, 1/sin( α) = 19,10(on est exactement dans la fourchette d'Aristarque)

 

Avec α = 0,15° comme l'avait trouvé Aristarque, 1/sin( α) = 382

 

La grosse difficulté, c'est véritablement le calcul de ce fameux angle α et il ne fut jamais vraiment calculé avec précision avant récemment.

Malgré la méthode géniale d'Aristarque qui valait bien la peine qu'on y passe un peu de temps, ce n'est pas par cette méthode que fut finalement, plusieurs siècles plus tard, calculé la distance Terre – Soleil avec une plus grande certitude...

 

Mais nous verrons cela un peu plus tard

 


Maintenant, nous savons

 

- Quelle est la Taille de la Lune ?

Pour Aristarque 1/3 de la Taille de la Terre

Pour Nous 1/3,46 de la Taille de la Terre (5.6% d'erreur ! Pas mal !!!)

En réalité 1/3,66 de la Taille de la Terre

- Quelle est la distance Terre - Lune ?

Pour Aristarque : entre 22,5 fois et 30 fois le diamètre de la Lune

Pour Nous avec la méthode d'Aristarque : entre 72,6 fois et 96,8 fois le diamètre de la Lune

Pour nous avec la trigonométrie : 92,4 fois le diamètre de la Lune(16,4 % d'erreur)

En réalité : 110,6 fois le diamètre de la Lune

- Quelle est la Distance du Soleil ?

Pour Aristarque : entre 18 fois et 20 fois la distance Terre - Lune

Avec la méthode d'Aristarque s'il avait pu calculer α = 0,15° : entre 382 et 400 fois la distance Terre - Lune

Pour nous : aucune estimation car calculer l'angle α est trop difficile

En réalité : 389 fois la distance Terre - Lune

 

Je vous invite donc maintenant à regarder le dernier calcul effectué par Aristarque sans le prochain chapitre

 

Le calcul des distances dans l'antiquité : le diamètre du Soleil

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25 octobre 2013 5 25 /10 /octobre /2013 00:00

Comme nous sortons d'un chapitre assez compliqué avec la mesure de la distance du Soleil, nous allons pouvoir nous reposer avec le calcul de la taille du Soleil.

 

Aristarque avait remarqué que la Lune et le Soleil avaient le même diamètre apparent. On peut s'en rendre compte lors des éclipses de Soleil.

 

Rappelez-vous l'expérience que nous avons faite avec notre confetti pour calculer la distance de la Lune :

diametre apparent lune

En fait, nous avions créé une éclipse de Lune par notre confetti !


Eh bien remplaçons le confetti par la Lune et la Lune par le Soleil et le tour est joué ! Autrement dit, nous allons nous servir de la Lune comme d'un confetti pour calculer la taille du Soleil !

 

Nous avons donc, par le théorème de Thalès :

 

  Taille du Soleil                      Distance Terre - Soleil

-----------------------  =  -------------------------------

Taille de la Lune                     Distance Terre - Lune

 

Or nous avons calculé le rapport entre la distance Terre-Soleil et la distance Terre-Lune au chapitre précédent.

 

Rappelez-vous, nous avions trouvé que

 

Distance Terre - Lune × (54 / α) < Distance Terre - Soleil < Distance Terre - Lune × (60 / α)

 

et donc :

 

Diamètre de la Lune × (54/α) < Diamètre du Soleil < Diamètre de la Lune × (60 / α)

 

Avec les 3° trouvés par Aristarque,  

 

Diamètre de la Lune × 18 < Diamètre du Soleil < Diamètre de la Lune × 20

 

et Avec les 0,15° réels

 

Diamètre de la Lune × 382 < Diamètre du Soleil < Diamètre de la Lune × 400

 

 


Maintenant, nous savons

 

- Quelle est la Taille de la Lune ?

Pour Aristarque 1/3 de la Taille de la Terre

Pour Nous 1/3.46 de la Taille de la Terre (5.6% d'erreur ! Pas mal !!!)

En réalité 1/3.66 de la Taille de la Terre

- Quelle est la distance Terre - Lune ?

Pour Aristarque : entre 22.5 fois et 30 fois le diamètre de la Lune

Pour Nous avec la méthode d'Aristarque : entre 72.6 fois et 96.8 fois le diamètre de la Lune

Pour nous avec la trigonométrie : 92.4 fois le diamètre de la Lune(16.4 % d'erreur)

En réalité : 110,6 fois le diamètre de la Lune

- Quelle est la Distance du Soleil ?

Pour Aristarque : entre 18 fois et 20 fois la distance Terre - Lune

Avec la méthode d'Aristarque s'il avait pu calculer α = 0.15° : entre 382 et 400 fois la distance Terre - Lune

Pour nous : aucune estimation car calculer l'angle α est trop difficile

En réalité : 389 fois la distance Terre - Lune

- Quelle est la Taille du Soleil ?

Pour Aristarque : entre 18 fois et 30 fois la taille de la Lune

Avec la méthode d'Aristarque s'il avait pu calculerα = 0.15° : entre 382 et 400 fois la taille de la Lune

Pour nous : aucune estimation car calculer l'angle α est trop difficile

En réalité : 400 fois la taille de la Lune

 

Bon... il est temps maintenant de faire un point sur les différents calculs d'Aristarque que nous avons étudiés depuis 4 chapitres. Je vous invite donc maintenant à faire le point en allant au prochain chapitre.

 

Le calcul des distances dans l'antiquité : Le bilan des travaux d'Aristarque

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24 octobre 2013 4 24 /10 /octobre /2013 00:00

Aristarque a suffisamment révolutionné l'astronomie pour que nous fassions un petit bilan de ses travaux sur les calculs des distances. Il a en effet été le premier à donner des ordres de grandeurs de distances qui semblaient impossibles à calculer avant. Il a un peu donné le top départ de l'astronomie moderne.

Par contre, ses distances sont toutes exprimées en unité du diamètre de la Terre ce qui ne nous donne que des proportions et non des vraies valeurs de distances... Mais pour cause : personne n'avait encore calculé le diamètre de la Terre à cette époque !!!

 

Soulignons aussi la notion d'encadrement utilisé par Aristarque car elle est très souvent négligée aujourd'hui et rappelons-nous les deux points suivants :

  • Toute mesure (angle, distance, température...) doit en premier lieu être encadrée (marge d'erreur de l'appareil de mesure par exemple). Aristarque aurait d'ailleurs pu le faire lorsqu'il a estimé le diamètre apparent de la Lune à 2° et lorsqu'il a estimé l'angle Lune-Soleil à 87°. Il aurait ainsi mis en évidence qu'une petite différence dans la mesure pouvait entraîner une grande différence sur le résultat final.
  • Beaucoup de mesures peuvent dépendre aussi du temps ou de l'endroit où l'on se trouve. Ainsi par exemple, le diamètre de la Terre n'est pas le même aux pôles qu'à l'équateur, la distance Terre-Lune varie de plus de 10% en 14 jours, la distance Terre-Soleil varie de plus de 3% en 6 mois, etc... Il est donc plus juste de parler de diamètre moyen ou de distance moyenne, ou tout simplement d'encadrer la valeur.

 

Dans notre société moderne, où tout est calculé avec précision, nous pensons que les encadrements sont inutiles, mais c'est une très mauvaise habitude que nous avons prise. Ainsi, personne ne se choque, chaque soir, en regardant la météo à la télévision, d'entendre que le Soleil se lèvera demain à  7h32... 

Pourtant, avec les 900 km à vol d'oiseau entre Strasbourg et Brest, la différence entre l'heure du lever de Soleil dans ces deux villes est de plus de 30 minutes ! Pourquoi donc nous donne-t-on alors une information aussi précise à la minute près, si finalement il n'existe qu'une bande de 30km de large qui verra effectivement le Soleil se lever à 7h32 (soit 5% de la surface de la France !)... Mais ceci est un autre débat !

 

Voici donc une représentation des objets et des distances qu'à calculés Aristarque, à côté de leurs vrais dimensions, afin que vous puissiez vous faire une idée de l'exactitude ou non de ses calculs :

 

Bilan Aristarque- Pour la Taille de la Lune, la valeur trouvée par Aristarque est très proche de la réalité. Sa seule erreur était de dire que l'ombre de la Terre est 2 fois celle de la Lune alors qu'elle est (en moyenne !!) de 2.65. Cela nous fait une erreur de 30% qui n'est quand même pas si mal !

 

- Pour la distance de la Lune, son erreur d'évaluation du diamètre apparent de la Lune (2 au lieu de 0.5°) lui a valu de trouver une valeur presque 4 fois trop petite, mais la méthode était ingénieuse et tout à fait viable.

 

- Quant à la distance et donc la taille du Soleil, il a été complètement à côté de la plaque. C'est vraiment dommage car sa démonstration était de toute beauté, mais inutilisable à cause de la difficulté de trouver avec précision l'angle Lune-Soleil à un instant précis.

Il trouva donc une dimension 20 fois plus petite que la réalité (la moitié de la taille de Jupiter). La seule information intéressante, tout de même, c'était que le Soleil était plus gros que la Terre... petite révolution à l'époque !


La prochaine mission était maintenant de donner de vraies valeurs à toutes ces mesures afin qu'on puisse avoir une idée de ce que ces distances représentaient réellement, en mètres, en jours de marche, en jours de chameau, mais pas en diamètres de la Terre dont on ignorait la taille...

La tâche était donc claire : il fallait calculer la taille de la Terre... Mais, à moins d'avoir une règle géante, ou d'aller sur la Lune pour observer la Terre, l'entreprise paraissait impossible... C'était sans compter sur Eratosthène qui allait réussir à venir à bout de ce problème...

 

Le calcul des distances dans l'anitiquité : Le diamètre de la Terre

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23 octobre 2013 3 23 /10 /octobre /2013 00:00

Cette idée peut paraître basique, mais avant de calculer la taille d'un objet, il faut avant tout connaître sa forme...

Ainsi, tant que le monde était persuadé que la Terre était plate, il était impossible d'en calculer sa taille.

 

C'est donc grâce à des astronomes d'avant-garde, que les distances les plus communes ont été calculées avec une ingéniosité à couper le souffle !

Mais comme vous l'avez vu dans les chapitres précédents, toutes les distances connues dans l'antiquité l'étaient en nombre de diamètre Terrestre. Malgré tout l'effort et tous les calculs que cela représentait, tant qu'on n'avait pas calculé ce fameux diamètre de la Terre, il était impossible de se représenter réellement ces valeurs.

 

Ce calcul allait révolutionner le monde de l'astronomie (un peu comme le sera la troisième loi de Kepler quelques siècles plus tard) et nous allons l'étudier dans ce chapitre.

 

La forme de la Terre


L'idée d'une Terre plate est intuitivement ce qui nous vient à l'idée dès qu'on met le nez dehors. C'est donc normal que nos ancêtres aient d'abord imaginé la Terre comme quelque chose de plat...

Bon, d'accord, mais quelle serait alors la taille de ce quelque chose ? La Terre a-t-elle une taille ? est-elle finie ou infinie ? Qu'y a-t-il aux bords ?

Ces questions questions peuvent nous faire sourire aujourd'hui, mais elle ont dû causer de nombreuses nuits blanches aux premiers astronomes de l'antiquité...

 

Pourtant, certains phénomènes ne trompaient pas :

 

Phénomène 1 :

Le Soleil, la Lune, les planètes et les étoiles tournent autour de la Terre. Donc la Terre a une dimension finie (sinon on ne pourrait pas tourner autour) !

 

Phénomène 2 :

Les nuages restent éclairés par le Soleil le soir alors que le Soleil a déjà disparu pour les observateurs situés au sol. Au bord de la mer dans les régions montagneuses on voit que les montagnes restent éclairées par le Soleil alors que vu de la plage, le Soleil a déjà disparu. Cette excellente série d'images extraites du site megapixel.gkarnet.org nous montrent bien ce phénomène :

 

Lever soleil

On y voit un lever de Soleil sur la Dent de Crolles dans le massif de la Chartreuse. On voit clairement que le sommet de la dent est éclairé avant le bas de la dent.

Si la Terre était infinie, tous les objets seraient éclairés en même temps le matin et passeraient dans l'ombre en même temps le soir ! Notre Dent de Crolles aurait été subitement éclairée d'un coup ce qui n'est pas le cas.

 

 

Même avec les bases de la trigonométrie de l'époque d'avant JC, des calculs auraient pu être réalisés :

"Le sommet de la montagne voisine haute de 1500 m passe dans l'ombre 4 minutes après sa base".

A partir de cette simple constatation, on est déjà en mesure de calculer la taille de la Terre (à la louche, bien sûr) :


4 minutes, c'est 1/360ème de journée. Si on arrondit que le Soleil décrit un cercle, alors il parcourt 1° en 4 minutes puisqu'un cercle compte 360° !

Donc, comme la Terre est plate, si je me recule suffisament loin de ma montagne pour que sa hauteur représente 1°, alors je serai exactement au bout du monde !!!!

La preuve en image, comme dirait je ne sais plus qui....

Taille Terre plate

 

Voyons voir... 1,5km / tan(1°) =86 km!!! Pas plus ?

 

Jamais je n'aurais cru que le bout du monde était si près ! Pourtant, c'est un calcul, donc ça doit être vrai ! Je prends donc mon sac à dos et me dirige plein ouest pendant 86 km... Et là, non seulement je ne trouve pas la fin du monde, mais je vois que les montagnes ont toujours leur sommet éclairé après que leur base soit passé dans l'ombre avec le même rapport que précédemment...

Cela veut dire que le bout du monde est encore à 86km !!!! C'est à en perdre la tête !!!!

 

Bien évidement, nous savons que ce calcul est faux car la Terre n'est pas plate, mais ce calcul aurait pu servir de démonstration par l'absurde pour démontrer justement qu'elle n'était pas plate !

 

En revanche, en partant du principe que la Terre est ronde, on peut, par cette observation, avoir une idée de sa taille :

Taille-terre-ronde.PNG

 

 

En appliquant le trigonométrie avec ma montagne, j'obtiens :

Cos(1°) = R/(R+1,5)

C'est à dire :

R = (1,5×cos(1°))/(1-cos(1°))

C'est à dire R = 9847 km

 

Bien entendu, nous sommes très loin de la réalité, mais nous avons un ordre de grandeur qui est intéressant.

 

 


Phénomène 3 :

Au bord de la mer, un observateur voit disparaître la coque d'un bateau qui s'éloigne avant la voile. De manière plus flagrante (car dans l'antiquité, les jumelles n'existaient pas encore), le haut des montagnes des terres où arrivent les marins apparaissent avant le reste des terres...  bateaux derrière horizon

 

Phénomène 4 :

Vers 600 Av JC, Anaximandre avait observé que les étoiles tournaient autour de l'étoile polaire qui elle, restait fixe au cours de la journée et même au cours des saisons.

Pourtant, en fonction du lieu où on se trouvait, elle était plus ou moins haute dans le Ciel : l'angle sous lequel on la voit change donc en fonction de notre position sur la Terre : Plus on va vers le Nord et plus elle monte, plus on va vers le Sud et plus elle descend.


Cette observation ne pouvait pas convenir avec une Terre plate sur laquelle on aurait vu toujours les étoiles sous le même angle... Anaximandre pensa donc que la Terre était un cylindre...

 

 

C'est à partir de ce phénomène 4 qu'Eratosthène eut une idée géniale vers 200 Avant JC : s'il était difficile de calculer la position des étoiles avec précision, il en était autrement pour le Soleil. En effet, comme le Soleil éclaire, l'ombre des objets qu'il éclaire dépend directement de sa hauteur ! Et une ombre peut se calculer très facilement !

 

Le 21 juin (le soir de la fête de la musique en Egypte), à midi précises, il fit la constatation suivante :

A Assouan (Syène à l'époque) le Soleil éclairait le fond des puits. Il était donc exactement situé au-dessus de sa tête.

A la même date, à Alexandrie un peu plus au nord, un Obélisque de la ville formait une ombre avec un angle de 7,2 degrés.

 

De cette constatation, trois conclusions étaient possibles (voir le schéma ci-dessous) :

  • Possibilité 1 : La Terre est plate et cet angle est seulement du à la faible distance du Soleil à la Terre (angle 7.2° en noir)
  • Possibilité 2 : La Terre est ronde et le Soleil est très loin de la Terre et cet angle de 7,2° (en bleu) n'est dû qu'à la rotondité de la Terre
  • Possibilité 3 : Cet angle de 7,2° (en rouge) est dû aux deux phénomène précédents combinés...

calcul taille Terre

 

Il fallait bien faire un choix.


Si la Terre était plate, alors ce calcul ne permettait pas de calculer la taille de la Terre, mais de calculer la distance du Soleil (ce qui aurait été intéressant d'ailleurs !).

C'est exactement ce qu'avait fait Anaxagore en 450 avant JC : Il avait trouvé que le Soleil était une boule de 60 Km située à 6500 Km de la Terre. Bien sûr, cela paraît ridicule maintenant, mais c'est l'occasion tout de même de rendre hommage à Anaxagore, qui fut condamné à mort pour avoir été le premier à affirmer que le Soleil était incandescent, et que la Lune, formée de terre, réfléchissait la lumière du Soleil !


Son calcul est d'ailleurs très facile à reproduire avec l'observation d'Eratostene. Comme la différence d'angle sous lequel on voit le Soleil fait 7,2°, cela signifie que vu du Soleil, la distance Syène-Alexandrie de 800 Km représente 7,2°...

Donc le soleil se trouve à 800 km/tan(7,2°) = 6332 km ! Et donc, comme le diamètre apparent du Soleil est de 0,5°, alors sa taille est de 6332 × tan(0,5°) = 55 km !


On retrouve exactement le résultat d'Anaxagore ! Quel dommage si Anaxagore avait imaginé la Terre ronde, avec son expérience, il aurait pu en calculer le diamètre 200 ans avant Eratostene !

 

Pour Eratostene, cette distance de 6332 km était absolument impossible étant donné que quelques années plus tôt, Aristarque avait calculé que la Terre était 3 fois plus grande que la Lune et que la Lune était situé à environ 38 diamètres terrestres...

Le simple fait qu'il y avait 800 km entre Syène et Alexandrie montrait que la Terre était au moins de cette taille et donc que la Lune était au moins située à 30400 km de la Terre...

Or les éclipses de Soleil étaient la preuve que le Soleil était derrière la Lune... Donc les 6632 Km étaient faux donc la Terre n'était pas plate !

 

Intuitivement, Eratosthène partit du principe que le Soleil était tellement éloigné de la Terre que les 800 km entre Syène et Alexandrie ne modifiaient pas cet angle et qu'il était donc uniquement dû au fait que la Terre était ronde... Il avait raison ! En revanche, il n'existait aucune preuve pour confirmer son hypothèse.

 

Comme un tour complet de la terre fait 360°, et que les 7,2 premiers degrés représentaient 800 km, alors la terre avait une circonférence de 800km × 360°/7,2° = 40000 km soient 12732 Km de diamètre!

 

C'est un résultat assez hallucinant et qui, objectivement tient plus du coup de chance qu'à autre chose quand on connait les imprécisions qu'il y avait dans ce calcul, mais la démarche était tout simplement géniale :

 

  • Eratosthène n'avait aucune preuve que le Soleil était si éloigné de lla terre que les 7,2° n'étaient dus qu'à la rotondité de la Terre
  • Assouan n'est pas exactement situé sur le tropique du cancer, mais 1° au Nord. Le Soleil n'était donc pas exactement au Zenith le 21 juin à midi
  • Assouan et Alexandrie ne sont pas situés sur le même méridien. Il y a en effet près de 3° de différence, ce qui correspond à 12 minutes d'écart. Il aurait du donc calculer l'ombre de l'obélisque d'Alexandrie à midi et 12 minutes. A ce moment de la journée, entre 12h00 et 12h12, le Soleil a monté de 0,4° que n'a donc pas pris en compte notre ami... mais heureusement pour lui, cet erreur a compensé la première !
  • A cette époque, la distance entre Assouan et Alexandrie était calculée en fonction du temps mis par les caravanes de chameaux pour rallier les deux villes (autrement dit une mesure très fiable !!!).

 

Et pourtant ! Il est tombé sur une valeur avec une précision étonnante !

 

 

Beaucoup ont dû le penser aussi que cette mesure était très imprécise, puisque de nombreuses autres tentatives de mesurer la circonférence de la Terre s'en suivirent (Ptolémée, Al Farghani, Pierre d'Ailly...). Tous étaient certains de s'approcher plus de la vérité mais s'en éloignaient. Ce calcul d'Eratosthène est donc surtout devenu célèbre une fois qu'on a su véritablement qu'il était proche de la réalité, et est resté en second plan pendant plus de 1500 ans !

 

C'est ainsi qu'en 1484, Christophe Colomb, en se basant sur les calculs de Ptolémée, était persuadé que la circonférence de la Terre était de 28.000 Km tout au plus. Avec cette taille, il comprit qu'il serait plus rapide de rejoindre "les Indes" (c'est à dire la Chine et le Japon) en passant par l'Atlantique depuis l'ouest de l'Europe.

Et c'est ainsi qu'il atterrit sans le savoir en Amérique et baptisa les premiers hommes qu'il aperçut "les Indiens".

Pour l'histoire, Colomb est mort en étant certain qu'il qu'il avait voyagé quatre fois aux Indes.

 

Je vous propose donc de tenter à nouveau l'expérience d'Eratostène...

Pour cela, je vais vous donner quelques indications importantes :

L'année dernière, j'ai donné un bâton de 1 mètre de haut à un ami qui habite à Accra au Ghana.

Je lui ai demandé, chaque 1er du mois, à 12h00 GMT de mesurer l'ombre de son bâton posé verticalement,  et de le noter... Le Ghana est intéressant dans notre expérience car sa longitude est la même que celle de la france. Voici les données qu'il m'a envoyées :

 

1er Janvier : ombre de 54,5 cm dirigée vers le nord

1er Février : ombre de 42,3 cm dirigée vers le nord

1er Mars : ombre de 24,1 cm dirigée vers le nord

1er Avril : ombre de 2,8 cm dirigée vers le nord

1er Mai : ombre de 16,8 cm dirigée vers le sud

1er Juin : ombre de 29,6 cm dirigée vers le sud

1er Juillet : ombre de 31,7 cm dirigée vers le sud

1er Août : ombre de 22,3 cm dirigée vers le sud

1er Septembre : ombre de 4,8 cm dirigée vers le sud

1er Octobre : ombre de 15,9 cm dirigée vers le nord

1er Novembre : ombre de 37,1 cm dirigée vers le nord

1er Décembre : ombre de 52 cm dirigée vers le nord

 

Bon.. d'accord... je vous ai menti et je n'ai pas d'ami au Ghana... j'ai triché et utilisé un simulateur de position du Soleil comme celui-ci : sunearthtools.com 

Par contre, promis, juré, je vais jouer le jeu pour calculer la taille de l'ombre en France.

 

Si vous voulez aussi faire le test, il vous faudra connaître la distance entre votre ville et la ville d'Accra au Ghana.

Nous allons donc utiliser un Site de calcul des distances.

 

Voici quelques distances à vol d'oiseau en fonction de certaines grandes villes de France :

Accra - Nantes : 4642 Km

Accra - Marseille : 4238 Km

Accra - Paris : 4822 Km

Accra - Lille : 5030 Km

Accra - Lyon : 4504 Km

 

Je suis donc impatient d'attendre le prochain 1er du mois pour faire le calcul :

 

Avant de faire nos calcul, vous devez savoir que la principale difficulté de cette méthode était justement de calculer la distance entre deux villes... Soit elle était petite et mesurable avec précision mais alors la différence d'angle du Soleil était insignifiante, soit la distance était très grande, mais n'était connue qu'avec une très mauvaise précision...

Il fallut attendre plusieurs centaines d'années pour que cette difficulté soit résolue, et nous verrons cela dans un prochain chapitre.

 

Comme on peut le voir sur le schéma ci-contre, l'angle a-b qui est la différenMesure de la Terrece de latitude entre les deux villes, est égal à la différence d'angle entre les deux angles d'ombre, et on a :  

 

Tan(a) = Ombre au Ghana / Taille du bâton au Ghana

Tan(b) = Ombre en France / Taille du bâton en France

 

donc

 

a = Arctan(Ombre au Ghana / Taille du bâton au Ghana)

b = Arctan(Ombre en France / Taille du bâton en France)

 

et donc 

 


                                                                   Distance(Accra-Ville de France) * 360

Circonférence de la terre = --------------------------------------------------------------------------------------------

                                                                 Ombre en France                                  Ombre au Ghana

                                             Arctan( ----------------------------------) - Arctan(----------------------------------)

                                                           Taille du bâton en France                 Taille du bâton au Ghana

 

Le 1er Novembre 2011, à 13h précises, j'ai donc fait un premier test. Je n'ai pas utilisé de bâton, mais un simple crayon de papier de 15 cm. La taille de l'ombre était de 28 cm. Comme j'habite à Nantes, et que la distance Nantes-Accra est de 4642 km, j'ai donc trouvé :

 

                                                               4642 * 360

Circonférence de la terre = ------------------------------------------ = 40300 Km ! Pas mal, hein ?

                                              Arctan(28/15) – Arctan(37,1/100)

 

J'a refait une nouvelle mesure le 1er janvier 2013 à 13h précises. Cette fois ci, j'ai utilisé un manche à balais de 125 cm de longueur. La taille de l'ombre était de 349 cm, ce qui nous fait donc :

 

 

                                                               4642 * 360

Circonférence de la terre = ------------------------------------------ = 40071 Km ! 

                                              Arctan(349/125) – Arctan(54,5/100)

 

 

 


Maintenant, nous savons

 

Là, c'est carrément une révolution ! Grâce au calcul d'Eratostene, nous allons pouvoir connaître enfin les véritables distances calculées jusqu'à présent... 

 

- Quelle est la Taille de la Terre ?

Pour Eratostene : 12732 Km de Diamètre

Pour nous :12755 Km

En réalité : 12742 Km de Diamètre

- Quelle est la Taille de la Lune ?

Pour Aristarque 4247 Km de Diamètre

Pour Nous 3682 Km de Diamètre

En réalité 3474 km de Diamètre

- Quelle est la distance Terre - Lune ?

Pour Aristarque : entre 95557 Km et 127410 Km

Pour Nous avec la méthode d'Aristarque : entre 267313 Km et 356417  Km

Pour nous avec la trigonométrie : 340216 Km

En réalité : 384400 Km

- Quelle est la Distance du Soleil ?

Pour Aristarque : entre 1,7 Millions de Km et 2,5 Millions Km

Avec la méthode d'Aristarque s'il avait pu calculer α = 0.15° : entre 36,5 Millions de Km 60 Millions de Km

Pour nous : aucune estimation car calculer l'angle α est trop difficile

En réalité : 149,6 Millions de Km

- Quelle est la Taille du Soleil ?

Pour Aristarque : entre 76446 Km et 127410 Km

Avec la méthode d'Aristarque s'il avait pu calculerα = 0.15° : entre 1.6 et 1.7 Millions de Km

Pour nous : aucune estimation car calculer l'angle α est trop difficile

En réalité : 1.392 Millions de Km

 

La question qu'on se pose, c'est :

Pouvait-on maintenant faire encore mieux sans instrument ? Hipparque allait bientôt nous donner la réponse...

 

Le calcul des distances dans l'antiquité : La distance de la Lune, le retour

         

 

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22 octobre 2013 2 22 /10 /octobre /2013 00:00

50 ans après Eratosthène, Hipparque allait révolutionner les mathématiques en posant les bases de la trigonométrie. Il s'essaya aussi à calculer la distance Terre – Lune en utilisant une autre méthode que celle qu'Aristarque avait utilisée quelques années auparavant. C'est ce calcul d'une simplicité et d'une efficacité déconcertante que nous allons regarder dans ce chapitre.

Pour cela, Hipparque est parti de deux hypothèses :

 

Hypothèse 1 :

Le diamètre apparent du Soleil est de 0,5° (contre 2° par son prédécesseur Aristarque).

 

Hypothèse 2 :

La durée maximale du passage de la Lune dans le cône d'ombre de la Terre est de 2h30mn.

 

Explication de l'hypothèse 2 :

Pour calculer la durée maximale du passage de la Lune dans le cône d'ombre de la Terre, il faut attendre et observer une éclipse de Lune. Ensuite, il faut démarrer le chronomètre au moment où la première partie de la Lune entre dans l'ombre et l'arrêter au moment où la première partie en sort. On peut aussi le faire en démarrant le chronomètre au moment où la dernière partie de la Lune entre dans l'ombre et l'arrêter au moment où la dernière partie en sort.

Avec cette méthode, entre le démarrage et l'arrêt du chronomètre, la Lune aura parcouru exactement une distance égale au diamètre du cône d'ombre.

Bien entendu, pour que cela soit fiable, il faut trouver une éclipse où la Lune passe exactement au milieu du cône d'ombre. Il faut donc trouver l'éclipse de Lune la plus longue possible.

 

Analysons l'une des plus longues éclipses de siècle, celle du 15 juin 2011. Les données sur cette éclipse sont les suivantes :

 

- Premier point de contact avec la pénombre : 17h23

- Premier point de contact avec l'ombre : 18h23

- Début de la totalité : 19h22

- Fin de la totalité: 21h03

- Dernier point de contact avec l'ombre : 22h03

- Dernier point de contact avec la pénombre : 23h02

 

Pour calculer le temps de traversée de l'ombre, il faut prendre :

 

Fin de la totalité - Premier point de contact avec l'ombre = 21h03 – 18h23 = 2h40mn

Ou bien

Dernier point de contact avec l'ombre - Début de la totalité = 22h03 – 19h22 = 2h41mn

 

On est donc très proche des 2h30 calculés par Hipparque.

 

Partant de ces deux hypothèses, Hipparque dessine alors la figure ci-dessous.

Hipparque-copie-1.PNGOn y voit le Soleil à droite en jaune, la Terre au milieu, en bleu entourée de l'orbite de la Lune, et le cône d'ombre à gauche.

Soit C le centre de la Terre, L le point de contact entre l'orbite de la Lune et le cône d'ombre, et T le point de la Terre à l'extrémité du cône d'ombre.

Naturellement, on a CT = Rayon de la Terre et CL = distance Terre-Lune. Comme CTL est un angle droit, on a donc une relation trigonométrique entre CL et CT :

 

cos(δ)= CT / CL = Rayon de la Terre / Distance Terre-Lune

 

Donc, si on trouve la valeur de l'angle δ, alors on connaîtra la distance Terre-Lune !

C'est aussi simple que ça !

 

Si on se concentre sur la moitié haute du dessin d'Hipparque (au dessus de la ligne en pointillé), on voit que :

 

β/2 + δ + γ + α/2 = 180°

Donc, on a

 

δ = 180° - γ – α/2 – β/2

 

Il nous faut donc trouver la valeur des angles α, β et γ pour trouver l'angle δ.

 

Que sait-on de l'angle α ?

C'est simple, α est le diamètre apparent du Soleil, on a dit qu'il était de 0,5°

 

Que sait-on de l'angle β ?

β est l'angle que fait l'ombre de la Terre au niveau de l'orbite de la Lune.

Nous avons vu que la Lune met 2h30 pour traverser cette ombre. On sait aussi que la Lune fait un tour complet du ciel depuis la Terre (360°) en 29,5 jours, soient 708 heures. En appliquant une règle de trois, on en déduit donc que l'angle de l'ombre est de (360/708)*2,5 = 1,27°

 

Plus qu'un seul angle à calculer et on connaîtra la distance de la Lune !!!

 

Que sait-on de l'angle γ ?

γ est en fait lié à la variation d'angle sous lequel on verrait un point du Soleil depuis le centre de la Terre et depuis le pôle. En effet, on a :

γ = 90° - variation d'angle

 Cette variation d'angle, c'est ce qu'on appelle la parallaxe du Soleil. Dit autrement, c'est l'angle sous lequel on voit le rayon de la Terre depuis le Soleil. Ce n'est pas bien grand en réalité puis que c'est de l'ordre de 0,0025° (9'' d'arc) de telle sorte que γ vaut 89,9975° en réalité. Le problème, c'est que pour calculer cet angle, il faut connaître le distance du Soleil (qui était inconnu à cette époque).

Hipparque est donc parti d'un principe : Le Soleil est tellement loin de la Terre que depuis le Soleil, la terre est un point, et donc γ vaut 90°. C'était une bonne intuition.

 

 

Maintenant qu'Hipparque a calculé les trois angles, il peut donc en déduire δ :

 

δ = 180° - 90° – 0,5°/2 – 1,27°/2 = 89,115°

 

On a donc au final :

 

Distance Terre-Lune = Rayon de la Terre / cos(89,115) = Rayon de la Terre × 64,74

 

 

En utilisant le rayon de la Terre calculé par Eratosthène de 6366 Km, on obtient donc :

 

Distance Terre-Lune = 412148 Km

 

Je vous laisse apprécier la précision de calcul au regard de la simplicité de la démonstration : décoiffant !

 


Maintenant, nous savons

 

 

- Quelle est la Taille de la Terre ?

Pour Eratostene : 12732 Km de Diamètre

Pour nous :12827 Km

En réalité : 12742 Km de Diamètre

- Quelle est la Taille de la Lune ?

Pour Aristarque 4247 Km de Diamètre

Pour Nous 3682 Km de Diamètre

En réalité 3474 km de Diamètre

- Quelle est la distance Terre - Lune ?

Pour Aristarque : entre 95557 Km et 127410 Km

Pour Nous avec la méthode d'Aristarque : entre 267313 Km et 356417  Km

Pour nous avec la trigonométrie : 340216 Km

Pour Hipparque : 412148 Km

En réalité : 384400 Km

- Quelle est la Distance du Soleil ?

Pour Aristarque : entre 1,7 Millions de Km et 2,5 Millions Km

Avec la méthode d'Aristarque s'il avait pu calculer α = 0.15° : entre 36,5 Millions et 60 Millions de Km

Pour nous : aucune estimation car calculer l'angle α est trop difficile

En réalité : 149,6 Millions de Km

- Quelle est la Taille du Soleil ?

Pour Aristarque : entre 76446 Km et 127410 Km

Avec la méthode d'Aristarque s'il avait pu calculerα = 0.15° : entre 1.6 et 1.7 Millions de Km

Pour nous : aucune estimation car calculer l'angle α est trop difficile

En réalité : 1.392 Millions de Km

 

 

Ce calcul fut véritablement le dernier de l'antiquité. La raison de cette non progression future vous est expliquée dans le prochain chapitre :

 

Le calcul des distances dans l'antiquité : Le début de la fin ou la révolution en marche

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21 octobre 2013 1 21 /10 /octobre /2013 00:00

Après quatre siècles d'avancées importantes caractérisées par les démonstrations des chapitres précédentes et les travaux d'Aristarque, d'Eratostène et d'Hipparque, prouvant au monde entier que nous étions en capacité de comprendre le monde qui nous entoure, après la création du calendrier Julien prouvant lui aussi que la maîtrise du temps était une chose avérée, il était temps de faire une petite pause et surtout de faire le point.

 

C'est exactement ce que fit Ptolémée vers l'an 150 dans son Almageste. Il y recueillit toutes les connaissances d'astronomie de l'époque en 13 livres. Il y explique les tables de trigonométrie, définit et calcule la durée de l'année solaire, le calcul du diamètre de la Lune, du Soleil ainsi que leurs distances, explique la précession des équinoxes (découverte par Hipparque), établit un catalogue de 1022 étoiles et 48 constellations, et enfin publie une modélisation du système Solaire qui explique les mouvements des planètes.

Bien qu'à l'époque Aristarque ait émis l'hypothèse que ce soit la Terre qui tourne autour du Soleil et non l'inverse, cette idée était tout de même très déplacée et assez risquée ! Le géocentrisme était LA solution qui flattait l'ego de l'homme, satisfaisait les religions et surtout correspondait à la première impression qu'on a lorsqu'on sort dehors : La terre est immobile et c'est le ciel qui tourne autour !. Le modèle de Ptolémée allait donc parfaitement dans ce sens-là et devint très rapidement une référence.

 

Son modèle géocentrique était particulièrement convainquant car il expliquait :

  • La variation de vitesse angulaire des planètes

  • La variation de luminosité des planètes

  • Les mouvements rétrogrades

 

Avec autant d'atouts, il était évident que ce modèle avait de beaux jours devant lui !

En fait, il faisait intervenir la notion d'épicycle, génialement introduite vers 200 avant JC par Apolinos de Perga. L'épicycle est en fait une roue, dont le centre est situé sur l'orbite de la Planète et qui tourne plus ou moins vite. Le centre de l'épicycle parcourt donc un cercle, mais la planète, placée sur le bord de cet épicycle, décrit une sorte de serpentin.

 

Vous allez vite vous rendre compte à quel point cette modélisation est géniale :

 

Suivons deux planètes dans leur révolution. Une bleue qui représente la Terre et une rouge qui représente Mars. Le Soleil est au milieu et nous sommes dans un système Héliocentrique. Pour simplifier, nous allons partir du principe que la Terre tourne autour du Soleil deux fois plus vite que Mars.

Suivons maintenant la position de ces planètes avec une photo tous les 3 mois durant deux années. Au bout de deux ans, la Terre aura fait deux fois le tour du Soleil et Mars n'en aura fait qu'une fois le tour.

A chaque photo, nous relions d'un trait noir la Terre et Mars, ce qui nous permet de matérialiser plus facilement la distance et l'angle entre les deux.

Modele-heliocentrique.PNG

Quel mouvement mars fait-il autour de la Terre ?

Posée autrement, la question revient à dire :

Si on ramenait tout cela dans un système Géocentrique, quelle serait la trajectoire de Mars autour de la terre ?

 

Pour cela, rien de plus simple :

 

On prend tous les bâtons « Terre - Mars » que nous avons créés, on les découpe, et on les recentre tous sur la Terre : Nous obtenons alors ceci :

Mouvement apparent-copie-1

Nous obtenons une sorte de coeur. C'est ce que nous appelons le déplacement relatif de Mars par rapport à la Terre. Dans le modèle géocentrique, c'est son déplacement réel.

Bien entendu, les anciens n'ont pas connaissance de cette forme puisqu'ils ne peuvent pas calculer la distance de Mars, mais ils en perçoivent les conséquences directes :

  • Entre les deux mois de janvier la distance Terre-Mars a beaucoup augmenté donc l'éclat de Mars a diminué

  • Entre Janvier et Avril de la Première année, Mars ne bouge pas beaucoup dans le ciel. Par contre, entre Janvier et Avril de la deuxième année, Mars a parcouru plus de 45° dans le ciel. Donc la vitesse angulaire de Mars change.

  • Au mois de janvier, la luminosité de Mars augmente subitement et elle fait même demi tour dans le ciel pendant quelques temps (qui n'est pas visible dans notre schéma, mais dont nous avons parlé dans un chapitre précédent)

Il est donc évident pour les géocentristes que Mars ne peut effectuer un cercle parfait autour de la Terre. Car dans ce cas, sa distance (donc sa brillance) et sa vitesse auraient été constantes. 

 Ptolémée expose la solution du problème dans son Almageste avec les Épicycles :

 

Imaginons maintenant que mars tourne autour de la Terre et qu'en même temps, tourne autour de son épicycle à la même vitesse angulaire que la Terre (un tour complet en un an) :

Modele-geocentrique.PNG

Si maintenant on refait le même exercice que précédemment en regroupant tous les segments autour de la Terre, on obtient :

Mouvement apparent-copie-1

... La même chose !

 

Donc les épicycles expliquent la différence de brillance de Mars, la variation de la vitesse angulaire de Mars,  le mouvement rétrograde de Mars et tout cela dans un modèle géocentrique. De plus, les épicycles sont des cercles (figure parfaite) et sont donc en accord avec des phénomènes divins. Le résultat est si proche de la réalité, qu'il va devenir rapidement quasiment impossible à mettre en défaut.

 

Ce modèle ne connut aucune concurrence sérieuse pendant 1400 ans, et bien que certain aient essayé, par-ci, par-là de parler de leur fumeuse théorie héliocentrique, ils étaient tous ridiculisés, voire brûlés pour hérésie car ils n'avaient aucun moyen de prouver ce qu'ils avançaient.

 

En 1543, Copernic fut le premier à véritablement étayer sa théorie héliocentrique par un modèle mathématique. Il n'osa pas la publier avant sa mort et l'ouvrage fut bien évidemment très critiqué à sa sortie. En revanche, il fut véritablement une source de motivation et d'inspiration pour tous ceux qui dans les années à venir, allaient défendre et tenter de prouver, coûte que coûte, que c'était cette théorie qui était la bonne.

 

L'évolution fut lente. Il y eut tout d'abord Tycho Brahé, qui à force d'observations méticuleuses, était persuadé que les planètes tournaient autour du Soleil, toutes à l'exception de la Terre, bien entendu. Le Soleil et la Lune tournaient bien autour de la Terre, mais les autres planètes tournaient autour du Soleil. Brahé n'était semble-t-il pas convaincu par ce modèle, mais ses convictions religieuses le ramenaient éperdument vers une Terre au centre de l'univers... ce qui finit de le convaincre, c'était que si la Terre tourne autour de la terre, on devrait observer une parallaxe des étoiles, or il n'y en avait pas... Nous reviendrons précisément sur ce point dans quelques lignes.

Modele-Brahe.PNG

Il inventa donc le modèle Géo-Héliocentrique  ci-contre avec  :

- Le Soleil et la Lune tournant autour de la Terre.

- Toutes les autres planètes tournant autour du Soleil.

 

Bien entendu, son nouveau modèle devait être prouvé. Pour cela, il fallait déjà observer sur une longue période la position des planètes et valider qu'elles suivaient son modèle théorique. Mais le télescope n'était pas encore inventé et il n'avait que ses yeux pour faire des relevés qu'il voulait pourtant très précis.

 

Intrument-Brahe.PNGIl inve nta donc des sextants géants comme celui représenté ci-contre:

 

On est loin de Very Large Telescope ou du télescope spatial Hubble, mais son observatoire d'Uraniborg était à l'époque l'un des observatoires les plus modernes. Grâce à ce système de visée, il arrivait à pointer les astres avec une précision d' 1 minute d'arc (c'est à dire 1/60ème de degré, soit 1/30ème du diamètre de la Lune). Évidemment, même si 1 minute d'arc correspond à une précision tout à fait remarquable, c'était encore bien insuffisant pour déceler la fameuse parallaxe des étoiles (promis, nous allons bientôt parler de la parallaxe) et qui était elle de seulement 1 seconde d'arc (1/60ème de minute d'arc) au maximum.

Il nota entre 1585 et 1595, régulièrement et quand le temps le permettait, les coordonnées de nombreux astres dont Mars et le Soleil.

 

Pendant ces années, il nota que le mouvement de Mars n'était pas exactement conforme à ses prévisions, qui pourtant suivaient son modèle. Il conserva donc précieusement ses relevés et demanda à son disciple, un certain Johannes Kepler, d'analyser en détail la trajectoire de Mars et ses relevés. Nous consacrerons un chapitre spécial sur les travaux de Kepler.

 

Le coup dur fut véritablement porté par Galilée, qui fut le premier à utiliser sa fameuse Lunette astronomique en 1610. Il la pointa naturellement sur les objets les plus communs : La Lune, Le Soleil, Venus, Jupiter, Saturne... et il allait en avoir pour ses frais !

  • La lune avait des trous et sa surface n'était pas lisse. Elle n'était donc pas si parfaite et immuable qu'on le croyait...

  • Le Soleil avait des tâches, et n'était, contre toute attente, pas parfait non plus...

  • Jupiter avait des satellites qui lui tournaient autour et ne tournaient donc ni autour de la Terre, ni autour du Soleil...

  • Venus passait par des phases comme la Lune, preuve qu'elle passait derrière, puis devant le Soleil.

  • Saturne avait des oreilles, mais là, personne ne savait ce que cela pouvait bien être...

Nous reviendrons aussi sur ces phénomènes observés par galilée, mais parmi ces observations, ce sont les phases de venus qui portèrent le coup de grâce au modèle de Ptolémée.

 

En effet, Dans le modèle de Ptolémée, Venus restait toujours entre la Terre est le Soleil. Elle devait donc toujours nous apparaître comme un croissant. Il était donc impossible de la retrouver presque pleine tout en étant proche visuellement du Soleil, car c'était la preuve qu'elle se trouvait derrière le Soleil...

Pourtant, c'est ce qui vit Galilée.

 

Ses observations ont permis quasi immédiatement d'enterrer le modèle de Ptolémée et ce fut le modèle géo-héliocentrique de Brahe qui devint le modèle officiel. C'est donc principalement pour s'être opposé à ce modèle que Gallilée eut tous les ennuis qu'on lui connaît !

 

Le souci venait essentiellement qu'aucun fait, aucune observation ne permettait de prouver que c'était la Terre qui tournait autour du Soleil et non l'inverse !

 

Pour les partisans du géocentrisme, l'absence de preuve constituait même une preuve contre. Ce sont ces arguments qui furent utilisés lors de l'audition de Galilée.

 

« Si la Terre tourne bien autour du Soleil, comme vous l'affirmez, et étant donné que nous savons que la distance du Soleil est très très grande, alors cela signifie que le cercle que décrit la Terre autour du Soleil est tout simplement gigantesque !

De ce fait, entre deux positions opposées sur ce cercle, l'angle sous lequel on voit les étoiles devrait changer, et le Nord qui pointe maintenant vers l'étoile polaire, ne devrait plus la pointer dans six mois (cf schéma ci-contre) ! Parallaxe.PNG

 

Revenons dans six mois et vous constaterez comme moi que le nord pointera toujours l'étoile polaire. Ce sera donc la preuve que la Terre est immobile et donc au centre de l'univers »

 

Le souci, c'est que ce fameux angle est tellement petit du fait de l'éloignement des étoiles inimaginable à l'époque, qu'il était non mesurable avec les moyens dont disposaient les astronomes. Ils en ont donc conclu qu'il était nul et donc que la Terre était immobile.

Gallilée leur tint ces propos de l'éloignement des étoiles, mais encore une fois, qui n'étaient pas vérifiables, donc sans valeur.

 

Et c'était pourtant l'existence même de cet angle (ou parallaxe) qui allait peut être causer la fin du modèle géocentrique. Car nous verrons plus tard que sa recherche désespérée par les astronomes les entraînèrent vers une découverte non moins sensationnelle !

 

Il fallut attendre 1729, soient 120 ans après les premières observations de Gallilée et deux ans après la mort d'Isaac newton pour que la preuve de la théorie héliocentrique soit faite. 

 

L'important, c'est de comprendre qu'il n'y a pas une trajectoire, mais des trajectoires.

Ainsi, un homme assis dans un train en marche est mobile par rapport à la Terre, mais immobile par rapport au train. Quant au train, est-il mobile par rapport à la terre, ou bien est-ce la Terre qui bouge sous lui ? En fait, tout dépend du référentiel dans lequel on se trouve. En revanche, c'est le train qui a du produire une certaine énergie pour arriver à sa vitesse de croisière et non la Terre. Par ce fait, il nous est donc logique de dire que c'est le train qui bouge par rapport à la terre.

 

Il en est de même pour le mouvement de la terre...

- Dans un référentiel terrestre, elle est immobile

- Dans un référentiel Solaire, elle décrit un cercle (ou presque)

- Dans un référentiel de Vénus, elle décrit le même coeur que Mars décrit depuis la Terre

- Dans le référentiel d'une autre étoile, on la verrait décrire un mouvement plus compliqué de Spirale étant donné que le Soleil de déplace...

 

Bref nous étions sur le point d'entrer dans un nouvel âge de l'astronomie. C'est ce que nous allons découvrir ensemble dans la prochaine partie.

 

Mais avant d'étudier cette révolution, une petite introduction s'impose :

 

Le calcul des distances dans le grand siècle : Les périodes synodiques

 

 

 

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