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18 octobre 2013 5 18 /10 /octobre /2013 00:00

Une fois le modèle Héliocentrique de Copernic établi, et pour ceux qui y croyaient, bien entendu, il devenait possible de calculer les distances des planètes.

Copernic l'avait compris (c'est quand même lui qui avait posé les bases du modèle mathématique héliocentrique) et il trouva le moyen de calculer les distances des planètes intérieures :

Vue de la Terre, les planètes intérieures ne s'éloignent jamais trop du Soleil d'un angle α. Si on arrive à connaître cet angle α, on connaîtra la distance de la planète !

 

Regardez le schéma ci-contre avec l'exemple de Venus :distance-venus.PNG

Lorsque Venus est la plus éloignée du Soleil vue de la Terre, l'angle Soleil-Venus-Terre est un angle droit, et donc la trigonométrie s'applique !

 

On a donc :

 

Distance Soleil-Venus = sin(α)×Distance Terre-Soleil

 

Copernic avait donc noté que l'angle maximal de Venus variait de 45° à 47° et l'angle de mercure variait entre 16° et 27°.

Il trouvait très étrange que cet angle ne soit pas constant, surtout pour Mercure car il variait vraiment beaucoup... Il avait donc ajouté dans son modèle des nouveaux épicycles pour expliquer ces variations d'angle... oui, les épicycles étaient de retour et c'est amusant de voir que Copernic avait finalement ajouté dans son modèle des éléments qui avaient fait les beaux jours d'un modèle qu'il combattait... 

Si ces épicycles existaient, alors leurs centres devaient se trouver au milieu de ces valeurs d'angle qu'il avait calculées. Il prit donc 46° pour Venus et 21,5° pour Mercure et naturellement il obtint :

 

Distance Soleil-Mercure = sin(21,5°) × Distance Terre-Soleil = 0,3665 × Distance Terre - Soleil

et

Distance Soleil-Venus = sin(46°) × Distance Terre-Soleil = 0,7193 × Distance Terre - Soleil

 

En réalité, la distance moyenne de Mercure est de 0,39 × Distance Terre – Soleil et

la distance moyenne de Venus est de 0,72 × Distance Terre – Soleil.

 

Pour les distances des planètes extérieures, c'était un peu plus difficile. Le problème pour ces planètes, c'est qu'il n'y a pas d'angle maximal comme pour les planètes intérieures puisque elles décrivent un cercle complet dans notre ciel. Elle passent donc d'une conjonction (Planète-Soleil-Terre alignés) à une opposition (Soleil-Terre-Planète alignés) avec le Soleil et nous n'avons aucun point de repère.

 

En fait, le principe est le même que pour le calcul de Venus et de Mercure, sauf que les rôles sont inversés.

Pour Mars, par exemple, Mars joue le rôle de la Terre et la Terre jour le Rôle de Vénus dans notre calcul précédent. 

L'inconvénient c'est que lorsque la Terre est la plus éloignée du Soleil vu de Mars, l'angle droit est situé au niveau de la Terre et donc la trigonométrie est inutilisable car il nous faut connaître un autre angle. Pour connaître cet autre angle, il n'y avait pas 36 solutions :

  • Soit aller sur Mars pour calculer l'angle Terre-Soleil (mais ce n'est pas simple)

  • Soit aller sur le Soleil pour calculer l'angle Terre-Mars (c'est encore moins simple...)

  • Soit trouver encore une astuce dont les astronomes du passé avaient le secret...

Par simplicité et pragmatisme, c'est la troisième option qui fut choisie, par Copernic !

 

Il fit donc le schéma ci-contre :Distance-de-Mars.PNG

 

Nous prenons comme instant de référence le jour où le Soleil et mars font un angle de 180° vue depuis la Terre.

Nous attendons patiemment que cet angle de 180° diminue de moitié pour arriver à faire un angle de 90° (Soleil-Mars-Terre fait donc un triangle rectangle en Terre).

Nous comptons alors le nombre de jours qu'il a fallu pour passer de 180° à 90° : n jours.

Comme nous connaissons la période de révolution de la Terre (365,25 jours) et que nous connaissons la période de révolution de la planète Mars (687 jours), nous savons donc quels sont les angles α et β qu'on respectivement parcourus la Terre et Mars :

α = 360 ×(n/Révolution Terre)

 

β = 360 × (n/Révolution Mars)

 

Comme vous pouvez le voir sur le schéma, nous avons γ = α – β

 

Cela signifie que par cette méthode, nous avons été capables de trouver l'un edes  deux autres angles de notre triangle rectangle sans avoir à aller ni sur Mars, ni sur le Soleil !

Et donc :

 

Distance Soleil–Mars = Distance Terre-Soleil / cos(γ), soit

 

Distance Soleil–Mars = Distance Terre-Soleil / cos((360 ×(n/Révolution Terre)) - (360 × (n/Révolution Mars)))

 

 

Les observations de Mars, Jupiter et Saturne avaient donné à Kepler les informations suivantes :

Saturne :

Temps entre l'opposition et la quadrature : 88 jours

Période Synodique : 378 jours

 

Jupiter :

Temps entre l'opposition et la quadrature : 87 jours

Période Synodique : 398 jours

 

Mars :

Temps entre l'opposition et la quadrature : 123 jours

Période Synodique : 780 jours

 

Grâce à la formule vue dans le chapitre précédent, nous pouvons calculer les périodes de révolution de ces planètes :

Pour Saturne : (378 × 365,25)/(378-365,25) = 10828 jours

Pour Jupiter : (398 × 365,25)/(398-365,25) = 4438 jours

Pour mars, mais nous l'avions déjà vu : (780 × 365,25)/(780-365,25) = 687 jours

 

Le fameux angle γ peut donc être calculé, et par là même, la distance de la planète au Soleil !

 

Pour Saturne :

γ = 360×(88/365,25) - 360×(88/10828)= 83,81°

 

Et donc Distance Soleil-Saturne = Distance Terre-Soleil × 9,27

En réalité, le rapport est de 9,53 (soit moins de 3% d'erreur)

 

Pour Jupiter :

γ = 360×(87/365,25) - 360×(87/4438)= 78,69°

 

Et donc Distance Soleil-Jupiter = Distance Terre-Soleil × 5,09

En réalité, le rapport est de 5,2 (soit un peu plus de 2% d'erreur)

 

Pour Mars :

γ = 360×(123/365,25) - 360×(123/687)= 56,77°

 

Et donc Distance Soleil-Jupiter = Distance Terre-Soleil × 1,82

En réalité, le rapport est de 1,52

 

Tout comme dans l'antiquité, les distances étaient calculées relativement au rayon de la Terre ou de la Lune, nous voyons que pour Copernic, les distances le sont relativement à la Distance Terre-Soleil.

C'est ainsi que fut introduite la notion d'Unité Astronomique (notée UA) qui est d'ailleurs toujours utilisée de nos jours.

 

 

 


Maintenant, nous savons

   

- Quelle est la Taille de la Terre ?

Pour Eratostene : 12732 Km de Diamètre

Pour nous :12827 Km

En réalité : 12742 Km de Diamètre

- Quelle est la Taille de la Lune ?

Pour Aristarque 4247 Km de Diamètre

Pour Nous 3682 Km de Diamètre

En réalité 3474 km de Diamètre

- Quelle est la distance Terre - Lune ?

Pour Aristarque : entre 95557 Km et 127410 Km

Pour Nous avec la méthode d'Aristarque : entre 267313 Km et 356417  Km

Pour nous avec la trigonométrie : 340216 Km

Pour Hipparque : 412148 Km

En réalité : 384400 Km

- Quelle est la Distance du Soleil ?

Pour Aristarque : entre 1,7 Millions de Km et 2,5 Millions Km

Avec la méthode d'Aristarque s'il avait pu calculer α = 0,15° : entre 36,5 Millions et 60 Millions de Km

Pour nous : aucune estimation car calculer l'angle α est trop difficile

En réalité : 149,6 Millions de Km

- Quelle est la Taille du Soleil ?

Pour Aristarque : entre 76446 Km et 127410 Km

Avec la méthode d'Aristarque s'il avait pu calculerα = 0,15° : entre 1,6 et 1,7 Millions de Km

Pour nous : aucune estimation car calculer l'angle α est trop difficile

En réalité : 1,392 Millions de Km

- Quelle est la distance Soleil-Mercure ?

Pour Copernic : 0,3665 UA

En réalité : 0,39 UA

- Quelle est la distance Soleil-Venus ?

Pour Copernic : 0,7193 UA

En réalité : 0,72 UA

- Quelle est la distance Soleil-Mars ?

Pour Copernic : 1,82 UA

En réalité : 1,52 UA

- Quelle est la distance Soleil-Jupiter ?

Pour Copernic: 5,09 UA

En réalité : 5,2 UA

- Quelle est la distance Soleil-Saturne ?

Pour Copernic : 9,27 UA

En réalité : 9,53 UA

 

Imaginez qu'à l'époque, les planètes n'étaient que des points lumineux. On ne savait même pas ce que c'était, et encore moins à quoi elles ressemblaient. Il n'était pas question de géantes gazeuses, ou d'anneaux. Et pourtant, à force d'observation et d'ingéniosité, un astronome comme Copernic a réussi le tour de force de calculer la distance de Saturne à 2% près. c'est tout simplement étonnant !

De ces calculs, vous voyez que l'erreur d'évaluation de la distance Soleil-Mars était de presque 20%. Cette erreur était problématique, car les observation pratiques ne coïncidaient pas avec les calculs théoriques et du coup, le modèle de Copernic ne s'avérait pas être plus précis que celui de Ptolémé ou de Brahe.

C'est ainsi que Brahé demanda à Kepler d'analyser précisément les coordonnées et la trajectoire de Mars pour comprendre ce qui clochait dans son modèle...

 

Le calcul des distances dans le grand siècle : Les deux premières lois de Kepler

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commentaires

Camille 02/10/2017 11:13

Bonjour,
Merci pour cet article très intéressant et documenté. Auriez-vous les références des sources que vous avez utilisées ? Merci.
Camille

Guylaine 15/02/2014 22:54

Bonjour, j'aimerais comprendre comment je peux reprendre l'expérience de Copernic...c'est-à-dire prendre la mesure moi-même de la quadrature Mars-Terre-Vénus. Comment dois-je m'y prendre, je veux dire sur le terrain. Ai-je besoin d'un Théodolite? ou d'un autre instrument? Je n'arrive pas à figurer comment il a su que c'était précisément après 123 jours que la quadrature avait lieu. Si le Soleil est couché, comment puis-je calculer un l'angle Mars-Terre-Soleil? Merci à l'avance pour votre aide. Guylaine

Guylaine Doucet 05/02/2014 03:43

Bonjour,
D'abord merci de nous faire partager votre passion!
Je suis vraiment novice en la matière mais passionnée moi aussi...
J'aimerais simplement savoir si je dois remplacer Kepler par Copernic dans la phrase suivante: "Les observations de Mars, Jupiter et Saturne avaient donné à Kepler les informations suivantes:" Merci.

Guylaine