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28 octobre 2013 1 28 /10 /octobre /2013 00:00

Il est toujours difficile d'analyser un objet quand on a le nez collé dessus...

Et bien c'est exactement notre problème avec la Terre... pas moyen de prendre du recul, pas moyen de connaître sa forme, pas moyen de connaître sa taille autrement qu'en se promenant dessus (en tout cas à l'époque)...

 

Pourtant nous vivons sur la Terre et les hommes ont voulu en savoir un peu plus...

Ils savaient que la Terre était grande, très grande, et peu importe dans quelle direction ils voyageaient, ils n'en voyaient pas le bout... vous avouerez que comme indice, c'était un peu mince...

A cause de ce manque de recul, les premières mesures, contre toute attente, n'ont pas concerné la Terre, mais d'autres objets...

 

Comme nous l'avons vu dans un chapitre précédent, les astronomes de l'antiquité pouvaient observer dans le ciel : le Soleil, la Lune, les planètes et les étoiles.

Ils pouvaient observer aussi leurs déplacements, mais malheureusement pour eux :

- La Terre était trop proche

- Les étoiles et les planètes étaient trop petites

- Le Soleil était trop brillant

Bref, ça ressemblait un peu au casting de la vache qui rit...

 

Il ne restait que la Lune à observer, mais elle était très intéressante. Elle passait par des phases qui permettaient de compter le temps, elle brillait mais contenait des tâches bizarres. Parfois même, alors qu'elle était pleine, elle s'assombrissait, provoquant ce qu'on appelait une éclipse de Lune. Enfin, pour couronner le tout, on avait remarqué que les éclipses de Soleil avaient toujours lieu les jours de nouvelle Lune...

 

A l'époque d'Aristote (384-322 avant JC), on avait déjà compris que la Lune était éclairée par le Soleil, et que c'est en passant devant le Soleil qu'elle l'éclipsait. A l'inverse, ils avaient aussi compris que les éclipses de Lune avaient lieu lorsque la Lune passait dans l'ombre de  la Terre.

Aristote fut d'ailleurs le premier, dans son traité du ciel, à affirmer que la limite courbe d'ombre qu'on observait sur la Lune durant les éclipses de lune représentait en fait la forme de la Terre !

 

Quelques années plus tard, Aristarque de Samos (310-230 avant JC) (il a dû bien se faire chambrer à l'école avec un nom pareil !) passa de la théorie à la pratique en se disant qu'en regardant la taille de l'ombre de la Terre sur la Lune, on pouvait peut-être en déduire le rapport entre les deux ! Il ouvrait ainsi la voie à tous les astronomes.

 

Il expliqua et démontra tout cela dans son Traité sur les grandeurs et les distances du Soleil et de la Lune. Ce livre est un peu indigeste car Aristarque ne connaissait pas à l'époque la Trigonométrie (qui fut inventée par Hipparque (190-120 Avant JC)). Il a donc dû démontrer ses calculs par des tracés géométriques très ingénieux mais pas vraiment très simples. Je vous invite cependant véritablement à y jeter un coup d'oeil car c'est vraiment très enrichissant..

 

Nous allons donc étudier ses démonstrations en les expliquant, et nous referons ensuite les mêmes calculs par la trigonométrie. 

 

Aristarque bâtit tous ses calculs pour calculer la taille de la Lune sur trois hypothèses de départ que nous allons voir.

On ignore comment Aristarque s’y est prit pour arriver à ces hypothèses, mais il existe plusieurs moyens faciles d’y arriver et il a certainement utilisé l’un d’entre eux :

 

Hypothèse 1 : L'arc sous-tendu dans le ciel par la Lune est la quinzième partie d'un signe.

Evidemment, sans plus d'explications, il est difficile de savoir ce qu'Aristarque voulait dire... Il faut se rappeler qu'Aristarque vivait il y a 2300 ans, et que bien des notions mathématiques évidentes pour nous maintenant étaient alors inconnues.

S'il s'était exprimé dans notre vocabulaire d'aujourd'hui, il aurait sans dout écrit :

Le diamètres apparent de la Lune est de un quinzième d'un signe du zodiaque.

En clair, comme il y a douze signes du zodiaque qui décrivent un cercle de 360° dans le ciel, alors un signe fait 30° et donc le diamètre apparent de la Lune est de 2° (en fait il s'est un peu planté car il est en réalité de 0,5°).

Il existe au moins trois méthodes pour retrouver cette valeur :

 

Méthode 1 :La trigonométrie et la méthode du confetti

On prend un objet (un confetti, une pièce de monnaie, un arbre…) dont on connaît la circonférence exacte. On se recule de cet objet de manière à ce qu’il apparaisse avec le même diamètre apparent que la Lune.

A ce moment là, le rapport entre la taille des deux objets et leurs distances sont égaux (et est d’ailleurs égal à tangente de l’angle). On voit donc que

 

α = Artan(diamètre de la pièce / Distance de la pièce à l'oeil)

 

 diametre apparent lune

Aristarque ne connaissait pas la trigonométrie, mais  à certainement pu approcher l’angle par des constructions géométriques en utilisant cette méthode.

 

 

Je vous invite à réaliser l'expérience avec moi :

 

Je découpe un rond de 2 cm de diamètre que je scotche sur une fenêtre donnant à l'est. Vers la pleine Lune, je me mets face à ma fenêtre et je me recule jusqu'à ce que le rond ait exactement la même taille que la Lune. Je mesure alors la distance de mon oeil à la Fenêtre.

 

Mon expérience a été faite le 09/11/2011 à 19h30. J'ai donc collé un rond de 2 cm de diamètre sur ma fenêtre et j'ai du m'éloigner de 1,50 m de la fenêtre pour qu'il apparaisse de la même taille que la Lune.

J'en déduis donc que le diamètre apparent de la Lune est de :

α = Artan(2 / 150) = 0,76°

J'ai rententé l'expérience le 10/11/2011 à 19h00. Cette fois ci j'ai demandé à ma femme de faire la mesure. Elle s'est reculée de 1,76m de la fenêtre pour que la Lune lui apparaisse dela même taille que le rond collé à la fenêtre. Cette nouvelle mesure nous fait un angle de :

  α = Artan(2 / 176) = 0,.65°.

Il  faut savoir qu'en réalité, ces 09 et 10 novembre 2011, la Lune était à 405000 Km de la Terre. Comme sa taille est en réalité de 3474 km, le véritable angle est de :

 α = Artan(3474/405000)= 0,49°

 

Je vous invite à faire ce test pour voir si vous arriverez à un meilleur résultat que moi.

 

 

Méthode 2 :Chambre noire et trigonométrie.

La première méthode que nous avons vu est assez subjective : comment savoir que la taille du confetti et celle de la lune sont exactes ? Il s'agit en effet d'un jugement qui peut très bien changer d'un individu à un autre et la précision n'est pas vraiment au rendez-vous.

Il existe une solution équivalente qui ne souffre d'aucune interprétation subjective :  

La chambre noire.

Pour cela, nous allons reprendre les expériences effectuées par RPI Roumagne et nous en servir pour calculer ce fameux angle.

 

Qu'est-ce qu'une chambre noire ?

Le principe de la chambre noire, c'est de percer un petit trou (le sténopé) sur une plaque noire. Les rayons lumineux traversant cette plaque par ce petit trou iront créer une image inversée sur une feuille de papier placée de l'autre côté du trou. On dit que ce principe fut inventé par Leonard de Vinci, mais on sait qu'à son époque, Aristote l'avait déjà évoqué. On peut donc imaginer de créer une chambre noire en utilisant un tube. D'un côté le sténopé, et de l'autre côté une feuille de papier millimétré qui permettra de mesurer la taille de l'image.On peut ainsi observer la pleine Lune ou le Soleil. Comme ils ont le même diamètre apparent, l'étude du Soleil nous suffira pour définir le diamètre apparent des deux :

 

chambre-noire.PNG

Ainsi, huit chambres noires en tube de longueur différentes ont été réalisées et des photos de l'image du Soleil sur leurs papiers millimétrés respectifs ont été prises :

 

 

 

 

 

 

experience chambre noire

 

La moyenne de ces 8 mesures nous donne un diamètre apparent de 0,565°

 

Méthode 3 :Le déplacement de la Lune.

On sait que la Lune revient à la même position par rapport aux étoiles dans le ciel tous les 29,5 jours en moyenne. En 29,5 jours (soit 708 heures), elle fait donc un tour complet (apparent) de la Terre, soit un cercle de 360° dans notre ciel. Ce qui nous fait une progression de 0,5085° par heure par rapport aux étoiles.

 

Donc, si on attend qu’une étoile brillant soit très proche de la Lune, et qu'on déclenche le chronomètre, au bout d’une heure, l’étoile se sera déplacée de 0,5085° par rapport à la lune, elle se sera déplacée de 1,017° au bout de 2 heures etc... (en fait c'est la Lune qui a bougé, bien entendu !).

Au bout d'une heure, on observe le déplacement de la Lune par rapport à l’étoile. Il suffit ensuite d’estimer quel pourcentage du diamètre de la Lune ces 0,5085° représentent, et le tour est joué !

 

Malheureusement pour Aristarque, il ne disposait que de ses yeux et n’avait ni télescope, ni ordinateur, ni Photoshop pour effectuer ses calculs. Il n’est donc pas étonnant qu’il ait trouvé une valeur quatre fois trop grande !

 

Heureusement pour nous, ce n’est pas notre cas, et des sites comme celui de l'Association Réunionnaise  d'Etude du Ciel Austral a déjà fait le travail pour nous :

deplacement lune

Cette photo nous montre un petit montage réalisé à partir de leurs photographies, montrant le déplacement de la Lune par rapport à une étoile en 1 heure. Cette étoile, de magnitude 3,2, est l'étoile Phi Sagittarii, de la constellation du Sagittaire.

 

En mesurant le diamètre de la Lune, et la distance entre l'étoile de l'image 1 et celle de l'image 5, on voit qu’en une heure, l’étoile s’est déplacée d’environ 0,82 fois le diamètre de la Lune.

 

Donc, si le déplacement de 0,5085° correspond à 0,82 fois le diamètre de la Lune, alors le diamètre apparent de la Lune est de 0,62°.

 

Nous sommes un peu au dessus de la réalité (le diamètre apparent moyen de la Lune est de l'ordre de 0,52°).

 

 Remarque :

Cette différence vient du fait que le déplacement de 0,5085° par heure est une moyenne et que la vitesse apparente de la Lune par rapport aux étoiles varie de près de 29% entre l'apogée et le périgée de la Lune (nous aurons l'explication lorsque Kepler aura énoncé ses lois dans quelques siècles...)

Le 30 mars 2008, la Lune était à près de 400000 Km de la Terre et proche de son Apogée (cf calendrier  lunaire de ce jour), ce qui fait que sa vitesse angulaire était certainement plus faible que la vitesse angulaire moyenne.

Mais ceci nous donne une valeur assez approchée : nous pouvons être fiers de nous !

 

Méthode 4 possible :  Les signes du zodiaque

Si l'hypothèse d'Aristarque fait référence aux signes du zodiaque (pourquoi n'a-t-il pas dit en effet, comme pour d'autres proposition "Le diamètre de la Lune est de un quarante-cinquième du quart de la circonférence" ?), c'est que peut-être il a véritablement utilisé les constellations du zodiaque pour mesurer le diamètre apparent de la Lune. Pour cela, la méthode est un peu archaïque, mais peut fonctionner :

On dessine une constellation du zodiaque avec un maximum d'étoiles et on dessine la Lune lorsqu'elle la traverse en essayant de garder les proportions. Ensuite, il ne reste plus qu'à mesurer sur notre dessin la distance entre les deux étoiles les plus éloignées de notre constellation (30° à peu près) et de mesurer la taille de la Lune. Il aurait donc ainsi pu calculer que sur son dessin, le diamètre de la Lune était 15 fois plus petit que la distance des deux étoiles les plus éloignées de la constellation. Cette méthode très imprécise pourrait expliquer pourquoi il a trouvé une valeur quatre fois trop grande.

 

Hypothèse 2 :

- La largeur de l'ombre est de deux Lunes : En clair, au niveau de l'orbite de la Lune, le cône d'ombre formé par la Terre est large de deux fois le diamètre de la Lune.

 

Ici aussi, deux hypothèses s'affrontent sur la manière dont Aristarque s'y est pris. Les deux techniques se basent sur l'observation des éclipses de Lune.

 

Méthode 1 : l'observation de l'ombre sur la Lune

C'est une méthode très visuelle qui consiste tout simplement à imaginer, à partir de la courbure de l'ombre sur la Lune, quelle est la taille du cercle d'ombre. Ce calcul peut se faire à partir d'un dessin (c'est certainement ce qu'a pu fait Aristarque) ou à partir d'une photographie (c'est ce que nous allons faire), C'est bien entendu la méthode la plus connue :

Taille de la Lune

 

En prenant plusieurs points sur la limite d'ombre de la Lune lors d'une éclipse de Lune, on peut créer des segments.

Si on dessine ensuite la médiatrice de chacun de ces segments (la médiatrice passe par le milieu du segment et en est perpendiculaire), on voit qu'elles se coupent toutes en un seul point.

Ce point, c'est le centre du cercle passant par toutes les extrémités de nos segments. Ce cercle, c'est donc l'ombre de la Terre !!!

En répétant l'opération sur le disque Lunaire, on peut aussi définir le centre de la Lune.

On peut donc tracer deux rayons : Celui de la Lune (en rouge) et celui de l'ombre de la Terre (en bleu).

 

Avec le dessin ci-dessus, nous arrivons à un rapport Taille de l'ombre / Taille de la Lune de 2,4.

Le rapport est en fait de 2,65 : nous n'en sommes pas loin du tout !

 

  Méthode 2 : le temps maximal de la Phase d'ombre pendant l'éclipse de Lune.

Comme nous connaissons maintenant le diamètre apparent de la Lune (en degrés) et sa vitesse de révolution autour de la Terre, alors, si nous connaissons le temps maximal d'une éclipse, nous pourrons en déduire le diamètre apparent de l'ombre et donc le rapport entre les deux !

 

Selon certaines sources, Aristarque aurait trouvé que la plus grande période d'ombre durant une éclipse de Lune était de 3 heures (il est en fait de 107 minutes soit 1,783 heures).

Comme la période d'ombre commence lorsque le bord haut (sur la figure ci-dessous) entre dans le cône et finit lorsque c'est le bord du bas qui sort du cône, alors la taille de l'ombre est de :

Ombre et lune 3

 

 

Diamètre de la lune + 3 * distance parcourue par la lune en 1 heure = 2° + 3 * 0,5085° = 3,5255°, soit presque 1,8 fois la taille de la Lune, proche des 2 fois trouvées par Aristarque.

   

Avec les données que nous avons précédemment calculées, nous aurions :

Diamètre de la lune + 1,783 * distance parcourue par la lune en 1 heure = 0,62 + 1,783 * 0,5085 = 1,5266 soit 2,46 fois la taille de la Lune

 

   

 

Hypothèse 3 :

- Comme lors des éclipses de Soleil la Lune masque exactement le Soleil, alors ils ont le même diamètre apparent.

Je pense que cette hypothèse n'a même pas besoin d'explication, car nous l'avons appliquée précédemment avec notre pièce de monnaie pour calculer le diamètre apparent de la Lune !

 

 

 


Le premier verdict 


 

A partir de ces 3 hypothèses de départ que je vous rappelle :

  • Le diamètre apparent de la Lune est de un quinzième d'un signe du Zodiaque.

  • L’ombre de la Terre est deux fois le diamètre de la Lune

  • Comme lors des éclipses de Soleil la Lune masque exactement le Soleil, alors ils ont le même diamètre apparent

Aristarque en déduisit que :

 

La Terre est 3 fois plus grosse que la Lune

 

Voici comment il s'y est pris, et contrairement à beaucoup de choses qu'on peut lire à droite et à gauche, Aristarque avait bien compris que l'ombre de la Terre était un cône et non un cylindre !

 

Il créa donc un schéma géométrique avec Le Soleil, La terre, l'ombre de la Terre et l'orbite de la Lune :

Ombre et lune 2

L'hypothèse de départ est que le sommet du cône d'ombre fait un angle α.

 

On voit que cet angle α se retrouve à plein d'endroits si on trace les parallèles (en bleu pointillé) passant par le sommet du Soleil, le sommet de la Terre et le sommet du cône d'ombre au niveau de l'orbite de la Lune.

 

Aristarque dessina les deux triangles rouges et, Thales ayant déjà sévi à l'époque (625-547 Avant JC), il put appliquer son théorème :

 

Diamètre du Soleil – Diamètre de la Terre          Diamètre de la Terre – Diamètre du cône d'ombre

      -------------------------------------------              =    ------------------------------------------------------

                  Distance Terre Soleil                                           Distance Terre Lune

 

Comme le Soleil est considéré très grand par rapport à la Terre, on peut dire que :

 

Diamètre du Soleil – Diamètre de la Terre ≈ Diamètre du Soleil

 

 

Or, comme le Soleil et la Lune ont le même diamètre apparent (hypothèse n°3), on a donc :

 

   Diamètre du Soleil            Diamètre de la Lune

----------------------- = --------------------------

 Distance Terre Soleil          Distance Terre Lune

 

Ce qui nous donne au final :

 

Diamètre de la Lune = Diamètre de la Terre – Diamètre du cône d'ombre

 

Comme nous avons vu juste avant que le diamètre du cône d'ombre = 2 * Diamètre de la Lune, Aristarque en conclut que

 

Diamètre de la Lune = Diamètre de la Terre / 3

 

 

De notre côté, avec nos propres calculs, nous trouvons :

 

Diamètre de la Lune = Diamètre de la Terre / 3,46

 

 

Sachant qu'en réalité, le rapport est de 3,66,ni nous, ni Aristarque ne sommes tombés très loin de la vérité. Donc félicitations à nous deux, et surtout à lui !

   

Par contre, nous ne sommes toujours pas avancés... car si nous connaissons le rapport de dimension entre la Terre et la Lune, nous ne connaissons toujours pas leur taille... c'est un peu frustrant tout de même !!!!

 

Aristarque ne s'arrêta pas en si bon chemin, et il était sur le point de découvrir d'autres rapports de distances.

Certes, ce n'est qu'un début, mais notre liste de choses à découvrir commence enfin à se remplir !!!

   


Maintenant, nous savons

 

- Quelle est la Taille de la Lune ?

Pour Aristarque 1/3 de la Taille de la Terre

Pour Nous 1/3,46 de la Taille de la Terre (5,6% d'erreur ! Pas mal !!!)

En réalité 1/3,66 de la Taille de la Terre

 

Maintenant que nous connaissons le diamètre de le Lune (relativement à celui de la Terre, mais c'est déjà un début), il est naturel qu'Aristarque ait essayé de savoir à quelle distance elle était.

 

Le calcul des distances dans l'antiquité : La distance de la Lune

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commentaires

patrick 18/07/2016 17:36

bonjour,
j'ai été très intéressé par votre site, mais une affirmation sur le calcul du diamètre de la lune par Aristarque, m'étonne.
d'après son traité, traduit par Fortia D’Urban,Aristarque n'utilise pas directement une éclipse de lune.
Dans la proposition 18 il utilise le rapport du diamètre du soleil par rapport à celui de la terre
et le rapport du diamètre du soleil par rapport à celui de la lune

Ce qui est curieux c'est que j'ai moi aussi toujours entendu dire qu'Aristarque utilisait une éclipse de lune pour calculer le diamètre de la lune en fonction de celui de la terre.
patrick

astronomie-smartsmur 18/07/2016 20:21

Bonjour Patrick et merci pour votre commentaire
En fait, dans le traité d'Aristarque, les propositions (et donc la proposition 18) sont issues du résultat de ses calculs, toutes basées sur les seuls 5 hypothèses de départs énoncés en page 5 du traité.
Il en déduit ensuite pas des schémas (que j'ai essayé d'expliquer dans les différents chapitres consacrés à Aristarque) des encadrements des différentes distances et tailles, et donc celles de la proposition 18, qui découle des propositions précédentes, toutes déduites (de manière plus ou moins compliquée, bien entendu !!) des 5 hypothèses de base.
La cinquième hypothèse en page 5 "La largeur de l'ombre est de deux Lunes" sous entend très fortement qu'il a observé une éclipse de Lune pour la calculer, mais cela n'est pas explicitement écrit car il existe d'autres moyens de le déduire.
J'espère que ma réponse vous éclaire, sinon, n'hésitez pas à me le dire !

bo 04/10/2014 12:12

Lors de l'observation de la position de la lunes par rapport aux étoiles il faut aussi tenir compte du mouvement apparent des étoiles dans le ciel qui est de (360/24)=15°/h.
Le mouvement apparent de la lune devient donc négligeable...

astronomie-smartsmur 04/10/2014 15:07

Bonjour bo. Le mouvement apparent des étroites de 15º est du à la rotation de la Terre. Elle affecte donc tous les objets (soleil, Lune, étoiles...). De fait, si la Lune ne tournait pas autour de la Terre, elle ferait tout de même un tour complet (apparent) de notre ciel en 24h. La différence est dû à la révolution de la Lune autour de la Terre qui fait que la Lune ne tourne pas exactement avec les étoiles (c'est ce que nous avons calculé). En revanche, les étoiles ont un autre mouvement que nous avons négligé puisqu'elles font aussi un tour complet de notre ciel en 1 an du fait de la révolution de la Terre. Cela représente un déplacement de 360/24/365,25 soit 0,04º par heure.
Je vais modifier ce chapitre pour ajouter ces 0,04º d'imprécision dans le calcul.

Clovis Simard 03/01/2014 13:18

LA TROISIÈME LOI DE NEWTON ET LE FERMATON.fermaton.overblog.com