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17 octobre 2013 4 17 /10 /octobre /2013 00:00

Nous sommes vers l'an 1600. Tycho Brahe est en fin de vie et grâce à de nombreuses observations qu'il a réalisées avec des instruments de sa fabrication, il possède maintenant un nombre conséquent de données à analyser.

Il avait remarqué que le déplacement de Mars ne correspondait pas exactement au modèle géo-Héliocentrique qu'il avait inventé, ni d'ailleurs au modèle de Copernic et aux distances qu'il avait calculées. Il ne parvenait pas à trouver le modèle qui expliquerait précisément son déplacement.

D'ailleurs, c'était un des principaux problèmes du modèle de Coprenic : en plus d'être révolutionnaire, il n'était pas plus précis que celui de Ptolémée.

Il confia cette tâche au jeune Kepler qui était très doué, mais fervent partisan de la théorie héliocentrique, ce qui n'était pas vraiment au goût de Brahe.

 

Il ne fallut pas moins de 6 ans à Kepler pour analyser ces données et surtout les faire parler. Bien évidemment, nous allons vous présenter sa démarche globale, mais ses calculs furent beaucoup plus complexes et plus nombreux.

 

Il faut avant tout savoir que les planètes sont assez faciles à suivre dans le ciel, car elles se déplacent toutes à peu de choses près sur le même plan : l'écliptique. L'écliptique étant vu par la tranche depuis la Terre (étant donné qu'elle en fait partie), il apparait donc comme une ligne dans notre ciel.

 

Ainsi, pour identifier l'emplacement d'une planète, il n'est pas nécessaire de connaître les deux coordonnées habituelles (l'ascension droite et la déclinaison) mais simplement une distance par rapport à un point de référence sur l'écliptique.

Ce point de référence est défini et connu officiellement : il s'appelle le point vernal. C'est l'endroit sur l'écliptique où se trouve le Soleil à l'équinoxe de printemps, c'est à dire le 21 mars.

L'angle qui sépare le point vernal de la planète s'appelle la Longitude géocentrique écliptique.

 

Ainsi, une planète se trouvant sur le point vernal aura une longitude géocentrique écliptique de 0°, si elle se trouve à 15° à gauche du point vernal sur l'écliptique, elle aura une longitude géocentrique écliptique de 15°, si elle se trouve à 15° à droite, elle aura une longitude géocentrique écliptique de 345° (soit 360° - 15°), etc...

 

Brahe avait noté les coordonnées de Mars et du Soleil en longitude géocentrique écliptique pendant de nombreuses années. C'est donc ces coordonnées que Kepler a eu à sa disposition pour les analyser.

Après avoir mesuré la durée de la période synodique de Mars et déduit sa période de révolution, il comprit que s'il arrivait à trouver des coordonnées de Mars espacées de 687 jours, il pourrait faire de la triangulation et trouver la position de Mars sur son orbite à ce jour et connaître sa distance.

Si en plus il pouvait trouver dans les archives de Tycho Brahe plusieurs relevés espacés de 687 jours, alors il aurait même plusieurs points de l'orbite de Mars et pourrait peut-être tracer le cercle passant par tous ces points et regarder si quelque chose ne pose pas problème et si le modèle de Brahe ou de Copernic étaient bons.

 

Dix dates dans les archives de Brahé ont alors retenu son attention.

Nous y trouvons : La date, le jour Julien (nombre de jours écoulés depuis le 1er Janvier -4713. Ce nombre est intéressant pour calculer facilement le nombre de jours entre deux dates), la longitude héliocentrique écliptique du Soleil et de celle de Mars.

Je vous ai ajouté une donnée supplémentaire: la différence des deux longitudes, qui nous donne l'angle Soleil-Mars car nous allons nous en servir,

 

Date Longitude du Soleil Longitude de Mars Jour Julien Angle Mars-Soleil
17 février 1585 339,38° 135,2° 2300016 204,18°
10 mars 1585 359,68° 131,8° 2300037 227,88°
05 janvier 1587 295,35° 182,13° 2300703 113,22°
26 janvier 1587 316,1° 184,7° 2300724 131,4°
28 mars 1587 16,83° 168,2° 2300785 208,63°
12 février 1589 333,7° 218,8° 2301472 114,9°
19 septembre 1591 185,78° 284,3° 2302421 261,48°
06 Août 1593 143,43° 346,93° 2303108 156,5°
07 décembre 1593 265,88° 3,07° 2303231 262,81°
25 Octobre 1595 221,7° 49,7° 2303918 172°

    

Rappelez-vous la définition de la période synodique de Mars : C'est la période au bout de laquelle l'angle Soleil-Terre-Mars est identique.

 

Dans notre liste, nous remarquons que certaines dates ont des angles Mars – Soleil presque identiques :

17 février 1585 (204,18°) et le 28 mars 1587 (208,63°) => 769 jours

05 janvier 1587 (113,22°) et le 12 février 1589 (114,9°) => 769 jours

19 septembre 1591 (261,48°) et le 07 décembre 1593 (262,81°) => 810 jours

 

Bien évidemment, entre ces couples de dates, la différence d'angle n'est pas exactement à zéro, mais  Kepler a pu facilement obtenir des couples de dates beaucoup plus précises, en faire une moyenne pour lisser les écarts et arriver à calculer la période synodique de Mars, et par là même sa période de révolution.

Nous voyons qu'avec nos trois couples de mesures, la période synodique de Mars se site aux alentours de 790 jours. Kepler trouva la bonne valeur de la période synodique de Mars de 780 jours et en déduit la période de révolution de Mars de 687 jours.

 

Kepler trouva ensuite que dans cette liste de relevés, deux étaient séparés exactement de 687 jours :

 

Les relevés

Du 17/02/1585 avec une longitude du Soleil de 339,38° et une longitude de Mars de 135,20°

et

Du 05/01/1587 avec une longitude du Soleil de 295,35° et une longitude de Mars de 182,13°

 

Je vous propose donc de faire graphiquement ce qu'à reproduit Kepler. Pour cela, nous n'avons qu'à prendre une feuille de papier...

 

Au centre de la feuille, on place le Soleil. On y trace une grande flèche vers la droite qui correspondra à notre direction de référence : Le point vernal.

 

On trace un cercle noir qui correspond à l'orbite de la Terre. Voilà, notre base est posée, il ne reste plus qu'à utiliser les relevés de Brahe :

  • Une longitude géocentrique écliptique de 339,38° signifie que les Soleil était à 20,62° à droite du point vernal sur l'écliptique (20,62° = 360° - 339,38°). Il existe une infinité d'endroits ou l'angle entre le Soleil et le point vernal est de 20,62°. Tous ces endroits sont en fait sur une demi droite ayant le Soleil pour extrémité et faisant un angle de 20,62° avec la direction du point Vernal. En traçant cette demi droite, on voit qu'elle coupe le cercle d'orbite de la Terre en un point. Ce point, c'est l'emplacement de la Terre au 17/02/1585 !
  • Il ne suffit plus que de répéter l'opération pour la date du 05/01/1587 et nous trouverons alors le deuxième point d'emplacement de la Terre.
  • Pour l'emplacement de Mars, nous savons qu'au 17/02/1585, mars était à gauche du point vernal et faisait avec lui un angle de 135,20°. Comme précédemment, il existe une infinité d'endroit où Mars peut être vu avec un tel angle depuis la Terre. Cette infinité d'endroits est situé sur une droite demi-droite.
  • En revanche, il n'existe qu'un seul point qui fasse à la fois un angle de 135,2° avec l'emplacement de la Terre au 17/02/1587 et un angle de 182,13° avec l'emplacement de la Terre au 05/01/1587, Ce point, c'est tout simplement l'intersection des deux droites.

Orbite-de-Mars.PNGPour la première fois, Kepler eut une idée visuelle de l'emplacement de Mars et de son éloignement. autrement que par la méthode de Copernic. Sur ce tracé, Mars est à peu près 1,7 fois plus éloignée du Soleil que la Terre. Il trouva ce chiffre étonnant car Copernic avait estimé la distance Soleil-Mars à 1,82 UA.

 

Mais l'objectif de Kepler n'était pas de calculer la distance de Mars. Il était bien plus intéressé par autre chose : la trajectoire de Mars.

Pour définir une trajectoire, il faut avoir plusieurs points et pour l'instant, Kepler n'en avait qu'un seul, Il rechercha dans ses données si d'autres relevés de Brahe n'étaient pas espacés d'exactement 687 jours... et il trouva quatre autres couples de dates :

 

-Le 10/03/1585 avec une longitude du Soleil de 359,68° et une longitude de Mars de 131,80°

et

-Le 26/01/1587 soit 687 jours plus tard avec une longitude du Soleil de 316,10° et une longitude de Mars de 184,7°

 

-Le 28/03/1587 avec une longitude du Soleil de 16,83° et une longitude de Mars de 168,2°

et

- Le 12/02/1589 soit 687 jours plus tard avec une longitude du Soleil de 333,7° et une longitude de Mars de 218,8°

 

- Le 19/09/1591 avec une longitude du Soleil de 185,78° et une longitude de Mars de 284,3°

et

- Le 06/08/1593 soit 687 jours plus tard avec une longitude du Soleil de 143,43° et une longitude de Mars de 346,93°

 

- Le 07/12/1593 avec une longitude du Soleil de 265,88° et une longitude de Mars de 3,07°

et

- Le 25/10/1595 soit 687 jours plus tard avec une longitude du Soleil de 221,7° et une longitude de Mars de 49,7°

 

Il suivi donc exactement le même principe pour les quatre autres positions de Mars et pu donc les placer sur sa figure.

Il fut tout d'abord surpris car la position de Mars au 19/09/1591 avait un éloignement de 1,38 UA. Comparé aux 1,82 UA de Copernic, cela faisait une différence de plus 30% ! Il chercha enfin à dessiner un cercle qui passait par ces 5 positions de Mars... Le résultat fut surprenant :

Orbite de Mars kepler

Il constata que le cercle passant par l'ensemble des positions de Mars n'était pas centré sur le Soleil mais sur un autre endroit (croix) assez éloignée du Soleil. Ceci expliquait donc les écarts entre les observations et le modèle de Brahé, mais ne nous donnait pas pour autant le nouveau modèle.

 

Comme Kepler s'était intéressé de très près à l'optique en étudiant l'orbite de Mars (il avait en effet du corriger certaines données de Brahe en prenant en compte la réfraction de l'atmosphère), les paraboles et autres ellipses n'avaient plus de secret pour lui.

Il savait donc que lorsque son excentricité est très faible, une ellipse est très proche d'un cercle donc le centre serait décentré. Il reconnut donc dans ce cercle qui n'était pas centré sur le Soleil, la signature d'une ellipse, et il put donc se focaliser sur cette piste.

 

Quelques temps après, naissait la première loi de Kepler :

 

Les planètes décrivent une ellipse dont le Soleil occupe un des foyers.

 

Cette fameuse loi des ellipses permettait non seulement d'expliquer l'orbite de Mars, mais aussi celle de Mercure sans avoir besoin des épicycles de Copernic.

Grâce à ce nouveau modèle, il fut capable pour la première fois de prédire un transit de mercure (passage devant le Soleil) pour l'année 1631 avec une remarquable précision, Malheureusement pour lui, il mourut en 1630, avant que l'observation n'ait pu confirmer ses calculs.

 

Kepler ne voulait pas s'arrêter en si bon chemin. Il remarqua que la vitesse de déplacement de Mars n'était pas constante sur l'ensemble de son orbite.

D'ailleurs, à partir des 5 points de l'orbite de Mars que nous avons calculé, nous pouvons faire le calcul suivant :

 

Entre le point du 17/02/1585 (jour 2300016) et le point du 10/03/1585 (jour 2300037), il s'est écoulé 21 jours. Pendant ces 21 jours, on calcule (avec un logiciel de géométrie ou au rapporteur) que Mars s'est déplacée d'un angle de 8,92° par rapport au Soleil. Ce qui fait un déplacement moyen de 0,4247° par jour.

 

Entre le point du 10/03/1585 (jour 2300037) et le point du 28/03/1588 (jour 2300785), il s'est écoulé 748 jours, soient 687 + 61 jours, c'est à dire un tour complet plus 61 jours. Pendant ces 61 jours, on calcule que Mars s'est déplacé d'un angle de 27,13° par rapport au Soleil. Ce qui fait un déplacement moyen de 0,4447° par jour.

 

Entre le point du 28/03/1588 (jour 2300785) et le point du 19/09/1591 (jour 2302421), il s'est écoulé 1636 jours, soient 687*2 + 262 jours, c'est à dire deux tours complets plus 262 jours. Pendant ces 262 jours, on calcule que Mars s'est déplacé d'un angle de 144,87° par rapport au Soleil. Ce qui fait un déplacement moyen de 0,5529° par jour.

 

Entre le point du 19/09/1591 (jour 2302421) et le point du 07/12/1593 (jour 2303231), il s'est écoulé 810 jours, soient 687 + 123 jours, c'est à dire un tour complet plus 123 jours. Pendant ces 123 jours, on calcule que Mars s'est déplacé d'un angle de 74,26° par rapport au Soleil. Ce qui fait un déplacement moyen de 0,60° par jour.

 

Enfin, entre le point du 07/12/1593 (jour 2303231) et le 17/02/1585 (jour 2300016), nous devons remonter un peu le temps...

Le 07/12/1593 (jour 2303231), Mars était au même endroit que 687 jours plus tôt soit au jour 2302544, et qu'encore 687 jours plus tôt, soit au jour 2301857 et qu'encore 687 jours plus tôt, soit au jour 2301170, et qu'encore 687 jours plus tôt, soit au jour 2300483 et qu'encore 687 jours plus tôt, soit au jour 2299796...

et le jour 2299796 était exactement 220 jours avant le 17/02/1585 (jour 2300016). Pendant ces 220 jours, on calcule que Mars s'est déplacé d'un angle de 104,81° par rapport au Soleil. Ce qui fait un déplacement moyen de 0,4764° par jour.

 

Mettons tout cela en graphique, et nous obtenons ceci :

Deuxieme-loi-de-Kepler.PNG

On y voit bien que plus Mars est proche du Soleil (vers les droite) et plus elle se déplace rapidement. En revanche, plus Mars est loin du Soleil, et plus elle se déplace lentement. Kepler voulait absolument associer une formule à cette constatation et il eut l'intuition que finalement, la vitesse changeait, mais que l'aire balayée par le rayon de l'orbite de la planète était finalement égale. En partant de ce principe, il s'aperçut que les observations correspondaient à cette théorie et il put donc énoncer sa deuxième loi schématisée par le dessin des deux aires à droite du dernier graphique :

 

Le segment reliant le Soleil à une planète balaye des aires égales en des temps égaux

 

Cette deuxième loi était très importante car elle ouvrait la voie à d'autres théories :

  • On pouvait mieux comprendre la trajectoire des comètes

  • Le fait que les corps accélèrent en s'approchant du Soleil, donnait une première indication sur le fait qu'une force provenant du Soleil, accélérait les planètes... Il pensa à une force électromagnétique, mais c'est cette idée de force qui fit son chemin, jusqu'à un certain Newton...

Il ne restait plus qu'à prouver que le modèle de Ptolémée était faux... C'est ce que nous allons voir dans le prochain chapitre :

 

LE CALCUL DES DISTANCES DANS LE GRAND SIECLE : LE COUP DE GRÂCE DE GALLILEE

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commentaires

LionelB 18/02/2016 15:38

Félicitation pour ce très beau travail de compilation et de pédagogie.
Peut-être pourrez-vous m'aider pour ce qui suit:
Les mesures de Tycho B. sont réputées être précises à la minute d'arc. Pour une période de révolution d'environ 687 jours, Mars se déplace de 1.3'/j. Képler avait-il bien connaissance de l'heure des observations? De même, la période de révolution était-elle connue par Képler à l'heure près (c'est à dire mieux que le dixième de jour)?
Merci

astronomie-smartsmur 22/02/2016 01:45

Bonjour LionelB et merci pour ce commentaire qui fait plaisir !

Pour répondre à votre question, il faut se remettre dans le contexte de l'époque...
Du temps de Brahe et de Kepler, le modèle géocentrique était le seul modèle accepté.
On était capable facilement à l'époque de connaitre la position dans le ciel de Mars et de savoir au bout de combien de temps elle revient exactement au même endroit : On savait que ce temps était de 780 jours.

Dans le modèle géocentrique, il s'agissait de la période de révolution de Mars, mais dans le modèle héliocentrique, il s'agissait de sa période synodique.

Grâce au modèle de Copernic, on pouvait déduire la période de révolution à partir de la période synodique.

Avec une période synodique de 780 jours, mars se déplace dans le ciel à la moyenne de 1,15' par heure (il s'agit d'une moyenne bien sur puisqu'il est bien connu que Mars n'a pas un mouvement apparent uniforme)

Brahe avait noté jusqu'à la minute d'observation dans chacun de ses relevés. On retrouve d'ailleurs l'ensemble de ces relevés dans l'Astronomia Nova de kepler :

http://www.e-rara.ch/zut/content/structure/162514

On pouvait grâce à ces relevés calculer très précisément la période de révolution de Mars, ainsi que sa trajectoire... et de découvrir qu'elle n'était pas circulaire.

Encore merci pour ce gentil commentaire !!