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22 octobre 2013 2 22 /10 /octobre /2013 00:00

50 ans après Eratosthène, Hipparque allait révolutionner les mathématiques en posant les bases de la trigonométrie. Il s'essaya aussi à calculer la distance Terre – Lune en utilisant une autre méthode que celle qu'Aristarque avait utilisée quelques années auparavant. C'est ce calcul d'une simplicité et d'une efficacité déconcertante que nous allons regarder dans ce chapitre.

Pour cela, Hipparque est parti de deux hypothèses :

 

Hypothèse 1 :

Le diamètre apparent du Soleil est de 0,5° (contre 2° par son prédécesseur Aristarque).

 

Hypothèse 2 :

La durée maximale du passage de la Lune dans le cône d'ombre de la Terre est de 2h30mn.

 

Explication de l'hypothèse 2 :

Pour calculer la durée maximale du passage de la Lune dans le cône d'ombre de la Terre, il faut attendre et observer une éclipse de Lune. Ensuite, il faut démarrer le chronomètre au moment où la première partie de la Lune entre dans l'ombre et l'arrêter au moment où la première partie en sort. On peut aussi le faire en démarrant le chronomètre au moment où la dernière partie de la Lune entre dans l'ombre et l'arrêter au moment où la dernière partie en sort.

Avec cette méthode, entre le démarrage et l'arrêt du chronomètre, la Lune aura parcouru exactement une distance égale au diamètre du cône d'ombre.

Bien entendu, pour que cela soit fiable, il faut trouver une éclipse où la Lune passe exactement au milieu du cône d'ombre. Il faut donc trouver l'éclipse de Lune la plus longue possible.

 

Analysons l'une des plus longues éclipses de siècle, celle du 15 juin 2011. Les données sur cette éclipse sont les suivantes :

 

- Premier point de contact avec la pénombre : 17h23

- Premier point de contact avec l'ombre : 18h23

- Début de la totalité : 19h22

- Fin de la totalité: 21h03

- Dernier point de contact avec l'ombre : 22h03

- Dernier point de contact avec la pénombre : 23h02

 

Pour calculer le temps de traversée de l'ombre, il faut prendre :

 

Fin de la totalité - Premier point de contact avec l'ombre = 21h03 – 18h23 = 2h40mn

Ou bien

Dernier point de contact avec l'ombre - Début de la totalité = 22h03 – 19h22 = 2h41mn

 

On est donc très proche des 2h30 calculés par Hipparque.

 

Partant de ces deux hypothèses, Hipparque dessine alors la figure ci-dessous.

Hipparque-copie-1.PNGOn y voit le Soleil à droite en jaune, la Terre au milieu, en bleu entourée de l'orbite de la Lune, et le cône d'ombre à gauche.

Soit C le centre de la Terre, L le point de contact entre l'orbite de la Lune et le cône d'ombre, et T le point de la Terre à l'extrémité du cône d'ombre.

Naturellement, on a CT = Rayon de la Terre et CL = distance Terre-Lune. Comme CTL est un angle droit, on a donc une relation trigonométrique entre CL et CT :

 

cos(δ)= CT / CL = Rayon de la Terre / Distance Terre-Lune

 

Donc, si on trouve la valeur de l'angle δ, alors on connaîtra la distance Terre-Lune !

C'est aussi simple que ça !

 

Si on se concentre sur la moitié haute du dessin d'Hipparque (au dessus de la ligne en pointillé), on voit que :

 

β/2 + δ + γ + α/2 = 180°

Donc, on a

 

δ = 180° - γ – α/2 – β/2

 

Il nous faut donc trouver la valeur des angles α, β et γ pour trouver l'angle δ.

 

Que sait-on de l'angle α ?

C'est simple, α est le diamètre apparent du Soleil, on a dit qu'il était de 0,5°

 

Que sait-on de l'angle β ?

β est l'angle que fait l'ombre de la Terre au niveau de l'orbite de la Lune.

Nous avons vu que la Lune met 2h30 pour traverser cette ombre. On sait aussi que la Lune fait un tour complet du ciel depuis la Terre (360°) en 29,5 jours, soient 708 heures. En appliquant une règle de trois, on en déduit donc que l'angle de l'ombre est de (360/708)*2,5 = 1,27°

 

Plus qu'un seul angle à calculer et on connaîtra la distance de la Lune !!!

 

Que sait-on de l'angle γ ?

γ est en fait lié à la variation d'angle sous lequel on verrait un point du Soleil depuis le centre de la Terre et depuis le pôle. En effet, on a :

γ = 90° - variation d'angle

 Cette variation d'angle, c'est ce qu'on appelle la parallaxe du Soleil. Dit autrement, c'est l'angle sous lequel on voit le rayon de la Terre depuis le Soleil. Ce n'est pas bien grand en réalité puis que c'est de l'ordre de 0,0025° (9'' d'arc) de telle sorte que γ vaut 89,9975° en réalité. Le problème, c'est que pour calculer cet angle, il faut connaître le distance du Soleil (qui était inconnu à cette époque).

Hipparque est donc parti d'un principe : Le Soleil est tellement loin de la Terre que depuis le Soleil, la terre est un point, et donc γ vaut 90°. C'était une bonne intuition.

 

 

Maintenant qu'Hipparque a calculé les trois angles, il peut donc en déduire δ :

 

δ = 180° - 90° – 0,5°/2 – 1,27°/2 = 89,115°

 

On a donc au final :

 

Distance Terre-Lune = Rayon de la Terre / cos(89,115) = Rayon de la Terre × 64,74

 

 

En utilisant le rayon de la Terre calculé par Eratosthène de 6366 Km, on obtient donc :

 

Distance Terre-Lune = 412148 Km

 

Je vous laisse apprécier la précision de calcul au regard de la simplicité de la démonstration : décoiffant !

 


Maintenant, nous savons

 

 

- Quelle est la Taille de la Terre ?

Pour Eratostene : 12732 Km de Diamètre

Pour nous :12827 Km

En réalité : 12742 Km de Diamètre

- Quelle est la Taille de la Lune ?

Pour Aristarque 4247 Km de Diamètre

Pour Nous 3682 Km de Diamètre

En réalité 3474 km de Diamètre

- Quelle est la distance Terre - Lune ?

Pour Aristarque : entre 95557 Km et 127410 Km

Pour Nous avec la méthode d'Aristarque : entre 267313 Km et 356417  Km

Pour nous avec la trigonométrie : 340216 Km

Pour Hipparque : 412148 Km

En réalité : 384400 Km

- Quelle est la Distance du Soleil ?

Pour Aristarque : entre 1,7 Millions de Km et 2,5 Millions Km

Avec la méthode d'Aristarque s'il avait pu calculer α = 0.15° : entre 36,5 Millions et 60 Millions de Km

Pour nous : aucune estimation car calculer l'angle α est trop difficile

En réalité : 149,6 Millions de Km

- Quelle est la Taille du Soleil ?

Pour Aristarque : entre 76446 Km et 127410 Km

Avec la méthode d'Aristarque s'il avait pu calculerα = 0.15° : entre 1.6 et 1.7 Millions de Km

Pour nous : aucune estimation car calculer l'angle α est trop difficile

En réalité : 1.392 Millions de Km

 

 

Ce calcul fut véritablement le dernier de l'antiquité. La raison de cette non progression future vous est expliquée dans le prochain chapitre :

 

Le calcul des distances dans l'antiquité : Le début de la fin ou la révolution en marche

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commentaires

albert BLANCHARD 06/05/2017 21:02

Je n'ai pas trouvé les réponses à mes questions .
Merci de me dire comment procéder.

Albert BLANCHARD 06/05/2017 17:31

Suite du mail précédent: j'aimerais vous poser deux questions:
1) Comment fait-on pour savoir en observant une éclipse de lune qu'on est au milieu de l'éclipse?
2) Comment définir la pleine lune car la définition qui en est donnée avec la différence des longitudes écliptiques qui est égale à 180° n'est que rarement vérifiée et dans ce cas pourquoi ne pas utiliser une définition qui consisterait à passer par le maximum de l'angle de phase.En vous remerciant.

Albert Blanchard 06/05/2017 17:21

Je voudrais vous demander pourquoi dans ce paragraphe sur la distance terre lune par Hipparque, le plan formé par les tangentes extérieures communes à la terre et au soleil dont l'un des points contact avec la terre est T sur votre schéma est justement le plan de l'orbite lunaire.
En vous remerciant,