Overblog Suivre ce blog
Administration Créer mon blog
12 octobre 2013 6 12 /10 /octobre /2013 00:00

Grâce au récent calcul de Cassini et au calcul de la distance Terre-Mars lorsque Mars est au plus près de la Terre, on allait enfin pouvoir estimer la distance Terre-Soleil, c'est à dire l'Unité Astronomique !

 

Le dernier calcul effectué pour connaître cette fameuse distance datait du temps d'Aristarque qui l'évaluait entre 18 et 20 fois la distance Terre-Lune, soit entre 7,2 et 8 Millions de Km !

 

Mais en quoi la connaissance de la distance Terre-Mars va-t-elle nous permettre de connaitre la distance Terre - Soleil ?

Si on retrouve les calculs de Copernic, la distance Soleil-Mars était évaluée à 1,82 UA. C'est à dire que la distance Terre-Mars était de 0,82 UA, soit 55 Millions de Km, ce qui nous fait une unité Astronomique de 67 Millions de Km...

 

Mais depuis Copernic, les chose avaient changé et Kepler était passé par là... On savait maintenant que les orbites des planètes ne sont pas des cercles parfaits, mais des ellipses, et on savait donc qu'il fallait prendre en compte ce facteur pour réussir à calculer notre fameuse distance.

 

L'orbite de la Terre était très proche du cercle, mais celle de Mars avait une excentricité plus grande qui devait être prise en compte... Mais au fait... qu'est-ce-que l'excentricité ?

 

L'excentricité de l'orbite de Mars

Nous vous disions dans le chapitre précédent que le calcul de Cassini avait été effectué au moment où Mars était au plus près de la Terre. Kepler avait découvert quelques années auparavant que l'orbite des planètes et plus particulièrement celle de Mars n'était pas exactement un cercle, mais une ellipse.

De ce fait, pour calculer la distance de la Terre avec la meilleure précision possible, il nous faut absolument tenir compte de ce facteur.

Excentricite.PNG

 

Comme vous pouvez le voir sur le dessin ci-contre, une ellipse est la figure qu'on obtient en fixant une corde (verte sur le dessin) à deux clous F1 et F2 (qu'on appelle les foyers de l'ellipse) et en faisant le tour des deux clous avec un crayon, tout en maintenant la corde tendue.

 

La forme obtenue sera plus ou moins elliptique en fonction de deux facteurs :

  • La longueur de la corde

  • L'espacement des deux clous

 

On voit sur la figure que si la corde à une longueur très proche de la distance entre F1 et F2, alors la forme sera très allongée. En revanche, plus la corde aura une grande taille et plus la forme dessinée sera grande et ressemblera presque à un cercle.

Dans le même sens, si on garde la même corde, mais qu'on espace progressivement les deux clous, l'ellipse sera de plus en plus allongée. Si on les resserre, elle deviendra plus ronde jusqu'à devenir un cercle lorsque les deux clous seront tous les deux au même endroit.

 

Ainsi, l'aplatissement de l'ellipse dépend donc du rapport entre l'espacement des deux clous et la longueur de la corde. Ce rapport, c'est l'excentricité !

 

Au pire, la corde ne peut pas être plus courte que la distance des deux clous (sinon on ne peut pas l'attacher !!!). Dans ce cas, l'excentricité est de 1 puisque les deux longueurs sont égales et notre ellipse est un trait tellement elle est aplatie.

Dans l'autre sens, soit la corde devient très très grande, soit l'espacement entre les deux clous devient tout petit, et l'ellipse devient un cercle. Dans ce cas, l'excentricité est de 0.

 

Si on reprend notre définition de l'excentricité on a :

                                                           Espacement entre les deux clous ou foyers

Excentricité =    -----------------------------------------------------------

                                                                            Longueur de la corde

 

Avec sur notre dessin :

  • Distance entre les deux clous = F1F2
  • Longueur de la corde = F1F2 + 2.F1M2 (en effet, la longueur de la corde peut être facilement calculée lorsque les crayon est en M2)

 

Si on ajoute le point C qui est au milieu des deux clous (C est appelé le centre de l'ellipse), on obtient :

  • Distance entre les deux clous = F1F2 = F1C + CF2 = 2.CF1
  • Longueur de la corde = F1C + CF2 + 2.F1M2 = 2.CF1 + 2.F1M2 = 2.CM2

 

Et donc

 

Excentricité = CF1 / CM2

 

Mais revenons à nos moutons... C'est à dire à la planète Mars... Dans sa première loi, Kepler avait énoncé que l'orbite des planètes (et donc celle de Mars) est une ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers.

 

Terre-Mars.PNG

Regardons donc plus précisément les deux orbites de la Terre et de Mars au moment où Mars est le plus proche de la Terre dans le dessin ci-contre.

L'orbite de la Terre est considérée comme étant un cercle et celle de mars comme une ellipse dont le Soleil occupe un foyer, l'autre foyer étant le point F. Le milieu des deux foyers est le point C.

 

Par définition de l'excentricité, nous avons

e = CS / CM

 

Or CM = CS + ST + TM = e.CM + ST + TM et donc

 

CM = (ST + TM) / (1 – e)

 

D'un autre côté, la troisième loi de Keppler nous donne :

ST3/Tt² = CM3/Tm²

avec Tt et Tm les périodes de révolution de la Terre et de Mars, et donc :

 

CM = ST.(Tm/Tt)2/3

 

En remplaç ant CM dans les deux formules, on obtient :

 

ST = TM / ((1-e).(Tm/Tt)2/3-1)

 

Quelle révolution !!! Vous ne vous en rendez peut-être pas encore compte, mais cette formule signifie que si on connaît la distance minimale Terre-Mars, si on connait les périodes de révolution de la Terre et de Mars et si on connaît l'excentricité de l'orbite de Mars, alors on peut connaître la distance Terre-Soleil !!!!... et c'est le cas maintenant !

 

Nous avons en effet toutes ces données et pouvons effectuer ce calcul !

 

Tt = 1 an (la période de révolution de la Terre),

Tm = 1,88 ans (la période de révolution de Mars, connue depuis Keppler),

e = 0,093 (l 'excentricité de l'orbite de Mars connue aussi depuis Keppler).

TM = 55 Millions de Km (calculé par Cassini)

 

On en déduit donc

 

ST = Distance Terre-Soleil = 55 / ((1 – 0,093).(1,88)2/3-1) = 144 MKm !

 

C'est très proche de la réalité, mais avec notre calcul de 44 Mkm, cela nous donne une distance Terre-Soleil de 115 MKm...

Tout comme son illustre prédécesseur Eratosthene, Cassini a eu tout de même beaucoup de chance... et tout comme lui, son calcul devra être confirmé par de futures expériences...

Repost 0
11 octobre 2013 5 11 /10 /octobre /2013 00:00

Depuis que Galilée avait découvert les satellites de Jupiter, il avait réussi à connaître leurs durées de révolution autour de la planète. Le plus proche satellite,  Io, tournait autour Jupiter presque invariablement en 42 heures 27 minutes et 21 secondes.

Il voyait dans cette constance la possibilité d'utiliser le passage d'Io dans l'ombre de Jupiter (donc sa disparition ou immersion) et sa sortie de l'ombre (réapparition ou émersion) comme une sorte de phare cosmique ou une horloge universelle.

 

Une horloge universelle ? Mais à quoi ça peut bien servir ?

 

Le calcul de la longitude par les marins

Pour les marins en plein milieu de l'océan, il fallait bien trouver un moyen de trouver leur position si ils ne voulaient pas se retrouver à Rio en allant aux Baléares...

 

Le principe était assez simple pour le calcul de la latitude (c'est à dire de la hauteur Nord – Sud) car il leur suffisait de mesurer la hauteur de l'étoile polaire par rapport à l'horizon pour la connaître (au moins dans l'hémishère nord)...

 

Pour la longitude (la position Est - Ouest), c'était une autre histoire... en tout cas, si dans le principe, c'était simple, ça l'était moins en pratique, car du fait de la rotation de la Terre, les étoiles sont toujours en mouvement de l'Est vers l'Ouest...

Il faut donc pouvoir calculer le décalage entre l'heure observée du passage au méridien d'une étoile et celle à un point d'origine pour en déduire la longitude du lieu où on se trouve.

 

Pour cela, il fallait embarquer à bord une horloge indiquant l'heure de Greenwich. Ensuite, au moment exact où le Soleil est le plus haut dans le ciel (12h), on regardait l'heure sur cette fameuse horloge. Si l'horloge indiquait 12h alors on était à la même longitude que Greenwich. Si elle indiquait 13h alors elle avait une heure de retard sur l'heure de Greenwich et donc on était à 360/24=15° à l'Ouest de Greenwich. Si elle indiquait 14h, alors on était à 30° à l'Ouest de Greenwich, etc...

 

Le souci, c'est qu'à l'époque, on n'était pas capable d'avoir une horloge qui reste longtemps à l'heure, et donc on devait régulièrement remettre l'horloge indiquant l'heure de Greenwich à l'heure... mais comme on n'était plus à Greenwich, on ne pouvait plus le faire.... D'où l'idée de Galilée d'utiliser les immersions et émersion du satellite IO pour pouvoir remettre à l'heure l'horloge.

 

Il ne restait donc plus qu'à créer des tables donnant les heures précises de chacune de ses futures disparitions et apparitions, pour que les marins puissent étalonner leur horloge indiquant l'heure de Greenwich.

 

Mettons nous en situation...  

Je suis sur mon bateau et j'ai la chance d'avoir emmené avec moi un gros télescope grâce auquel j'observe Jupiter toute la nuit... dès que je vois Io disparaître dans l'ombre de Jupiter, je me jette sur la table d'immersions d'Io et je sais par exemple qu'aujourd'hui, l'immersion d'Io avait lieu à 2h 57mn 42sec, heure de Greenwich... Je sais donc qu'il est exactement 2h 57mn 42sec à mon horloge de Greenwich et je peux la mettre à l'heure !

 

Ingénieux et pratique, non ? Bon... en réalité la mise à l'heure ne pouvait pas véritablement avoir lieu toutes les 42 heures étant donné que parfois, Jupiter n'était pas visible la nuit, parfois Jupiter était visible la nuit mais l'éclipse de Io avait lieu le jour, et il fallait quand même un sacré télescope pour pouvoir observer Jupiter et ses satellites depuis un bateau qui bouge... Mais c'était toujours mieux que rien et cette méthode pouvait permettre de calculer la position assez précisément d'endroids sur la Terre ferme (pour établir des cartes par exemple).

On sait aussi maintenant que l'orbite d'Io n'est pas si régulière qu'on pensait à l'époque, du fait de sa proximité avec Jupiter et que la taille d'Io (la taille de la Lune) fait qu'elle ne passe pas instantanément dans l'ombre de Jupiter... En clair, comme horloge universelle, c'était tout de même pas le top !

 

Malgré tout, Cassini commença à fabriquer cette fameuse table. Elle pouvait être déduite grâce aux lois de kepler et à l'excentricité des orbites de la Terre et de Jupiter... rien d'insurmontable pour quelqu'un comme Cassini, même s'il était plus un observateur qu'un calculateur...

 

Malheureusement, en 1675, malgré ses calculs pourtant a priori corrects, Cassini mesurait une différence entre la réalité et ses calculs qu'il ne savait expliquer... Parfois l'éclipse arrivait en avance sur ses calculs, puis cette avance diminuait pour devenir un retard et le cycle recommençait... Le cycle durait exactement 398 jours, soit la période synodique de Jupiter. Cassini ne parvint pas à trouver l'explication de ce phénomène, et même si l'idée lui traversa l'esprit, il ne publia pas la solution du problème.

 

En 1676, Ole Christensen Roemer publie une théorie pour expliquer cette irrégularité. Son explication est très simple :

Entre le moment où Jupiter est la plus proche de la terre (4,2 UA) et le moment où elle en est le plus éloignée (6,2 UA), il y a une différence de distance de 2 UA.

En partant du principe que la lumière a une vitesse finie, il faudra donc à la lumière parcourir 2 UA de plus pour nous parvenir lorsque Jupiter est plus éloignée de la Terre et donc le même phénomène nous sera visible avec un décalage qui est le temps qu'il aura fallu à la lumière pour parcourir ces 2UA.

 

Roemer expliqua le phénomène avec le dessin ci-contre :Roemer.PNG

  • A un instant T, la Terre se trouve au point E, exactement à l'opposé du Soleil par rapport à Jupiter

  • Quelques temps plus tard, elle se retrouve au point F et observe une éclipse de Io. Comme on le voit sur le dessin, à ce moment-là, la Terre se rapproche de Jupiter et seul le point C (immersion de Io dans l'ombre de Jupiter) est observable, le point D étant situé derrière Jupiter pour l'observateur situé sur terre.

  • Quelques temps après, la Terre se trouve au point G et l'observateur observe à nouveau une éclipse de Io. S'il était resté au point F, l'observateur aurait observé l'éclipse de Io un peu plus tard, le temps pour la lumière de parcourir la distance GF. De ce fait, le fait pour l'utilisateur de s'être déplacé de F à G, fait que l'observateur a calculé un temps de révolution de Io plus court que la réalité.

  • Un peu plus tard, la Terre se retrouvé en L et on observe à nouveau une éclipse de Io. A ce moment, seul le point D (émersion de Io de l'ombre de Jupiter) est observable, le point C étant situé derrière Jupiter pour l'observateur.

  • Quelques temps après, la Terre se trouve au point K et l'observateur observe à nouveau une éclipse de Io. S'il était resté au point L, l'observateur aurait observé l'éclipse de Io un peu plus tôt, et il doit attendre maintenant que la lumière parcours la distance LK pour observer l'éclipse. Le fait pour l'utilisateur se s'être déplacé de L à K, fait que l'observateur a calculé un temps de révolution de Io plus long que la réalité.

 

La fin d'un mythe :

Jusqu'à présent, la vitesse de la lumière était un problème insoluble... Tout le monde pensait que sa vitesse était infinie et que sa propagation était instantanée étant donné qu'on n'avait jamais pu démontrer qu'elle ne l'était pas.

Galilée avait bien tenté des expériences avec les lampes situées à plusieurs centaines de mètres d'intervalle, mais ces expériences n'avaient rien donné. Descartes par exemple pensait la vitesse de la lumière infinie. Il pensait en effet que si la vitesse était finie, on devrait trouver un léger retard ou une légère avance sur les observations des éclipses de Soleil et de Lune par rapport aux prévisions selon que la Lune se trouve à son périgée (au plus proche de la terre), ou à son apogée (au plus loin de la terre). Pour lui, l'absence de décalage démontrait clairement que la vitesse de la lumière était infinie.

On sait maintenant qu'en fait, cette différence entre les deux positions extrêmes de la Lune, ne représentait que 40000 Km, soit 0,14 secondes lumière et Descartes n'imaginait pas une vitesse de la lumière si importante. Il s'attendait donc certainement à un décalage de plusieurs minutes !

 

La preuve de l'intuition de Roemer, c'était que la période de révolution de Io diminuait au moment où, de la Terre on ne pouvait voir que l'immersion de Io dans l'ombre de Jupiter, c'est à dire lorsque la Terre rattrape Jupiter et s'en rapproche. D'un autre côté, la période de révolution de Io augmentait au moment où, de la Terre, on ne pouvait voir que l'émersion de Io dans l'ombre de Jupiter, c'est à dire lorsque la Terre s'éloigne de Jupiter. En clair, les observations correspondaient exactement à l'explication de son dessin vu au-dessus. Il n'y avait donc aucun doute : La lumière avait une vitesse finie !!!

 

Roemer déduit donc des différentes analyses des données d'observations de Cassini que l'écart entre les instants calculés des éclipses et les instants observés variait avec une amplitude de 22 minutes. Il en déduit donc naturellement qu'il fallait 22 minutes à la lumière pour parcourir le diamètre de l'orbite de la Terre.

 

Le plus désolant dans cette démarche, c'est qu'il n'alla pas plus loin... Il avait en effet tous les éléments pour estimer la vitesse de la lumière, mais il ne le fit pas... Sans doute que la valeur lui parut trop importante pour être crédible et qu'il préféra la passer sous silence. Sans doute aussi que la seule valeur connue de la distance Terre–Soleil calculée très récemment par Cassini étant tellement controversée qu'il préféra passer le résultat sous silence.

 

Toujours est-il qu'en parcourant 144 × 2 millions de km en 22 minutes, il aurait pu trouver une vitesse de la lumière de 218000 km/s. Ce calcul, c'est Huygens qui sera le premier à le diffuser et deviendra ainsi le premier à estimer la vitesse de la lumière.

L'incertitude dans son calcul vint principalement de l'estimation des 22 minutes de décalage maximum qui n'est en réalité que de 16 minutes 30 secondes.

Repost 0
10 octobre 2013 4 10 /10 /octobre /2013 00:00

Vers a fin des années 1600, un spécialiste de l'optique étudiait et réalisait des nouveaux concepts de lunettes astronomiques. Il s'appelait Christiaan Huygens et avait déjà réussi avec l'aide de son frère Constantijn à fabriquer une lunette d'un diamètre de 11,5 cm et d'une longueur de plus de 10 mètres ! Le tube de 10 mètres était très difficile à réaliser et devenait très lourd, ce qui posait un problème.

 

Huygens imagina alors un nouveau concept de lunettes sans tuyau, avec seulement un fil tendu entre l'objectif et l'oculaire. Il appela cette lunette « La lunette à fil tendu ».

Grâce à cette lunette, il fut capable de donner des détails très précis de la surface des planètes. Il comprit aussi qu'il allait enfin pouvoir s'attaquer à une tâche jamais accomplie à ce jour : mesurer la taille des planètes...

 

Le 19 juin 1684, il décide d'utiliser une variante de notre expérience de la pièce de monnaie (celle qui nous avait permis de calculer le diamètre apparent de la Lune).

Il observe Jupiter avec son télescope et essaye de comparer le diamètre apparent de Jupiter tel qu'il le voit dans sa lunette avec celle de la Lune, située à cette date à moins de 25° de Jupiter.

 

Il raconte qu'avec le grossissement utilisé, il voyait dans son oculaire Jupiter deux fois plus gros que la Lune. Il estima le grossissement de sa lunette à 163 fois (mais manifestement cette valeur n'était pas très fiable...).

Le diamètre apparent de la Lune étant de 0,5°, il en déduit naturellement que celui de Jupiter était de 0,5°×2/163 = 0,006° (22''). Pour vous donner un ordre de grandeur, c'est à peu près une balle de ping pong vue à une distance de 400 mètres.

 

Une semaine après, il imagina un dispositif permettant de calculer ce fameux angle qu'il avait seulement estimé. Pour comprendre ce dispositif, il nous faut comprendre le fonctionnement d'une lunette astronomique.

 

Principe de base d'une lunette astronomique : 

Le principe de base de la lunette astronomique est de placer deux loupes à une distance bien définie l'une de l'autre pour observer les objets lointains.

La première loupe, appelée objectif, crée une image de l'objet lointain au niveau d'un de ses foyers (nous verrons ces termes dans quelques lignes). La deuxième loupe ne fait alors que grossir l'image créée par la première loupe en nous en donnant une vision à l'infini. Au final, l'objet est grossi.

 

Le dispositif imaginé par Huygens se base principalement sur le fonctionnement de l'objectif de la Lunette et nous allons le détailler :

 

Qu'est-ce qu'une loupe ?

Une loupe est aussi appelée une lentille. C'est un morceau de verre dont les faces sont courbées, de telle sorte que les rayons lumineux qui arrivent perpendiculaire à elle convergent tous en un seul point : le foyer noté F.

 

Les propriétés principales d'une lentille sont les suivantes :

  • Tous les rayons lumineux arrivant perpendiculaires à la lentille ressortent de la lentille en convergeant vers le foyer de la lentille
  • Tous les rayons lumineux passant par le centre de la lentille ne sont pas déviés.

Ceci est expliqué dans sur le schéma ci-dessous :

4.11 - Calcul de la taille de Jupiter

Une lentille est placée au milieu du dessin et un objet AB placé à sa gauche.

On fait partir trois rayons lumineux du point B.

  • Un rayon partant parallèlement à l'axe de la lentille et frappant la lentille au point C. D'après la définition de la lentille, le rayon est dévié par celle-ci et ressort en passant par le second foyer F' de la lentille.
  • Un rayon passant par le centre O de la lentille et n'étant pas dévié
  • Comme la lentille est symétrique, un rayon passant par le foyer F de la lentille, frappant la lentille en D et ressortant parallèle à l'axe de la lentille

Ces trois rayons se recoupent tous au même point de l'autre côté de la lentille. Ce point, c'est l'image du point B. On peut ainsi construire l'image A'B' de l'autre côté de la lentille.

On appelle la distance OF' la distance focale de la lentille et elle se note f

Appliquons le théorème de Thalès dans les triangles ABO et OB'A' dans un premier temps :

OA'/OA = A'B'/AB

Appliquons le théorème de Thalès dans les triangles F'OC et F'A'B' dans un second temps :

A'B'/OC=F'A'/F'O

Comme OC = AB et F'O=-f, cela nous donne :

A'B'/AB=OA'/OA=F'A'/F'O=(F'O + OA')/F'O=1 + OA'/F'O

et donc :

1/OA=1/OA'+1/F'O = 1/OA' - 1/f

d'où

1/OA' - 1/OA = 1/f

 

Cette formule est appelée relation de conjugaison de la lentille, ou relation de Descartes.

 

Le souci, c'est que pour Jupiter, il nous faudrait une lentille assez grande pour dessiner le rayon lumineux BC...

En fait, dans notre dessin, l'objet AB était assez proche de notre lentille, mais si l'objet est très loin, que ce passe-t-il ?

Comme vous pouvez le voir ci-dessous (même si je ne peux pas représenter à l'infini Jupiter sur ce dessin), imaginons que Jupiter soit exactement aligné avec l'axe de notre lentille, de telle sorte que des rayons issus de l'équateur de Jupiter passent par le centre O de la lentille sans être dévié.

4.11 - Calcul de la taille de Jupiter

Un rayon lumineux issu du sommet de Jupiter viendra frapper le centre O de notre lentille avec un angle α correspondant à la moitié du diamètre apparent de Jupiter. Jupiter étant considérée comme se situant à l'infini, alors tous les rayons issus du sommet de Jupiter nous parviennent avec ce même angle (c'est cela qui est difficilement montrable sur le dessin). Ainsi, un rayon lumineux passant par F avec ce même angle viendra aussi du sommet de Jupiter. Comme il passe par F, alors il ressortira parallèle à l'axe de la lentille, ce qui nous permet de construire l'image du sommet de Jupiter (et donc tout Jupiter), et nous observons que l'image de Jupiter se trouve... exactement au niveau du foyer F' !

En fait, notre relation de conjugaison nous donne aussi ce résultat, car lorsque OA est très grand, 1/OA est égal à zéro, et donc

1/OA' = 1/f

Clou du spectacle, comme un objet situé à l'infini donne son image sur le plan focal d'une lentille, alors un objet situé sur le plan focal donne son image à l'infini... De ce fait, si je place une seconde lentille à droite de F' et que je positionne son foyer exactement sur F', alors en regardant dedans, j'observerai une image de Jupiter, nette, située à l'infini, et grossie !!! C'est le principe de la lunette astronomique.

La première lentille s'appelle l'objectif, et la seconde lentille s'appelle l'oculaire. Démonstration par l'image :

4.11 - Calcul de la taille de Jupiter

Le rayon rouge passant par F et repartant parallèle à l'axe de l'objectif est alors aussi parallèle à l'axe de l'oculaire. Il traverse donc l'oculaire en repartant vers le foyer, où l'image du sommet de Jupiter est projetée à l'infini.

L'important dans cette représentation, c'est que le rayon arrive avec un angle α, mais repart de l'oculaire avec un angle β. Comme le vrai Jupiter et son image vue dans l'oculaire sont à l'infini, cela signifie que notre système a grossi Jupiter d'un rapport g=β/α.

α et β étant très petits, on peut estimer que tan-1(α)≈α et tan-1(β)≈β, et de ce fait

α = Image virtuelle / f, et
β = Image virtuelle / f1 et de ce fait G=β/α=f/f1

 

Huygens connaissant la distance focale de son objectif et la distance focale de son oculaire, il connait donc le grossissement de sa lunette. C'est donc ainsi qu'il put effectuer son premier calcul de la taille de Jupiter.

 

Il existe un autre moyen de calculer la taille de Jupiter. Il suffit en effet de calculer son diamètre apparent étant donné que maintenant nous en connaissons sa distance. Comme on le voit sur le dessin,  

α = Taille Image virtuelle / f

Comme on connait f, il nous suffit de calculer la taille de l'image virtuelle de Jupiter

 

Huygens eut donc l'idée d'insérer au niveau de l'image de Jupiter créée par l'objectif (donc au niveau du foyer de l'objectif) un petit repère lui permettant alors de mesurer la taille de l'image de Jupiter. Il mesura ainsi que l'image de Jupiter faisait environ 2 millimètres de hauteur. Comme il utilisait à l'époque une lunette à fil tendu de 34 pieds (10,35 mètres) cela signifie que la distance focale (la distance du foyer) de l'objectif était de 10350 millimètres.

Ainsi, l'angle entre le centre de l'objectif et l'image de 2 Millimètres formée à 10350 millimètres de là est de :

Arctan(2/10350) : 0,011°, soit 40''; ce qui est une valeur très proche de la réalité !

Cela correspond à une balle de ping pong vue à 200 mètres.

 

Sachant que la distance Soleil–Jupiter est de 5,2 UA, elle est donc située entre 4,2 UA et 6,2 UA de la Terre.

Pour qu'un objet à cette distance représente un angle de 0,011°, il faut que sa taille soit de :

 

tan(0,011°)×4,2=0,00081UA = 116 000 km < Taille de Jupiter < tan(0,011)×6,2=0,0012 UA = 171 400 km

 

La taille moyenne de Jupiter étant de 150000 km, nous pouvons donc conclure que le calcul de Huygens était bon !

Repost 0
9 octobre 2013 3 09 /10 /octobre /2013 00:00

Comme nous l'avons vu dans le chapitre précédent, la troisième loi de Kepler montrait l'existence d'une relation entre la distance d'un corps à son étoile et le temps mis pour en faire le tour. Par contre, personne n'était en mesure d'expliquer à quoi était du ce phénomène...

 

En 1665, Newton fit une découverte capitale qu'il fabula ensuite avec cette fameuse histoire de la pomme, qui, même si elle n'est pas vraie, a le mérite d'être très pédagogique...

 

Il raconta qu'il vit tomber une pomme d'un pommier et cette observation lui fit se poser des questions.

 

Il existe une force d'attraction de la Terre sur les objets... 

Si la pomme tombe, c'est qu'une force l'attire. Cette force, c'est la Terre qui en est responsable et on a :

 

F = x avec x restant à déterminer

 

La première chose à laquelle il pensa ensuite fut la déduction suivante :

 

...Inversement proportionnelle au carré de la distance...

La première chose à laquelle il pensa ensuite fut la déduction suivante :

Cette pomme était située à 5 mètres du sol et il était tout naturel qu'elle tomba par Terre.

  • Si la branche de l'arbre où était posée cette pomme était deux fois plus haute, la pomme serait aussi tombée par terre, naturellement.
  • Si la branche de l'arbre où était posée cette pomme était dix fois plus haute, la pomme serait aussi tombée par terre, naturellement.
  • Si la branche de l'arbre où était posée cette pomme était cent fois plus haute, la pomme serait aussi tombée par terre, naturellement...
  • ...
  • De fait, si la branche de l'arbre où était posée cette pomme était à la même distance que la Lune, la pomme serait aussi tombée par terre, naturellement... Donc la Lune, telle une grosse Pomme doit donc tomber sur la Terre... pourtant elle ne tombe pas sur la Terre, mais tourne autour... quel mystère étrange...

 

La différence principale entre la pomme et la Lune, c'est que la pomme, avant de commencer à tomber, était immobile dans l'arbre alors que la Lune est en mouvement. Les conditions initiales de la chute de la Lune et de la pomme ne sont pas identiques et c'est ce qui fait toute la différence.

 

La chute de la pomme :

Newton avait calculé qu'une pomme située à 5 mètres de hauteur met environ 1 seconde pour tomber par terre. Cela signifie qu'en une seconde, la pomme a chuté de 5 mètres. Cette pomme étant à la surface de la terre, elle est à environ 6370 Km de son centre (merci à l'Abbé Picard).

 

La chute de la Lune :

La Lune tourne autour de la Terre à environ 400000 km de son centre. A chaque instant, sa vitesse est perpendiculaire au rayon Terre-Lune puisqu'elle décrit (presque) un cercle, de telle sorte que, si subitement, la Terre disparaissait, la Lune continuerait son chemin en ligne droite, vers l'infini et au delà, comme dirait Buzz l'éclair.

Chute-de-la-Lune.PNG 

La Lune effectue un tour autour de la Terre en 27,321582 jours. Le tour complet de l'orbite de la Lune représente 400000×2Π soit 2513272 Km. On en déduit donc que la vitesse de la Lune est de :

2513474/(27,321582×60×60×24) = 1,064 km/s.

 

La Lune décrivant un cercle autour de la Terre (pour simplifier), au bout d'une seconde, elle aura donc parcouru 1,064 Km autour de ce cercle et sera donc toujours à la même distance de la Terre.

 

Si la Terre n'avait pas été là, la Lune aurait continué son chemin en ligne droite, d'une distance de 1,064 km et le théorème de Pythagore nous permet de dire qu'elle se serait alors retrouvé à une distance de là où se trouvait le centre de la Terre de R² = 400000² + 1,064²

 

D'où R = 400000,0000014 Km et donc H = 1,4 mm.

 

On peut donc en déduire qu'en 1 seconde, la présence de la Terre a fait dévier la Lune de sa trajectoire normalement rectiligne de 1,4 mm. Donc, en quelque sorte, la Lune tombe sur la Terre de 1,4 mm par seconde.

 

  • La pomme tombe de 5 mètres en 1 seconde sur la terre et la Lune tombe de 1,4 mm en 1 seconde sur la Terre. La pomme tombe donc 3571 fois plus vite que la Lune. Cela signifie donc que la Terre exerce sur la Lune une force 3571 fois plus faible qu'elle n'exerce sur la Pomme.
  • La Pomme est située à 6470 Km du centre de la Terre et la Lune est située à 400000 Km du centre de la Terre. La Lune est donc 61,8 fois plus éloignée du centre de la Terre que ne l'est la pomme.

 

Or, on voit que 3571 = 59,8² et 59,8 est très proche de 61,8. Si l'intuition nous donne raison, cela signifie alors que la force qui attire les objets à la terre décroit avec le carré de la distance.

 

Si la pomme tombe, c'est qu'une force l'attire. Cette force vaut

 

F = y/r² avec y restant à déterminer

 

 

...et proportionnelle à la masse de l'objet qui tombe...

Quelques années avant Newton, Galilée avait testé la célèbre expérience depuis le haut de la Tour de Pise (là aussi une histoire plus pédagogique que réelle). Il avait lâché du haut de la tour des billes de même taille (donc avec la même résistance à l'air), mais de masses différentes. Il avait constaté que toutes les billes étaient arrivées en bas en même temps et qu'elles étaient donc soumises à la même accélération.

 

Newton avait quant à lui, de son côté, émis sa seconde loi disant que si un corps de masse m est soumis à une force F, son accélération a sera telle que F=ma et donc a=F/m

 

Nous pouvons donc appliquer cette formule à la force de gravité.

Sachant, grâce à l'expérience de Gallilée que l'accélération ne dépend pas de la masse du corps, si celui-ci avait une masse 10 fois plus importante, on aurait toujours la même accélération. Pour que l'égalité d'accélération soit conservée, si la masse est multipliée par 10, alors la force doit être aussi multipliée par 10:

a = F/m = 10F/10m

 

On en déduit donc que la force de gravité augmente avec la masse de l'objet

 

Si la pomme tombe, c'est qu'une force l'attire. Cette force vaut

 

F = zm/r² avec z restant à déterminer

 

... et proprtionnelle à la masse de l'objet qui attire...

Newton sortit alors sa troisième loi de sa poche : le principe de l'action – réaction.

Si un corps A exerce une force sur un corps B, alors le corps B exerce la même force sur le corps A, opposée en direction.

 

Cela veut donc dire que la Terre de masse M est aussi attirée par le corps de masse m avec une Force proportionnelle à sa masse. Comme les deux forces sont égales, cela signifie que la force de gravitation est proportionnelle à chacune des deux masse et donc à leur produit...

 

Si la pomme tombe, c'est qu'une force l'attire. Cette force vaut

 

F = GMm/r² avec G restant à déterminer

Newton avait alors sa formule finale...

 

...et proportionnelle à une constante universelle...

Que vaut G ? et déjà est-ce une constante ?

Plaçons-nous dans le cas simple d'une planète en Orbite circulaire. La deuxième loi de Newton nous donne donc :

F = GMm/r² = ma

 

Nous voyons dans une annexe que dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme, l'accélération est reliée à la vitesse par la relation : a = v²/r ce qui nous donne donc :

 

mv²/r = GMm/r² d'où v² = GM/r

 

Pour un mouvement circulaire uniforme de période T, en appliquant la relation v = d/t, on a v = 2πr/T et donc

 

4π²r²/T²=GM/r d'où T²/r3=4π²/GM

 

On retrouve ainsi dans cette expression la troisième loi de Kepler. Cela signifie donc que dans un système, 4π²/GM est constant et donc G est constant. Il y a même de très fortes chances que G soit une constante dans tout l'univers... Elle sera appelée la CONSTANTE DE GRAVITATION !

 

La découvrir est une chose.... mais la calculer en sera une autre... car en effet, pour la calculer, il faudrait pouvoir peser le Soleil, ou la Terre... autrement dit ce n'est pas gagné !

 

Mais inversement, si on arrive un jour à connaitre cette fameuse constante G, alors on sera capable par exemple, de connaitre la masse du Soleil simplement en regardant la Terre tourner autour, on connaitra la masse de la Terre simplement en regardant la Lune tourner autour, on connaitra la masse de Jupiter simplement en regardant ses satellites tourner autour... plus globalement, on pourra connaitre la masse de n'importe quel objet, n'importe quel système, simplement en observant les objets tourner autour.... motivant, non ?

Repost 0
8 octobre 2013 2 08 /10 /octobre /2013 00:00

Grâce à Kepler et ses trois lois, on était capable enfin de faire coller la théorie avec les observations pratiques ! On pouvait alors prévoir à l'avance des phénomènes astronomiques, ce qui était impensable avant.

C'est ainsi que kepler arriva à prévoir les transits de Mercure et de Venus en 1631 ! Et donc pour la première fois, les transits de ces deux planètes pouvaient être observés !

Pour rappel, un transit, c'est lorsque l'une des deux planètes inférieures (Mercure ou Venus) passe devant le Soleil, vue de la Terre. Si on regarde le Soleil à ce moment là (jamais directement, bien entendu !), alors nous verrons un petit point noir traverser le disque solaire. Un transit est en fait une éclipse de Soleil par Mercure ou Venus, à la différence près qu'il est invisible pour quelqu'un ne disposant pas d'instrument.

 

C'était quand même paradoxal : on était capable de prévoir les transits à dix minutes près, mais on était incapable de savoir si la distance Terre-Soleil calculée par Cassini était correcte ou non ! D'ailleurs, officiellement, c'était toujours la Terre le centre de l'univers...

 

En observant les premiers transits de Vénus les astronomes de l'époque comprirent rapidement qu'on avait enfin un bon moyen de calculer la distance Terre-Soleil ! Je vais vous expliquer cela :

Transit.PNG

Comme vous pouvez le voir sur la figure ci-dessus (qui n'est pas à l'échelle, bien sûr), le principe est le suivant. Depuis deux endroits différents de la Terre suffisamment éloignés, je ne verrai pas Venus passer exactement au même endroit devant le disque Solaire. Si alors j'arrive à mesurer la distance entre les deux lignes de passage (en degrés), alors j'en déduirai la distance du Soleil. Je peux arriver à cette conclusion étant donné que :

  • Je connais la distance entre les deux villes d'observation
  • Grâce à Kepler, je connais en Unité Astronomique la distance Terre-Soleil et la distance Venus-Soleil, et donc le rapport entre les deux.

La preuve en image :

Regardez l'image ci-dessous : on y voit la Terre, le Soleil et Venus au moment d'un transit. Depuis la Ville A, on voit le transit passer par le point D sur le Soleil, et depuis la ville B, on voit le transit passer par le point C sur le Soleil.

transit-angles.PNGOn peut appliquer le théorème de Thalles avec les triangles ABV et VCD et on a :

CD/AB = VC/VB ≈ VS/VT

avec VS = Distance Venus-Soleil et VT = Distance Venus-Terre

et donc

CD= VS.AB/VT

 

Si on arrive à calculer la distance CD, c'est à dire l'angle α, on aura :

Tan(α) = CD/BD = CD/UA

avec

BD = UA = Distance Terre-Soleil

 

Et donc, en remplaçant CD par la valeur trouvée au dessus :

 

UA = (VS/VT).(AB/tan(α))

 

VS/VT est connue depuis Kepler et vaut environ 2,61.

 

Si on connaît la distance entre les deux villes, alors il ne reste plus qu'à mesurer l'angle α pour connaître enfin l'Unité Astronomique !!!

 

Mais comment calculer ce fameux angle, c'est à dire la distance entre les deux lignes de passage ?

Je vous rappelle que nous sommes en 1631 et que l'appareil photographique n'est pas inventé, ni même l'électricité d'ailleurs, et donc les moteurs qui entraînent les mouvements des lunettes...

Aujourd'hui, on n'aurait qu'à prendre une photo toutes les minutes depuis les deux villes, puis les superposer pour obtenir la ligne de passage de Venus (exactement comme sur le premier dessin). On pourra alors très facilement mesurer sur les photos la distance entre les deux traits...

Mais comment faire cela en 1631 ? C'était mission impossible, autrement dit, on n'avait aucune chance d'arriver à calculer cette distance avec précision...

 

En 1716, Edmund Halley a une idée aussi simple que géniale !

Si on connaît le temps maximum tmax que peut durer un transit de venus (un transit qui passerait exactement par le milieu du Soleil) alors en mesurant le temps d'un transit quelconque de Venus, on pourra savoir à quelle distance du milieu du Soleil ce transit a eu lieu (c'est de la trigonométrie car le Soleil est rond !).

Si on répète cette opération pour un transit vu de deux villes différentes, les seuls temps de durée de transit vu depuis ces deux villes nous permettront d'en connaître la hauteur et on pourra en déduire la distance entre les deux !

 

Regardez le graphique ci-dessous.

Duree-du-transit.PNG

Il contient un dessin du Soleil et un abaque à droite basé sur la fonction cos-1.

En notant les temps sur l'axe des abscisses de l'abaque et en reportant sur le Soleil la hauteur obtenue sur la courbe rouge en cos-1, on trace alors sur le Soleil l'endroit exact où est passé le transit.

 

Cette méthode proposée par Halley a plusieurs avantages :

  • Il est très facile de calculer une durée et avec une bonne précision.
  • Le transit durant plusieurs heures, il peut donc y avoir plusieurs minutes de différence entre la durée observée depuis deux villes.
  • Comme il ne s'agit que de calculer une durée, nul besoin de synchroniser les observations, ni de se soucier de la différence de longitude entre les lieux d'observation comme pour le calcul de Cassini. Il faut seulement aller dans deux villes où le transit est observable...

Halley  fit donc un calcul pour préparer le terrain avant le prochain transit de Venus :

 

Calcul-Halley.PNG

Depuis la ville 1, On voit Venus entrer devant le disque du Soleil au point A1, arriver au milieu du transit au point B1, puis sortir du disque solaire au point C1.

Depuis la ville 1, le transit dure un temps T1.

 

Depuis la ville 2, on voit Venus entrer devant le disque du Soleil au point A2, arriver au milieu du transit au point B2, puis sortir du disque solaire au point C2.

Depuis la ville 2, le transit dure un temps T2.

 

Si on avait pu observer un transit de Venus passant exactement par le milieu S du Soleil, ce transit aurait duré un temps Tmax.

 

Le diamètre apparent du Soleil est de .

 

Sur la figure ci-contre, on voit que les triangles SB1C1 et SB2C2 sont des triangles rectangles. Nous pouvons donc y appliquer Pythagore et nous avons donc :

 

SB12+B1C12=SC12       et       SB22+B2C22=SC22

 

Comme la vitesse de passage de Venus est la même depuis les deux villes, et que V = D/T, nous avons donc:

 

A1C1/T1= A2C2/T2 = D/Tmax

d'où 

  A1C1/2= B1C1 = D × T1 / 2Tmax       et       A2C2/2= B2C2 = D × T2 / 2Tmax

 

Naturellement aussi, nous avons SC1 = SC2 = D/2

 

En remplaçant les valeurs dans la formule de pythagore, nous avons :

SB12=SC12-B1C12= (D/2)² - (D × T1 / 2Tmax

et

SB22=SC22-B2C22= (D/2)² - (D × T2 / 2Tmax

 

Et enfin B1B2 = SB1-SB2 = √((D/2)² - (D × T1 / 2Tmax )²) - √((D/2)² - (D × T2 / 2Tmax )²)

 

Il ne suffit pas d'avoir une belle formule encadrée, il faut pouvoir connaitre la valeur des différentes variables qui la composent si on veut pouvoir s'en servir.

Naturellement, donc, nous nous posons alors les questions suivantes :

 

Que vaut D ?

Nous ne sommes plus à l'époque d'Aristarque, et on sait maintenant que le diamètre apparent du Soleil est de 32', soit 0,53°.

 

Que vaut Tmax ?

Pour calculer Tmax, il nous faut aborder une notion de trigonométrie dans les triangles quelconques :

 

Regardez le triangle ABC ci-dessous :

trigo-trangle-quelconque.pngLes angles de ce triangle sont a, b et c. On a donc a + b + c = 180°.

Les hauteurs de ce triangle nous donnent les points A', B' et C'.

Ces hauteurs nous donnent donc plein de triangles rectangles dans lesquels nous pouvons appliquer la trigonométrie :

Sin(c) = BB'/BC donc BB' = Sin(c)×BC

Sin(a) = BB' / BA donc BB' = Sin(a)×BA

=> Sin(a)/BC = Sin(c)/BA

 

Sin(c) = AA'/AC donc AA' = Sin(c)×AC

Sin(b) = AA' / BA donc AA' = Sin(b)×BA

=> Sin(c)/BA = Sin(b)/AC

 

Et donc

 

 

 

Sin(c)/AB = Sin(b)/AC = Sin(a)/BC

 

Duree-transit-max.PNGOn peut très bien appliquer cette formule dans le triangle Soleil-Venus-Terre (vue de dessus) au moment où Venus sort du disque solaire, à la fin du transit.

 

Nous avons donc :

Sin(A)/SV = Sin(C)/ST

 

Donc Sin(C)= ST.Sin(A) / SV

 

 

 

Le but, est de connaitre l'angle B. En effet, lorsque Venus est au milieu du Soleil, cet angle est de zéro, donc en connaissant l'angle B, et en connaissant la période synodique de Venus, on pourra savoir combien de temps il aura fallu pour que l'angle Terre - Soleil - Venus passe de 0 à B.

Cette durée, c'est exactement la moitié de la durée maximale du transit de Venus !

 

  • Le diamètre apparent du Soleil est de 0,53° (32'), ce qui fait que l'angle A vaut la moitié de cet angle, soit 0,265°.
  • La distance Terre Soleil UA vaut bien évidemment 1 UA.
  • La distance Soleil Vénus SV est connue depuis Kepler et vaut 0,723 UA.

  On a donc Sin(C) = Sin(0,265)/0,723= 0,0064

et donc C = 179,63°, et B = 180 - A - C = 0,10153°

 

Ainsi, l'angle Terre-Soleil-Venus parcouru par Venus pendant la totalité du transit est de deux fois cet angle, soit 0,20306°

 

La période synodique de Venus est de 593,92 jours, c'est à dire que l'angle Terre - Soleil - Venus parcourt 360° durant cette période.

A cette vitesse, les 0,20306° représentent : (593,92 / 360) × 0,20306 = 0,335 jours, soient :

 

8 heures 2 minutes 24 secondes

 

Bon... pour plus de simplicité pour nos calculs, nous pourrons arrondir ce temps maxi de transit à 8 heures. 

 

Maintenant que nous connaissons les valeurs numériques du diamètre du Soleil et du temps max du transit, la formule de Halley devient :

 

B1B2 =α = √((0,265)² - (0,53 × T1 / 16)²) - √((0,265)² - (0,53 × T2 / 16 )²)

 

Et bien, B1B2 est en fait exactement l'angle de décalage entre les deux trajectoires de Venus vu depuis la Terre ! Souvenez-vous la première formule que nous avons vue plus haut :

 

UA = (VS/TV).(AB/tan(α)) = 2,61 . AB/tan(α)

 

Halley pose donc cette formule en 1716, qui permettra enfin de calculer la distance Terre - Soleil !

Pas besoin de synchroniser les prises de vues, il suffit s'implement de mobiliser plein d'observateurs dans tout le monde entier (d'où les transits sont visibles), d'indiquer leur emplacement et la durée observée du transit, et il n'y aura plus qu'à analyser ces résultats à tête reposée.

Mais Halley à 60 ans et le prochain transit est prévu pour dans 45 ans (en 1761)! Il est clair qu'il n'assistera pas à ce transit et ne connaîtra jamais le résultat de sa théorie, mais il a le temps pour mobiliser la communauté scientifique afin que des campagnes d'observations soient menées pour le transit de 1761.

 

La campagne de 1761 n'est pas véritablement une réussite pour plusieurs raisons (guerre franco-anglaise, mauvaise météo, problèmes techniques...), mais certaines mesures peuvent toutefois être prises en compte. Selon les sites d'observation, la parallaxe du Soleil est estimée entre 8,28 et 10,60 secondes d'arc, ce qui laisse tout de même une incertitude importante car cela plaçait le Soleil entre 125 et 160 Millions de Km

 

Par chance, les transits de Venus arrivent par paquet de 2, et le transit de 1761 fut suivi d'un autre transit en 1769 ! Une seconde campagne de grande ampleur fut encore menée et aboutit à une fourchette plus précise : entre 8,43 et 8,80 secondes d'arc.

 

Nous allons reprendre un exemple de mesure effectuée en 1761, entre deux villes, l'une en Suède, et l'autre à Tahiti  séparées de 13400 Km.

Dans la ville suèdoise, le transit a duré 5h53 (5,883 Heures) alors qu'à Tahiti, il a duré 5h30 (5,5 heures).

 

On en déduit donc

B1B2 =α =((0,265)² - (0,53 × 5,5 / 16)²) - √((0,265)² - (0,53 × 5,883 / 16 )²) =

√(0,070225 - 0,0332) -(0,070225 - 0,038)= 0,19242 - 0,1795= 0,01292°

et donc 

UA = 2,61 × 13400 / tan(0,01292) = 155097721 Km

 

Ce sont ces valeurs qui furent calculées à la suite des différentes campagnes afin de calculer cette moyenne et donc la parallaxe solaire. La parallaxe solaire, c'est en fait la taille en degrés qu'aurait le rayon de la Terre vu depuis le Soleil.

Avec notre calcul par exemple, nous obtenons une parallaxe du Soleil de : tan-1(6370/155097721) = 0,00235°, c'est à dire 0,00235 × 60 × 60 = 8,47''

A la suite de la campagne de 1769, cette parallaxe du Soleil fut estimée entre 8,43'' et 8,80'', soit entre 0,02342° et 0,00244°.

 

La distance du Soleil à cette époque était donc estimée entre 149,6 Millions de Km (parallaxe de 8,8'') et 155,8 Millions de Km (Parallaxe de 8,43'')

 

La moyenne communément admise fut alors arrondie à 150 Millions de Km.

 

L'Unité Astronomique était enfin connue !

Repost 0
7 octobre 2013 1 07 /10 /octobre /2013 00:00

Nous sommes à la fin des années 1600. Copernic, Galilée, Kepler, Newton et bien d'autres ont révolutionné notre vision du monde en proposant des modèles qui permettaient pour la première fois d'être si précis qu'on pouvait maintenant prévoir les transits des planètes et le retour des comètes !

 

Mais cette précision dans les prévisions ne voulait pas forcément dire que le modèle sur lequel elles s'appuyaient (le modèle héliocentrique) était le bon. D'ailleurs, cette théorie était toujours censurée !

 

Il fallait encore trouver une véritable preuve que ce n'était pas le Soleil qui tourne autour de la Terre, mais l'inverse.

Naturellement, il parut évident que la preuve viendrait de la détermination de la parallaxe des étoiles, mais jusqu'à présent personne ne l'avait mise en évidence... enfin pas tout à fait... pour être plus exact, des astronomes, à l'époque de Newton, avaient bien réussi à calculer une variation d'angle sous lequel on voyait les étoiles, mais elle était tellement étrange, tellement contraire à la théorie qu'on préféra faire profil bas et la passer sous silence jusqu'à ce qu'on en ait l'explication exacte...

 

Avant de commencer, voici un petit rappel sur ce qu'on appelle la parallaxe des étoiles.

Si vous vous souvenez du chapitre consacré à la triangulation, lorsqu'on se déplace, l'angle sous lequel on voit les objets par rapport à un point de référence situé à l'infini change...

 

Ainsi, cette fameuse variation d'angle permet donc d'en déduire la distance de l'objet si on connait de quelle distance on s'est déplacé.

  • Pour Mars, par exemple, la parallaxe de Mars est la variation de l'angle sous lequel on voit Mars en se déplaçant d'un rayon terrestre (6370 Km). C'est aussi l'angle sous lequel on verrait le rayon terrestre si on était situé sur Mars.
  • Pour Le Soleil, c'est le même principe, la parallaxe du Soleil est la variation de l'angle sous lequel on voit Le Soleil en se déplacant d'un rayon terrestre (6370 Km). C'est aussi l'angle sous lequel on verrait le rayon terrestre si on était situé sur Le Soleil.
  • Pour les étoiles, il ne s'agit pas de se déplacer seulement d'un rayon terrestre, mais d'une Unité Astronomique, c'est à dire 23500 fois plus. C'est à dire qu'avec cette méthode et avec les même moyens que Cassini avait utilisés pour calculer la distance de Mars, on pourrait alors mesurer la distance d'objets 23500 fois plus éloignés que Mars !

Au moment du calcul de Cassini, Mars était à 50 millions de Km, soit 0,33 UA, ce qui signifie que si les étoiles sont à moins de 7833 UA, on devrait pouvoir mesurer leur parallaxe. Par contre, si leur distance est plus grande, alors il faudra attendre quelques années encore avant que la technologie nous permette de la mesurer...

 

7833 UA représente environ 0,12 Année-lumière, c'est à dire que nous sommes très loin de l'étoile la plus proche Proxima du Centaure qui est à 4,24 Années-lumière. Galilée avait donc raison : il était impossible à cette époque de mesurer la parallaxe des étoiles... Mais ça, à cette époque, on ne savait pas que c'était impossible !

 

Si on arrivait à mesurer la parallaxe d'une étoile, par quoi cela se traduirait donc ?

parallaxe-des-etoiles.PNGRegardez le dessin ci-contre. Tout comme lorsqu'on se déplace vers la droite, nous voyons les objets qui nous sont proches se déplacer vers la gauche, le déplacement de la Terre sur son orbite nous donne l'impression que les étoiles se déplacent.

Vous vous souvenez que la direction de référence sur l'écliptique s'appelle le point vernal : c'est le point où se trouve le Soleil à l'équinoxe de printemps le 21 mars.

Au mois de Mars, donc, si le Soleil se trouve en direction du point vernal, cela signifie que la Terre se trouve très en arrière du Soleil par rapport au point vernal, et donc les étoiles doivent nous sembler se décaler légèrement vers le point vernal. En septembre, la Terre est à l'opposé de sa position de Mars, et donc les étoiles doivent nous sembler se décaler vers la direction opposée du point vernal.

En juin, les étoiles semblent se décaler vers la gauche par rapport à la direction du point vernal, et en Décembre, vers la droite.

 

Donc le challenge était d'importance : si on arrivait à découvrir ce mouvement, alors on pourrait calculer la distance des étoiles et surtout on prouverait enfin que c'est la Terre qui tourne autour du Soleil et non l'inverse !

 

Comme je vous disais plus haut, certains astronomes dont l'abbé Picard avaient déjà réussi à calculer une variation dans la position des étoiles, mais elle ne correspondait pas du tout à la théorie que je vous ai expliquée plus haut !

Observation-etrange-de-la-parallaxe.PNG

 

Alors qu'on s'attendait à ce que les étoiles glissent vers le point vernal au mois de mars, elles le faisaient au mois de juin ! En fait, il y avait trois mois de décalage avec la réalité !

 

Le décalage observé était une ellipse de demi grand axe de l'ordre de 20'' (0,00555°), soit une balle de ping pong vue à 200 mètres.

 

En appliquant la trigonométrie, on en déduirait que la distance de l'étoile est de UA/tan(0.00555°) = 10313 UA, soit 0,163 Année Lumière... Sauf que le déplacement des étoiles avaient trois mois de retard...

 

Quel était donc ce mystère ?

Satanas-enclume.PNG

En 1729, un certain James Bradley eut une idée soudaine en voyageant sur un bateau... Il voyait alors que les drapeaux sur le bateau ne se dirigeaient ni dans le même sens que les drapeaux situés sur la terre ferme, ni vers l'arrière du bateau. En fait, ils se dirigeaient vers une direction intermédiaire...

 

Regardez la petite bande dessinée ci-contre : on y voit notre amis Satanas  se prendre une enclume tombée du ciel alors qu'il roule à grande vitesse.

 

Si nous superposons ces trois images, nous obtenons ceci :

Satanas-enclume-supperpose.PNG

 

Nous y voyons nettement Satanas et son bolide filant vers la gauche, et l'enclume tombant du haut vers le bas.

 

 

Si maintenant nous superposons ces trois images en les centrant sur la voiture de Satanas (c'est à dire en se plaçant dans le référentiel de Satanas), nous obtenons ceci :

Satanas-enclume-relatif.PNG

 

On ne voit plus alors l'enclume se déplacer de haut en bas, mais de la gauche vers la droite, en diagonale.

Cela signifie que, depuis sa voiture, Satanas n'a pas l'impression que l'enclume tombe verticalement. Il a l'impression que l'enclume vient presque d'en face de lui.

 

Vous avez surement déjà observé ce phénomène en roulant en voiture sous la pluie ou sous la neige. A travers le pare-brise, on a l'impression que la pluie arrive de devant nous et plus la vitesse de la voiture est importante, plus on aura l'impression que la pluie ou la neige vient à l'horizontale en face de nous.

 

Remplaçons maintenant Satanas par un astronome et l'enclume qui tombe par la lumière d'une étoile située au-dessus de lui.

Si l'astronome est immobile il verra alors la lumière de l'étoile (et donc l'étoile) venir au-dessus de lui. Par contre s'il est en mouvement (ou situé sur une planète en mouvement), alors il aura l'impression que la lumière vient de devant lui et donc que l'étoile est plus devant lui qu'elle n'est en réalité....

 

Et si c'était ce phénomène qui était responsable de notre observation étrange des étoiles....

 

C'est exactement ce que ce dit Bradley. Tout d'abord, il fallait que l'observation coresponde à la théorie.

Contrairement à la parallaxe où la variation de la position de l'étoile observée dépend de la distance entre les points d'observation, dans le cas de la lumière "enclume", le décalage provient de la vitesse. Et comme dans un mouvement circulaire, la vitesse est perpendiculaire au rayon (donc à la distance au Soleil), alors ce phénomène doit entrainer un décalage de 90° des variations par rapport à celles de la parallaxe, c'est à dire 3 mois : C'était exactement ce qui se passait !

 

De plus, Si c'était bien le cas, alors, connaissant la vitesse de la lumière grâce à Roemer, et connaissant la distance de la Terre au Soleil grâce à Halley (et donc la vitesse de révolution de la Terre autour du Soleil), on pourrait alors calculer l'angle de décalage théorique et regarder s'il correspond à la réalité.

 

Alors... voyons un peu... La distance Terre-Soleil est de 1 Unité Astronomique, c'est à dire 150000000 km. Comme la Terre fait un tour complet en 365,25 jours, alors elle parcourt 150000000 × 2 × Π = 942 477 796 km pendant cette durée, ce qui nous fait au final une vitesse moyenne de :

 

942477796/(365,25×24×60×60)= 29,86 km/s.

 

On sait aussi depuis peu que la vitesse de la lumière est de l'ordre de 300000 km/s.

 

Calcul-aberration.PNG

Regardez le dessin ci-contre qui montre un téléscope pointé sur une étoile située exactement au-dessus de la tête de l'astronome en plein mois de septembre (étoile orange).

A t0, la lumière de l'étoile arrive au niveau de l'objectif du télescope. A t1, la lumière a parcouru la moitié du tube du télescope, mais pendant ce temps, à cause de la vitesse de la Terre autour du Soleil, le télescope a bougé vers le droite.

Vous voyez bien que si le télescope avait été dirigé exactement vers la position réelle de l'étoile, alors la lumière de l'étoile serait venue frapper la partie intérieure gauche du télescope et ne serait jamais donc arrivé jusqu'au fond...

La lumière, finalement arrive au niveau de l'oculaire du télescope au temps t2, et on voit que le télescope pointe en fait vers une position observée de l'étoile qui n'est pas la position réelle (étoile bleue).

Si l'observation avait été faite au mois de mars, pendant que la Terre de dirige exactement dans l'autre sens, alors le décalage aurait été inversé.

 

Essayons de calculer cet angle :

 

Entre t0 et t2, la Terre a parcouru une distance (d=v.t) de dt =29.86×(t2-t0)

Entre t0 et t2, la Lumière a parcouru une distance (d=v.t) de dt =300000×(t2-t0)

 

Dans notre exemple, la lumière arrivant perpendiculairement au déplacement de la Terre, nous avons un triangle rectangle et nous pouvons appliquer la trigonométrie :

 

tan(a) = distance parcourue par la Terre / Distance parcourue par la lumière = 29,86/300000

 

Et donc

a = tan-1(29,86/300000) = 0,0057°= 20,53''

 

Cet angle doit être doublé étant donné que si au mois de septembre, l'étoile nous apparait décalée vers la droite de 20,53" par rapport à la position réelle, elle nous apparait décalée du même angle, mais vers la gauche au mois de mars. Ce qui nous fait au total un angle de 41", exactement l'angle observé par les astronomes !!!

 

Cette fois, cela ne faisait aucun doute, l'explication était la bonne et donc, pour la première fois, on avait la preuve irréfutable que c'était bien la Terre qui se déplaçait autour du Soleil et non l'inverse !

Et pourtant, 185 ans s'étaient écoulés depuis Copernic.

 

L'interdiction sur les ouvrages prônant la théorie copernicienne sera officiellement levée en 1757....

Le modèle géocentrique de Ptolémée était alors définitivement enterré, après avoir tenu pendant 1600 ans !!!

 

Et comme une réponse apporte souvent aussi dix questions supplémentaires, cette découverte ne fit pas exception à la règle :

  • Nous avons prouvé que la Terre tourne autour du Soleil. Donc cela signifie que la fameuse parallaxe des étoiles existe. Comment allons-nous maintenant réussir à trouver cette toute petite parallaxe sachant que l'observation sera polluée par l'aberration de la lumière ? Il faudra réussir à enlever du mouvement observé de l'étoile sur une année l'aberration de la lumière, et alors seulement, le mouvement restant sera cette fameuse parallaxe... enfin... en supposant que les étoiles soient immobiles...
  • La vitesse de la terre fait que les objets nous apparaissent plus en avant qu'ils ne sont en réalité. Si la vitesse de la terre était plus importante, cette aberration serait aussi plus grande et les étoiles nous paraitraient plus en avant. Si nous étions dans un vaisseau allant à une vitesse proche de la lumière, les étoiles nous sembleraient toutes être rassemblées dans une seule zone : la zone où se dirige le vaisseau.
  • La vitesse modifie la perception du monde qui nous entoure. Que verrions-nous si nous allions à la vitesse de la lumière ? et si nous allions plus vite ? D'ailleurs, la vitesse de la lumière peut-elle être dépassée ?

Comme vous le voyez, cette découverte allait ouvrir la voie de nombreuses autres théories dans le futur, relativité en tête. Le premier calcul d'une parallaxe n'arriva que cent ans plus tard (1821) et la fameuse expérience de Michelson (que nous aborderons dans une annexe), en 1887, de laquelle découleront toutes les théories relativistes.

Repost 0
6 octobre 2013 7 06 /10 /octobre /2013 00:00

Depuis Hipparque et sa méthode géniale, personne n'avait vraiment essayé de calculer à nouveau la distance de la Lune. En fait, il avait mis la barre tellement haut que cette distance était acquise et personne ne la remettait en cause.

 

Pourtant, nous étions devenus des experts en triangulation, et la Lune était l'objet le plus proche de la Terre. Si on avait pu le faire avec Mars, ça devrait être une formalité avec la Lune.

C'est ainsi qu'en 1751 Joseph Jérôme Le François de Lalande et l'abbé Nicolas Louis de La Caille décidèrent d'effectuer ce calcul par triangulation à partir de deux endroits différents de la Terre.

 

De la Lande alla donc à Berlin, et de la Caille alla au cap en afrique du Sud. L'avantage était que ces deux villes étaient très éloignées en latitude, mais très proches en longitude, et de ce fait, le passage au méridien de la Lune avait lieu pratiquement en même temps dans ces deux villes. Il n'était donc pas nécessaire d'introduire de facteurs de complexité supplémentaire que le calcul de base.

 

Les coordonnées de Berlin sont :

52°31'12'' Nord et 13°24'36'' Est

 

Les coordonnées du Cap sont :

34°21'25'' Sud et 18°28'26'' Est

 

Vous voyez donc que l'écart de longitude n'est que de 5 degrés et peut donc être négligé. L'écart de latitude, est, en revanche de 86°, excellent pour faire de la triangulation !

 

Si vous avez lu les chapitres attentivement jusqu'ici, je suis certain que vous pourriez faire le dessin et le calcul suivant vous même !

distance-de-la-Lune.PNG

Ils observèrent un endroit précis de la Lune au moment exact du passage au méridien de la Lune et ils en notèrent exactement les coordonnées par rapport à la verticale (zénith).

 

Lalande situé à Berlin nota que la Lune était à 53,52° de la verticale (angle a) vers le sud, et Caille nota que la Lune était à 34,66° de la verticale (angle b) vers le nord au moment de son passage au méridien.

 

A partir de ces données, nous pouvons en déduire la distance de la Lune.

Prenez le quadrilatère Terre-LeCap-Lune-Berlin. Comme c'est un quadrilatère, alors la somme de ses angles fait 360°.

Donc, nous avons :

(180° - a) + α + β + (180° - b) + p = 360°, d'où p = a + b - α - β

 

La distance entre Berlin et Le Cap, vue de la Lune est très proche de h1+h2, soit R.sin(α) + R.sin(β)

Avec R, le rayon de la Terre, soir 6370 Km

 

Et donc au final, nous avons

 

Distance Terre-Lune = R.sin(α) + R.sin(β) / tan(a + b - α - β)

 

Alors, récapitulons :

R = 6370 Km,  

α = 52°31'12'' (soit 52,52°),

β = 34°21'25''(soit 33,357°),

a = 53,52° et

b = 34,66°

On en déduit donc que p = 53,52° + 34,66° - 52,52° - 34,357° = 1,303°

 

Et donc

 

Distance Terre-Lune = 6370×(sin(52,52°)+sin(34,357°)) / (tan(1,303°)) = 380 290 km !

 

Cette nouvelle estimation de la distance Terre-Lune était donc excessivement précise et ne fut dépassée que pas les mesures LASER faites suite aux missions Apollo sur la lune.

Repost 0
5 octobre 2013 6 05 /10 /octobre /2013 00:00

Après la fameuse formule de Newton, on avait mis en évidence l'existence d'une constante universelle de gravitation : la constante G.

 

On n'avait par contre aucune idée de sa valeur et le but était d'essayer de la calculer... 

Le principe était simple : on prend deux boules de fer dont on connait la masse, une grosse et une petite, on les lâche dans l'espace et on regarde la petite boule tourner autour de la plus grosse. Comme on connait leur masse, leur distance, et la période de révolution de la plus petite, alors on en déduira la constante de gravitation... Mais ça, c'est la théorie... en pratique, bien évidemment, c'est impossible...

 

A première vue, les deux seules boules à disposition nous permettant de faire cette expérience étaient la Terre et la Lune. On en connaissait la taille, la distance, et on connaissait la période de révolution de la Lune... et donc il ne restait plus qu'à connaitre la masse de la Terre pour en déduire la constante de gravitation. Inversement, si on arrivait à connaitre la constante de gravitation, alors on en déduirait la masse de la Terre...

 

Vous vous souvenez que dans le chapitre consacré à la pomme de Newton, une dérivée de sa formule de base était :

T²/r3=4π²/GM

et donc

G= 4π²r3/MT²

 

Si on applique cette formule à la Lune, on a : 

r = 380 000 km, soient 380 000 000 mètres pour la distance de la Terre à la Lune.

T = 27,32 jours soient 2 360 450 secondes pour la période de révolution de la Lune autour de la Terre.

M = ??, pour la masse de la Terre et donc la seule inconnue qui nous manque pour calculer G !

 

Vous comprenez mieux maintenant pourquoi la masse de la Terre était liée à la détermination de G et inversement.

 

Intuitivement, on pouvait se faire une idée de la masse de la Terre en fonction des roches qui la composent et de leur densité, ou du moins, c'est ce que l'on croyait.

 

La Terre est composée d'eau dont la masse volumique est de 1 : c'est à dire qu'un cube d'eau de 1 mètre de côté pèse une tonne. On savait aussi que les roches principales qui composent les continents (le granit et le basalte) avaient une densité autour de 2,7.

En partant du principe que l'eau est certainement négligeable et que les roches sont majoritaires sur la Terre, on arrivait rapidement à une masse de l'ordre de :

(4/3)*π*63700003*2700 = 2 923 281 717 561 006 226 603 292 kg ou 2,9 × 1024 kg

 

Avec cette valeur approximative, bien entendu, on arrive alors à une valeur de G de

 1,33 × 10-10 m3.s-3.kg-1

 

Le problème avec cette estimation, c'est qu'on se base sur les matériaux qu'on connait (et donc les roches de surface) pour calculer la masse de la Terre et sans avoir aucune idée de la densité des roches qui sont au coeur de la Terre.

 

Il fallait donc une véritable expérience dans lesquelles toutes les variables étaient connues pour déterminer G avec précision.

 

mesurer-la-gravitation.PNG

Le principe de cette expérience était simple et expliqué sur le graphique ci-contre : On attache un ressort dont on connait la taille au repos. On attache à ce ressort une boule de masse m qui fait que le ressort s'étire. On note alors la nouvelle taille du ressort.

Enfin, on approche sous l'ensemble une nouvelle boule de masse M qui va, naturellement attirer par gravitation la boule plus petite. Le ressort va donc d'étirer un peu plus.

Si on arrive à mesurer la différence d'étirement du ressort avec et sans la boule de masse M, alors on connaitra la force de gravitation que produit la boule de masse M sur la boule de masse m et donc on pourra calculer G !

 

Malheureusement, il n'existe pas le ressort avec une raideur telle qu'elle permette de mesurer cette différence. D'ailleurs, si un tel ressort existait, alors le simple fait de lui accrocher la boule de masse m l'étendrait certainement de plusieurs kilomètres !

 

Il fallait donc trouver un autre moyen, une autre expérience où la force de gravité que l'on veut mesurer serait perpendiculaire à la force de gravité naturelle de la Terre et donc au poids des boules.

 

Il y avait bien le pendule, aussi : mesurer-la-gravitation-pendule.PNGOn attache une boule à une ficelle fixée au plafond. Naturellement, l'angle que fait la ficelle avec le sol est d'exactement 90°. Si maintenant j'approche une boule de grande masse vers sa gauche ou vers sa droite, celle-ci attirera la boule suspendue de telle sorte que l'angle avec le sol ne sera plus exactement de 90°. Si on arrive à mesurer ce nouvel angle, alors on connaitra G.

 

Encore une fois, là aussi, il faudrait une boule énorme pour réussir à mesurer un angle, et cette boule ne tiendrait jamais dans un laboratoire...

 

Vers 1750, des scientifiques comme Bouguer ou Hutton essayèrent l'expérience à côté d'une montagne. En théorie, près d'une montagne, un fil à plomb ne devrait pas être exactement à la verticale puisque la montagne, située à côté l'attire très légèrement. La déviation était imperceptible et l'expérience ne fut pas véritablement concluante... Et puis il fallait pouvoir peser la montagne... dans tous les cas, on n'arriverait pas à obtenir mieux qu'une valeur très grossière de G.

 

Il fallait trouver une expérience équivalente avec un système d'une plus grande sensibilité.

 

Le pendule de torsion

Si vous prenez un pendule (une boule accrochée à un fil), vous pouvez faire tourner la boule très facilement autour de l'axe du fil. Tour après tour, le fil va se torsader et offrir de plus en plus de résistance. Si vous lâchez la boule, alors la force de torsion du fil va naturellement lui faire effectuer des tours dans l'autre sens, jusqu'au retour à son point de départ qu'elle dépassera du fait de son élan et torsadera le fil dans l'autre sens, etc.

A chaque passage, la boule tournera un tout petit peu moins que la fois précédente, et arrivera finalement au bout d'un certain temps à se retrouver immobile. C'est ce qu'on appelle des oscillations amorties.

Le premier tour n'offre quasiment pas de résistance (vous le voyez avec un bilboquet, ou en tournant la queue d'une pomme) et il suffit d'une très très faible force pour la faire tourner... tiens, tiens....

Si on prenait un matériau approprié, qui puisse naturellement se tordre facilement (un câble très fin par exemple), peut-être que la force de gravité suffirait à le faire tourner...

 

Alors... observons les caractéristiques d'un pendule... Trois facteurs permettent de déterminer le comportement d'un pendule :

 

  • La force de torsion du fil K qui tend à le ramener à sa position d'équilibre. Cette force est proportionnelle à l'angle θ avec lequel la boule à tourné par rapport à sa position d'équilibre.
  • Le frottement de l'air A qui tend à freiner la rotation du pendule. Cette force augmente avec la vitesse de rotation du pendule (vitesse angulaire  dθ/dt ).
  • Le moment d'inertie M qui, comme vous pouvez le voir sur une roue tournant à grande vitesse (qu'il est déconseillé d'essayer d'arrêter avec les mains...), un corps tournant possède une inertie qui fait qu'il devient difficile de modifier sa vitesse de rotation (donc de lui donner une accélération dθ²/d). 

Pour bien comprendre la suite de ce chapitre, je vous invite à lire l'annexe consacrée aux notions de base de mécanique, qui explique les formules utilisées dans la suite de ce chapitre.

 

L'expérience de Cavendish

 

pendule de torsion

En 1798, Henry Cavendish décida d'utiliser un pendule de torsion pour calculer  la constante de gravitation : Il créa donc un pendule constitué d'un câble très fin, de 0,05 millimètres (l'épaisseur d'un cheveu) en cuivre argenté de très faible force de torsion.

Au bout de ce câble, se trouve une baguette en bois rigide de 2 mètres de long, attachée au câble en son milieu. Enfin, deux boules de plomb de 730 grammes chacune et de 5 cm de diamètre sont fixées à chacune des extrémités de la baguette. L'ensemble constitue un pendule de torsion extrêmement sensible.

Au centre de la baguette, il fixe un petit miroir, parallèle à la baguette. En éclairant le miroir avec un rayon lumineux (aujourd'hui, on utiliserait un LASER), le rayon se réfléchit et retourne à son point de départ où se situe une règle. Lorsque le pendule oscille, le point lumineux sur la règle se déplace et si on connait la distance séparant la règle de l'axe du pendule, alors la mesure sur la règle de ce déplacement nous permettra de connaitre l'angle avec lequel le pendule a tourné.

 

Si vous avez lu l'annexe consacré aux notions de base de mécanique, alors vous savez que le moment cinétique des deux boules de plomb par rapport à l'axe est de L=2.m.r.v.

Comme v=r.dθ/dt, alors L=2.m.r².dθ/dt

La dérivée du moment cinétique est donc dL/dt=2.m.r².d²θ/dt = I. d²θ/dt avec I=2.m.r² le moment d'inertie des deux boules.

 

Enfin, le théorème du moment cinétique nous dit que dL/dt=Mf. On néglige les frottements de l'air sur les deux boules, ce qui fait que le seul moment qui s'exerce sur l'axe, c'est la force de rappel due à la constante de torsion K du fil de cuivre qui dépend de l'angle Mf=-Kθ.

 

Le théorème du moment cinétique nous donne donc :

dL/dt=Mf soit I. d²θ/dt + Kθ=0 soit encore  d²θ/dt + (K/I)θ=0

Cette équation différentielle est appelée équation du mouvement de notre pendule.

 

On retrouve la signature de l'équation de mouvement d'un oscillateur harmonique dont la période est de :

T=2.Π.√(I/K)=2.Π.√(2.m.r²/K) d'où K=8.Π².m.r²/T²

 

Une fois le pendule de Cavendish équilibré, il l'écarta très légèrement, et constata grâce au miroir et au faisceau lumineux qu'il oscillait autour de sa position d'équilibre avec une période d'oscillation T de 7 minutes (420 secondes). Une fois T connu, il pouvait calculer la constante de torsion K de son pendule.

K = (8×Π2×0,730×12)/420²=3,2675 × 10-4 kg.m².s-2.

 

Le système était si sensible que Cavendish dut enfermer son pendule dans une pièce spéciale car la moindre variation de température dans les éléments du système entrainait dans la pièce un courant d'air qui le faisait osciller. la moindre vibration le faisait aussi osciller. En fait, il ne pouvait même pas entrer dans la pièce et dut l'isoler en plaçant le système d'observation à l'extérieur.

 

Après plusieurs heures, le système était totalement immobile et stabilisé. Cavendish nota alors l'endroit exact ou le faisceau lumineux éclairait la règle.

 

C'est alors qu'il approcha comme sur le dessin deux grosses boules de plomb de 30 cm de diamètre et de 158 kg chacune à 22,5 cm (distance d) des petites boules. Il attendit à nouveau quelques temps que le pendule se stabilise à nouveau, et il constata que le faisceau lumineux s'était très légèrement décalé par rapport à sa position initiale.

Le décalage est très infime puisqu'avec une règle située à 5 mètres du miroir, il aurait observé une variation de 8,7 millimètres du faisceau. Avec les moyens de l'époque, vous imaginez la difficulté pour voir la différence entre 8,6 et 8,8 millimètres ! Vous n'avez qu'à prende une règle pour vous rendre compte de ce que représentre 0,1 millimètre !

 

Vous voyez sur le schéma que le décalage observé sur la règle correspond à cause de l'effet miroir au double de l'angle avec lequel le pendule a tourné. Cavendish en déduit que le pendule a tourné de 0,053°.

 

Il avait donc tous les éléments pour calculer G, et nous allons refaire ce calcul ensemble !

Comme le pendule est à nouveau en équilibre après avoir attendu quelques temps, alors cela signifie que le moment des force de gravitation des grosses boules de 158 Kg sur les petites est exactement égale au moment de la force de rappel du à la torsion du fil. Détaillons donc ces deux moments :

  • La force de gravitation de la grosse boule de masse M sur la petite boule de masse m est :

F = G.M.m/d²

Comme il y a deux grosses boules, la force est donc multipliée par deux, et son moment est donc :

MF=2.r.G.M.m/d²

  • Le moment de rappel du fil qui a tourné d'un angle θ est :

Mk=Kθ=8.θ.Π².m.r²/T²

 

L'équilibre du pendule nous donne donc l'égalité entre les deux moments et donc

2.r.G.M.m/d²= 8.θ.Π².m.r²/T², d'où

G=4. Π². r.θ.d²/M.T²

 

Avec :

r = 1 m

θ = 0,053° soit 0,00092 rad

d = 0,225 m

M = 158 Kg

T = 420 s

on trouve

G=(4×Π²×1×0,00092×0,225²)/(158×420²)=6,6×10-11 m3.kg-1.s2

 

Ce résultat est CAPITAL ! D'abord parce que la précision du résultat était impressionnante. En effet, la véritable valeur est de 6,73384.10-11 m3.kg-1.s2 ± 0.0008.10-11

C'est à dire que l'erreur de la valeur trouvée par Cavendish n'est que de 2% !

 

Vous remarquerez aussi que même aujourd'hui, cette constante, qui est l'une des plus importantes de l'univers n'est connue qu'avec une précision de 3 chiffres après la virgule. C'est très peu, mais cela s'explique par l'incapacité de réaliser une expérience plus précise... La simple présence des parois de la pièce par exemple fausse légèrement le résultat...

 

Ensuite, la connaissance de cette constante nous ouvre maintenant la perspective de pouvoir peser les planètes, de pouvoir peser le Soleil, de pouvoir peser n'importe quel objet de l'univers pour peu qu'on observe un satellite tournant autour. Vous allez voir quelques exemples d'application...

 

Calcul de la masse de la terre 

Reprenons la variante de la formule de Newton :

T²/r3=4π²/GM

 En isolant mintenant la masse M, il vient : 

M=4π²r3/G

 

Vous voyez donc qu'on peut déduire la masse de la Terre, par exemple en connaissant la distance r et la période T d'un objet tournant autour. Pour les trajectoires elliptiques, la 3ème loi de Kepler nous dit qu'il faut prendre r égale au demi grand axe de l'ellipse.

Prenons la Lune, par exemple, puisque c'est un objet que nous connaissons maintenant bien :

 

r = 384 400 000 m

T = 27,3 jours = 27,3×24×60×60 = 2 358 720 secondes

 

Et donc

M= 6.1024 Kg

 

Quel scoop ! On connait enfin la masse de la Terre ! Cela n'est pas très représentatif puisque personnellement j'ai du mal à m'imaginer ce que cette masse représente, mais si on calcule le ratio du nombre de kg sur le nombre de dm3 que représente le volume de la Terre, alors on connaitra sa densité :

D = 6×1024 / (4.Π.63 700 0003/3)= 5.54 !!!

Cette densité est beaucoup plus importante que ce qu'on imaginait et ce résultat fut vraiment une surprise, ce qui nous laisse penser que le centre de la Terre est composé de métaux comme le cuivre, ou le fer. L'étude plus tard des météorites confirmera que le noyau de la Terre est composé de Fer.

 

Calcul de la masse du Soleil

Utilisons le même principe pour calculer la masse du Soleil. En regardant la Terre tourner autour du Soleil, on a :

r = 150 000 000 000 m

T = 365,25 jours = 31 557 600 secondes

Et donc

M=2×1030kg

Tiens... on peut même calculer la densité du Soleil :

D = 2.1030 / (4.Π.70000000003/3)= 1,39

 

Encore plus fort !!!

 Nous allons juste pour quelques instants quitter les années 1700 pour revenir dans notre temps et utiliser des observations et calculs plus récents :

 

On peut peser la Voie Lactée 

Le Soleil est à 26000 Années lumière du Centre de la Voie Lactée et il fait le tour de la Voie Lactée en 226 millions d'années... donc nous avons

 

r = 26 000×300 000 000×365,25×24×60×60=246 115 584 000 000 000 000 m = 2,4 ×1020m

T = 226 000 000×365,25×24×60×60  = 7 132 017 600 000 000 = 7.13 ×1015 s

 

D'où

MG = 1.6 ×1041 kg

 

C'est à dire 80 milliards de fois le poids du Soleil. En partant du principe que le Soleil est une étoile de grosseur moyenne, on peut extrapoler que la Voie Lactée contient environ 100 milliards d'étoiles.

 

On peut peser un trou noir et plus particulièrement celui se trouvant au centre de la Voie Lactée

En 1992, grâce à l'optique adaptative utilisée sur le quatrième télescope du VLT (Very Large Telescope) du Chili, les astronomes ont pu observer dans l'infrarouge le centre de la Voie Lactée situé à 26000 années-lumière.

La précision de l'optique adaptative permettant de déformer en temps réel le miroir du télescope pour compenser les perturbations de l'atmosphère, permet d'observer cet endroit de notre Galaxie avec une précision de 0,02". Imaginez que l'aberration de la lumière est de l'ordre de 20", c'est à dire que les télescopes d'aujourd'hui permettent une résolution 1000 fois plus grande qu'en 1700 lorsque ce phénomène a été mis en évidence.

Une telle précision nous permet de voir à cette distance avec une résolution de moins d'une journée lumière, c'est à dire 150 UA, ce qui n'est pratiquement rien comparé aux distances astronomiques !

Après dix années d'observations régulières de cet endroit très spécial de la Voie Lactée, ils purent réaliser une sorte de film montrant les mouvements des étoiles entre 1992 et 2002 dans cette région du ciel.

Ce qu'ils virent fut renversant !

S2bis.PNGOn voit sur les clichés ci-dessus cette fameuse région. Une étoile attira particulièrement l'attention des astronomes. Elle est notée en rouge sur chacune des photos. Durant ces dix années, on voit cette étoile, baptisée S2 effectuer pratiquement une orbite complète autour de... rien du tout...

Trou-noir-voie-lactee.PNG

L'image ci-contre retrace l'ensemble des observations de cette étoile avec les incertitudes de position et l'échelle.

On voit donc que l'étoile S2 décrit une ellipse et qu'elle a parcouru entre 1996 et 2001 la même distance qu'il lui restera à parcourir entre le dernier point d'observation jusqu'à avoir effectué un tour complet. On peut donc imaginer que la période de révolution de cette étoile autour de ce rien (baptisé Sagittarius A*) est environs de 15 ans.

Le grand axe de son orbite représente environ 10 jours lumière, de telle sorte que le demi grand axe est d'environ 5 jours lumière.

 

Donc

r = 5×24×60×60×300 000 000= 155 520 000 000 000 m

T=15×365,25×24×60×60= 473 364 000 s

 

et donc

 

 

M=4π²r3/GT²= 5,7×1036 kg, soit 3 000 000 de fois la masse du Soleil !

 

Cela signifie donc que l'étoile S2 tourne autour d'un objet invisible qui pourtant est 3 millions de fois plus massif que le Soleil ! Cet objet est relativement petit puisqu'en 2002, S2 s'en est approché à moins de 0,5 jour lumière, soit moins de 100 UA (3 fois la distance Soleil-Neptune).

Autant de masse confinée dans si peu d'espace tout en étant invisible... Il ne peut s'agir que d'un trou noir ! Je vous invite d'ailleurs à consulter l'annexe sur ce sujet qui vous en dira plus sur ces objets fantastiques que sont les trous noirs !

 

Nous avons ainsi pu connaitre la masse des planètes du système solaire. Pour celles ayant des satellites (Mars, Jupiter, Saturne), c'était un jeu d'enfant.

Pour Mercure et Venus, en revanche, il fallut soit ruser en observant les perturbations qu'elles engendraient sur les trajectoires des comètes s'en approchant, soit attendre que des satellites artificiels soient envoyés autour de ces planètes pour la connaitre exactement, en fonction de leur distance et de leur période de révolution.

Repost 0
4 octobre 2013 5 04 /10 /octobre /2013 00:00

Au début des années 1800, la preuve du modèle héliocentrique avait été faite grâce à l'observation de l'aberration de la lumière, mais la fameuse parallaxe des étoiles n'avait toujours pas été observée.

 

A quelle distance se trouvaient donc les étoiles ?

 

On savait que seul le calcul de leur parallaxe permettrait de répondre à cette question.

On savait aussi que si on devait pouvoir un jour calculer la parallaxe d'une étoile, il fallait mieux commencer par une étoile très proche de nous, mais il y a tant d'étoiles dans le ciel... Comment savoir si une étoile est proche de nous ou non sans avoir même réussi à en calculer sa distance...

 

Parmi toutes les étoiles observables, une attira l'attention  des astronomes : 61 Cygni.

En 1792, Giuseppe Piazzi découvrit que cette étoile double avait un mouvement propre très important de 5" d'arc par an ce qui fait qu'on peut la voir, année après année, se promener à côté d'autres étoiles, qui, elles semblent fixes.

 

Qu'est-ce que le mouvement propre ?

Les étoiles comme le Soleil tournent autour du centre de la Galaxie dans un grand balai. Mais elles ne tournent pas toutes exactement à la même vitesse. Elles s'attirent les unes les autres, elles sont attirées par les amas proches et de ce fait, font des zigzags tout en tournant autour de la Voie Lactée, un peu comme des athlètes qui tournent tous autour d'une piste d'athlétisme mais pas exactement à la même vitesse.

Ainsi, une étoile tournant exactement à la même vitesse que le Soleil autour de la Voie Lactée nous paraîtra immobile dans le ciel au cours des siècles. Par contre, une autre étoile juste à côté tournant moins vite, ou s'approchant légèrement du Soleil ne se retrouvera pas toujours exactement à la même place dans le ciel siècle après siècle. Ce mouvement relatif des étoiles par rapport à celui du Soleil, c'est ce qu'on appelle le mouvement propre des étoiles.

Un mouvement propre très important comme celui de 61 Cygni peut traduire deux choses :

  • Soit sa différence de vitesse avec le Soleil est vraiment très importante
  • Soit l'étoile est très proche du Soleil et l'effet visuel de sa vitesse propre est augmenté du fait de sa proximité.

C'est la seconde hypothèse qui fut retenue. En clair, comme 61 Cygni avait un mouvement propre important, alors c'est qu'elle devait être très proche du Soleil, et comme elle devait être très proche du Soleil, alors c'était certainement un bon candidat pour essayer de calculer sa parallaxe.

 

C'est exactement ce à quoi s'attaqua le mathématicien et astronome Friedrich Bessel en 1838.

 

Pour vous donner une idée de la difficulté de cette tâche, rien de mieux qu'un petit parallèle.

  • 1° d'angle, c'est deux fois le diamètre de la pleine Lune c'est à peu près aussi un rond de 3.5 m situé à 200 m, ou 1 millimètre situé à 6 centimètres.
  • 1' d'angle, c'est 1/60ème d'un degré, soit 1/30ème de la pleine Lune (soit 100 km sur la Lune ou le cratère Brahe ou Copernic)... Ça commence à faire petit et c'est à peu près le plus petit détail observable à l'oeil nu. C'est à peu près 1 millimètre situé à 3,5 mètres, où un disque de 6 centimètres situé à 200 mètres.

On continue...

  • 1'' d'angle, c'est 1/60ème d'une minute d'arc, soit 1/1800ème de la pleine Lune (soit 1,5 km sur la Lune). C'est aussi 1 millimètre situé à 200 mètres !

 

La tâche d'Airy

Si vous avez déjà regardé une étoile dans un télescope ou une lunette astronomique, vous aurez peut-être remarqué que les étoiles n'apparaissent pas comme des points, mais comme des tâches diffuses.Tache_Airy.png

Cette tâche diffuse, appelée tâche d'Airy est en fait un phénomène bien connu de diffraction de la lumière lors de son passage à travers un trou. L'objectif de la lunette ou du télescope étant assimilable à un trou de même diamètre, la lumière est diffractée en passant à travers.

C'est à cause de ce phénomène que Galilée avait cru pouvoir calculer la distance des étoiles en mesurant la taille de cette tâche !

La largeur de la tâche centrale dépend directement du diamètre du trou et donc du diamètre du télescope. Plus le trou est petit, et plus cette tâche d'Airy sera grande.

Je vais vous passer le détail des calculs, mais sachez que son rayon en radians est de

R=1,22×λ/D

Soit en degrés

R=1,22×(180/π)×λ/D= 219,6λ/π.D.

avec λ la longueur d'onde du rayon de lumière et D le diamètre du trou.

 

La lumière visible a une longueur d'onde comprise entre 380 nanomètres et 780 nanomètres, et donc on peut prendre comme moyenne 580 nanomètres (c'est à dire 0,58 micromètres, soient 0,58 10-3 millimètres).

 

Bessel, à cette époque avait à sa disposition une lunette de 158 millimètres de diamètre, de telle sorte que pour lui, la taille de la tâche d'Airy était de :

R=(1,22×180×0,58×10-3×60×60)/(π×158)=0,92''

Cela signifie donc que 61 Cygni était visible dans sa lunette comme une tâche de 1,84'' de diamètre. Il était donc très difficile pour lui de savoir où était exactement l'étoile derrière cette tâche...

 

Regardez le schéma ci-dessous :

61-cygni.PNGOn y voit, en rouge, la parallaxe de l'étoile 61 Cygni.

Cette parallaxe n'est pas observable telle qu'elle, étant donné que l'étoile possède un mouvement propre de 5'' par an. De ce fait, sur 3 ans, c'est la trajectoire bleue que Bessel va observer. Cette trajectoire est légèrement oscillante du fait de la parallaxe.

 

Là où les problèmes arrivent, c'est à cause du fait que :

 

  • Ces mouvement sont très petits (regardez les à côté de 4 cm situés à 200 mètres) et ne sont observables que sur un an donc il faut être précis et patient.
  • Ces deux mouvements sont en réalité pollués par l'aberration de la lumière qui fait qu'en fait, la trajectoire de l'étoile vu de la Terre sera la courbe noire ! Vous voyez que maintenant la parallaxe n'est plus visible du tout !
  • La tâche en haut à gauche représente la tâche d'Airy de la lunette de Bessel. C'est à dire que l'étoile 61 Cygny apparaissait dans son télescope comme une tâche bien plus grosse que mouvement de la parallaxe !

Ainsi, si Bessel avait dû dessiner le graphique ci-dessus, il aurait certainement ressemblé à cela :

61-cygni-Airy.PNGOn voit tout de suite que le trait bleu oscille très légèrement et que le calcul de la parallaxe de 61 Cygni est donc possible, mais qu'il faut résoudre le problème de l'aberration de la lumière car la courbe noire est inexploitable.

Je vous rappelle que Bessel n'avait à son époque ni appareil photo, ni caméra CCD, ni ordinateur et qu'une telle précision relevait tout de même plus du miracle... Et pourtant, il a réussi à le faire.

 

Il va tout d'abord résoudre le problème de l'aberration de la lumière.

Si vous vous souvenez, l'aberration de la lumière vaut pour toutes les étoiles puisqu'elle est due au rapport entre la vitesse de la terre autour du Soleil et la vitesse de la lumière.

Une petite variante existe cependant. En effet, pour les étoiles situées à 90° de l'écliptique, l'aberration de la lumière donnera à l'étoile un mouvement en cercle presque parfait, alors que pour une étoile située sur l'écliptique, le mouvement de l'étoile sera réduite à un trait. Entre les deux, le mouvement sera une ellipse plus ou moins aplatie.

Par contre, deux étoiles très proches dans le ciel auront quasiment le même mouvement dû à l'aberration de la lumière.

De ce fait, Bessel avait compris que s'il pouvait trouver une étoile très proche de 61 Cygni, celle-ci subirait le même mouvement du à l'aberration qu'elle. Si en plus Bessel avait la chance de tomber sur une étoile lointaine avec une parallaxe et un mouvement propre très faible, alors il lui suffisait de prendre les coordonnées de 61 Cygni par rapport à cette étoile de référence pour obtenir le trait bleu (à partir duquel on a dit que la parallaxe était visible).

 

On peut se faire une idée en allant sur le site de David's Astronomy Pages ou le journal of double star observations   où des astronomes amateurs ont refait le calcul de Bessel, l'un avec un télescope de 130 mm de diamètre et l'autre un télescope Meade de 200 mm de diamètre, c'est à dire des diamètres à peu de choses près équivalents à celui qu'à utilisé Bessel à son époque. La différence (et non des moindres, c'est que eux, étaient équipés d'une caméra CCD et d'ordinateurs.

 

Le principe est assez simple. L'astronome pointe le centre de la tâche d'Airy de 61 Cygni (qui est une étoile double donc deux étoiles sont observables) et note les coordonnées exactes.

Cette opération était répétée tous les 20 jours environ.

A chaque mesure, ils notaient aussi avec précision les coordonnées de quelques étoiles très proches de 61 Cygni qui étaient censées avoir le même déplacement qu'elle au fil des jours du fait de l'aberration de la lumière.

Ces étoiles étaient supposées être très éloignées et n'avoir un déplacement au fil des jours uniquement du à l'aberration de la lumière, leur parallaxe et mouvement propres étant négligeables.

A chaque nouvelle mesure, ils notaient la moyenne de modification des coordonnées des autres étoiles (et donc leurs déplacements dus à l'aberration de la lumière). Ils n'avaient alors plus qu'à retrancher cette différence à la position de 61 Cygni pour corriger sur cette dernière l'effet de l'aberration de la lumière.

 

La position ainsi corrigée de 61 Cygni laissait alors apparaitre son mouvement propre et sa parallaxe :

parallaxe-61-cygni.PNG

 

Vous voyez que, comme nous l'avions prévu, en plus du mouvement apparent de l'étoile, on voit celle-ci osciller autour de sa trajectoire ! C'est sa parallaxe !

 

Rappellez-vous que la petite équerre de 1'' en bas à gauche représente 1 millimètre à 200 mètres de distance ! C'est de la chirurgie astronomique !

 

Une fois ce graphique établi, il ne reste plus alors qu'à étirer l'écart par rapport à la ligne théorique de mouvement propre de l'étoile, et à afficher les points sur un axe temps pour mettre en évidence la sinusoïde de la parallaxe de l'étoile.

 

parallaxe-61-cygni-2.PNG

 

Sur cette sinusoïde, on voit que l'amplitude est d'environ 0,5''. Elle correspond aux positions extrêmes d'où est vue l'étoile d'un bout à l'autre du diamètre de l'orbite de la Terre, soit 2UA.

On peut donc en déduire que la parallaxe de 61 Cygni est donc de la moitié, soit 0,25''.

 

Bessel, quant à lui, trouva une parallaxe de 0,31'' et la réalité est de 0,.287''.

 

 

Sans caméra, sans appareil photo, on ne peut que s'incliner devant la précision du travail de Bessel !

 

Chapeau, monsieur Bessel !

 

Maintenant, on peut alors calculer enfin la distance de l'étoile 61 Cygni !

Vous vous souvenez sûrement que la parallaxe, c'est en fait de la triangulation. Ainsi, on sait que lorsque l'on se déplace de 1 UA sur le côté, l'étoile bouge de 0,31''. Dit autrement, cela signifie que vue de 61 Cygni, la distance Terre-Soleil représente 0,31'' soit 0,31/60/60=8,61×10-5 degrés. Nous n'avons qu'à appliquer la trigonométrie, et nous en déduisons que la distance Terre-61 Cygni représente :

1/tan(8,61×10-5)=665 370 UA

Cela représente 99 805 551 409 810 km (pratiquement cent mille milliards de km) soit 10,54 années-lumière !

 

Imaginez que l'on fasse tenir le système solaire (c'est à dire le Soleil et ses huit planètes) dans un ballon  de football (un ballon de football fait 11 cm de rayon). Ce ballon représenterait donc une sphère de 30UA de rayon, soit l'orbite d'Uranus. A cette échelle, l'étoile 61 Cygni se trouverait à 2,5km, ce qui vous laisse imaginer le vide qui existe en les étoiles...

Si maintenant, c'était le Soleil qui avait la taille d'un ballon de football, 61 Cygni se trouverait à 8000 km de distance !

 

La sonde Voyager 1, lancée en 1977 poursuit actuellement sa course vers l'espace... C'est l'objet créé par l'homme le plus éloigné du système Solaire. Elle se trouve actuellement à 120 UA de la Terre et s'éloigne à 17 km/s (0,0056% de la vitesse de la lumière). Elle a parcouru, en 35 ans 0,018% de la distance qui nous sépare de 61 Cygni (à condition qu'elle se dirige vers elle, ce qui n'est pas le cas d'ailleurs). A ce rythme, il lui faudra environ 190000 ans pour se trouver aussi éloignée de nous que se trouve l'étoile 61 Cygni...

 

Repost 0
3 octobre 2013 4 03 /10 /octobre /2013 00:00

Lorsque vous entendez une voiture de police passer devant vous, vous entendez le son de la sirène changer entre le moment où elle s'approche et celui où elle s'éloigne.

Si vous regardez un grand prix de formule 1 à la télévision, vous entendez nettement le son plus aigu de la voiture qui approche et plus grave une fois qu'elle est passée devant la caméra et qu'elle s'éloigne.

 

Ce phénomène est appelé l'effet Doppler car il fut exposé en 1842 par Christian Doppler.

 

effet-doppler.PNG

Regardez son explication avec le schéma ci-contre :

 

  • Une source rouge immobile émet un bip à intervalle régulier. L'homme qui se situe à droite de la source entend le bip à la même fréquence qu'elle a été émise de la source rouge.
  •   Une source bleue bougeant vers la droite émet un bip à intervalle régulier. Le premier Bip est émis à un certain endroit et se propage en cercle à partir de ce point . Le deuxième bip est émis à droite du premier car la source s'est déplacée. Ce bip se propage en cercle à partir de ce nouvel endroit, et ainsi de suite.

 

On voit que l'homme situé à droite de la source entend les bips plus rapprochés que la fréquence avec laquelle ils ont été émis et celui situé à gauche plus éloignés.

 

Maintenant que nous avons vu l'explication de ce phénomène, il ne reste plus qu'à le calculer.

Pour plus de simplicité, nous allons partir du principe que l'observateur est immobile et que c'est la source du bip qui bouge. Vous pourrez, si vous le souhaitez, refaire ces mêmes calculs en ajoutant un observateur mobile et une source mobile.

 

Analysons le phénomène en détail :

Calcul-doppler.PNGAu temps T0, une source émet un signal.

Cette source se déplace vers la droite à une vitesse Vs, et l'onde du signal se propage à la vitesse Vo. On part aussi du principe que la fréquence du signal est f, c'est à dire que la source émet f signaux par seconde, ou elle emmet un signal toutes les 1/f secondes.

 

Comme le signal se propage à la vitesse Vo, lorsque le prochain signal sera émis, 1/f seconde plus tard, le premier signal se sera éloigné de la source, d'une distance de λ=Vo/f.

En effet, comme v=d/t, alors d=v.t d'où λ=Vo.(1/f)=Vo/f

 

λ est appelée la longueur d'onde du signal, c'est à dire la distance entre deux signaux. Si le signal n'était pas un bip, mais une onde, alors la longueur d'onde serait la distance entre deux sommets de l'onde sinusoïdale.

 

1/f secondes après l'émission du premier signal, la source s'est déplacée vers la droite d'une distance de Vs/f.

La source (et donc le deuxième signal) est donc à ce moment éloignée du premier signal (qui s'est propagé) de  :

Vo/f - Vs/f vers la droite, et Vo/f + Vs/f sur la gauche.

 

Naturellement, un observateur situé à droite de la source verra alors le signal lui parvenir avec une longueur d'onde de λ'=Vo/f - Vs/f et celui situé vers la gauche verra le signal lui parvenir avec une longueur d'onde de λ''=Vo/f + Vs/f.

 

Concentrons-nous sur la première formule : λ'=Vo/f - Vs/f

Nous avons vu que la longueur d'onde d'origine est λ=Vo/f. Ainsi, en remplaçant Vo/f par λ, dans l'expression de λ', on obtient :

λ'=Vo/f - Vs/f = Vo/f - Vs.Vo/(f.Vo)= Vo/f.(1-Vs/Vo) = λ.(1-Vs/Vo)

 

En appliquant le même principe pour la seconde formule, on obtient :

λ"=Vo/f + Vs/f = Vo/f + Vs.Vo/(f.Vo)= Vo/f.(1+Vs/Vo) = λ.(1+Vs/Vo)

 

Ces formules nous donnent une relation entre les longueurs d'onde. Il est intéressant d'avoir aussi une relation avec les fréquences (car en effet, pour le cas de notre formule 1, le son est plus souvent exprimé en fréquence).

Nous avons donc, avec λ=Vo/f, λ'=Vo/f' et λ''=Vo/f''

Vo/f'=Vo/f.(1-Vs/Vo)= 1/f .(Vo-Vs.Vo/Vo) = 1/f .(Vo-Vs) et donc  

f'=f.(Vo/(Vo-Vs))

 

et par le même principe,  

f"=f.(Vo/(Vo+Vs))

 

Allez, une petite mise en pratique tout de même...

Reprenons notre formule 1 qui fonce en pleine ligne droite à Vs=305 km/h (soit 305×1000/(60×60) = 84,7 m/s).

Le son se propage dans l'air à la vitesse de Vo=340 m/s.

Supposons que le moteur de notre formule 1 émette un bruit en faisant un LA (f=440 hz).

Lorsque la voiture approche de nous, nous entendrons un son à la fréquence f'=440.(340/(340-84,7))=586 Hz, soit un RE !

Lorsque la voiture s'éloigne de nous, nous entendrons un son à la fréquence f''=440.(340/(340+84,7))=352 Hz, soit un FA !

 

Imaginez-vous la différence en regardant ces notes sur la gamme :

 DO DO# RE MIb MI  FA FA# SOL SOL# LA SIb SI DO DO# RE MIb MI FA FA# SOL SOL# LA SIb SI DO

 

Cela nous fait une différence de 5 notes, soient 9 demi-tons ! Faites-y attention la prochaine fois que vous regarderez un grand prix, les 5 notes de différence sont bien là !

 

Mais, j'y songe ! le bruit est une onde et c'est pour cela que l'effet Doppler s'entend... mais si vous lisez les annexes, vous verrez que la lumière aussi est une onde ! Cela signifie donc que l'effet Doppler se voit ! C'est ce que proposa Hippolyte Fizeau en 1848 en généralisant l'effet Doppler pour toute onde électromagnétique.

 

Reprenons notre formule 1 verte (longueur d'onde du vert 540 nm, ou 540×10-9 m). Vous remarquez au passage qu'on parle plus souvent de fréquence pour les sons et de longueur d'onde pour la lumière, et c'est pour cette raison que nous avons exprimé nos formules avec les deux notions !

Normalement, la couleur de la voiture devrait changer selon qu'elle approche, ou qu'elle s'éloigne, c'est logique... Cependant je n'ai jamais remarqué cela à la télévision... Faisons tout de même le calcul pour voir la nouvelle couleur de la voiture....

 

La vitesse de la lumière dans le vide est de 300 000 km/s, soient 300 000 000 m/s. La nouvelle longueur d'onde de la couleur de la voiture à l'approche est donc de :

 

λ'=λ.(1-Vs/Vo)=540.(1-84,7/300000000) = 539,99985 nm, soit... un vert...En fait, la différence de longueur d'onde est tellement minime qu'elle est imperceptible. Cette différence vient essentiellement du rapport entre la vitesse de la formule 1 et la vitesse de l'onde.

Dans le cas du son, la vitesse de la voiture représente 25% de la vitesse du son. En revanche, elle ne représente que 0,0000282% de la vitesse de la lumière.

 

Il faut donc des vitesses beaucoup plus importantes pour qu'un changement de couleur puisse être observable...

 

Quelles sont les vitesses élevées qu'on peut observer dans le monde qui nous entoure ? 

  • La Terre tourne autour du Soleil en 365,25 jours et donc parcourt pendant cette période 2Π×150 000 000 000 mètres, ce qui fait une vitesse de 2Π×150 000 000 000/(365,25×24×60×60) = 29 865 m/s
  • Le Soleil est à 26 000 années-lumière du centre de la voie lactée et en fait le tour en 226 millions d'années, soit une vitesse de 220 000 m/s
  • La galaxie d'Andromède se rapproche de la Voie Lactée à environs 300 000 m/s.

  Donc, une lumière verte (longueur d'onde 540 nm) nous venant de la galaxie d'Andromède nous apparaitra avec une longueur d'onde de :

λ'=λ.(1-Vs/Vo)=540.(1-300000/300000000)=539.46 nm

 

Cela peut vous paraitre encore très peu, mais il faut savoir que les instruments d'aujourd'hui, tels que le spectromètre HARPS installé au chili permet de distinguer une différence de vitesse de seulement 1 m/s !

Autant vous dire qu'il peut facilement mettre en évidence le rapprochement de la galaxie d'Andromède, il peut aussi mesurer sa vitesse de rotation, il peut mesurer la vitesse d'éloignement ou de rapprochement des étoiles voisines du Soleil, etc. Mais ces mesures sont d'une simplicité presque inintéressante pour HARPS qui est capable, pour les étoiles proches de mesurer non seulement leur vitesse de rapprochement, mais également les petites oscillations dans leurs positions dues à la présence de planètes !

Pour vous donner un exemple, Jupiter entraine une oscillation du Soleil de 13 m/s, Saturne entraine une Oscillation du Soleil de 3 m/s, et la Terre entraine une oscillation du Soleil de 0,1 m/s ! Nous reviendrons sur ce point dans l'annexe consacrée à la recherche des exoplanètes.

 

Pour visualiser ce décalage, rien de tel qu'un graphique, non ?

Nous avons vu que le décalage de fréquence d'une source approchant est

f'=f.(Vo/(Vo-Vs))

 

La gamme des notes de musique est la gamme tempérée, c'est à dire qu'il y a exactement le même rapport de fréquence entre deux notes de musique. De plus, au bout de 12 demi-tons, on change d'octave, c'est à dire que la fréquence est multipliée par deux.

La fonction qui permet de décrire cela est f(n)=f0.2n/12 où f0 est une note qui nous sert de point de départ.

Pour notre exemple, nous allons prendre f0 = 440 hz et donc f(n) = 440.2n/12

Donc, avec cette formule, je peux donc calculer que la fréquence du SI (2 demi tons au dessu du LA) est de 440.22/12 = 494 Hz

 

Le but est de réaliser une courbe avec en abscisse la vitesse du véhicule, et en ordonnée le décalage en 1/2 tons. Nous allons exprimer les vitesses en km/h et non en m/s, pour que le résultat soit plus parlant, car cela n'a aucun impact sur la formule.

Dans ce cas, la vitesse du son sera de (340×60×60)/1000 = 1224 km/h.

 

nous avons f' = 440.2n/12=440.(Vo/(Vo-Vs))=440.(1224/(1224-Vs)

 

Pour isoler n, nous allons utiliser les propriétés de la fonction exponentielle.

 

La fonction exponentielle

On appelle Exp(x) la fonction exponentielle définie par Exp(x) = ex, avec e≈2,71828.

Sa fonction inverse est la fonction ln(x) de telle sorte qu'on a Exp(ln(x))=x=eln(x)

Sachant cela, on peut jouer avec ces fonctions pour exprimer par exemple des puissance. Regardez par exemple :

2x=(Exp(ln(2))x=(eln(2))x=ex.ln(2)

 

Sachant cela, on peut ainsi exprimer 2n/12 comme étant e2.ln(n/12), et donc, notre expression calculée plus haut devient :

e(n/12).ln(2)=(en.ln(2))1/12=1224/(1224-Vs)

Donc en.ln(2)=(1224/(1224-Vs))12 et n.ln(2)=ln((1224/(1224-Vs))12) et enfin

n=(ln((1224/(1224-Vs))12))/ln(2) 

dop.PNG

Grâce à ce graphique, on voit qu'un décalage d'un demi ton a lieu pour une vitesse d'environ 50 km/h.

A 600 km/h, le décalage est d'une octave. Il est de deux octaves pour une vitesse de 920 km/h...

 

Un point dont nous n'avons pas parlé pour simplifier les calculs mais qui est important, c'est que nos calculs fonctionnent si l'objet nous fonce directement dessus. Si vous écoutez une voiture passer depuis le bord de la route, il faudra prendre en compte l'angle sous lequel la voiture se déplace.

Ainsi, si la vitesse réelle de la voiture est de Vs, la vitesse perçue par effet Doppler par l'observateur sera de Vs.cos(α)

 

Nous pouvons utiliser cet effet Doppler à notre avantage.

Concrètement, si un objet approche de moi en émettant un son, en l'écoutant approcher, j'entendrai un son légèrement plus aigu, nous venons de la voir. Si je connais la fréquence du son réellement émis, alors en utilisant l'abaque ci-dessus, je pourrai connaitre la vitesse de l'objet (à son angle d'approche près). En revanche, si je ne connais pas cette fréquence d'origine, jamais je ne pourrai connaitre sa vitesse avec la seule fréquence perçue.

 

C'est pour cette raison que souvent, la détermination de la vitesse d'un objet se fait en envoyant nous-même un son, et en écoutant la fréquence de l'écho qui nous parvient.

Ainsi, si un objet s'approche de moi alors que j'émets un son dans sa direction, par effet Doppler, la personne située sur cet objet entendra un son légèrement plus aigu. De ce fait, le son qu'il réfléchira vers moi aura ce même son plus aigu. Or, comme l'objet s'approche de moi, alors le son plus aigu qu'il me renvoie sera perçu par moi encore un peu plus aigu.

Tout cela peut se mettre facilement en formule et connaissant la fréquence du son que j'ai émis et enregistrant la fréquence de l'écho que j'ai reçu, alors je peux en déduire la vitesse de l'objet.

C'est exactement ce principe qui est utilisé par les radars de la gendarmerie à ce détail près que l'onde émise n'est pas un son (ça ne serait pas très discret sinon...) mais des micro-ondes, de fréquence comprise entre 1Ghz et 300Ghz.

 

Pour les étoiles, on ne peut pas envoyer un signal quel qu'il soit et enregistrer la fréquence de l'écho simplement parce que les objets sont si loins qu'il faudrait un signal avec une intensité phénoménale, et ensuite, on devrait attendre, plusieurs années, voire plusieurs milliers d'années pour entendre l'écho.

La solution allait venir de l'analyse du spectre des étoiles. Je vous invite pour cela à consulter l'annexe consacrée à l'analyse de la composition des étoiles pour comprendre ce principe.

 

Les étoiles, puisqu'elles contiennent de l'hydrogène dans leur chromosphère ont dans leur spectre des raies noires d'absorption caractéristiques de cet atome d'hydrogène aux fréquences 410 nm, 434 nm, 486 nm et 656 nm.

Tout naturellement, si cette étoile s'approche de nous, alors j'observerai les bandes caractéristiques de l'hydrogène sur des longueurs d'onde plus courte (décalage vers le bleu) et si elle s'éloigne, j'observerai ces bandes noires sur des longueurs d'onde plus longue (décalage vers le rouge).

 

doppler-raie-spectrale.PNGRegardez sur cet exemple trois raies spectrales de 3 étoiles différentes.

La première est une étoile fixe et je constate que sur son spectre, les raies d'absorption de l'hydrogène sont exactement à la bonne place.

La deuxième étoile contient un spectre dont les raies sont décallées d'une quinzaine de nanomètres vers le rouge. J'en déduis donc que l'étole s'éloigne de nous à une vitesse d'environ 10 000 km/s.

La troisième étoile contient un spectre décalé de près de 80 nm vers le rouge. J'en déduis donc que l'étoile s'éloigne de nous à une vitesse d'environ 50 000 km/s.

 

C'est par cette méthode que nous avons pu savoir la vitesse des étoiles voisines par rapport à nous et ainsi connaitre la structure spirale de la Voie Lactée. C'est ainsi que nous avons pu savoir que la Galaxie d'Andromède se rapproche de nous, et qu'elle est aussi en rotation. Nous pouvons même observer, pour une même étoile, une bande d'absorption un peu plus large que la normale, trahissant une variation de vitesse à la surface de l'étoile, souvent révélateur d'une rotation très rapide de l'étoile.

Repost 0