23 octobre 2013 3 23 /10 /octobre /2013 00:00

Cette idée peut paraître basique, mais avant de calculer la taille d'un objet, il faut avant tout connaître sa forme...

Ainsi, tant que le monde était persuadé que la Terre était plate, il était impossible d'en calculer sa taille.

 

C'est donc grâce à des astronomes d'avant-garde, que les distances les plus communes ont été calculées avec une ingéniosité à couper le souffle !

Mais comme vous l'avez vu dans les chapitres précédents, toutes les distances connues dans l'antiquité l'étaient en nombre de diamètre Terrestre. Malgré tout l'effort et tous les calculs que cela représentait, tant qu'on n'avait pas calculé ce fameux diamètre de la Terre, il était impossible de se représenter réellement ces valeurs.

 

Ce calcul allait révolutionner le monde de l'astronomie (un peu comme le sera la troisième loi de Kepler quelques siècles plus tard) et nous allons l'étudier dans ce chapitre.

 

La forme de la Terre


L'idée d'une Terre plate est intuitivement ce qui nous vient à l'idée dès qu'on met le nez dehors. C'est donc normal que nos ancêtres aient d'abord imaginé la Terre comme quelque chose de plat...

Bon, d'accord, mais quelle serait alors la taille de ce quelque chose ? La Terre a-t-elle une taille ? est-elle finie ou infinie ? Qu'y a-t-il aux bords ?

Ces questions questions peuvent nous faire sourire aujourd'hui, mais elle ont dû causer de nombreuses nuits blanches aux premiers astronomes de l'antiquité...

 

Pourtant, certains phénomènes ne trompaient pas :

 

Phénomène 1 :

Le Soleil, la Lune, les planètes et les étoiles tournent autour de la Terre. Donc la Terre a une dimension finie (sinon on ne pourrait pas tourner autour) !

 

Phénomène 2 :

Les nuages restent éclairés par le Soleil le soir alors que le Soleil a déjà disparu pour les observateurs situés au sol. Au bord de la mer dans les régions montagneuses on voit que les montagnes restent éclairées par le Soleil alors que vu de la plage, le Soleil a déjà disparu. Cette excellente série d'images extraites du site megapixel.gkarnet.org nous montrent bien ce phénomène :

 

Lever soleil

On y voit un lever de Soleil sur la Dent de Crolles dans le massif de la Chartreuse. On voit clairement que le sommet de la dent est éclairé avant le bas de la dent.

Si la Terre était infinie, tous les objets seraient éclairés en même temps le matin et passeraient dans l'ombre en même temps le soir ! Notre Dent de Crolles aurait été subitement éclairée d'un coup ce qui n'est pas le cas.

 

 

Même avec les bases de la trigonométrie de l'époque d'avant JC, des calculs auraient pu être réalisés :

"Le sommet de la montagne voisine haute de 1500 m passe dans l'ombre 4 minutes après sa base".

A partir de cette simple constatation, on est déjà en mesure de calculer la taille de la Terre (à la louche, bien sûr) :


4 minutes, c'est 1/360ème de journée. Si on arrondit que le Soleil décrit un cercle, alors il parcourt 1° en 4 minutes puisqu'un cercle compte 360° !

Donc, comme la Terre est plate, si je me recule suffisament loin de ma montagne pour que sa hauteur représente 1°, alors je serai exactement au bout du monde !!!!

La preuve en image, comme dirait je ne sais plus qui....

Taille Terre plate

 

Voyons voir... 1,5km / tan(1°) =86 km!!! Pas plus ?

 

Jamais je n'aurais cru que le bout du monde était si près ! Pourtant, c'est un calcul, donc ça doit être vrai ! Je prends donc mon sac à dos et me dirige plein ouest pendant 86 km... Et là, non seulement je ne trouve pas la fin du monde, mais je vois que les montagnes ont toujours leur sommet éclairé après que leur base soit passé dans l'ombre avec le même rapport que précédemment...

Cela veut dire que le bout du monde est encore à 86km !!!! C'est à en perdre la tête !!!!

 

Bien évidement, nous savons que ce calcul est faux car la Terre n'est pas plate, mais ce calcul aurait pu servir de démonstration par l'absurde pour démontrer justement qu'elle n'était pas plate !

 

En revanche, en partant du principe que la Terre est ronde, on peut, par cette observation, avoir une idée de sa taille :

Taille-terre-ronde.PNG

 

 

En appliquant le trigonométrie avec ma montagne, j'obtiens :

Cos(1°) = R/(R+1,5)

C'est à dire :

R = (1,5×cos(1°))/(1-cos(1°))

C'est à dire R = 9847 km

 

Bien entendu, nous sommes très loin de la réalité, mais nous avons un ordre de grandeur qui est intéressant.

 

 


Phénomène 3 :

Au bord de la mer, un observateur voit disparaître la coque d'un bateau qui s'éloigne avant la voile. De manière plus flagrante (car dans l'antiquité, les jumelles n'existaient pas encore), le haut des montagnes des terres où arrivent les marins apparaissent avant le reste des terres...  bateaux derrière horizon

 

Phénomène 4 :

Vers 600 Av JC, Anaximandre avait observé que les étoiles tournaient autour de l'étoile polaire qui elle, restait fixe au cours de la journée et même au cours des saisons.

Pourtant, en fonction du lieu où on se trouvait, elle était plus ou moins haute dans le Ciel : l'angle sous lequel on la voit change donc en fonction de notre position sur la Terre : Plus on va vers le Nord et plus elle monte, plus on va vers le Sud et plus elle descend.


Cette observation ne pouvait pas convenir avec une Terre plate sur laquelle on aurait vu toujours les étoiles sous le même angle... Anaximandre pensa donc que la Terre était un cylindre...

 

 

C'est à partir de ce phénomène 4 qu'Eratosthène eut une idée géniale vers 200 Avant JC : s'il était difficile de calculer la position des étoiles avec précision, il en était autrement pour le Soleil. En effet, comme le Soleil éclaire, l'ombre des objets qu'il éclaire dépend directement de sa hauteur ! Et une ombre peut se calculer très facilement !

 

Le 21 juin (le soir de la fête de la musique en Egypte), à midi précises, il fit la constatation suivante :

A Assouan (Syène à l'époque) le Soleil éclairait le fond des puits. Il était donc exactement situé au-dessus de sa tête.

A la même date, à Alexandrie un peu plus au nord, un Obélisque de la ville formait une ombre avec un angle de 7,2 degrés.

 

De cette constatation, trois conclusions étaient possibles (voir le schéma ci-dessous) :

  • Possibilité 1 : La Terre est plate et cet angle est seulement du à la faible distance du Soleil à la Terre (angle 7.2° en noir)
  • Possibilité 2 : La Terre est ronde et le Soleil est très loin de la Terre et cet angle de 7,2° (en bleu) n'est dû qu'à la rotondité de la Terre
  • Possibilité 3 : Cet angle de 7,2° (en rouge) est dû aux deux phénomène précédents combinés...

calcul taille Terre

 

Il fallait bien faire un choix.


Si la Terre était plate, alors ce calcul ne permettait pas de calculer la taille de la Terre, mais de calculer la distance du Soleil (ce qui aurait été intéressant d'ailleurs !).

C'est exactement ce qu'avait fait Anaxagore en 450 avant JC : Il avait trouvé que le Soleil était une boule de 60 Km située à 6500 Km de la Terre. Bien sûr, cela paraît ridicule maintenant, mais c'est l'occasion tout de même de rendre hommage à Anaxagore, qui fut condamné à mort pour avoir été le premier à affirmer que le Soleil était incandescent, et que la Lune, formée de terre, réfléchissait la lumière du Soleil !


Son calcul est d'ailleurs très facile à reproduire avec l'observation d'Eratostene. Comme la différence d'angle sous lequel on voit le Soleil fait 7,2°, cela signifie que vu du Soleil, la distance Syène-Alexandrie de 800 Km représente 7,2°...

Donc le soleil se trouve à 800 km/tan(7,2°) = 6332 km ! Et donc, comme le diamètre apparent du Soleil est de 0,5°, alors sa taille est de 6332 × tan(0,5°) = 55 km !


On retrouve exactement le résultat d'Anaxagore ! Quel dommage si Anaxagore avait imaginé la Terre ronde, avec son expérience, il aurait pu en calculer le diamètre 200 ans avant Eratostene !

 

Pour Eratostene, cette distance de 6332 km était absolument impossible étant donné que quelques années plus tôt, Aristarque avait calculé que la Terre était 3 fois plus grande que la Lune et que la Lune était situé à environ 38 diamètres terrestres...

Le simple fait qu'il y avait 800 km entre Syène et Alexandrie montrait que la Terre était au moins de cette taille et donc que la Lune était au moins située à 30400 km de la Terre...

Or les éclipses de Soleil étaient la preuve que le Soleil était derrière la Lune... Donc les 6632 Km étaient faux donc la Terre n'était pas plate !

 

Intuitivement, Eratosthène partit du principe que le Soleil était tellement éloigné de la Terre que les 800 km entre Syène et Alexandrie ne modifiaient pas cet angle et qu'il était donc uniquement dû au fait que la Terre était ronde... Il avait raison ! En revanche, il n'existait aucune preuve pour confirmer son hypothèse.

 

Comme un tour complet de la terre fait 360°, et que les 7,2 premiers degrés représentaient 800 km, alors la terre avait une circonférence de 800km × 360°/7,2° = 40000 km soient 12732 Km de diamètre!

 

C'est un résultat assez hallucinant et qui, objectivement tient plus du coup de chance qu'à autre chose quand on connait les imprécisions qu'il y avait dans ce calcul, mais la démarche était tout simplement géniale :

 

  • Eratosthène n'avait aucune preuve que le Soleil était si éloigné de lla terre que les 7,2° n'étaient dus qu'à la rotondité de la Terre
  • Assouan n'est pas exactement situé sur le tropique du cancer, mais 1° au Nord. Le Soleil n'était donc pas exactement au Zenith le 21 juin à midi
  • Assouan et Alexandrie ne sont pas situés sur le même méridien. Il y a en effet près de 3° de différence, ce qui correspond à 12 minutes d'écart. Il aurait du donc calculer l'ombre de l'obélisque d'Alexandrie à midi et 12 minutes. A ce moment de la journée, entre 12h00 et 12h12, le Soleil a monté de 0,4° que n'a donc pas pris en compte notre ami... mais heureusement pour lui, cet erreur a compensé la première !
  • A cette époque, la distance entre Assouan et Alexandrie était calculée en fonction du temps mis par les caravanes de chameaux pour rallier les deux villes (autrement dit une mesure très fiable !!!).

 

Et pourtant ! Il est tombé sur une valeur avec une précision étonnante !

 

 

Beaucoup ont dû le penser aussi que cette mesure était très imprécise, puisque de nombreuses autres tentatives de mesurer la circonférence de la Terre s'en suivirent (Ptolémée, Al Farghani, Pierre d'Ailly...). Tous étaient certains de s'approcher plus de la vérité mais s'en éloignaient. Ce calcul d'Eratosthène est donc surtout devenu célèbre une fois qu'on a su véritablement qu'il était proche de la réalité, et est resté en second plan pendant plus de 1500 ans !

 

C'est ainsi qu'en 1484, Christophe Colomb, en se basant sur les calculs de Ptolémée, était persuadé que la circonférence de la Terre était de 28.000 Km tout au plus. Avec cette taille, il comprit qu'il serait plus rapide de rejoindre "les Indes" (c'est à dire la Chine et le Japon) en passant par l'Atlantique depuis l'ouest de l'Europe.

Et c'est ainsi qu'il atterrit sans le savoir en Amérique et baptisa les premiers hommes qu'il aperçut "les Indiens".

Pour l'histoire, Colomb est mort en étant certain qu'il qu'il avait voyagé quatre fois aux Indes.

 

Je vous propose donc de tenter à nouveau l'expérience d'Eratostène...

Pour cela, je vais vous donner quelques indications importantes :

L'année dernière, j'ai donné un bâton de 1 mètre de haut à un ami qui habite à Accra au Ghana.

Je lui ai demandé, chaque 1er du mois, à 12h00 GMT de mesurer l'ombre de son bâton posé verticalement,  et de le noter... Le Ghana est intéressant dans notre expérience car sa longitude est la même que celle de la france. Voici les données qu'il m'a envoyées :

 

1er Janvier : ombre de 54,5 cm dirigée vers le nord

1er Février : ombre de 42,3 cm dirigée vers le nord

1er Mars : ombre de 24,1 cm dirigée vers le nord

1er Avril : ombre de 2,8 cm dirigée vers le nord

1er Mai : ombre de 16,8 cm dirigée vers le sud

1er Juin : ombre de 29,6 cm dirigée vers le sud

1er Juillet : ombre de 31,7 cm dirigée vers le sud

1er Août : ombre de 22,3 cm dirigée vers le sud

1er Septembre : ombre de 4,8 cm dirigée vers le sud

1er Octobre : ombre de 15,9 cm dirigée vers le nord

1er Novembre : ombre de 37,1 cm dirigée vers le nord

1er Décembre : ombre de 52 cm dirigée vers le nord

 

Bon.. d'accord... je vous ai menti et je n'ai pas d'ami au Ghana... j'ai triché et utilisé un simulateur de position du Soleil comme celui-ci : sunearthtools.com 

Par contre, promis, juré, je vais jouer le jeu pour calculer la taille de l'ombre en France.

 

Si vous voulez aussi faire le test, il vous faudra connaître la distance entre votre ville et la ville d'Accra au Ghana.

Nous allons donc utiliser un Site de calcul des distances.

 

Voici quelques distances à vol d'oiseau en fonction de certaines grandes villes de France :

Accra - Nantes : 4642 Km

Accra - Marseille : 4238 Km

Accra - Paris : 4822 Km

Accra - Lille : 5030 Km

Accra - Lyon : 4504 Km

 

Je suis donc impatient d'attendre le prochain 1er du mois pour faire le calcul :

 

Avant de faire nos calcul, vous devez savoir que la principale difficulté de cette méthode était justement de calculer la distance entre deux villes... Soit elle était petite et mesurable avec précision mais alors la différence d'angle du Soleil était insignifiante, soit la distance était très grande, mais n'était connue qu'avec une très mauvaise précision...

Il fallut attendre plusieurs centaines d'années pour que cette difficulté soit résolue, et nous verrons cela dans un prochain chapitre.

 

Comme on peut le voir sur le schéma ci-contre, l'angle a-b qui est la différenMesure de la Terrece de latitude entre les deux villes, est égal à la différence d'angle entre les deux angles d'ombre, et on a :  

 

Tan(a) = Ombre au Ghana / Taille du bâton au Ghana

Tan(b) = Ombre en France / Taille du bâton en France

 

donc

 

a = Arctan(Ombre au Ghana / Taille du bâton au Ghana)

b = Arctan(Ombre en France / Taille du bâton en France)

 

et donc 

 


                                                                   Distance(Accra-Ville de France) * 360

Circonférence de la terre = --------------------------------------------------------------------------------------------

                                                                 Ombre en France                                  Ombre au Ghana

                                             Arctan( ----------------------------------) - Arctan(----------------------------------)

                                                           Taille du bâton en France                 Taille du bâton au Ghana

 

Le 1er Novembre 2011, à 13h précises, j'ai donc fait un premier test. Je n'ai pas utilisé de bâton, mais un simple crayon de papier de 15 cm. La taille de l'ombre était de 28 cm. Comme j'habite à Nantes, et que la distance Nantes-Accra est de 4642 km, j'ai donc trouvé :

 

                                                               4642 * 360

Circonférence de la terre = ------------------------------------------ = 40300 Km ! Pas mal, hein ?

                                              Arctan(28/15) – Arctan(37,1/100)

 

J'a refait une nouvelle mesure le 1er janvier 2013 à 13h précises. Cette fois ci, j'ai utilisé un manche à balais de 125 cm de longueur. La taille de l'ombre était de 349 cm, ce qui nous fait donc :

 

 

                                                               4642 * 360

Circonférence de la terre = ------------------------------------------ = 40071 Km ! 

                                              Arctan(349/125) – Arctan(54,5/100)

 

 

 


Maintenant, nous savons

 

Là, c'est carrément une révolution ! Grâce au calcul d'Eratostene, nous allons pouvoir connaître enfin les véritables distances calculées jusqu'à présent... 

 

- Quelle est la Taille de la Terre ?

Pour Eratostene : 12732 Km de Diamètre

Pour nous :12755 Km

En réalité : 12742 Km de Diamètre

- Quelle est la Taille de la Lune ?

Pour Aristarque 4247 Km de Diamètre

Pour Nous 3682 Km de Diamètre

En réalité 3474 km de Diamètre

- Quelle est la distance Terre - Lune ?

Pour Aristarque : entre 95557 Km et 127410 Km

Pour Nous avec la méthode d'Aristarque : entre 267313 Km et 356417  Km

Pour nous avec la trigonométrie : 340216 Km

En réalité : 384400 Km

- Quelle est la Distance du Soleil ?

Pour Aristarque : entre 1,7 Millions de Km et 2,5 Millions Km

Avec la méthode d'Aristarque s'il avait pu calculer α = 0.15° : entre 36,5 Millions de Km 60 Millions de Km

Pour nous : aucune estimation car calculer l'angle α est trop difficile

En réalité : 149,6 Millions de Km

- Quelle est la Taille du Soleil ?

Pour Aristarque : entre 76446 Km et 127410 Km

Avec la méthode d'Aristarque s'il avait pu calculerα = 0.15° : entre 1.6 et 1.7 Millions de Km

Pour nous : aucune estimation car calculer l'angle α est trop difficile

En réalité : 1.392 Millions de Km

 

La question qu'on se pose, c'est :

Pouvait-on maintenant faire encore mieux sans instrument ? Hipparque allait bientôt nous donner la réponse...

 

Le calcul des distances dans l'antiquité : La distance de la Lune, le retour

         

 

Partager cet article

commentaires

clebs 27/12/2013

merci, très bon exposé et intéressant :)

Xavier 28/03/2014

Merci pour cet article très bien écrit. Je vais enfin pouvoir essayer de répondre à mon fils de 7 ans qui me demandait comment on pouvait mesurer la taille de la Terre sans les satellites ;-)

Zolimp 11/11/2014

Condamné à mort mais pas exécuté.
Anaxagore fut condamné à mort à l’issue d’un procès pour impiété, vers -431. Ses adversaires lui reprochaient sa théorie cosmique : là où le regard théologique voyait des dieux dans les astres, lui ne les considérait que comme des masses incandescentes. Il enseignait que la lune (formée de terre) reflétait la lumière du soleil, qui est une pierre chaude. Condamné finalement comme athée mais échappant à la peine de mort, il se retira à Lampsaque, une colonie de Milet en Asie mineure, où il mourut en -427.

Partager cette page Facebook Twitter Google+ Pinterest
Suivre ce blog