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2 octobre 2013 3 02 /10 /octobre /2013 00:00

A l'origine, on pensait que la vitesse de la lumière était infinie. On n'avait bien essayé de faire des expériences, mais n'ayant aucune idée de sa valeur, on ne savait pas quel type d'expérience il fallait faire.

Du coup, on tatonnait...

 

Gallilée essaya de faire des expérience avec des lampes depuis deux colines... Descartes, fidèle a sa réputation pensait que si la lumière avait une vitesse finie, on verrait un décalage dans les heures des éclipses de Lune et de Soleil par rapport aux prévisions selon que la Lune est plus ou moins proche de la Terre... Pour lui, la vitesse de la lumière était infinie, c'est à dire que la propagation de la lumière était instantannée.

 

Et puis il y eu Römer et la preuve que la vitesse de la lumière était finie. Il y eut ensuite Bradley et l'aberration de la lumière.

Ces deux expériences ou constatations permettaient de se faire une idée de sa vitesse, mais la valeur exacte était dépendante de la valeur de l'Unité Astronomique et donc sa précision en dépendait.

On avait une idée que sa vitesse était de plusieurs centaines de milliers de kilomètres par seconde, et suite au transit de Venus de 1769 et le calcul de l'unité astronomique, on savait même qu'elle était autour de 300.000 km/s.

 

Mais on devait pouvoir faire une expérience en laboratoire, un peu à l'image de ce qu'avait fait Cavendish pour calculer la constante de gravitation, où toutes les variables pouvaient être connues avec certitude.

Comme on savait à peu près sa valeur, on pouvait donc réfléchir sur la grandeur du laboratoire, le type d'expérience qu'il fallait faire. On savait déjà qu'il fallait oublier les expériences de type lampe de poche et talky walky (en plus ils n'existaient pas à l'époque).

 

Regardez cette expérience possible par exemple :

Expérience imaginaireUne roue d'un mètre de rayon tourne autour d'un axe. Cet axe est spécial car il est constitué d'un cylindre dont la surface est un miroir.

Sur l'extérieur de la roue est située une plaque photographique percée d'un trou en son centre par lequel un LASER éclaire l'axe. Comme il éclaire l'axe qui est un miroir, alors le rayon LASER revient exactement à son point de départ, sans toucher la plaque photographique.

Si la roue se met à tourner très vite, alors le temps que la lumière parcourt deux fois son rayon (aller et retour), la roue aura légèrement bougé et le LASER éclairera légèrement à côté de son point de départ, imprimant alors la plaque photographique. Comme l'atteinte de la vitesse maximale de la roue se fera progressivement, nous verrons alors un trait sur la plaque tel que montré à droite du dessin.

La mesure de la taille du trait et la connaissance de la vitesse maxi de rotation de la roue nous indiquera quelle est la vitesse de la lumière...

 

Cette expérience est-elle réalisable ?

Avec une roue d'un mètre, à quelle vitesse devra-t-on faire tourner cette roue pour que le trait soit de, disons 1 millimètre, sachant que sa vitesse est de l'ordre de 300 000 000 m/s.

 

L'aller-retour de la lumière sur la longueur 2R prend un temps t=2R/c.

 

La vitesse de rotation de la roue étant de ω (en rad/s), alors en un temps t, la roue aura bougé d'un angle θ=ω.t, et donc la taille du trait rouge est de d=θ.2.π.R/2.π=θ.R donc, on a t=θ/ω=d/Rω

 

Ainsi  

t=2R/c et t=d/Rω d'où  d/Rω=2R/c, et donc ω=d.c/(2.R2)

Soit, pour d=1 millimètre =0,001 m, R=1 mètre, et c=300 000 000 m/s, ω=150 000 rad/s, c'est à dire 23 873 tours/sec !!! A cette vitesse, notre miroir qui tourne va à la vitesse de 150 000 m/s... 500 fois la vitesse du son...oups.... ca va un peu vite... trouvons autre chose comme expérience.

 

En 1849, Hippolyte Fizeau a l'idée d'utiliser une roue dentée et de s'en servir comme d'un stroboscope. Concrètement, si vous faites tourner une roue dentée et que vous vous approchez des dents de la roue, vous les verrez les dents passer successivement devant vos yeux, masquant, puis vous laissant voir alternativement le paysage qui est derrière, comme un stroboscope, d'autant plus rapide que la roue tournera vite et surtout qu'elle contiendra plus de dents.

 

Voici l'exéprience que propose Fizeau :

calcul-vitesse-de-la-lumiere.PNGA Suresnes (à côté de la Défense), une lampe éclaire un miroir sans teint incliné à 45°.

Le rayon lumineux part donc directement sur la droite et passe juste à travers les dents d'une roue dentée contenant 720 dents, immobile, avant de s'éloigner, et frapper un mirroir situé à 8633 m de là, à Montmartre. Le rayon repart donc dans l'autre sens, traverse à nouveau la roue en passant juste entre deux dents, et passe finalement à travers le miroir sans teint, où un observateur peut donc le voir.

Il vous a fallu bien plus de temps pour lire ce trajet de la lumière qu'en réalité, puisqu'avec une vitesse de l'ordre de 300 000 000 m/s, il faudra à la lumière 60 microsecondes, ou 0,06 millisecondes pour parcourir les 17266 mètres.

 

On commence alors à faire tourner doucement la roue. Au début, elle tourne doucement et les 60 microsecondes semblent presque figer le temps :

La lumière passe entre deux dents, fait l'aller et retour, et repasse dans l'autre sens entre les deux mêmes dents qui n'ont pratiquement pas eu le temps de bouger (un scénario à la Matrix, quoi !).

Mais si la roue dentée atteint une certaine vitesse, alors le temps de faire l'aller retour, la lumière se cognera contre une dent... et de ce fait, l'observateur, situé derrière, ne verra plus la lumière !

 

Donc, on récapitule... Je fais mes réglages pour vérifier le bon alignement de tous mes miroirs et de ma roue dentée. Alors je fais tourner la roue, tout en regardant la lumière qui m'arrive. Au bout d'une certaine vitesse, la lumière qui part à travers les dents reviendra se cogner dans les dents et du coup, je n'observerai plus de lumière. A cet instant précis, je note la vitesse de rotation de la roue dentée.

Je recommence plusieurs fois cette expérience pour obtenir une moyenne de vitesses de rotation de la roue.

La connaissance de la distance totale parcourue par la lumière, du nombre de dents de la roue et de la vitesse de rotation de la roue au moment de la disparition du faisceau me permettront d'en déduire la vitesse de la lumière !

 

Comment va-t-on faire cette déduction ? Démonstration :

  • Soit c la fameuse vitesse de la lumière qu'on veut trouver.
  • Soit D la distance entre Suresne et Montmartre de 8633 mètres.
  • Soit Vr la vitesse de rotation de la roue au moment où la lumière disparait en tours par seconde. Fizeau trouva une vitesse moyenne de 12,6 tours par seconde.
  • Soit n le nombre de dents de la roue, c'est à dire 720

Je crois qu'on a fait le tour pour les données...

 

Le temps nécessaire à la lumière pour faire l'aller retour Suresnes-Montmartre est de t = 2D/c

La roue contient n dents. C'est à dire qu'elle contient n fois une dent et un creux les uns derrière les autres. Ainsi, une dent, ou un creux représente 1/(2.n)èmes d'un cercle total.

Comme la vitesse de la roue est de Vr tours par seconde, cela signifie qu'elle tourne de Vr×2×n dents par seconde. Ainsi, la roue aura tourné d'une dent en t=1/(2×Vr×n) secondes. Or je sais que lorsque la roue tourne à la vitesse Vr, le creux qui avait laissé passer la lumière est remplacé par une dent dans l'exact temps qu'il aura fallu à la lumière pour faire l'aller et retour ! Nous avons donc égalité des temps des deux formules que nous avons trouvées !

 

Ceci nous donnc donc : 2D/c=1/(2×Vr×n), et donc

c = 4×D×Vr×n=4×8633×12,6×720=313 274 304 m/s

 

Cette fois ci, on avait enfin une mesure de la vitesse de la lumière indépendante de toute autre mesure mal connue. Cependant, cette expérience avait toujours des zones de flou qui n'étaient pas acceptables :

  • La distance Suresnes-Montmartre n'était peut être pas si précise que cela.
  • Le moment ou la lumière est totalement occultée était téterminée par le cerveau d'un observateur qui pouvait avoir du retard, interpréter de manière erronée ce moment exact... bref, certaines données étaient encore subjectives, et la même expérience effectuée par deux personnes différentes aurait pu donner deux résultats sensiblements différentes

Il fallait donc trouver une nouvelle expéricene avec la possibilité de mesurer cette vitesse (avec une règle par exemple) d'une manière que tout le monde puisse trouver le même résultat.

 

En 1862, Jean Bernard Léon Foucault eu l'idée d'utiliser le dispositif suivant :

foucault vitesse lumiere 

Une source S émet un rayon lumineux. Ce rayon passe à travers un miroir sans teint M et le traverse. Il continue son chemin et frappe un miroir M0 incliné d'un certain angle. Le rayon est donc renvoyé par M0 et va ensuite etre renvoyé par des mirroirs convexes M1, M2, M3, M4 et M5. M5 est incliné de telle sorte que le rayon de lumière retourne vers le miroir M4, puis M3, M2, M1 et enfin M0.

Le rayon retourne alors frapper le mirroir M et est réfléchi sur une mire, observée par un microscope.

 

Les mirroirs convexes doivent être parfaitement bien règlés, mais il n'existe qu'un seul angle α du miroir M0 qui permet à la lumière de revenir frapper la mire. En effet, le moindre décallage, fait que le rayon n'ira plus exactement frapper le centre du miroir M1. De ce fait, il rebondira avec un décallage augmenté du fait de la convexité du miroir, s'eloignera encore plus du centre du miroir M2, etc. Au final, le rayon ne pourra pas faire l'aller et retour sur tous ces miroirs (et donc se projetter sur la mire) si l'angle du premier miroir M0 n'est pas d'un angle α exactement.

 

Que se passera-t-il si on commence à faire tourner lentement le premier miroir M0 ?

Si l'angle d'inclinaison du miroir n'est pas de α, alors le rayon n'éclairera pas la mire, et lorsqu'il sera d'exactement α, le rayon éclairera la mire. On se retrouvera donc à observer la mire qui sera éclairée en intermitence (un peu comme un stroboscope).

 

Mais si le miroir tourne très vite, alors un pénomène intéressant va se produire :

Pendant le trajet aller retour de la lumière entre M0 et M5, le miroir aura tourné très légèrement d'un angle δα et le rayon ne repartira pas du miroir M0 sous le même angle qu'il est arrivé. Il frappera donc le miroir sans teint M à un endroit légèrement décallé et donc éclairera la mire à un autre endroit. que celui éclairé lorsque le miroir était immobile. Ce phénomène est expliqué dans le schéma ci-dessous :

foucault-vitesse-lumiere2.PNG

Une fois que le rayon a rebondi sur les 5 miroirs et est revenu sur le miroir M0, le miroir a tourné d'un angle δα. De ce fait, le rayon arrivant sur le miroir M0 ne fait plus un angle α avec la perpendiculaire du miroir, mais un angle  α + δα. Le rayon ressort donc avec ce même angle α + δα symétriquement à la perpendiculaire du miroir.

La différence d'angle entre le rayon arrivant sur M0 et celui en ressortant érait de 2  α et est maintenant de 2α + 2δα. La différence entre le rayon étant arrivé de S et celui ressortant vers S est de 2δα.

 

Alors... à nos calculs...

  • La vitesse de la lumière recherchée est c.
  • La distance totale parcourue par la lumière entre le miroir M0 et le miroir M5 est D
  • La vitesse du miroir M0 est de ω tours par seconde.
  • La distance entre la mire et M0 est L. On se rend bien compte de cette distance si on crée l'image virtuelle de la mire sans tenir compte du miroir sans teint.
  • Sur la mire, le décallage entre le rayon initial et le rayon dévié par la rotation du miroir est de d

Comme la lumière fait un aller-retour entre M0 et M5, alors elle parcourt la distance 2D. Naturellement, le temps mis par la lumière pour parcourir cette distance est :

T=2D/c

Comme le miroir tourne à la vitesse de ω tours par seconde, soient 360×ω degrés par seconde, alors, pendant ce fameux temps T, le miroir aura tourné de  

δα = 360×ω ×T degrés

Vu sur une distance de L, ce décalage d'angle se verra comme un décalage sur la mire de

d=L.sin(2δα)

 

De la dernière formule, on en déduit : δα=(1/2).sin-1(d/L)

En remplacant la valeur de δα obtenue dans la deuxième formule, on a :

(1/2).sin-1(d/L)= 360×ω ×T soit T=[(1/2).sin-1(d/L)]/[360×ω]

 

Et finalement, en remplacant la valeur de T obtenue dans la première formule, on obtient :

 [(1/2).sin-1(d/L)]/[360×ω]=2D/c

et donc

c=(4D×360×ω)/(sin-1(d/L))

 

 

Foucault était parvenu, par un système de souflerie à faire tourner le miroir M0 à 400 tours par seconde.

La distance entre chaque miroir était de 4 mètres, de telle sorte que la distance D était de 4×5=20 mètres.

 

La distance entre le miroir M0 et la mire était de 20 centimètres, soit 0,2 mètre.

Enfin, avec cette rotation du miroir de 400 tours par seconde, il observa sur la mire, avec son microscope, une déviation de 0,135 millimètres, soit 0,000135 mètre.

 

Foucault avait alors tous les éléments pour calculer la vitesse de la lumière :

c=(4×20×360×400)/(sin-1(0,000135/0,2))=297 869 503 m/s

 

 

La véritable valeur de la vitesse de la lumière étant de 299 792 458 m/s, il avait réussi à l'estimer à 0,6% près !

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1 octobre 2013 2 01 /10 /octobre /2013 00:00

Depuis Bessel en 1821, et grâce à la triangulation, on connaissait maintenant la distances des étoiles les plus proches, et on avait ainsi pris conscience de plusieurs choses importantes :

  • Toutes les étoiles ne sont pas à la même distance.
  • Les étoiles situées à la même distance ne brillent pas toutes avec la même intensité.
  • Les étoiles sont vraiment loin et l'univers est en fait plus grand que tout ce qu'on pouvait imaginer.

Mais comme toute réponse amène des questions (c'est le propre de l'astronomie), on a vite commencé à se demander jusqu'où pouvait bien s'étendre l'univers, quelle était sa taille, et surtout, ce qu'il y avait après.

 

Bien entendu, on comprit vite que la triangulation avait ses limites, et que des étoiles situées des milliers de fois plus loin que 61 Cygni, si il y en avait, ne pouraient jamais être mesurées de cette manière ou en tout cas pas avant un certain temps.

 

Retournons quelques instants dans le contexte de l'époque :

  • L'univers et notre galaxie ne représentent alors qu'une seule chose: l'univers visible. En fait, les astronomes ont compris que la Voie Lactée qu'on observe par nuit claire est composée de milliers d'étoiles. L'ensemble de ces étoiles forme la Galaxie, mais un débat existe sur le fait que objets nébuleux comme Andromède appartiennent à la Galaxie, où en soient plus éloignées.
  • On connaît la distance par triangulation de quelques étoiles situées à une dizaine d'années lumières, mais la plupart paraissent bien plus loin.

Reprenons notre exemple de la parallaxe de l'étoile 61 Cygni. Calculer la parallaxe de cette étoile correspondait à peu près à distinguer une bille de 1 millimètre à 600 mètres de distance.

Calculer la distance du grand nuage de Magellan par triangulation reviendrait à distinguer une bille de 1 millimètre à 10 000 km de distance ! Quant au calcul de la distance de la gallaxie d'Andromède par triangulation, cela reviendrait à distinguer une bille de 1 millimètre à 140 000 km de distance !

Par comparaison, les télescopes de 8 mètres du Very large telescope au Chili, ont une résolution de 0,017'', c'est à dire qu'ils permettent de distinguer une bille de 1 millimètre à 12,5 km de distance. Vous voyez un peu le chemin qu'il reste à parcourir !!

 

Même si on n'en connaissait pas la distance, on comprit rapidement, grâce à l'arrivée des télescopes, que la nébuleuse d'Andromède était un regrouppement d'étoiles si dense et si éloignées qu'elles formaient un ensemble diffus, tout comme notre Voie Lactée. On comprit alors qu'elle était si loin qu'il serait impossible d'en calculer la distance par triangulation !

 

Comment faire alors pour calculer la distance de ces ensembles d'objets ?

 

Si toutes les étoiles brillaient avec la même intensité et avaient la même taille, alors la simple connaissance de leur brillance (ou de leur magnitude) permettrait de connaitre leur distance en la comparant à la distance d'une étoile de référence dont on aurait pu calculer la distance avec précision (comme le Soleil, par exemple).

 

En effet, la lumière est émise par la surface de l'étoile. Donc plus la surface est importante et plus l'étoile est brillante. Deux fois plus de surface implique donc deux fois plus de brillance.

On sait aussi que plus un objet est éloigné, plus il apparait petit, et donc plus la surface apparente vue (et donc sa brillance) est petite.

La surface d'un disque en fonction de son rayon R est de π.R2.

Gràce au théorème de Thales, on sait que le diamètre d'un objet situé deux fois plus loin apparaitra deux fois plus petit, et un rayon apparent deux fois plus petit nous donne donc une surface apparente π.(R/2)2 = 1/4.π.R2 quatre fois plus petite et donc une brillance quatre fois plus petite. Plus généralement, la brillance d'une étoile décroit avec le carré de sa distance.

 

Ainsi, par exemple, sachant que la magnitude de l'étoile Sirius est de -1,46, et que celle du Soleil est de -26,74 cela représente une différence de 25,58 magnitudes. Comme un écart d'une magnitude correspond à une différence de luminosité de 2,51, alors ont peut dire que Sirius est 2,5125,58= 16,7 milliards de fois moins brillante que le Soleil. Si Sirius est de la même taille que le Soleil, alors cela signifie qu'elle en est √(16,7×109)=130 000 fois plus éloignée. Elle doit donc se situer à 2 années-lumières de la Terre. En réalité, Sirius est à 8,55 années lumières de la Terre, soit 4,25 fois plus loin que ce que nous avons calculé. Cela vient du fait, qu'en réalité, Sirius est 25 fois plus brillante que le Soleil, mais comment le savoir ?

 

Si on récapitule, si deux étoiles ont exactement la même brillance dans le ciel, cela peut signifier :

  • Soit qu'elles brillent avec la même intensité et qu'elles sont de même taille (des jumelles, en quelque sorte) et donc elles sont à la même distance de nous.
  • Soit qu'elles ne brillent pas avec la même intensité, n'ont pas la même taille, mais leur différence d'éloignement permet de compenser cette différence (par exemple si l'une d'entre elles est située deux fois plus loin, mais brille quatre fois plus).

Nous voyons dans une annexe consacrée à la composition des étoiles, qu'une différence de brillance due à une température plus importante se traduira dans le spectre de l'étoile par un glissement vers le bleu pour les plus brillantes (car plus chaudes) et vers le rouge pour les moins brillantes (car plus froides).

En revanche, pour des étoiles de même température, rien ne permet de savoir si la brillance est augmentée par la taille ou par la distance... donc retour à la case départ.

 

Regardez par exemple ces trois étoiles du ciel qui ont des magnitudes très proches :

  • Fomalhaut, l'étoile la plus brillante du poisson autral, située à 25 années-lumières et de magnitude 1,17. Elle est 2 fois plus grosse que le Soleil, sa température est de 8 700°C et de fait, brille 18 fois plus que le Soleil.
  • Mimosa, la deuxième étoile la plus brillante la croix du Sud, située à 350 années-lumière et de magnitude 1,25. Elle est 8 fois plus grosse que le Soleil, sa température est de 28 000°C, et de ce fait brille comme 25 000 Soleil. Nous verrons très bientôt d'ailleurs que cette étoile est aussi une étoile variable particulièrement intéressante (au moins pour notre chapitre), car c'est une Céphéide.
  • Deneb, l'étoile la plus brillante de la constellation du Cygne, située à 1600 années-lumière et de magnitude 1,25. Elle est 110 fois plus grosse que le Soleil, sa température est de 8 400°C, et de fait, elle brille comme 60 000 Soleil.

 

Vous voyez donc que ces trois étoiles sont très différentes, par leur température, leur taille et leur éloignement, mais pourtant leur brillance depuis la Terre est la même.

 

En 1784, deux étoiles étranges sont observées par les astronomes. Il s'agit de Delta Cephei et de Eta Aquilae. On savait depuis quelques temps que certaines etoiles comme Algol de la constellation de Persee avaient un eclat qui variait dans le temps, mais celles là avaient un comportement étrange que je vais vous expliquer ci-dessous :

 

A cette époque, on pensait que la seule raison de la variation d'éclat des étoiles étaient leur éclipse par un compagnon. En clair, la variation de luminosité était un symptome caractéristique des étoiles multiples.

 

etoiles variables a eclipse

Pour comprendre comment fluctue la luminosité d'une étoile double, analysons ensemble en exemple avec le dessin ci-contre. Cette étoile est composée d'une étoile ayant un éclat E1 et d'une seconde étoile plus petite ayant un éclat E2.

  • Lorsque les deux étoiles sont visibles, l'éclat général est donc de E1 + E2.
  • Lorsque la plus petite étoile passe derrière la plus grosse (éclipse), elle disparait et l'éclat général devient E1.
  • Enfin, lorsque la plus petite étoile passe devant la plus grosse (transit), elle masque une partie de la première étoile, et de se fait, l'éclat de celle-ci diminue de E'1. L'éclat général est donc de E1 - E'1 + E2.

Nous avons donc trois luminosités différentes qui se répètent. Si la plus petite étoile est plus brillante que la grosse alors le transit sera plus lumineux que l'éclipse. Ce sera en revanche l'inverse si la petite étoile est moins brillante que la plus grosse. Mais dans tous les cas, éclipse et transit correspondent à une baisse de luminosité globale de l'étoile.

 

Si certaines étoile respectaient parfaitement la théorie (comme Algol ou Sirius), d'autres ne respectaient pas du tout ce graphique, et c'est cela qui les rendaient intéressantes !!!

Alors qu'on s'attendait à voir les maxima et les minima de luminosité s'étendre sur une certaine durée, ils étaient très ponctuels. De plus, la baisse et l'augmentation n'était pas rapide, mais très progressive. Enfin, on n'observait pas deux niveau de minima différents, mais un seul.

5.4 - Les céphéides

Cela ne faisait donc aucun doute : la variation de luminosité de ces étoiles n'était pas due au fait qu'elles étaient doubles, mais à un autre phénomène...

Vous verrez dans l'annexe sur la température et la composition des étoiles, qu'une étoile est un équilibre entre une pression nucléaire qui tend à faire grossir l'étoile, et la gravité qui tend à la faire rétrécir. Lorsque l'étoile est dans sa séquence principale, l'équilibre est trouvé et l'étoile est stable, mais si la masse de l'étoile est comprise entre 5 et 15 fois celle du Soleil, lorsqu'elle arrive en fin de vie, l'équilibre est rompu d'une manière très singulière.

Imaginez la situation suivante...

Nous sommes en plein hiver, et chez moi, le chauffage fonctionne à merveille. J'arrive à avoir une température générale de 20°C constante....C'est à dire que j'ai trouvé le bon réglage de mon chauffage qui fait que la chaleur des radiateurs compense exactement la fraicheur qui provient de l'extérieur.

En revanche, mon voisin n'a manifestement pas la même chance... comme j'ai vue sur ses fenêtres, je le vois effectuer un ballais intéressant qui me montre que son chauffage va trop fort... Dès que la température intérieure de sa chambre dépasse les 23°C, il ne supporte plus et est donc obligé d'ouvrir en grand sa fenêtre pour rafraichir sa chambre... la température baisse ainsi régulièrement dans la chambre, mais en dessous de 18°C, il fait froid et le voisin doit fermer sa fenêtre, jusqu'à ce que la température atteigne à nouveau les 23°C grâce au chauffage... Ainsi, je le vois ouvrir sa fenêtre toutes les 10 minutes dans sa chambre... Comme son problème est généralisé à toutes les pièces de sa maison, je le vois aussi ouvrir la fenêtre de son salon toutes les 15 minutes... Comme son salon est plus grand, alors le chauffage met plus de temps à faire passer la température de la pièce de 18°C à 23°C et inversement, le fait d'ouvrir la fenêtre rafraichis moins vite le volume plus important de la pièce...

Ainsi, en calculant la fréquence avec laquelle mon voisin ouvre et ferme les fenêtre des différentes pièces de sa maison, je pourrai en déduire la taille des pièces de sa maison...

Figurez-vous que c'est un peu le même principe pour ces étoiles particulières pour lesquelles l'équilibre entre pression de radiation et gravité n'est pas constant et fait que l'étoile gonfle et rétrécit, entrainant une modification de sa luminosité avec une période dépendant de la taille de l'étoile.

Bien entendu, si la première céphéide fut découverte en 1784, ce n'est qu'en 1926, grâce à Arthur Stanley Eddington, qu'on comprit exactement quelle était la nature de leur changement de luminosité.

En 1908, Henrietta Leawitt analyse des photographies du petit nuage de Magellan, une nébuleuse visible dans l'hémisphère sud, dont les observations ont montré qu'elle était composée d'une multitude d'étoiles. Personne ne sait à l'époque si ce regroupement appartient ou non à la Voie Lactée, ni quelle en est sa distance d'ailleurs, mais une chose est certaine : toutes les étoiles du petit nuage de Magellan sont regroupées et sont donc à peu de choses près à la même distance de nous.

Le travail de fourmi d'Henrietta Leawitt est simple : comparer toutes les photographies du nuage de Magellan prises à des moments différents afin d'identifier des variations d'éclats dans ses étoiles.

Aujourd'hui, un programme informatique nous ferait cela en quelques secondes, mais à l'époque, il fallait comparer, à la loupe, chacun des points brillants de la photographie... Mais pour Henrietta Leawitt, c'est son quotidien : elle passe en effet ses journées à comparer des milliers de plaques photographiques qui lui permettront d'identifier dans le ciel plus de 2000 étoiles variables ! Elle découvre ainsi 16 étoiles dans le petit nuage de Magellan dont les caractéristiques sont les mêmes que celles découvertes en 1784 : ce sont des céphéides.

En les classant par hasard par périodes croissantes, elle s'aperçoit qu'elle les classe aussi par magnitude décroissante... elle se dit donc qu'à priori, plus les étoiles de type céphéide sont brillantes, et plus il semble que leur période soit élevée. Pour en avoir le cœur net, elle parvient à découvrir 9 céphéides supplémentaires dans le petit nuage de Magellan, et note précisément leur magnitude maximale, magnitude minimale et leur période afin de pouvoir afficher tout cela dans un graphique :

Le graphique qu'elle obtient tout d'abord est le suivant :

Elle voit que l'augmentation de la période augmente très rapidement (presque exponentiellement) avec la luminosité de l'étoile.

Pour en avoir le cœur net, elle affiche donc le même graphique, mais avec cette fois-ci l'axe des ordonnées (y = période en jours) sur une échelle logarithmique. Elle obtient alors deux courbes presque droites !

Elle conclut donc que la période des céphéides du petit nuage de Magellan varie exponentiellement avec leur magnitude... Or toutes les étoiles du petit nuage de Magellan sont situées à la même distance, et de ce fait, si deux étoiles ont des magnitudes différentes dans ce nuage, c'est qu'elles ne brillent pas avec la même intensité ! Donc

Pour les Céphéides, la période et la brillance sont liées

Cela n'a l'air de rien, mais nous étions sur le point de faire une avancée fantastique pour le calcul des distances dans l'univers ! En effet, si deux céphéides ont la même période, cela veut dire qu'elles ont la même luminosité. Si en revanche, ces deux Céphéides n'ont pas du tout la même magnitude, alors je suis certain que la différence de magnitude n'est due qu'à la différence d'éloignement entre les deux puisqu'elles ont la même luminosité intrinsèque !

Si j'arrive à calculer la distance d'une des deux Céphéïdes, alors je pourrai en déduire facilement la distance de la seconde !

Il ne reste donc plus qu'à mettre cela en équation !! Comme dans le deuxième graphique avec une échelle des y en logarithme, nous avons des droites, alors nous pouvons dire que :

log(Période) = A×magnitude mini + B

Calculons le coefficient A :

Les deux courbes rouges et bleues ont exactement la même inclinaison, donc nous n'avons qu'à calculer l'inclinaison d'une des deux. Pour la courbe rouge, on voit que les deux points avec la plus petite et la plus grande magnitude sont exactement sur la courbe. Ces deux points sont :

Donc si on augmente de 15,1 - 11,2 = 3,9 magnitudes, on descend de log(127) - log(1,88) = 2,10 - 0,27 = 1,83.

La pente de notre droite est donc de A=-1,83/3,9= -0.47


Calculons le coefficient B :

Plutôt que de de calculer un coefficient B pour la courbe rouge et un coefficient B pour la courbe bleue, nous allons calculer le coefficient B pour la courbe qui est entre les deux, c'est à dire la courbe représentant la variation de période en fonction de la magnitude moyenne.

Nous voyons que les deux points de l'étoile 1506 sont exactement sur les deux courbes. Donc leur moyenne sera très intéressante...

La magnitude moyenne des deux est donc de (16,3 + 15,1)/2 = 15,7

Comme la courbe moyenne passe par ce point, alors on a :

log(1,88) = -0,47×15,7 + B, ce qui nous donne B = log(1,88)+(0,47×15,7) = 7,65

Donc notre courbe est telle que

log(Période)=-0,47×Magn.Moy + 7,65

et donc

Magn.Moyenne = (log(Période) - 7,65)/-0,47

Que peut-on faire avec cette formule ?

Dans un premier temps, c'est assez simple et primaire : si je connais la période d'une Cephéide du petit nuage de Magellan, alors je pourrai en déduire sa Magnitude moyenne.

Le souci, c'est que la magnitude moyenne n'est pas très utile, car elle dépend de l'éloignement des étoiles. Certes toutes les étoiles du petit nuage de Magellan sont à la même distance, mais pour toute autre Céphéide située ailleurs, cette formule ne me sera pas très utile.

L'idéal serait donc de ne pas déduire la magnitude moyenne en fonction de la période, mais la magnitude absolue, qui, elle, représente véritablement la brillance intrinsèque de l'étoile. Ainsi, si j'arrivais à trouver, à partir de la période, la magnitude absolue, et connaissant la magnitude visuelle, alors je pourrai en déduire la distance de l'étoile !

Dans l'annexe consacrée à la température et à la composition des étoiles, nous avons vu une relation entre la Magnitude visuelle m et la magnitude absolue M en fonction de la distance D (exprimée en parsecs) :

m - M = 5 log(D) - 5

soit

M = 5 -5log(D) + m

En remplaçant dans cette formule m par la magnitude moyenne des Céphéides du petit nuage de Magellan, on obtient :

M = 5 - 5log(Distance Nuage Magellan) + (log(Période)-7,65)/-0,47

Nous allons anticiper temporairement le prochain chapitre, mais quand nous aurons su que la distance du petit nuage de Magellan est de 199 000 années-lumière, soit (61013 parsecs) alors nous aurons :

M = 5 - 5log(61013) + (log(période) -7,65)/-0.47, soit

M = -2,13 log(Période) -2,65

En réalité, pour la lumière visible (ce qu'à observé Henrietta Leavitt), la véritable relation est

M = -2.76 log (Période) - 1,40

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30 septembre 2013 1 30 /09 /septembre /2013 00:00

Après la formule établie grâce au graphique d'Hernietta Leavitt, il ne restait plus qu'à trouver la distance d'une seul Céphéide pour étalonner la formule et permettre grâce à elle de connaître la distance de toutes les Céphéides.

Le souci, c'est qu'il n'existe aucune Céphéide à moins de 200 années-lumière, ce qui est bien trop loin pour essayer de calculer leur distance par triangulation.

Pour rappel, nous avions commencé à faire de la triangulation depuis deux endroits différents de la Terre (parallaxe diurne) ce qui nous avait permis de calculer la distance de Mars, puis on était passé à l'étape numéro deux en faisant de la triangulation depuis deux endroits différents de l'orbite de la Terre (parallaxe annuelle) qui nous avait permis de calculer la distance des planètes les plus proches (quelques années lumières)...

 

Maintenant il était temps de passer à l'étape trois... mais quelle étape trois et comment ?

 

Le mouvement propre

En 1838, Bessel avait pu, par triangulation, calculer la distance de sa première étoile grâce à un indice : son mouvement propre. En effet, 61 Cygni possédant un mouvement propre important, elle devait être proche du Soleil et donc un bon candidat pour le calcul de sa distance.

En fait, à cette époque, le mouvement propre des étoiles n'était pas une nouveauté (il avait été découvert par Halley en 1718), et d'ailleurs, un certain William Herschel avait découvert en 1783 que le Soleil avait lui-aussi son mouvement propre. Ce mouvement propre est de l'ordre de 20 km/s.

 

Pour schématiser, les étoiles de notre Galaxie tournent toutes autour de son centre, avec une vitesse dépendant de son éloignement, et une période dépendant aussi de son éloignement. Pourtant, si on se concentre sur des étoiles pas trop éloignées du Soleil (quelques centaines d'années lumières), on peut dire qu'elles tournent toutes à la même vitesse. La différence de vitesse entre ces étoiles, s'il y en a, n'est donc due qu'à leurs mouvements propres.

Le Soleil ayant un mouvement propre de 20 km/s, il parcourt donc, par rapport à l'ensemble des étoiles qui lui sont proches, une distance de 20×60×60×24×365,25 = 631 millions de km en un an, ou 3,15 milliards de km en 5 ans...

Donc si je suis patient, je vais pouvoir, en utilisant la vitesse propre du Soleil, faire de la triangulation beaucoup plus efficace que celle utilisant l'orbite terrestre. Ce déplacement des étoiles dû au mouvement propre du Soleil s'appelle la parallaxe séculaire.

 

C'est ainsi qu'en 1913, Ejnar Hertzsprung parvient à calculer la distance de quelques Céphéides et essaya de généraliser la formule de Henrietta Leavitt. Mais ses calculs furent erronés et c'est surtout Harlow Shapley qui est connu pour avoir repris le travail d'Hertzsprung, avoir ajouté ses propres observations de Céphéides, et généralisé la relation de Leavitt.

Malheureusement, à cette époque, on ignorait encore qu'il existe en fait deux sortes de Céphéides (les Céphéides de type I, plus jeunes, plus brillantes et plus métalliques et celles de type II, plus âgées et environ 4 fois moins brillantes) et c'est la raison pour laquelle, tous les calculs effectués grâce aux Céphéides furent erronées jusqu'à la découverte des deux types de Céphéides par Walter Baade en 1952 !

 

Ensemble, essayons de nous mettre dans la peau d'un astronome de l'époque, ayant tout juste réussi à calculer, par exemple que l'étoile delta Cephei, de magnitude moyenne 3,9 et de période 5,37 jours est située à 890 années lumières de la Terre.

La formule d'Henrietta Leavitt nous avait donné, pour les étoiles du petit nuage de Magellan :

 

Magn.Moyenne = (log(Période) - 7,65)/-0,47

 

Avec sa période de 5,37 jours, sa magnitude moyenne aurait été de (log(5,37) - 7,65)/-0,47=14,72 si cette Céphéide avait été dans le petit nuage de Magellan.

Nous avons donc un écart de 14,72 - 3,9 = 10,82 magnitudes.

 

Comme nous savons qu'un écart d'une magnitude correspond à un écart de luminosité de 2,51, alors un écart de 10,82 magnitudes correspond à un écart de luminosité de 2,5110,82=21 109. Donc si cette Céphéide s'était trouvée dans le petit nuage de Magellan, elle aurait été 21 109 fois moins brillante qu'elle n'est en réalité, et comme la brillance diminue avec le carré de la distance, alors on peut dire qu'elle est donc 145 fois plus proche que le petit nuage de Magellan.

Le petit nuage de Magellan est donc situé à 890 × 145 = 129 050 années lumières ! En réalité, sa distance est de 190 000 années lumière, mais c'est un bon ordre d'idée.

 

En Octobre 1923, après plusieurs mois d'observation grâce au télescope de 2,5 mètres du mont Wilson, Edwin Hubble découvre sa toute première étoile variable dans la nébuleuse d'Andromède. Il s'agit d'une Céphéide et elle est minuscule sur sa plaque photographique. Elle sera baptisée V1 et elle va révolutionner la vision que nous avions de l'Univers.

Regardez l'image ci-dessous : elle mous montre la galaxie d'Andromède. L'emplacement de la Céphéide V1 est agrandi en haut à droite grâce à des photographies récentes prises par le télescope spatial Hubble (joli hommage à Edwin !). On peut y voir sur une période d'un peu plus d'un mois, sa variation d'éclat.

En bas à droite, on voit la plaque photographique qu'a analysée et annotée Edwin Hubble le 6 Octobre 1923 pour identifier cette Céphéïde... Evidemment, c'était bien avant les télescopes d'aujourd'hui !

hubble-V1-1.JPG

Il faut savoir qu'en fait, il est plus facile d'identifier les étoiles sur un négatif où elles apparaissent noires, que sur une photographie standard où elles apparaissent blanches. C'est certainement le fonctionnement de notre cerveau qui veut cela. Regardez ci-dessous la même image d'Andromède en lumière normale et en négatif, et regardez comme sur le négatif, les étoiles noires semblent littéralement de détacher de l'image !

M31_comparaison_negatif.JPG

La Céphéide V1 qu'a détectée Hubble est de magnitude 19,4 ! C'est à dire qu'elle est 2,51(19,4 - 6)=226 792 fois moins brillante que la plus faible étoile visible à l'oeil nu ! C'est l'équivalent de l'éclat d'une bougie vue à une distance de 1 500 km !

Sa période est de 31,4 jours ce qui signifie que si cette étoile était dans le petit nuage de Magellan, selon la formule de Leavitt, sa magnitude aurait été de :

 

Magn.Moyenne = (log(31,4) - 7,65)/-0,47 = 13,1

 

Comme sa véritable magnitude est de 19,4, cela fait une différence de brillance de 2,5(19,4 - 13,1)=329.

Nous en déduisons donc que la nébuleuse d'Andromède est située √329=18,15 fois plus loin que le petit nuage de Magellan, soit à 2,323 millions d'année lumière ! En réalité, sa distance est de 2,54 millions d'années lumière.

 

Malheureusement, Shappley, en étalonnant la formule de Leavitt, avait ignoré un élément important :

L'existence de deux types de Cepheides. En effet, Shappley avait étudié notamment de nombreuses Céphéides des amas globulaires, qui contiennent des Céphéides de type II, 4 fois moins lumineuses que les Céphéides de type I, mais inclut dans son étude les Céphéides de type I observées par Leavitt... Par chance pour lui, les Céphéides de type I du petit nuage de Magellan étaient affectées par ce qu'on appelle l'absorption interstellaire....

L'absorption interstellaire vient du fait que l'univers entre les étoiles n'est pas totalement constitué de vide. Il contient des poussières, des gaz, qui, même très dispersés atténuent légèrement la lumière qui les traverse. En théorie, la luminosité dépendant de la surface de l'étoile, elle décroît avec le carré de la distance, mais à cause de l'absorption interstellaire, elle décroît légèrement plus rapidement.

Cette atténuation est plus forte dans le plan des galaxies ou elle peut diminuer la luminosité par 4 par rapport à une atténuation presque nulle dans le vide entre les Galaxies.

Ironie du sort, Shappley fut le premier à mettre en évidence cette absorption interstellaire, mais se concentrant sur les amas globulaires qui ne sont pas dans le plan de la Voie Lactée, il en conclut que cette absorption était négligeable... Au final, Shappley établit donc sans le savoir, une relation qui fonctionnait uniquement pour les Céphéides de type II.

 

Hubble, quant à lui, observe les Céphéides de la Galaxie d'Andromède. Il les observe comme nous l'avons vu sur sa photo dans les pourtours de la Galaxie, car son centre est trop dense pour y détecter individuellement les étoiles. Comble de malchance, si l'absorption interstellaire peut être négligée pour les étoiles de la Galaxie d'Andromède qui ne sont pas vues à travers le plan de notre galaxie, les zones de la périphérie d'Andromède contient essentiellement des Céphéides de type I...

Hubble va donc appliquer la relation de Shappley valables pour des Céphéides de type II aux étoiles de la périphérie de la galaxie d'Andromède qui sont des Céphéides de type I, environ quatre fois plus brillantes... Hubble estime donc une distance pour la galaxie d'Andromède deux fois plus petite que la réalité (il estime sa distance à 1 million d'années lumière) !

 

Il faudra attendre 1952 pour que Walter Baade, un astronome allemand, découvre finalement l'existence des deux types de Céphéides et ré-étalonne toutes les distances précédemment calculées !

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29 septembre 2013 7 29 /09 /septembre /2013 00:00

Hubble restera, un peu à la manière de Copernic ou de Galilée, comme celui qui a découvert et prouvé l'existence des "Univers îles", ou plus simplement des autres galaxies, remettant notre Voie Lactée au rang de Galaxie parmi tant d'autres... Nous avons vu cette découverte dans le chapitre précédent.

Mais Hubble sera surtout connu pour la découverte qui va suivre et qui va changer encore d'avantage notre vision de l'univers !

 

Un débat existe à l'époque sur la dynamique de l'Univers. En 1915, Einstein a énoncé sa célèbre relativité générale et une des déductions logique est l'expansion de l'univers... Einstein lui-même n'y croit pas et pense que l'univers est statique. D'autres ne sont pas de son avis... mais encore faut-il le prouver...

 

En 1929, grâces aux Céphéides, et à son télescope de 2,5 m du mont Wilson, Hubble était capable de déterminer la distance des galaxies les plus proches. Il était même capable, grâce à l'effet Doppler, de connaitre les vitesses auxquelles se rapprochaient ou s'éloignaient ces galaxies.

Ainsi, il put mesurer les vitesses de 46 galaxies, mais il ne parvint qu'à déterminer la distance de 24 d'entre elles. Leur distance se situait jusqu'à 2 millions de parsecs, c'est à dire 6,6 millions d'années-lumière.

 

Voici ce qu'il trouva :

 

TABLEAU INITIAL FAIT PAR HUBBLE   VRAIES VALEURS
Nom Nom Messier Distance (millions parsecs) Vitesse (km/s)   Distance (millions parsecs) Erreur de Hubble (x) Vitesse (km/s) Erreur de Hubble(%)
S. Mag.   0,032 170   0,06 0,48 158 -7,6%
L. Mag.   0,034 290   0,05 1,44 279 -3,9%
N.G.C.6822   0,214 -130   0,50 2,34 -57 -128,1%
N.G.C. 598 M33 0,263 -70   0,73 2,77 -179 60,9%
N.G.C. 221 M32 0,275 -185   0,76 2,78 -200 7,5%
N.G.C. 224 M31 0,275 -220   0,78 2,83 -301 26,9%
N.G.C. 5457 M101 0,45 200   6,44 14,31 241 17,0%
N.G.C. 4736 M94 0,5 290   4,91 9,81 308,1 5,9%
N.G.C. 5194 M51 0,5 270   7,05 14,1 463 41,7%
N.G.C. 4449   0,63 200   3,71 5,89 207 3,4%
N.G.C. 4214   0,8 300   3,07 3,83 291 -3,1%
N.G.C. 3031 M81 0,9 -30   3,62 4,02 -33,9 11,5%
N.G.C. 3627 M66 0,9 650   11,04 12,26 727 10,6%
N.G.C. 4826 M64 0,9 150   7,36 8,18 408,3 63,3%
N.G.C. 5236 M83 0,9 500   4,51 5,01 513 2,5%
N.G.C. 1068 M77 1 920   14,41 14,41 1137 19,1%
N.G.C. 5055 M63 1,1 450   11,34 10,31 504 10,7%
N.G.C. 7331   1,1 500   12,26 11,15 816 38,7%
N.G.C. 4258 M106 1,4 500   7,27 5,19 448 -11,6%
N.G.C. 4151   1,7 960   13,18 7,76 995 3,5%
N.G.C. 4382 M85 2 500   18,40 9,2 729 31,4%
N.G.C. 4472 M49 2 850   17,17 8,58 997,8 14,8%
N.G.C. 4486 M87 2 800   16,40 8,2 1308 38,8%
N.G.C. 4649 M60 2 1090   16,86 8,43 1117,8 2,5%

 

Occupons nous dans un premier temps des valeurs trouvées par Hubble, à gauche du tableau. Mises sous forme d'un graphique voici ce que cela nous donne :

 

loi-de-Hubble.PNG

On voit, que globalement, plus une galaxie est éloignée de nous, et plus elle s'éloigne de nous avec une vitesse élevée. Bien entendu, il ne s'agit que d'une tendance étant donné que les galaxies possèdent, tout comme les étoiles, leur mouvement propre. Mais pour généraliser, il est capable de tracer une ligne (en gris) représentant l'augmentation moyenne de la vitesse des galaxies en fonction de la distance. Il obtient :

 

Vitesse = 500 × distance en Millions de parsec = H0 × d

 

H0 est appelé la constante de Hubble et vaut donc (lorsque Hubble l'a calculée pour la première fois) 500 Km/s/Mpc.

Einstein avait imaginé un univers statique et immobile, la preuve était faite qu'il n'en était rien. Si toutes les galaxies s'éloignent de nous avec une vitesse proportionnelle à leur distance, c'est donc que l'univers est en expansion : il grossit, en quelques sortes.

 

Mais comment s'expliquer cette expansion ?

J'aurais facilement tendance à me dire que, si toutes les galaxies s'éloignent en suivant cette loi, c'est donc la preuve que la Terre est au centre de l'Univers, non ? sinon elles devraient s'éloigner plus vite dans une direction (la direction opposée à celle de la Terre) ? et puis si l'univers grossit, c'est donc la preuve que sa taille est finie, mais on n'a jamais pu en observer les bords !!

 

Pour mieux comprendre ce qu'est l'expansion de l'univers, effectuons le parallèle suivant :

 

Expension-univers.PNGImaginons une colonie de fourmis vivant sur un ballon. La surface du ballon constitue donc l'univers des fourmis qui est un univers en deux dimensions (la fourmi ne peut se déplacer que devant-derrière ou droite-gauche) qui est incurvé dans une troisième dimension.

Au début, chaque fourmi observe ses voisines. Chaque fourmi est séparée de la suivante d'une distance D.

Le ballon se gonfle doucement jusqu'à doubler de rayon au bout d'un temps T. Naturellement, son diamètre a aussi été multiplié par deux et en conséquence la distance entre les fourmis.

Ainsi que va observer et penser la fourmi n°3 :

"Au début, les fourmis 2 et 4 étaient à une distance D, et au bout du temps T, leur distance est passée à 2D. La fourmi 2 et la fourmi 4 s'éloignent donc de moi à la vitesse V = D/T.

Les fourmis 1 et 5 étaient à une distance 2D, et au bout du temps T, leur distance est passée à 4D. Elles s'éloignent donc de moi à une vitesse V = 2D/T.

Donc plus les fourmis sont éloignées de moi, et plus elles s'éloignent vite de moi, et cela dans toutes les directions."

La fourmi n°3 qui aime les problèmes mathématique continue alors à réfléchir :

"Tout cela est amusant, et les vitesses des autres fourmis par rapport à moi me force à penser qu'au temps -T, elles devaient toutes être dans mon entourage propre. Comme il n'y a finalement que moi qui ne bouge pas, alors c'est la preuve que je suis au centre de notre univers de fourmis."

Le souci, c'est qu'en réalité, toutes les fourmis sont immobiles, mais pourtant elles s'éloignent les unes des autres, et enfin, chacune des fourmis fera la même constatation que la fourmi 3 et chacune pensera que toutes les fourmis sont parties à l'origine de son emplacement...

La fourmi n°3 ne voit pas de bords à son univers... en fait, il n'en a pas, mais malgré tout sa taille est finie... Si la fourmi part tout droit, elle fera le tour de son univers et reviendra à son point de départ en ayant l'impression d'avoir été tout droit !

 

Eh bien c'est exactement ce qui arrive à notre univers, mais en ajoutant une dimension. Remplacez les fourmis par les galaxies, la surface en deux dimensions du ballon par les trois dimensions de notre univers et enfin la troisième dimension dans laquelle le ballon est courbé et dans laquelle il se gonfle par une quatrième dimension dans laquelle notre univers est courbé et se gonfle...

Et tout comme des fourmis pour lesquelles la troisième dimension est un concept qu'ils ne connaissent pas et du coup ne peuvent pas se schématiser la courbure du ballon, la notion de quatrième dimension nous est aussi totalement inconnue et constitue un concept que nous notre cerveau ne peut s'imaginer...

 

Observez bien la fourmi 5 qui, pour aller rendre visite à la fourmi 1 devra passer par toutes les autres fourmis : en trois dimensions, il serait plus rapide pour elle de passer par le centre du ballon.... pensez-bien à cela, car c'est peut-être la même chose à notre échelle...

D'ailleurs, le concept non vérifié des trous de vers est né de cette constatation :

Pour la fourmi, le trou de ver serait le chemin passant par le centre du ballon... et d'ailleurs en compressant le ballon entre mes mains, je pourrai rapprocher encore la fourmi 1 de la fourmi 5 de manière à ce que le passage par le centre du ballon soit encore plus court... Mais pour cela, il faut savoir replier l'espace dans la dimension supérieure et aujourd'hui, seule l'épice du roman "Dune" de Frank Herbert permet cela !

 

Un peu plus haut, la fourmi 2 se disait qu'au temps -T, toutes les fourmis devaient être au même endroit... En fait, si je sais qu'une galaxie située à une distance D, s'éloigne de moi à la vitesse V, alors il lui a fallu un temps T = D/V pour parcourir la distance qui me sépare d'elle aujourd'hui. Or, comme V = H0.D, alors

 

T = D/H0.D = 1/H0

 

Bon, pour que la formule fonctionne, il faut quand même exprimer H0 dans une unité un peu plus convenable. En effet, des km/s/Mpc, ce n'est pas très homogène... Une unité du style km/s/km serait un peu mieux...

Un parsec (ou parallaxe seconde) est en fait la distance d'un objet dont la parallaxe serait d'une seconde. Dit autrement, c'est la distance à laquelle il faut s'éloigner pour que la distance Terre - Soleil fasse un angle de 1 seconde d'arc.

D'où 1 méga parsec = 1 000 000×150 000 000/tan(1/3600) = 3,09×1019 km

 

et donc

T (secondes) = 3,09×1019 / H0

et

T (milliards d'année) = (3,09×1019⁄31 557 600×109)/ H0 = 980 / H0

 

 

Avec la valeur H0 = 500 km/s/Mpc trouvés par Hubble, cela nous donne 1,97 Milliards d'années.

Donc les galaxies s'éloignent les unes des autres, et il y a 1,97 Milliards d'années, elles étaient toutes au même endroit... La théorie de l'explosion fit alors véritablement son apparition, et par là, la détermination de l'âge de l'univers...

Mais il y avait des soucis assez importants. Tout d'abord, si la loi de Hubble était pratiquement avérée, la théorie du Big Bang n'était qu'une théorie et demandait à être prouvée. Et puis, un petit détail d'importance tout de même, on avait, en 1950 évalué l'âge de certaine roches de la Terre  à plus de 4 milliards d'années... donc la Terre était plus vieille que l'univers ! Cela ne tenait pas debout.

 

Il fallut attendre 1964 et la découverte par deux radio-astronomes (les deux américaine Arno Allan Penzias et Robert Woodrow Wilson) du fond diffus cosmologique, ou rayonnement fossile.

Ils recevront le prix Nobel de physique en 1978 pour cette découverte.

 

Qu'est-ce que le fond diffus cosmologique ?

Dans les tous premiers instants qui suivirent le Big Bang, tout l'univers était si dense qu'aucune lumière ne pouvait en sortir. Passé en dessous d'une certaine température (estimée à 3000 K), l'univers est devenu transparent et a commencé à émettre ses premières lumières dans toutes les directions.

Dans l'annexe consacrée à la température et la composition des étoiles, vous apprenez qu'un corps chauffé à 3000 K émet une lumière avec une intensité maximale à une longueur d'onde de 966 nanomètres.

Donc, A partir d'une certaine date (estimée à 380 000 ans après le Big Bang), l'univers s'est mis à émettre de la lumière correspondant à une température de 3000 K, soit avec une intensité maximale pour une longueur d'onde de 966 nm.

Cela est vérifié par la loi du déplacement de Wien qui nous dit que la longueur d'onde d'intensité maximale dépend de la Température selon la formule :

λmax = 0,002898/T

Depuis, bien entendu, l'univers, comme notre ballon de baudruche, a grossi, étirant tout avec lui, y compris la longueur d'onde des tous premiers photons qui avaient été émis. Au début du Big Bang, l'expansion de l'univers a été fulgurante, probablement plus rapide que la vitesse de la lumière, pour s'être relativement stabilisée ensuite. Après 380 000 ans, l'univers devait donc déjà avoir une taille respectable (probablement de plusieurs millions d'années-lumière), et depuis, sa taille a du augmenter à peu près d'un facteur 1000.

Cette première lumière émise dans la longueur d'onde de 966 nm a donc du être étirée d'un même facteur de 1000 fois, pour être aujourd'hui d'environ 966 micromètres, soit environ 1 millimètre. Une longueur d'onde d'1 millimètre correspond au rayonnement d'un corps d'une température de

T = 0,002898/λmax = 0,002898/0,001=2,898 K

Donc, si la théorie du Big bang est vraie, on devrait entendre, venant de toutes les directions, une sorte de bruit de fond correspondant à la lumière produite par un corps à la température de quelques Kelvin. Ce bruit de fond est appelé rayonnement fossile, ou fond diffus cosmologique.

 

En 1964, donc, Penzias et Wilson détectent pour la première fois un bruit de fond en calibrant leur antenne (l'une des plus puissantes à l'époque). Ce bruit de fond, correspondant à une température de 2,7 K est la même quelle que soit la période de l'année, et quelle que soit la direction dans laquelle on regarde. Il n'y avait aucun doute, ce bruit de fond était émis par l'univers tout entier. La théorie du Big Bang venait pour la première fois d'être vérifiée.

 

En conséquence, cela devenait officiel : l'âge de l'univers peut être déduit directement de la constante de Hubble qui devait être fausse étant donné qu'elle donnait à l'univers un âge moins grand que celui de la Terre !

 

Vint alors la compréhension des différents types de Céphéides, et l'amélioration des moyens de mesure des distances par triangulation pour recalculer les chiffres qu'avaient trouvés Hubble dans son tableau. 

 

 

Si on regarde maintenant les colonnes de droite de notre tableau, on voit que, si Hubble n'a que rarement commis plus de de 20% sur le calcul des vitesses relatives, en revanche, il a totalement sous-estimé leur d'instance d'un facteur moyen de plus de 8 !!!

Conservons sur un nouveau graphique en blanc les points trouvés par Hubble et affichons les véritables valeurs qu'il aurait dû trouver s'il avait réussi à calculer la véritable distance des galaxies (vous vous souvenez qu'à l'époque, la méthode des Céphéides n'était pas encore tout à fait au point) en noir....

loi-de-Hubble-2.PNG

Vous voyez que l'augmentation moyenne est toujours linéaire, mais plustot de la forme :

la Vitesse = 60 × distance en Millions de parsec

 

Avec cette nouvelle valeur, l'âge de l'univers est alors estimé à

 

T (milliards d'année Années) = 980 / 60 = 16,3 milliards d'années

 

Aujourd'hui, la constante de Hubble est estimée à 72 km/s/Mpa, soit un âge de l'univers estimé à 13,6 milliards d'années

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28 septembre 2013 6 28 /09 /septembre /2013 00:00

20 Juillet 1969 : L'aigle a atterri... et avec lui mon plus grand regret de n'avoir pas été né pour vivre cette aventure, comme 500 millions de personnes, derrière leur poste de radio ou de télévision...

 

 

 

Un peu plus de 6 heures plus tard, Neil Armstrong pose pour la première fois le pied sur la Lune. Rejoint par Buzz Aldrin, ils resteront 2h30min hors du module lunaire et effectueront quelques expériences scientifiques, comme : Aldrin-Collins-Armstrong.jpg

- L'installation d'un capteur de particules du vent solaire 

- La récupération d'échantillons de sol lunaire

- L'installation d'un sismomètre

- L'installation d'un réflecteur LASER

 

C'est ce dernier qui va nous intéresser, et nous allons y revenir dans un instant.

 

De gauche à droite, Buzz Aldrin, Michael Collins et Neil Armstrong en 2009, au Musée nationnal de l'Air et de l'Espace à Washington... Trois légendes...

 

Au total, six mission Appolo, réparties sur 3 ans et demi conduiront douze astronautes à avoir le privilège de marcher sur la Lune !

  • La mission Apolo XI dont nous venons de parler,
  • La mission Apolo XII qui alunira le 19 novembre 1969 et permettra à deux astronautes de marcher sur la Lune pendant 7h45min,
  • La mission Apolo XIV qui alunira le 05 février 1971 et pemettra à deux astronautes de marcher sur la Lune pendant 9h,
  • La mission Apolo XV qui alunira le 30 juillet 1971 et permettra à deux astronautes de marcher sur la Lune pendant 18h30min. Cette mission à la particularité d'apporter avec elle le rover lunaire, un petit véhicule tout terrain de 210 kg qui emmenera les astronautes sur des plus longues distances. Le rover, avec ses 38 millions de dollars pour 210 kg (en 1969 !!!) reste la voiture la plus chère de l'histoire ! Faites le calcul pour savoir combien elle aurait couté si elle avait été en or pur... Cette mission posera aussi un autre réflecteur LASER, le plus grand de tous, et toujours utilisé aujourd'hui.
  • La mission Apolo XVI qui alunira le 21 avril 1972 et permettra à deux astronautes de marcher sur la Lune pendant 20 heures
  • La mission Apolo XVII qui alunira le 11 décembre 1972 et permettra à deux astronautes de marcher sur la Lune pendant 21 heures

 

Il faut se remettre dans le contexte de l'époque. Ce qu'ont réalisé ces hommes est un véritable exploit ! A la limite même de la folie tant les incertitudes sur leur mission étaient grandes... mais pour ces hommes, leur courage les a récompensé d'images et de fierté inoubliables ! Vous imaginez cela ? Ils ont marché sur la Lune !!!

 

Si aujourd'hui, c'est plus les moyens que la technologie qui nous empèchent de retourner sur la Lune, il faut imaginer qu'en 1969, il y avait bien moins de technologie dans le module de commande des missions Apolo que dans le premier téléphone portable d'aujourd'hui !

That’s one small step for A man, one giant leap for mankind

En savoir plus: http://www.maxisciences.com/neil-armstrong/un-petit-pas-pour-qui-le-mystere-autour-de-la-phrase-d-039-armstrong_art26315.html
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"That’s one small step for man, one giant leap for mankind" ou "That’s one small step for A man, one giant leap for mankind".

En savoir plus: http://www.maxisciences.com/neil-armstrong/un-petit-pas-pour-qui-le-mystere-autour-de-la-phrase-d-039-armstrong_art26315.html
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Certains sceptiques doutent de la version officielle en étudiant minutieusement chaque photographie, chaque seconde de film pour y trouver des indices pouvant la remettre en cause. Je ne fais pas partie de ceux-là. Je voue simplement une profonde admiration pour ces trois pioniers.

 

La vraie controverse, en revanche, réside dans la phrase d'Armstrong : A-t-il dit "c'est un petit pas pour l'homme" ou bien "c'est un petit pas pour un homme" ? Ca c'est une vraie controverse !

Les transmissions de l'époque n'ont jamais vraiment permis de savoir si Armstrong avait pronnoncé le "a" entre "for" et "man". La NASA a tranché, mais Armstrong, lui-même, fidèle à sa réputation de grand silencieux a toujours laissé planner le doute... si bien que la citation d'Armstrong est souvent écrite :

 

That's one small step for [a] man, one giant leap for mankind

 

Mais, bon, ce chapitre n'est pas un hommage à Armstrong, Aldrin et Collins, et nous allons maintenant nous intéresser à un instrument qu'il ont emmenés avec eux sur la Lune : Le réflecteur LASER installé par Armstrong.

 

Mais à quoi peut donc bien servir un réflecteur LASER sur la Lune, me direz-vous ? Eh bien, comme son nom l'indique à réfléchir les LASER.

En gros, si la Lune était un miroir géant, alors, comme nous connaissons maintenant très précisément la vitesse de la lumière, il suffirait simplement d'envoyer un flash de lumière, d'attendre qu'il aille jusqu'à la Lune, se réfléchisse sur la Surface en miroir de la Lune, et nous revienne...

En fait, c'est exactement comme l'expérience de Fizeau qui calcula la vitesse de la Lumière en connaissant la distance entre Suresne et Montmartre... en fait, il aurait très bien pu utiliser cette expérience pour mesurer la distance entre Suresne et Montmartre s'il avait connu la vitesse de la lumière !

 

Le gros point noir, c'est que la Lune n'est pas un miroir, qu'elle n'est pas lisse et qu'elle n'est pas plate... Elle n'est donc pas la meilleure candidate pour réfléchir la lumière... Malgré tout, on avait bien essayé, dans le début des années 1960 d'envoyer des flashs LASER en direction de la Lune depuis la Terre et d'essayer de capter quelques photons qui auraient pu être réfléchis par la surface assez brillante de la Lune. Nous verrons un peu plus loin, mais pour plusieurs raisons, la probabilité qu'un photon envoyé se réfléchisse sur la Lune, et revienne à son point de départ est très, très, très, très, très faible... mais elle n'est pas nulle. Donc, avec une bonne dose de chance et de patience, cela pourrait fonctionner...

Cette expérience fut donc tentée dans les années 60 et d'après ce qu'on en sait (chacun se fera sa propre idée), fut concluante, mais on ne savait pas exactement où le photon qu'on avait capté au retour avait été réfléchi : en haut d'un mont ? au fond d'un cratère ? Bref, en plus d'avoir une infime chance de recevoir une réponse à notre flash, on avait une imprécision naturelle de plusieurs centaines de mètres...

 

On décida donc de déposer ces fameux réflecteurs LASER, non pas pour renvoyer de manière systématique la lumière du LASER vers son point de départ, comme le pensent beaucoup, mais pour augmenter la probabilité qu'un photon émis revienne à son point de départ, et par la même, faire en sorte qu'un photon reçu ait une très grande chance d'avoir été réfléchi par ce réflecteur, dont la position est fixe !

 

Petit détour par les catadioptres

Si vous avez fait du vélo vous vous être peut-être un jour demandé comment faisaient les catadioptres pour briller dans le noir ? Et pourquoi les catadioptre vous apparaissent toujours brillants grâce à votre lumière et jamais grâce à celle des autres ?

Pour dire cela autrement, si vous éclairez la facade pleine de fenêtre de l'immeuble en face de chez vous avec une lumière, vous n'aurez qu'une faible chance de voir votre lumière vous revenir dans la figure après avoir frappé une des vitres. D'ailleurs, si les vitres avaient été des miroirs, le constat aurait été le même....

En effet, pour que la lumière vous revienne au visage, il faut que vous soyez exactement pile en face de la fenètre... un petit décallage, et le faisceau de lumière éclairera un peu au dessus, à droite, à gauche ou en dessous de vous...

 

Mais alors pourquoi avec un catadioptre, c'est à tous les coups on gagne ?miroir1

Regardez cet homme à droite. Il éclaire un miroir avec sa lampe torche, mais l'inclinaison du miroir fait que le rayon lui revient dans les pieds.

En fait, s'il éclaire le même endroit M du miroir avec la lampe située à ses pieds ou sur sa tête, le rayon reviendra avec un angle différent et donc à un endroit différent... Cela nous explique donc pourquoi il est très improbable de reprendre sa lumière dans la figure lorsqu'on éclaire les fenètres de l'immeuble d'à côté... le mystère des catadioptres reste donc entier....

 

 

Pour résoudre cette énigme, analysons un rayon de lumière :

Rayon de lumière

Dans un repère orthogonale (c'est à dire un repère dont les axes sont perpendiculaires), on voit que lorsque le rayon avance de a sur le premier axe, il avance de b sur le second axe.

Si le rayon change de sens, on voit alors que lorsqu'il avance de -a sur le premier axe, il avance de -b sur le second axe.

Donc, pour faire changer le rayon de sens, il faut changer sa direction sur le premier axe (avec un miroir qui lui est perpendiculaire) et changer sa direction sur le second axe (avec un autre miroir qui lui est perpendiculaire).reperes.PNG

 

Regardez la figure de droite. En haut, on voit un rayon qui, vu dans un premier repère nous donne l'orientation des deux miroirs qu'il faudra installer pour faire faire demi-tour au rayon.

En bas, on voit le même rayon, vu dans un autre repère qui nous donne aussi l'orientation des miroirs qu'il faudra installer pour lui faire faire demi-tour.

En fait, comme il existe une infinité de repères possibles, il existe donc aussi une infinité de positions de miroirs orthogonaux qui le renverront vers sa destination de départ.

Conclusion : tous les miroirs orthononaux renvoient les rayons lumineux vers leur point de départ.

Catadioptre-1.1.PNG

 

Comme nous le montre le dessin ci-contre, si les mirroirs ne sont pas perpendiculaires, le rayon ne repartira pas vers son point de départ.

  Catadioptre---1.PNG  

L'explication sur le dessin de gauche explique plus en détail comment le premier miroir inverse une des directions, et le second miroir inverse la deuxième direction.

 

Malheureusement nous ne vivons pas en deux dimensions et la réalité est un peu plus compliquée que cela. En effet, si le rayon n'est pas exactement dans le plan de la page de votre écran, mais vient soit légèrement du sessus ou légèrement du dessous, les deux miroirs ne suffiront pas à le faire revenir vers son point de départ. Pourquoi ? Simplement parce que dans ce cas, il existera une trosième composante, dirigée vers le haut ou vers le bas, et qu'aucun miroir ne sera là pour l'inverser....

 

Je suis sûr que vous avez compris... il suffit d'ajouter un miroir parallèle au plan de votre page, c'est à dire un troisième miroir perpendiculaire aux deux autres, et qui inversera le rayon lumineux sur le troisème axe. 

catadioptre-perspective.PNG

Bon... je ne suis pas Cabu, mais je j'ai essayé de vous montrer à droite le trajet d'un rayon lumineux frappant aux points 1, 2 et 3 de trois mirroirs perpendiculaires, chaque impact inversant l'une des coordonnées perpendiculaire du rayon.

Au final, le rayon repart exactement dans la même direction dans l'espace (et non plus dans le plan) que celle avec laquelle il est arrivé !

Donc si je prend trois miroirs permendiculaires (un coin de cube), j'obtiendrais un système qui renverra systématique les rayons lumineux qu'il recoit dans la même direction... exactement les propriétés des catadiopres...

 

En revanche, les vélos ne disposent pas de coins de cubes géants en miroir pour catadioptres... en fait, le principe consiste à mettre côte à côte des dizaines de petits coins de cubes minuscules en miroirs, qui réfléchirons chacun la lumière dans leur direction d'origine. L'avantage, c'est que le système pourra ainsi être relativement plat.

 

C'est exactement le principe du catadioptre, et c'est exactement le principe du réflecteur LASER dont voici un exemplaire ci-dessous (celui installé par Apolo XV).


http://ilrs.gsfc.nasa.gov/images/AS15-85-11468.jpg

 

Donc pour récapituler, les missions Apolo nous ont installé des sortes de catadioptres sur la Lune qui font que les photons lumineux venant de la Terre qui les frappent repartent dans la direction de la Terre.

Bon... ne vous attendez pas, ce soir, en éclairant la Lune avec votre lampe de poche, à voir briller quelquechose sur la Lune... D'ailleurs, même avec un LASER ultra puissant, on ne parvient pas non plus à voir quoi que ce soit. En revanche, si on dispose du matériel approprié, on peut réussir à détecter quelques photons qui auront fait l'aller retour Terre-Lune grâce à nos réflecteurs...

 

L'observatoire de la Côte d'Azur possède un tel matériel qui leur permet de calculer la distance Terre-Lune.

Ils disposent en effet d'un rayon LASER emettant des impulsions lumineuses de 300 ps (300×10-12 seconde), et d'une énergie de 200 mJ. Le rayon lumineux sortant a un diamètre de 6 cm et la longueur d'onde de la lumière est de 532 nm (532×10-9 m).

 

Comme l'énergie d'un Photon se calcule grâce à la formule de Planck : E = h.v

Avec

h = 6,62606957×10-34 J.s, et

v = c/532×10-9 m,

l'énergie d'un photon est donc de (6,62606957×10-34×300000000)/532×10-9 = 3,74×10-19 J.

dans une impulsion lumineuse de 200 mJ ou 0,2 J, il y a donc :

0,2 J/3,74×10-19 J = 5,35×1017 photons qui sont émis.

 

Le LASER est une émission de photons ayant la même direction, la même longueur d'onde et une grande intensité. C'est un peu comme un tube de lumière, à la différence que le faisceau du LASER est très légèrement cônique du à ce qu'on appelle l'angle de divergence du LASER.

Cet angle θ dépend de la longueur d'onde de la lumière λ et du diamètre d du faiseau lorsqu'il est le plus petit. En fait, la formule de cet angle (je vous épargne les détails) est :


θ(rad)=1,22.λ/d

 

Vous reconaissez sans doute la formule de l'angle de la tâche d'airy. En fait, c'est la même formule car il s'agit du même phénomène : Le rayon ayant un diamètre fini, il se crée une diffraction qui engendre cet angle.

 

θ est exprimé en radians qu'il faut multiplier par 180/Π pour l'avoir en degrés.


θ(deg)=1,22×180×λ/(Π×d)=(1,22×180×532×10-9)/(Π×0,06)=6,2×10-4 degrés = 2,23"

 

Au mieux, le faisceau LASER aura un angle de divergence de 2,23" d'arc. En réalité, il sera certainement légèrement supérieur en raison des perturbations ajoutées par la traversée de l'athmosphère par le faisceau. 

Ainsi, 380 000 km plus loin, la largeur du laser est passée à 2×380 000 × tan(6,2×10-4)) = 8,2 km !!!

Au milieu de ce disque de 53 km², se trouve notre petit réflecteur, de 100×60 cm de coté avec une surface couverte de l'ordre de 0,4 m² (car les miroirs ne se touchent pas exactement).

Notre miroir de 0,4 m² représente seulement 0,4/53000000=7,54×10-9 èmes de la surface éclairée...

 

Bien sûr, dans une tâche d'Airy, les photons sont tout de même plus concentrés au milieu de la tâche que sur les bords, mais compte tenu du fait que, depuis la Terre, on ne pourra viser avec exactitude l'emplacement du réflecteur, il y a aussi une forte chance que le réflecteur LASER ne se trouve pas exactemet au milieu de la tâche. Nous allons donc faire l'appriximation que la tâche de 53 km² est arrosée de manière uniforme par les photons issus de notre LASER.

Donc, sur les 5×1017 photons qui sont émis à l'impulsion, seulement 5×1017×7,54×10-9 = 4×109 photons vont venir frapper le réflecteur LASER et repartir vers leur direction d'origine...

 

Encore une fois, en frappant le miroir, la lumière va subir une nouvelle difraction. Chaque petit miroir en coin cube est équivalent à un miroir de 2 cm de diamètre, qui entraine donc une difraction du rayon de :


θ(deg)=1,22×180×λ/(Π×d)=(1,22×180×532×10-9)/(Π×0,02)=1,86×10-3° = 12"

 

Ainsi, 380 000 km plus loin, la largeur du rayon renvoyé sera de 2×380 000 × tan(1,86×10-3)) = 24,66 km !!!

Au milieu de ce disque de 477 km², se trouve le télescope récepteur de l'observatoire, de 1,54 m de diamètre avec une surface de 1,8 m².

Le télescope de 1,8 m² représente donc 1,8/477000000 = 3.9×10-9 èmes de la surface éclairée par le rayon qui revient.

 

Ainsi, sur les  4×109 photons qui retournent vers la Terre, seuls 4×109 ×3.9×10-9 = 16 photons vont revenir vers la Terre. Ce calcul est un calcul idéal. En réalité il faut tenir compte de la difraction supplémentaire due à la traversée des photons de l'athmosphère terrestre, de l'absorbtion de certains photons par l'athmosphère terrestre, de la lumière parasite que l'on doit filtrer avec pour conséquences une diminution de rendement, et enfin, le récepteur de photon, qui ne détecte qu'environ 1 photon sur 5 venant le frapper. Il y a donc un coefficent de 1% qu'il faut encore appliquer pour coller à la réalité, ce qui fait qu'au final, seulement 0,15 photon partis arriveront dans le détecteur de retour.

Comme un demi-photon n'existe pas, ce la signifie, qu'il faudra en moyenne 1/0,15 = 6 tentatives pour espérer capter 1 photon sur le récepteur final. C'est pour cette raison que le LASER effectue 10 tirs par secondes, ce qui permet de multiplier les tentatives et augmenter les chances de capter des photons.

L'observatoire de la côte d'azur indique qu'en moyenne, ils interceptent un photon tous les 100 tirs !

 

Bon... nous n'avons fait qu'une partie du travail...

Nous nous somes en effet préoccupés pour l'instant de la manière dont il faut s'y prendre pour lancer des photons sur la Lune avec un LASER et comment les capter après leur aller retour... mais cela ne suffit pas pour en déduire la distance Terre-Lune.

En effet, nous devons pour ce faire connaitre avec précision le temps qui s'est passé entre l'envoi du photon et la réception du photon.

La lumière parcourt approximativement 300000 km à chaque seconde, ce qui fait qu'un approximation d'une seconde entraine une approxomation de 300000 km sur le calcul de la distance Terre-Lune...

Une approximation d'une microseconde (10-6 seconde) et l'imprécision descend à 300 mètres...

Une approximation d'une nanoseconde (10-9 seconde) et l'imprécision descend à 30 centimètres...

Une approximation d'une picoseconde (10-12 seconde) et l'imprécision descend à 0,3 millimètres...

 

Autant vous dire que la précision dans la mesure des temps doit être extrèmement précise pour arriver à une distance convenable.

Pour cela, trois paramètres doivent être pris en compte :

  • La précision des appareils de mesure. L'appareil de mesure se compose de deux éléments :
    • Les détecteurs de départ et d'arrivée. 
      • Le détecteur de départ a une précision de 10 ps, ce qui fait une incertitude de 3 millimètres.
      • Le détecteur d'arrivée a une précision de 75 ps, ce qui fait une incertitude de 22,5  millimètres
    • Les chronomètres avec une précision globale de 7 ps, ce qui fait une incertitude de 2,1 millimètres
  • La longueur de l'impulsion LASER. Lors de l'impulsion, les photons ne sont pas tous émis simultanément. Nous avons vu que l'impulsion dure 300 ps, ce qui fait que lorsqu'on recoit un photon ayant fait l'aller et retour, on ne sais pas si ce photon a été émis au début ou à la fin de l'impulsion... cette incertitude de 300 ps correspond à 90 millimètres.
  • La traversée de l'athmosphère par le LASER. La vitesse de la lumière est de 300000 km/s dans le vide, mais l'atmosphère n'est pas vide, et la lumière est très légèrement ralentie. Au niveau de la mer, la vitesse de la lumière est de 0,9997% de la vitesse de la lumière dans le vide, et ce coéfficient peut varier selon l'humidité de l'air. Certes, ce n'est pas grand chose, mais il faut tenir compte pour obtenir une distance correcte de la distance Terre-Lune. Nous allons vous épargner les calculs, mais sachez que si on connait la fonction qui décrit ce fameux "coefficient de ralentissement" de la lumière entre l'altitude de l'observatoire, et l'altitude à partir de laquelle il n'y a plus d'athmosphère, le ralentissement moyen n'est autre que l'intégrale de cette fonction entre ces deux hauteurs. Donc, il ne s'agit pas à proprement parler d'une incertitude étant donné que ce calcul est connu.

Donc si on résume, on somme toutes les incertitudes, qui nous donnent 3 + 22,5 + 2,1 + 90 = 117,6 millimètres, c'est à dire 11,7 centimètres. Ainsi, en effectuant de nombreux test, en obtenant de nombreuses valeurs, on pourra, en prenanr la valeur moyenne de toutes ces valeurs, obtenir une valeur très précise de la distance Terre-Lune. C'est toujours ce principe qui est utilisé par les astronomes pour calculer la distance de la Lune avec une très grande précision.

On sait, par exemple, grâce à ces mesures que la Lune s'éloigne de la Terre d'environ 3,7 cm par an.

 

 

That’s one small step for A man, one giant leap for mankind

En savoir plus: http://www.maxisciences.com/neil-armstrong/un-petit-pas-pour-qui-le-mystere-autour-de-la-phrase-d-039-armstrong_art26315.html
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27 septembre 2013 5 27 /09 /septembre /2013 00:00

De toutes les manières possibles de calculer les distances, la plus fiables est incontestablement celle du calcul de la Parallaxe.

En effet, la distance de l'unité astronomique est maintenant connue avec précision, et, bien entendu, plus la précision de la mesure de la position de l'étoile est précise, et plus le calcul de sa distance sera connu avec précision. Le calcul ne dépend que de la précision du matériel, et de rien d'autre : pas de constante de Hubble, pas de différents types de Céphéides...

En revanche, sa portée n'est pas très grande, nous l'avions vu dans un chapitre précédent.

 

Si nous faisons un rapide point sur les différentes méthodes à notre disposition pour calculer les distances, nous avons :

  • La méthode de la parallaxe pour les distances de quelques dizaines, voire quelques centaines d'années-lumière.
  • La méthode des Céphéides pour les distances des galaxies proches, jusque à quelques centaines de millions d'années lumières.
  • La méthode du décalage vers le rouge et de la constante de Hubble pour les objets situés suffisamment loin pour que leurs vitesse d'éloignement soit telle que leur mouvement propre est négligeable, c'est à dire pour les objets situés à plus d'un milliard d'années-lumière.

On voit bien qu'à l'époque, paradoxalement, ce sont les distances des étoiles proches (entre 1000 et 100 000 d'années-lumière) qu'on connaissait le moins, étant donné que la mesure de la parallaxe ne permettait pas d’aller jusqu’à la distance à partir de laquelle les observations des Céphéides peuvent être faites.

 

Il était donc temps de construire un dispositif spécialisé dans la mesure des parallaxes pour combler ce manque !

 

Fin des années 80, un nouveau satellite fut lancé en orbite autour de la Terre.

Sa mission : calculer avec précision la position des étoiles et par là même leurs parallaxes.

Son nom : Hipparcos, l'acronyme de HIgh Precision PARallax COllecting Satellite, et un hommage à l'astronome qui, pour la première fois, avait réussi à mesurer la distance de la Lune.

 

Pendant 4 années Hipparcos va collecter une quantité phénoménale de données qui seront analysées et ré-analysées années après années. Au total, après les années 2000, c'est plus de 2,5 millions d'étoiles qui auront été mesurées avec une précision de 0,002", soit plus de

 Ans après l’arrêt du satellite.

Depuis fin 2013, son successeur, Gaia, acronyme de Global Astrometric Interferometer for Astrophysics continue le travail de son prédécesseur.

 

Au total, c'est plus d'un milliard d'étoiles jusqu'à la magnitude 20 qui seront étudiées avec une précision de l’ordre de quelques millionièmes de secondes d’arc !

 

Imaginez-vous, 10 millionièmes de seconde d’arc (0,00001’’), c’est un millimètre vu à 20 000 km !!!

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26 septembre 2013 4 26 /09 /septembre /2013 00:00

Vous remarquerez bien vite que la plupart de nos démonstrations, bien qu'étant simples, reposent principalement sur trois bases :

  • Le théorème de Thalès
  • Le théorème de pythagore
  • La trigonométrie

Il est donc préférable que vous soyez à l'aise avec ces notions si vous voulez bien comprendre le contenu de tous ces chapitres.

Vous verrez, encore une fois, que si ces théorèmes, ou notions repoussent pas mal de personnes, en fait, ils sont très simples et je vais tout faire pour vous en convaincre.

 

Le théorème de Pythagore

 

Bien que ce pauvre théorème fasse souvent peur, vous allez voir que sa démonstration est d'une simplicité étonnante.

 

Voici le théorème.

triangle-rectangle.PNG

Soit un triangle ABC rectangle en A. 

Le relation entre les trois côtés de ce triangle est :

AB² + AC² = BC²

 

Pour rappel, un triangle rectangle est en fait une moitié de rectangle. Sa particularité, est que l'un de ces angles est un angle droit (un angle à 90°, ou un angle à l'équerre). Il est souvent noté avec un petit carré pour montrer justement qu'une équerre viendrait juste s'emboîter dedans, montrant que c'est un angle droit.

 

Dans notre exemple, c'est l'angle en A qui est droit. C'est pour cela qu'on dit que le triangle est rectangle en A.

 

 

Démonstration du Théorème :

Observez la figure ci-contre :

 

pythagore1

Nous y voyons quatre triangles rectangles gris de côtés A, B et C, qui sont posés à l'intérieur d'un grand carré de côté A+B.

Dans cette disposition, nos quatre triangles rectangles laissent apparaître un grand vide blanc au milieu.

Ce vide est un carré de côté C, et donc sa surface est C².

 

Gardons les mêmes petits triangles rectangles, mais disposons les d'une autre manière à l'intérieur de notre grand carré, comme ceci :

pythagore2.PNG

On voit maintenant que la surface blanche n'est plus un grand carré, mais deux carrés plus petits : l'un de côté A, et l'autre de côté B. La surface blanche vaut donc A² + B².

Comme nous avons gardé le même nombre de triangles rectangles dans le même grand carré, alors la surface blanche n'a pas changé.

 

On a donc naturellement C² = A² + B²

 

Mais à quoi cela sert-il, me direz vous ?

Vous l'aurez compris, cela sert à trouver facilement la longueur d'un côté d'un triangle rectangle lorsqu'on connaît les deux autres... Voyons voir....

  • J'ai acheté une télévision 16/9 dont la diagonale fait 120cm... Bon d'accord... mais quelle est donc la hauteur et la largeur de ma télévision ? Hop ! on applique Pythagore ! Si X est la hauteur de ma télévision, alors j'ai :

X² + (16/9X)² = 120 ² d'où X = 58.83 cm.

Donc ma télévision  fait 58,8 cm par 104,5 cm.

  • Je peux par exemple calculer la diagonale d'une feuille de papier X² = 21² + 29.7² donc X=36.37cm.
  • Ne vous êtes vous jamais demandé un jour, quelle est la distance de l'horizon lorsqu'on est, par exemple au deuxième étage d'un immeuble au bord de la mer ? Et bien la solution vient encore de pythagore :

    distance-de-l-horizon-copie-1.PNG

 

Au niveau de l'horizon, notre ligne de vue est tangente à la Terre. Elle est donc perpendiculaire au rayon de la Terre à cet endroit.

Notons H le point le plus éloigné de l'horizon que nous puissions voir, C le centre de la Terre, et A l'observateur à sa fenêtre au 2ème étage, à 7 mètres du sol.

Notre triangle CAH est rectangle en H donc on peut appliquer pythagore :

CH = 6470 Km (le rayon de la Terre), soit 6470000 mètres

CA = 6470 Km + 7 mètres, soit 6470007 mètres.

 

On a donc AH² = 6470007²-6470000²,  et donc AH = 9517 mètres

 

Vous voyez comme avec Pythagore, les problèmes compliqués sont résolus facilement. !

 

A vous de jouer :

Sachant que les montagnes de la Corse les plus proches du continent sont environ à 194 km de la côte niçoise et qu’elles culminent à environ 2300 m, à quelle hauteur minimale h devrait-on s’élever pour espérer observer les montagnes corses depuis les hauteurs de Nice ?

Un petit indice :

Nous avons maintenant deux triangles rectangles, donc deux fois le théorème de Pythagore à appliquer !

Déjà, nous avons :

AH + HB = 194 000 m

Ensuite Pythagore nous dit

HB² = 6372300² - 6370000²

Et

HA² = (6370000 + h)² - 6370000²

 

En remplaçant HB et HA dans la première relation, nous avons :

racine(6372300²-6370000²)+racine((6370000 + h)²-6370000² = 194000

Soit

171194 + racine((6370000+h)²-6370000²)=194000

Soit

h = racine((194000-171194)²+6370000²)-6370000 = 40 mètres

Donc, si je m’élève de plus de 40 mètres au-dessus du niveau de la mer, alors je devrais pouvoir espérer, par temps très clair, voir les hauteurs des montagnes corses. En dessous de 40 mètres, il n’y a aucun espoir. Vous verrez dans l’annexe consacrée aux notions de base de l’optique qu’en réalité, c’est un peu différent !

 

 

La trigonométrie

 

Aille ! Aille ! Aille !!! Encore un gros mot qui fait peur, mais qui pourtant est bien utile...Trigonometrie-copie-1.PNG

 

Imaginons le cercle ci-contre, de rayon 1 mètre et un point P qui tourne autour de ce cercle. Pour tourner autour du cercle, notre point P reste sur la circonférence du cercle et la parcourt en faisant un angle α qui va de 0° à 360°.

A chaque instant, on aimerait bien savoir quelle est la hauteur du point (y sur le dessin) et sa position au sol (notée x sur le dessin). On voit rapidement que :

Si α = 0°, alors x = 1 et y =0

Si α = 90°, alors x = 0 et y = 1

 

Et bien figurez-vous simplement que y est appelé le sinus de l'angle α (ou sin(α)) et x est appelé le cosinus de l'angle α (ou cos(α)).

Cela vaut pour un cercle de rayon 1 mètre.

Pour un cercle de rayon 2 mètres, pour le même angle α, X sera deux fois plus grand de telle sorte que Y=2*sin(α).

Plus globalement, si on a un cercle de rayon R, on aura Y=R*sin(α), ou sin(α) = y/R.

 

Bien entendu, l'intérêt de la trigonométrie, c'est qu'il ne s'applique pas uniquement aux cercles :

Remarquez le triangle OxP... Il est rectangle en x !

Donc, la trigonométrie s'applique aussi aux triangles rectangles, avec la même relation, mais un vocabulaire différent :

R ou OP n'est plus le rayon du cercle mais l'hypoténuse du triangle

y ou xP est le côté opposé de l'angle α

x ou yP est le côté adjacent de l'angle α

 

Avec ce vocabulaire, on a donc :

sinus(α) = Côté opposé / hypoténuse

cosinus(α) = côté adjacent / hypoténuse

et on a même

Sinus(α)/cosinus(α) = tangente(α) = côté opposé / côté adjacent

 

Grâce à pythagore, on a une relation entre deux côtés et le troisième dans un triangle rectangle

Grâce à la trigonométrie, on a une relation entre un côté et un angle et les deux autres côtés d'un triangle rectangle...

 

Ce n'est pas tout de connaître la définition du Sinus, du Cosinus et de la Tangente, encore faut-il connaître leurs valeurs et là, ça se complique un peu... mais heureusement, nous sommes à l'ère des calculatrices et elles nous donnent cela instantanément !

Dans l'antiquité, Hipparque et Ptolémée avaient publiés des tables qui indiquaient, pour des valeurs précises de l'angle la valeur du Sinus et du Cosinus. On n'avait donc plus qu'à trouver la valeur d'angle dans la table la plus proche de notre angle et le tour était joué.

 

Sachez enfin que toute fonction ayant son inverse, il existe aussi les fonctions Sin-1 ou Arcsinus, Cos-1 ou Arccosinus et Tan-1 ou Arctangente qui ne donnent plus un rapport de longueur en fonction d'un angle, mais un angle en fonction d'un rapport de longueurs...

 

L'application la plus simple de la trigonométrie consiste à calculer la taille d'un objet si on connait sa distance et l'angle sous lequel on le voit... (un peu comme la lune, le Soleil, les planètes...).

 

Si l'angle α devient tout petit, on se rend compte que la distance x devient très très proche du rayon du cercle... En vocabulaire du triangle, on dirait que le côté adjacent devient très très proche de l'hypoténuse. Du fait, on a alors (pour les tout petis angles) : cos(α) = tan(α)

 

Nous avons donc pour les petits objets : tan(α) = Taille de l'objet / Distance de l'objet

 

Le théorème de Thalès

 

Bien que ce théorème était connu avant la découverte de la trigonométrie, je préfère que nous l'abordions après car sa démonstration est extrêmement simple en utilisant la trigonométrie.

On l'appelle  "Le Théorème de Thalès", bien qu'en réalité Thalès n'en soitpas le père. C'est donc plus en hommage à Thalès que ce théorème porte son nom aujourd'hui.

 

Voici l'énoncé du théorème :

Soit ABC un triangle quelconque. Soit une droite parallèle au côté BC coupant le segment AB en D et AC en E. La relation entre toutes ces distances est telle que :

AB/AD = AC/AE = BC/DE

 

Dit autrement : deux triangles homothétiques ont tous leurs segments multipliés par le même rapport.

Theoreme-de-Thales.PNG

En astronomie, ce théorème est bien utile, et je vais vous expliquer pourquoi :

Imaginons qu'on se place exactement au point A. Nous ne voyons alors pas le segment BC, car il est caché exactement par le segment DE... Cela ne vous rappelle pas quelque chose...

Les éclipses de Soleil : la Lune (segment DE) cache exactement le Soleil (segment BC). Donc il existe un lien entre toutes ces distances. Si on connaît la distance du Soleil et la taille de la Lune, alors nous pourrons en déduire la taille du Soleil !

 

Depuis très longtemps, une démonstration de ce théorème existe. Il ne s'agit que d'une demi démonstration car elle ne démontre que AB/AD = AC/AE.

On doit cette démonstration à Euclide vers 300 avant JC. Cette démonstration s'appelle "la démonstration par les aires" car elle utilise uniquement les aires des triangles.

Nous allons voir cette démonstration

 

Préliminaire :

Comme vous devez vous y habituer, il y a souvent un petit préliminaire aux démonstrations pour bien comprendre leur raisonnement. Ce préliminaire concerne le calcul de l'aire d'un triangle.

 

Aire-triangle.PNG

Observez le triangle ABC ci-dessous. Il est totalement quelconque.

Par contre, en prenant la projection de A perpendiculairement à BC sur BC, j'obtiens le point H et du coup, deux triangles rectangles en H : ACH et AHB.

Comme un triangle rectangle est un demi rectangle, son aire est facile à calculer :

Aire ACH  = (CH * AH) / 2

et

Aire AHB = (AH * HB) / 2

 

L'aire totale de mon triangle quelconque n'est autre que la somme des deux :

Aire ABC = AH * (CH + HB) / 2 = (AH * CB) /2

AH est en fait la hauteur du triangle ABC en A et donc la formule générique d'un triangle est donc :

Aire triangle = Base * Hauteur / 2

 

On voit donc que tous les triangles ayant la même base et la même hauteur ont la même surface : ainsi, sur la figure du dessus, les triangles AC1B, AC2B et AC3B ont la même surface.

 

Dit autrement : Tous les triangles qui ont la même base et leur troisième sommet sur une même droite parallèle à la base ont la même surface. On voit en effet que C1C3 est parallèle à AB

Nous allons nous servir de cette propriété pour la démonstration des aires d'Euclide

 

Démonstration par les aires d'Euclide :

On reprend notre construction de départ.

Thales-par-Euclide.PNG 

 

D'après ce que nous venons de voir juste à l'instant, comme ED est parallèle à CB, alors les triangles CBE et CBD ont la même surface car ils ont la même base et la même hauteur.

Décomposons l'aire du triangle ABC :

Aire (ABC) = Aire (ACD) + Aire(CBD)

et

Aire (ABC) = Aire (AEB) + Aire(CBE)

 

Or, comme nous avons vu que Aire(CBE) = Aire (CBD), alors on a aussi ;

Aire (ACD) = Aire (AEB)

 

Si on projette B perpendiculairement à AC, on obtient le point B' et on a BB' est la hauteur des triangles ACB, AED et ECB de telle sorte que :

Aire (ABC) = AC*BB' / 2 et Aire (AEB) = AE *BB' / 2 et donc

Aire (ABC) / Aire (AEB) = AC / AE = Aire (ABC) / Aire (ACD)

Si on projette C perpendiculairement à AB, on obtient le point C' et on a CC' est la hauteur des triangles ACB, ACD et DCB de telle sorte que :

Aire (ABC) = AB*CC' / 2 et Aire (ACD) = AD *CC' / 2 et donc

Aire (ABC) / Aire (ACD) = AB / AD = Aire (ACB) / Aire (ACB)

 

Et don AC/AE = AB/AD

 

Démonstration par la trigonométrie :

 

Thales-par-la-trigo.PNGOn reprend à nouveau notre schéma de départ et on projette tous les points B, C, D et E perpendiculairement sur la droite opposés. On aura alors plein de triangles rectangles pour pouvoir utiliser les formules de trigonométrie.

Soit α l'angle BAD, β l'angle E'EC et D'DB, et γ l'angle ECC' et DBB'.

 

On a les relations trigonométriques suivantes :

 

Sin(α) = E'E/EA = D'D/DA d'où E'E/D'D = EA / DA

 

Cos(β)= E'E/CE = D'D/BD d'où E'E/D'D = CE/BD et donc :

AE / AD = CE / BD

 

On a aussi :

Sin(α) = CC' / CA = BB'  / BA d'où CC'/BB4 = CA / BA

 

Cos(γ) = CC' / CE = BB' / BD d'où CC'/BB' = CE / BD

et donc :

CA / AB = CE / BD

 

 et au final

AE / AD = CE / BD = CA / AB

 

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Published by astronomie-smartsmur - dans Annexes
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25 septembre 2013 3 25 /09 /septembre /2013 00:00

Si toutes les planètes et les satellites tournaient dans le même plan autour du Soleil, on aurait beaucoup d'éclipses et beaucoup de transits.

On aurait ainsi une éclipse de Soleil à chaque nouvelle Lune (donc tous les 29,5 jours) et une éclipse de Lune à chaque pleine Lune (tous les 29,5 jours également) !

On aurait aussi un transit de Mercure à chaque alignement Soleil - Mercure - Terre (tous les 115,8 jours soit la période synodique de mercure) et un transit de venus tous les 583,9 jours (période synodique de Venus)...

 

...Or il n'en est rien !

 

Vous l'aurez compris, cela est donc dû au fait que les planètes ne tournent pas toute exactement dans le même plan.

Le plan dans lequel tourne la Terre autour du Soleil s'appelle l'écliptique. Ce plan passe par chacune des 12 constellations du Zodiaque et bien évidemment le Soleil ne le quitte jamais, puisque par définition l'écliptique est le plan qui contient la Terre et le Soleil.

La Terre est la seule a se trouver exactement dans ce plan et tous les autres objets (planètes, comètes...) du système solaire tournent autour du Soleil avec un léger angle par rapport à l'écliptique, et même s'il est petit, il est toujours différent. Ils tournent donc dans des plans différents.

Voici ci-dessous les inclinaisons des orbites des planètes par rapport à l'écliptique.

Lune : 5,145°

Mercure :

Venus : 3,39 °

Mars : 1,85°

Jupiter : 1,31°

Saturne : 2,48°

Uranus : 0,77°

Neptune : 1,77°

Cela signifie qu'une partie du temps, les planètes sont sous l'écliptique, et l'autre partie du temps, elles en sont au-dessus.

Ce sont ces tout petits degrés qui font toute la différence. A cause d'eux, les éclipses et les transits sont assez rares et un des travaux des premiers astronomes fut bien évidemment d'essayer de les prédire.

Ce sont ces moyens de prédictions que nous allons vous montrer dans cette annexe. Bien sûr nous n'avons pas la prétention de prédire le prochain transit de Venus ou l'endroit d'où sera visible la prochaine éclipse de Soleil, mais nous allons essayer de comprendre quels sont les critères requis pour qu'une éclipse ou un transit survienne et donc comment leur fréquence peut-être prévue.

Vous verrez qu'il existe plusieurs méthodes plus ou moins simples pour comprendre les éclipses et les transits. 

 

Première méthode : Les inclinaisons des orbites et probabilités

 

Les éclipses de Soleil

 

Pour les éclipses concernant la Lune, le calcul est assez simple, car la Lune tourne autour de la Terre. Comme l'orbite de la Lune est inclinée à 5,145° par rapportà l'écliptique, cela signifie qu'à tout moment, elle peut donc se retrouver entre +5,145° et -5,145° dans notre ciel autour de l'écliptique.

Comme la Lune tourne autour de la terre, cet angle ne varie pas exactement linéairement mais en suivant une sinusoïde d'amplitude 5,145°, et de fréquence 27,32 jours (la période de révolution de la Lune).

 

On peut donc dire que si à T0, l'angle est de 0°, alors il variera en fonction des jours x selon la formule :

Angle = 5,145 * sin(360X/27,32)

 

Cette variation d'angle en fonction des jours est décrite dans le graphique ci-contre.

Comme vous le savez, le diamètre apparent du Soleil et celui de la Lune sont à peu près équivalents et valent 0,53°.

Cela signifie que si l'écart entre le centre du Soleil et le centre de la Lune est de plus de 0,53° (un rayon du Soleil plus un rayon de la Lune), alors nous n'aurons pas d'éclipse. S'il est en dessous, alors nous aurons une éclipse !

Cela est expliqué dans le dessin ci-contre : si la distance entre les deux centres est inférieure à la somme des deux rayons, il y aura une éclipse

A T0, donc, l'angle que fait la Lune avec l'écliptique est de 0°. Il va augmenter et rester  sous la barre des 0,53° pendant une durée X telle que :

5,145*sin(360X/27,32)=0,53

 

C'est à dire

X= (27,32/360)*sin-1(0,53/5,145)= 0,44 jours.

Vous pouvez voir sur le graphique que cette séquence de 0,44 jours de répète 4 fois durant la période de révolution de la Lune (deux fois juste au dessus et deux fois juste en dessous de l'écliptique) ce qui fait que les éclipses sont possibles pendant une période totale de 0,44×4=  1,76 jours durant une révolution complète de la Lune autour de la Terre qui dure 27,32 jours. 

 

De manière simple, je peux donc dire qu'au moment d'un alignement Terre-Lune-Soleil, nous avons une chance sur 27,32/1,76 = 15,52 qu'une éclipse intervienne.

Dit autrement, cela signifie qu'il y a en moyenne 1 éclipse de Soleil tous les 15,52 mois lunaires (attention, cette estimation est fausse, nous allons tout de suite vous expliquer pourquoi !)

 

Cette estimation est bien supérieure à la réalité car nous avons oublié un facteur très important : le rayon de la Terre est non négligeable comparé à la distance Terre - Lune. Or dans notre calcul, nous avons supposé la Terre réduite à un point.

Il faut donc ajouter les cas, où depuis le centre de la Terre, la Lune apparaît au delà des 0,53°, mais si on se situe à 6370 Km du centre (au pôle par exemple), le simple décalage de 6370 Km ramènera la Lune dans le disque Solaire.

Angle-Terre-Lune.PNG

Sur le dessin ci-contre, cela signifie que ce n'est pas l'angle a qui doit être inférieur à 0,53°, mais l'angle b !

 

 

 

Quelle relation existe-t-il entre l'angle a et l'angle b ?

 

Considérons les distances suivantes :

TL = la distance Terre-Lune 

Rt = le rayon de la Terre

H : La distance entre le centre de la Lune et la droite Soleil-Terre

 

On a

Tan(a) = H/TL d'où a = tan-1(H/TL)

et

Tan(b) = (H-Rt)/ TL d'où H = ((Tan(b) × TL) + RT)/TL

 

Ce qui nous donne :

 a = Tan-1(((Tan(b)×TL) + Rt)/TL)

 

Avec b=0,53° (nous avons vu plus haut à quoi correcpond cet angle), cela nous donne a=1,44°

 

En reprenant notre calcul précédent avec un angle de 1,44°, nous n'obtenons alors plus 0,44 jour, mais 1,2334 jours et donc 4,93 jours pendant lesquels une éclipse est possible.

Du coup, nous avons une chance sur 27,2/4,93 = 5,55 d'observer une éclipse de Soleil lors d'un alignement Terre-Lune-Soleil et donc les éclipses doivent arriver en moyenne tous les 5,55 mois lunaires.

La fréquence moyenne est de 5,45 mois, donc vous pouvez voir qu'avec un calcul simple, nous arrivons à un résultat très proche.

 

Vous allez voir dès à présent, que pour Mercure et Venus et pour les éclipses de Lune, le rayon de la Terre à moins d'importance. Pour les éclipses de Lune d'abord puisque contrairement aux éclipses de Soleil, elles sont visibles depuis tous les endroits de la terre (voyant la Lune au moment de l'éclipse tout de même !) et pour les transits de Mercure et Venus, les distances sont si grandes que le rayon de la Terre peut être négligé.

 

Les éclipses de Lune

 

Pour les éclipses de Lune, le principe est le même que pour les éclipses de Soleil, en remplaçant le Soleil par le cône d'ombre de la terre. Nous avons vu dans un précédent chapitre que la taille de l'ombre de la Terre au niveau de l'orbite de la Lune est d'environ 2,6 fois le diamètre de la Lune.

Cela signifie que si l'écart entre le centre de l'ombre de la Terre et le centre de la Lune est de moins de 0,954° (le rayon du cône d'ombre de 2,6 fois le rayon de la Lune (0,265° × 2,6) plus un rayon de la Lune de 0,265°, alors nous aurons une éclipse de Lune.

 

En reprenant le calcul de notre sinusoïde, nous avons :

X= (27,32/360)×sin-1(0,954/5,145)= 0,811 Jours

 

Donc dès que la Lune passe dans le plan de l'écliptique, elle reste à moins de 0,954° pendant 0,811 jours.

Cela nous fait donc une période de 0,811×4 = 3,244 jours pendant laquelle nous pouvons observer une éclipse de Lune au cours d'une révolution complète de la Lune autour de la Terre.

 

Nous pouvons donc dire qu'au moment d'un alignement Soleil-Terre-lune, nous avons une chance sur 27,32/3,244 = 8,42 d'observer une éclipse de Lune. Cela signifie qu'il y a en moyenne une éclipse de Lune tous les 8,42 mois lunaires. La réalité est de 7,69. Encore une fois, nous sommes très proches de la réalité !

 

Les transits de Mercure et de Venus

  

Occupons-nous maintenant des transits de Venus et de Mercure...

Regardez l'image ci-dessus : On y voit une coupe du système Solaire dans le plan de l'écliptique au moment d'une conjonction Soleil Planète (Alignement vue de dessus). On note a l'angle que fait la planète avec le plan de l'écliptique à cet instant.

 

Ce qui compte, c'est l'angle b qui doit être inférieur à 0,265° pour obtenir un transit (le rayon apparent du Soleil).

Comme pour la Lune juste au-dessus, nous pouvons dire que l'angle a que fait la planète à un instant x par rapport à l'écliptique est sinusoïdale :

 

a = Angle de la planète × sin(360X/durée de révolution)

 

Que vaut donc ce fameux angle B ?

Nous avons vu dans le chapitre consacré au calcul de la distance du Soleil par la méthode de Halley et des transits de Venus, la relation qui existe entre les angles d'un triangle quelconque. Si nous appelons c l'angle Soleil-Planète-Terre, alors nous avons :

sin(a)/Terre-Planète = sin(b)/Soleil-Planète=sin(c)/Soleil-Terre

et

a+b+c=180°

 

Cela signifie que

sin(c)=(sin(b)×(Soleil-Terre))/(Soleil-Planète)

et donc c=sin-1((sin(b)×(Soleil-Terre))/(Soleil-Planète))

 

d'où

b=180-(Angle orbite planète × sin(360X/durée de révolution))-sin-1((sin(b)×(Soleil-Terre))/(Soleil-Planète))

 

Et enfin

et donc le transit pourra arriver pendant une durée de X jours pendant une révolution de la planète avec :

 

X= 4×(durée de révolution/360).sin-1((180-sin-1(Sin(b)×Soleil-Terre/Soleil-Planète)-b)/Angle de la planète)

 

Pour Mercure, on a :

  • b = 0,265°
  • Durée de révolution = 87,97 jours
  • Soleil-Terre/Soleil-Mercure vaut entre 2,17 et 3,33 car son orbite est assez excentrique... nous prendrons 2,75 comme moyenne en sachant que cette approximation entrainera certainement une erreur au final.
  • Angle de l'orbite de la planète =

Ce qui donne

X=4×87,97/360 × sin-1((180-sin-1(sin(0,265×2,75)-0,265))/7)=3,71 jours

 

Cela signifie donc qu'on a une chance sur 87,97/3,71=23,71 d'observer un transit de Mercure.

Les alignements Soleil-Mercure-Terre ayant lieu tous les 115,88 jours (période synodique de Mercure), cela signifie qu'on a en moyenne un transit tous les 4748 jours, soit tous les 7,5 ans.

 

La réalité est très proche avec en moyenne 13 ou 14 transits par siècle soit  un tous les 7,40 ans.

Pour Venus, on a :

  • b = 0,265°
  • Durée de révolution = 224,7 jours
  • Soleil-Terre/Soleil-Venus vaut environ 1,38.
  • Angle de la planète =3,39°

 

X=4×224,7/360 × sin-1((180-sin-1(sin(0,265×1,38)-0,265))/3,39)=4,25 jours

 

Cela signifie donc qu'on a une chance sur 224,7/4,25=52,87 d'observer un transit de Venus au moment d'une conjonction Soleil-Venus.

Les alignements Soleil-Venus-Terre ayant lieu tous les 583,9 jours (période synodique de Venus), cela signifie qu'on a en moyenne un transit tous les 30871 jours, soit tous les 84,52 ans.

 

Ici aussi, la réalité est un peu différente car la fréquence est en fait parfois de un tous les 60 ans (c'est le cas depuis l'année 1518 et jusqu'en 2846 avec 4 transits tous les 243 an), parfois de 1 tous les 80 ans (ce sera le cas après 2846) et parfois de 1 tous les 121,5 ans (ce fut le cas entre -426 et 425).

 

Seconde méthode : Les noeuds et plus petits multiples

Comme vous pouvez le voir sur le dessin ci-contre, l'orbite inclinée de Venus, par exemple, ne coupe le plan de l'écliptique qu'en deux points. La droite passant par ces deux points passe aussi par le centre du Soleil. On appelle cette droite la ligne des Noeuds.

Ce n'est que lorsque La Terre et Venus se trouvent sur cette droite (d'un côté ou de l'autre) que nous pouvons avoir un transit.

Pour Venus, les moments où la Terre croise la ligne des noeuds se produisent vers le 10 juin et vers le 10 décembre de chaque année. Mais bien souvent, à ces moments précis, Venus est à un tout autre endroit que sur la ligne des noeuds et donc aucun transit n'est possible. C'est pour cette raison que les transits sont extrèmements rares.

 

Si à un instant T0 un transit se produit, alors le prochain transit pourra soit se produire sur le même noeud, soit sur le noeud opposé.

Si le prochain transit se produit sur le même noeud, alors cela signifie que La Terre et Venus se retrouveront exactement au même endroit. Dit autrement, cela signifie que et la Terre et Venus auront parcouru un nombre entier de révolution. Ce temps, c'est donc le plus petit multiple commun des deux périodes de révolution...

Si le transit se produit sur le noeud opposé, alors cela signifie que la Terre et Vénus auront parcouru un nombre entier de révolution plus un demi-tour.

 

La Terre fait un tour du Soleil (année sidérale) en 365,25636 jours et Venus fait un tour du Soleil (année sidéral) en 224,70096 jours...

Malheureusement, si à un instant donné venus se trouve exactement sur la ligne des nœuds, au bout d’une année sidérale de Venus (année prise en compte pour le calcul de la période synodique) elle ne s’y trouvera pas exactement.

En effet, les très légères perturbations des autres planètes font que l’ellipse de l’orbite de Venus tourne très légèrement et, chaque année, l’intersection de l’orbite de Venus et de la ligne des nœuds se déplace de 50,47747'' chaque année. Ainsi, Venus se retrouve exactement sur la ligne des nœuds au bout d’exactement 224,6989 jours, soit une année draconitique.

 

Donc supposons qu’à notre instant T0 un transit de Venus se produise, disons sur le nœud ascendant (au moment où Venus passe du dessous vers le dessus de l’écliptique).

Nous avons vu aussi qu'un transit de Venus pouvait avoir lieu jusqu'à 1 journée avant ou après un alignement parfait car durant cette période, Venus reste à moins de 0,265° en hauteur par rapport au Soleil.

Le prochain transir arrivera sur le même nœud à condition :

  • Que la Terre et Venus soient parfaitement alignées (nombre entier de périodes synodiques de Venus)
  • Que Venus revienne exactement sur ce même nœud (nombre entier d’années draconitiques de Venus)

 

Cela signifie que s'il existe des multiples entiers de période synodique et d’année draconitique ayant une différence de moins d'une journée en plus ou en moins (donc en valeur absolue), alors il y aura aussi un transit !

Effectuons quelques calculs (avec une feuille Excel par exemple) pour trouver ces valeurs... Nous obtenons ceci :

Noeud ascendant :

Nb années draconitiques=0, Nb périodes synodiques=0 décalage = 0 j

Nb années draconitiques=13, Nb périodes synodiques=5 décalage = -1,48 j

Nb années draconitiques=382, Nb périodes synodiques=147 décalage = 1,46 j

Nb années draconitiques=395, Nb périodes synodiques=152 décalage = -0,02 j

 

Au bout de 395 années draconitiques de Venus (243 année terrestres), le décalage est si faible qu'on se retrouve presque la même situation qu'en T0.

 

On voit que sur ce nœud, si à T0, l’alignement est parfait et engendre un transit, alors le prochain transit n’aura lieu qu’au bout de 152 périodes synodiques de venus. En revanche, si à T0 un transit a lieu avec un décalage d’alignement de 0,7 jours par exemple, le prochain transit aura lieu au bout de 5 périodes synodiques et aussi au bout de 152 périodes synodiques.

De même, si à T0 un transit a lieu avec un décalage d’alignement de -0,7 jours par exemple, le prochain transit aura lieu au bout de 147 périodes synodiques et aussi au bout de 152 périodes synodiques.

 

Noeud descendant :

Nb années draconitiques = 184.5, Nb périodes synodiques = 71, décalage = 1,47

Nb années draconitiques = 197,5, Nb périodes synodiques = 76, décalage = -0,01

 

Au bout de 76 périodes synodiques, le décalage est si faible qu'on se retrouve pratiquement à la même situation qu'en T0. D'ailleurs, en ajoutant 71 périodes et 76 périodes synodiques aux 76 du décalage infime, on se retrouve à 147 et 152 périodes synodiques, des périodes identifiées dans le tableau des nœuds ascendants.  

 

Donc récapitulons...

A0 :        Années draconitiques= 0, périodes synodiques= 0, décalage= 0 j

A8 :        Années draconitiques= 13, périodes synodiques= 5, décalage= -1,48 j

A113,5 : Années draconitiques= 184,5, périodes synodiques= 71, décalage= 1,47 j

A121,5 :  Années draconitiques=197,5, périodes synodiques= 76, décalage= -0,01 j

A235 :    Années draconitiques= 382, périodes synodiques= 147, décalage= 1,46 j

A243 :    Années draconitiques= 395, périodes synodiques= 152, décalage= -0,02 j

 

Que peut-on apprendre de ce tableau ?

Tous les 152 périodes synodiques (243 ans), la même séquence se reproduit pratiquement à l’identique, avec un décalage de -0,02 jours.

Ainsi, au bout d’environ 25 périodes de 243 ans (6075 ans), le décalage de -0,02 se sera accumulé au point de donner -0,5 jours de décalage total.

 

Si un transit passant par le milieu du Soleil arrive, alors nous aurons d’autres transits aux années 121,5 (76 périodes synodiques) et 243 (152 périodes synodiques). Nous aurons donc 2 transits tous les 243 ans.

Au bout des 25 périodes environ, le décalage de -0,5 jours rendra les transits des années 113,5 (71 périodes synodiques) et 235 (147 périodes synodiques) de telle sorte qu’à partir de cette date, les transits de 113,5 ans, 121,5 ans, 235 ans et 243 ans seront visibles. Nous aurons donc dans cette période, 4 transits tous les 243 ans, regroupés par paquet de 2 transits tous les huit ans séparés de 121,5 ans. Cette situation est exactement la situation que nous avons actuellement.

 

Au bout d’encore 25 périodes de 243 ans, le décalage sera devenu de -1 jour, si bien que les transits des années 0, 8 et 121,5 ne seront plus visibles. Les seuls transits visibles seront ceux des années 113,5 et 235. Nous aurons donc à nouveau deux transits tous les 243 ans, etc.

 

Vous voyez qu'assez facilement, on peut prévoir les transits de Venus !

 

Pour Mercure, l'année draconitique dure 87,9691317. Cette durée est assez éloignée de l’année sidérale qui est de 96,879 jours. Ceci indique que l’orbite de Mercure est très fortement perturbée. L’année synodique de Mercure est de 115,8774771 jours. En appliquant le même principe que précédemment, on a :

 

Nœud ascendant :

A0 :        Années draconitiques= 0, périodes synodiques= 0, décalage = 0 j

A13 :       Années draconitiques= 54, périodes synodiques= 41, décalage = -0,64 j

A33 :      Années draconitiques= 137, périodes synodiques= 104, décalage = 0,51 j

A46 :      Années draconitiques= 191, périodes synodiques= 145, décalage = -0,13 j

 

Nœud descendant :

A16,5 :    Années draconitiques= 68,5, périodes synodiques= 52, décalage = 0,2 j

A29,5 :   Années draconitiques=122,5, périodes synodiques=93, décalage = -0,39 j

A62,5 :   Années draconitiques=259,5, périodes synodiques=197, décalage= 0, 13 j

 

Pour Mercure, l'excentricité de son orbite ne permet toutefois pas d'obtenir un résultat si proche de la réalité que pour Vénus. Cependant, on y retrouve les  séquences de 13, 33 et 46 ans qui est une séquence réelle.

Le plus intéressant, c’est que le décalage de l’année 46 sur le nœud ascendant se compense exactement avec l’année 62,5 du nœud descendant.

Dit autrement, après 46 ans, le décalage sera de -0,13 jours. 62,5 années plus tard (soient 108,5 ans après le premier transit) le décalage sera de -0,13 + 0,13 = 0 jours.

On aura alors un transit pratiquement central, mais cette fois-ci sur l’autre nœud. En attendant à nouveau 105,5 années (soient 217 années en tout), on aura exactement le même transit dans la même configuration. Cette grande période de 217 ans est une réalité que nous avons pu trouver avec nos simples calculs.

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24 septembre 2013 2 24 /09 /septembre /2013 00:00

Dans cette annexe, nous allons prendre un peu de temps pour vous expliquer les notions fondamentales qui vous permettront de comprendre les chapitres de ce livre, et particulièrement le chapitre consacré à l'expérience de Cavendish et son pendule de torsion. Ces concepts sont : La position, la vitesse, l'accélération, le travail d'une force, l'énergie cinétique, les forces concervatives, le moment d'une force, les mouvements circulaires, le moment d'inertie, le moment cinétique, le théorème du moment cinétique et les équations différentielles.

 

Position, vitesse et accélération :

Vous verrez qu'il existe une relation très étroite entre ces trois notions.

  • La position, c'est simplement les coordonnées d'un objet afin de le localiser. On note ainsi X sa position droite-gauche, Y sa hauteur et Z sa position en profondeur. Pour simplifier la suite, nous allons partir du principe que notre objet est juste situé à une hauteur Y et nous oublierons X et Z. On peut donc mettre en équation la position d’un objet. Par exemple, un objet qui, à chaque seconde monte d’un mètre aura donc une hauteur Y dépendant du temps telle que Y=f(t)=t. S’il montait de deux mètres à chaque secondes, on aurait Y=f(t)=2t. Si à chaque seconde sa vitesse était multipliée par 2, alors on aurait Y=f(t)=2t, etc.
  • Si notre objet se déplace, alors la variation de son déplacement dans le temps s'appelle la vitesse. On connait tous la formule v=d/t, mais cette formule ne marche que si le mouvement est uniforme et constant. Si le mouvement ne l'est pas, alors on peut trouver à tout moment une période de temps suffisamment petite dt pour que la vitesse soit finalement presque constante sur cette intervalle. On note ainsi : v=dy/dt c'est à dire la dérivée (on l'appelle comme ça) de la position, ou la variation de la position lorsque dt tend vers 0. Ainsi, si la valeur de y est fonction du temps, alors la vitesse sera déduite en dérivant cette fonction par rapport au temps.

derivee.PNG

Les fonctions les plus courantes que nous utiliserons et dont les dérivées nous seront utiles sont  :

y=f(t)=t (x varie linéairement en fonction du temps et donc la vitesse est constante),

y=f(t)=t² (x varie avec le carré du temps).

 

Pour calculer ces dérivées, regardons le dessin du dessus.  La dérivée de cette fonction y=f(x) en un point de cette courbe est  en fait la pente de cette courbe en ce point.

En effet, nous avons vu, par exemple que la vitesse en un point était v=dy/dt. Si par exemple, la vitesse est de 10 m/s, cela signifie qu'à chaque seconde, la position change de 10 mètres. Sur la courbe, si j'augmente de 1 vers la droite, alors j'augmente de 10 vers le haut (ou vers le bas dans le cas de notre courbe).  C'est la définition de la pente de la courbe.

 

Donc, si on calcule en un point de la courbe, la pente de la courbe, alors on connaitra la dérivée, c'est aussi simple que cela !

Pour calculer la pente de la coube en un point (et donc la dérivée), il suffit de prendre un second point sur cette courbe et de le rapprocher du premier. La pente de la courbe au premier point sera la limite de la pente du segment reliant les deux points lorsque le second point se rapproche du premier.  

Partant de ce principe, les dérivées de ces deux fonctions sont :

 

pour y=f(t)=t,  

dy/dt= (f(t+dt)-f(t))/(t+dt-t) = (t+dt-t) / dt = 1

 

 

pour y=f(t)=t²,

dy/dt= (f(t+dt)-f(t))/(t+dt-t) = ((t+dt)²-t²) / dt = (t²+2tdt+dt²-t²) / (dt)= 2t + dt => 2t quand dt tend vers 0

 

Donc la dérivée de x est 1 et la dérivée de x² est 2x.

 

De même, la dérivée de sin(ax) est acos(ax) et la dérivée de cos(ax) est -asin(ax). Enfin, la dérivée de Xn est n.Xn-1.Nous ne démontrerons pas cela car c'est un peu complexe, mais nous nous en resservirons par la suite.

 

L'opposée de la dérivée s'appelle la primitive. Donc la primitive de 1 est x et la primitive de x est x²/2 à une constante près.

  • Si la vitesse n'est pas constante, alors la variation de la vitesse dans le temps s'appelle l'accélération, et, tout comme la vitesse est la dérivée de la position, l'accélération est la dérivée de la vitesse. Dès que la position change, alors forcément, cela signifie que la vitesse est non nulle. Dès que la vitesse change, alors l'accélération est non nulle.

Prenons un exemple :

Une pomme est immobile dans un arbre

Sa position ne bouge pas dans le temps et donc sa vitesse et son accélération sont nulles... Sa position (ses coordonnées) est donc constante (par exemple y = 5 mètres du sol).

Une voiture roule sur l'autoroute.

Sa vitesse v est constante, donc son accélération est nulle et sa position varie linéairement dans le temps x(t)=vt + x0 (la constante dépend effectivement de l'endroit où se trouve la voiture à t0=0)

Une pomme tombe d'un arbre.

Son accélération (la pesanteur) est constante et vaut 9,81 m.s-2 (nous reviendrons très bientôt sur cette valeur), sa vitesse augmente donc linéairement en fonction du temps... en fait, la vitesse augmente de 9,81 m.s-1 à chaque seconde on a v(t) = at + v0, avec v0 la vitesse initiale de la pomme.

Sa position augmente donc avec le carré du temps et on a : x = (a/2).t² + v0t + x0

 

Bien évidemment, dans la plupart des cas, on choisit de faire le calcul en se plaçant à un endroit où la vitesse V0 est nulle et la position x0 initiale est nulle.

 

Vous avez compris le principe ? Très bien, nous allons pouvoir compliquer un peu les choses ! Nous allons juste voir une dernière notion qui nous servira dans notre annexe consacrée aux notions de base d'optique :

La dérivée d'une fonction composée est g(f(x))' = g'(f(x)).f'(x)

 

 


Petit détour par les intégrales...

Ce petit détour n'a pas de rapport direct avec les notions de bases de mécaniques, mais étant donné que nous sortons de parler de dérivées et de primitives, il existe une application très intéressante qui va vous montrer une utilisation très pratique des primitives.

 

Imaginez une courbe y = f(x) croissante. Pour vous aider à l'imaginer, je vous en ai tracé une ci-dessous :

Integrales.PNG

Soit G(x) la fonction renvoyant la valeur de la surface grise de largeur x située sous la courbe, entre l'axe Y et l'axe X.

 

On voit que la surface jaune située sous la courbe entre x et x + h est en fait G(x+h) - G(x).

Comme la courbe est croissant (cela veut dire que si x ≥ y alors f(x) ≥ f(y)) alors l'aire jaune est plus petite que l'aire délimitée en pointillé orange (f(x+h)×h) et est plus grande que l'aire délimitée en pointillé bleu (f(x)×h).

 

Nous avons donc :

 

f(x)×h ≤ G(x+h) - G(x) f(x+h)×h

Soit

 

f(x) ≤ (G(x+h) - G(x))/h f(x+h)

Si h tend vers 0, alors f(x+h) tend vers f(x) et (G(x+h) - G(x))/h tend vers la dérivée de G au point x, que nous appellerons G'(x), et naturellement, nous avons :

G'(x) = f(x)

f(x) est la dérivée de G(x) et donc G(x) est une primitive de f(x)

 

Bon d'accord, me direz vous, et alors ?

Si je veux connaitre l'aire située sous la courbe entre les points a et b, je n'ai donc qu'a calculer G(b) - G(a)

Calculer cette aire, revient en fait à sommer toutes les petites aires de largeur dx (en gris) pour x variant de a à b, et dx devenant de plus en plus petit.

Chaque petite aire valant f(x).dx, le fait de faire varier X entre a et b et faire tendre dx vers 0 se note :

On l'appelle l'intégrale de la fonction entre a et b.

 

Voyez plutôt à quoi cela peut servir...

Vous savez tous que le volume d'une sphère est 4.Π.R3/3... mais savez-vous pourquoi ?

 

Sphere-volume.PNGTout comme plus haut, nous avons découpé la surface sous notre courbe en petits rectangles de plus en plus petits, il suffit d'utiliser la même démarche, mais cette fois-ci, en découpant le volume de notre sphère en petits disques de plus en plus petit.

 

Un disque à une hauteur h et de hauteur dh aura pour rayon (en appliquand Pythagore) √(R² - h²) et donc aura pour volume :


Π.(R² - h²).dh

 

Empiler des disques de hauteur dh entre la hauteur +R et -R en les rendant de plus en plus petits.... c'est exactement la définition de notre intégrale !

Le volume de notre sphère n'est donc autre que :


 

La primitive de f(h) = Π.R² - Π.h² est G(x) = Π.R².h - Π.h3/3

 

Le volume de la sphère est donc :

G(R) - G(-R) = Π.R².R - Π.R3/3 + Π.R².R - Π.R3/3 = 2.Π.R3 - 2.Π.R3/3 = 4.Π.R3/3

 

Le challenge du jour :

Maintenant que les primitives et intégrales n'ont plus de secrets pour vous, je vous propose un petit exercice pour mettre en application ce que nous avons appris :

 

 

 

Quel est le volume d'un cône de hauteur H et de largeur à la base D ?

cone.PNG

 

 

 

 

C'est simple, non ? la base du cône est un cercle de largeur D, et donc de rayon R.

 

 

L'angle au sommet du cône α est tel que tan(α) = R/H

Imaginons maintenant une galette située à la hauteur x, de largeur dx et rentrant parfaitement dans le cône.

 

Le rayon de cette galette est tel que tan(α) = r/x et donc r = x.R/H

Comme la hauteur de notre galette est de dx, alors son volume est de  :

 

π.x².R².dx/H²

 

Le volume du cône est en fait un empilement de galettes de plus en plus petites. On a donc :

 

 

Le travail d'une force

Lorsqu'une force F s'applique sur un objet, le travail de cette force est l'énergie qu'elle devra fournir pour déplacer cet objet d'un point A vers un point B. Si la force est parallèle au déplacement, alors le travail vaut W=F.AB. Son unité est le Joule ou N.m. Si la force fait un angle α avec le déplacement, alors le travail sera W=F.AV.cos(α). C'est ce qu'on appelle un produit scalaire.

Inversement, pour arrêter le même objet en déplacement, il faudra fournir une force de freinage équivalente à celle qu'il a fallu pour l'amener à cette vitesse. En cas de choc, l'énergie dégagée par ce choc sera cette fameuse énergie.

De fait, du simple fait de sa vitesse, un objet acquiert une énergie... A quoi est donc égale cette énergie ?

 

L'énergie cinétique

Imaginons une force F s'appliquant sur un objet de masse m. Cette force provoque le déplacement de l'objet entre A et B. On imagine qu'au départ, en A, l'objet est immobile.

D'après la seconde loi de Newton, nous avons F=ma avec a, l'accélération. On a donc a=F/m, et donc comme l'accélération est la dérivée de la vitesse donc la vitesse est l'intégrale de l'accélération, et on en déduit que v = (F/m)t + v0. Comme v0 est la vitesse au point A, nous avons v0=0 et donc v = (F/m).t et finalement t=v.m/F

Comme la vitesse est la dérivée de la position alors la position est l'intégrale de la vitesse, et on en déduit que x = (F/2m)t² + x0 = (F/2m)t² car on suppose que A est situé à la position 0.

Au point B, nous avons donc x = (F/2m)t² = (F/2m).v²m²/F²=v²m/(2F)

Le travail de la force F pour amener l'objet du point A vers le point B est donc : W=F.x = 1/2.mv²

Cette énergie, c'est l'énergie cinétique

 

Les forces conservatives

Si je veux monter au 15ème étage d'un immeuble, je peux escalader la façade de l'immeuble, monter par les escaliers, ou par l'échelle de secours. Dans tous les cas, je devrai hisser le poids de mon corps du sol au 15ème étage. Selon la méthode utilisée, l'effort à fournir sera plus violent mais plus court, ou bien moins violent mais plus long. Au total, que j'utilise chacun des trois moyens, le travail des forces que je devrai fournir sera la même. Dit autrement le travail des forces déployées pour déplacer un objet d'un point A vers un point B soumis à la gravité terrestre ne dépend pas du chemin emprunté : La force de gravitation est donc une force conservative.

 

A l'opposé, les forces de frottement par exemple, ne s'appliquent que sur un chemin bien précis. A 10 cm au-dessus du sol, il n'y a plus de frottement. Donc pour aller d'un point A vers un point B, selon que je suis sur le sol ou à 10 cm au-dessus de sol, les forces de frottement et donc leur travail seront totalement différentes : les forces de frottement sont dites non conservatives.

 

L'énergie potentielle

Lorsqu'un objet est soumis à une force conservative, on appelle énergie potentielle à un endroit donné, l'énergie qui pourrait être transformée en énergie cinétique si l'objet était mis en mouvement par cette force.

Prenons l'exemple de la pomme de Newton accrochée à son arbre. Cette pomme à cet instant donné est immobile donc son énergie cinétique est nulle. Cependant, il suffirait de lâcher cette pomme pour qu'elle se mette à tomber, prenne de la vitesse et acquiert donc de l'énergie cinétique.

Ce potentiel d'énergie cinétique, c'est donc l'énergie potentielle.

Nous vous disions plus haut que le travail d'une force pour parcourir une distance de x et acquérir la vitesse v est  W=F.x = 1/2.mv²

1/2.mv² est l'énergie cinétique à l'arrivée et F.x est l'énergie potentielle au départ.

 

Dans le cas de la gravité, et de notre pomme de 200g accrochée dans l'arbre à 5 mètres du sol, son énergie cinétique est nulle. Son énergie potentielle est dont Ep=m.g.h.avec h=5 et m=0,2 kg.

Lorsqu'elle s'est décrochée de l'arbre et est tombée sur la tête de Newton, au niveau du sol, son énergie potentielle était alors nulle (car h=0) mais pas son énergie cinétique puisque la pomme avait acquis une certaine vitesse. En fait, l'énergie potentielle du départ s'est totalement transformée en énergie cinétique.

On a donc m.g.h = 1/2mv², et donc v=√(2.g.h)=9.9 m.s-1

Vous voyez donc, comme l'avait montré Galilée au sommet de la tour de Pise : La vitesse d'un objet lâché en chute libre est indépendante de son poids !

L'énergie mécanique

Nous venons de voir que l'énergie potentielle était transformée en énergie cinétique lorsqu'une force conservative mettait un objet en mouvement.

Cela signifie qu'à tout moment, la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle est constante.

Cette somme, c'est l'énergie mécanique, et on a donc :

Energie mécanique = Energie cinétique + Energie potentielle

 

La quantité de mouvement

La quantité de mouvement d'un objet est le produit de sa masse par sa vitesse : P=m.v.

Cette notion est intéressant car la dérivée de la quantité de mouvement dP/dt=m.dv/dt=m.a est égale (seconde loi de newton) à la somme des forces qui s'éxercent sur cet objet.

On peut aussi trouver une relation entre énergie cinétique et quantité de mouvement :

Ec=1/2.m.v²=1/2.m²v²/m=P²/(2.m)

 

Moment d'une force

Lorsque vous utilisez une clé à molette, vous vous rendez compte facilement que vous aurez plus de force pour défaire un boulon en tenant la clé à son extrémité plutôt qu'en la tenant près du boulon. C'est le principe du levier.

On voit donc que dans un levier, la force (appelée moment de la force) exercée sur l'axe du levier est d'autant plus important que la force exercée sur le levier est éloignée de son centre. Ce moment augmente de manière constante avec la distance. Ainsi, la même force exercée à une distance 2x aura deux fois plus d'effet sur l'axe du levier que si elle est exercée à une distance x.

Ainsi, sur une balançoire, un homme de 50 kg situé sur un siège à 10 mètres de son axe sera en équilibre avec un éléphant de 5 tonnes situé de l'autre côté de l'axe sur un siège à 1 mètre de l'axe. Dans le dessin ci-contre, les deux moments des forces sont égaux et opposés et créent l'équilibre de la balancoire.

 

Dans le cas d'une force exercée perpendiculairement à l'axe du levier à une distance x, on a M=x.F

 

Les mouvements circulaires

mouvement-circulaire.PNG

 

Imaginons un objet tournant autour d'un point en décrivant un cercle.

 

A chaque instant, la position de l'objet fait un angle θ avec l'horizontale. θ n'est pas constant car sinon l'objet ne bougerait pas... il varie donc avec le temps en fonction d'une vitesse angulaire ω. Tout comme dans un mouvement rectiligne, on a d=v.t, dans un mouvement circulaire, on a θ=ω.t.

A chaque instant, donc, on peut noter x(t) et y(t) les coordonnées de la position de notre objet.

Comme vous maîtrisez maintenant la trigonométrie, vous constaterez qu'on a donc :

x(t)=R.cos(θ)=R.cos(ω.t)

y(t)=R.sin(θ)=R.sin(ω.t)

 

La vitesse étant la dérivée de la position, on a aussi :

Vx(t)=dx/dt=--R .sin(ω.t)

Vy(t)=dy/dt =R. ω.cos(ω.t)

 

Etant donné que V²(t) = Vx²(t) +  Vy²(t) = R ².ω².(cos²(ω.t) +    sin²(ω.t))=R ².ω² car sin²(x) + cos²(x) = 1

d'où, au final :  

V=R 

 

L'accélération  étant la dérivée de la vitesse, on a

Ax(t)=dVx/dt=-R .ω².cos(ω.t)

Ay(t)=dVy/dt =--R. ω².sin(ω.t)

 

Et donc A² = R².ω4 et donc

A=R.ω²=R².ω²/R=V²/R

 

Le moment cinétique

Nous avons vu un peu plus haut ce qu'était la quantité de mouvement d'un objet P=m.v.

Nous avons vu aussi qu'une force s'exerçant sur un axe avait un effet levier d'autant plus important que cette force était exercée loin de l'axe. Cela nous avait introduit le concept de moment d'une force.

Si on calcule le moment de la quantité de mouvement nous obtenons alors le moment angulaire, plus connu sous le nom de moment cinétique qui vaut donc

L=P.R=m.R.v

 

Le moment d'inertie

La quantité de mouvement P=m.v est donc variable en fonction de la vitesse (puisque m est normalement constant). Dans le moment cinétique L=m.R.v, nous allons essayer de faire apparaitre la vitesse angulaire, et la constante restante jouera le même rôle que la masse dans la quantité de mouvement :

 

L=m.R.v=m.R².ω=I.ω avec I=m.R² I étant le moment d'inertie de notre solide.

 

Donc récapitulons, voici les notions équivalentes entre un mouvement rectiligne et un mouvement circulaire :

Mouvement Rectiligne   Mouvement circulaire
V (Vitesse) <=> ω (Vitesse angulaire)
F (Force) <=> M (Moment de la force)
P (quantité de mouvement) <=> L (Moment cinétique)
m (Masse) <=> I (Moment d'inertie)

 

Le théorème du moment cinétique

Nous avons vu plus haut que le moment cinétique d'une force F s'exerçant perpendiculairement à une distance R d'un axe est de L=m.R.v=R.P, avec P la quantité de mouvement.

Dérivons cette expression (soyons fous !):

dL/dt=R.dP/dt=R.m.a

Or, comme la seconde loi de Newton nous dit que F=m.a, alors nous avons dL/dt=R.F=MF

 

Cette égalité (la dérivée du moment cinétique d'une force est égale au moment de la force), c'est le théorème du moment cinétique.

 

Les équations différentielles

Vous vous souvenez sans doute des équations du premier et second degré qui nous ont hanté à l'école :

Ax + B = 0 ou Ax² + Bx + C = 0

Ces équations sont en fait utiles lorsqu'il existe une relation entre les puissances de x.

 

Un exemple simple pour mettre l'ambiance à Noël : 

A Noël, chacune des x personnes invitées donne un cadeau aux x-1 autres personnes présentes.

On se retrouve donc avec un nombre de cadeau sous le sapin de Noël de x(x-1)=x²-x.

Ainsi, en comptant simplement le nombre de cadeaux sous le sapin, une personne peut donc connaitre le nombre d'invités, à condition bien sûr de résoudre une équation du second degré x²-x-Nb=0

 

Il existe aussi des équations mettant en relation, non pas des puissances de x, mais des dérivées de x. Par exemple :

Ad²x/dt + Bdx/dt + Cx = 0

 

C'est par exemple le cas s'il j'arrive à trouver dans un cas précis, une relation entre l'accélération la vitesse et la position d'un objet.

Une telle équation mettant en relation des dérivées est appelée équation différentielle.

 

Les équations différentielles sont très souvent utilisées dans la description des mouvements à cause de la seconde loi de Newton (F=ma).

 

En effet, Si une force F constant s'exerce sur un objet, et qu'on met en jeu une force de frottement K (qui augmente en fonction de la vitesse comme le frottement de l'air), alors la seconde loi de Newton nous donnera :

F - Kv = ma, ou F - Kdx/dt = md²x/dt

 

Un cas particulier et très intéressant d'équations différentielles sont les équations du type :

dx²/dt + Ax = 0

 

Elles correspondent à l'équation de mouvement de ce qu'on appelle un oscillateur harmonique. Si un système peut se mettre sous cette forme alors il possèdera des caractéristiques intéressantes :

  • Il oscillera autour de sa position d'équilibre jusqu'à se stabiliser avec une fréquence qui est constante. La période des oscillations sera de T=2.Π.√(1/A)

 

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23 septembre 2013 1 23 /09 /septembre /2013 00:00
Au fait, c'est quoi un trou noir ?
Pour faire rapide, la stabilité d'une étoile est un équilibre entre la force nucléaire qui est en son centre (et qui fusionne des atomes d'hydrogène) et la force de gravitation.
La force nucléaire fait ressembler une étoile à une bombe... Le souffle de l’énergie dégagée (appelé pression de radiation) a tendance à tout pousser vers l’extérieur et donc à faire grossir l’étoile.
Inversement, la force de gravitation fait que chaque portion de l'étoile attire les autres et fait que l'étoile aurait tendance à rétrécir...
Ces deux forces s'équilibrent pour donner à l'étoile la taille qu'elle gardera pendant une grande partie de sa vie.
 
Le fonctionnement d’une étoile peut-être résumé ainsi :
Une étoile est une concentration d’hydrogène tellement dense qu’elle chauffe à un point que la fusion nucléaire démarre. Les atomes d’hydrogène rentrent en collision les uns avec les autres et fusionnent en donnant des atomes d’Hélium. Ça, c’est le fonctionnement normal de l’étoile qui est alors dans ce qu’on appelle sa séquence principale. Cette fusion n’a lieu qu’au cœur de l’étoile, où la température est de 15 millions de degrés !
 
Bien évidemment, plus le temps passe, et plus l’hydrogène du cœur de l’étoile s’est transformé en Hélium… il y a donc de moins en moins de combustible et petit à petit, la fusion de l’hydrogène va s’arrêter dans le cœur de l’étoile, entrainant une baissse de la pression de radiation… la gravitation va alors prendre temporairement le dessus…
L’étoile va donc commencer à se contracter et cette contraction va avoir deux conséquences :
  • Les couches extérieures au noyau de l’étoile et qui étaient trop froides pour fusionner arrivent alors à bonne température (car la gravitation les resserre alors) et la fusion va démarrer. Comme cette fusion n’a plus lieu dans le cœur de l’étoile, mais dans les couches entourant le cœur, la pression de radiation va l’emporter et les couches de l’étoile vont se mettre à gonfler… L’étoile devient une géante.
  • Le noyau composé majoritairement d’Hélium va se contracter par gravitation et, arrivé autour de 100 millions de degrés, les atomes d’Hélium vont alors pouvoir fusionner les uns avec les autres pour donner des éléments plus lourds (essentiellement de l’Oxygène et du Carbone).
Donc pour résumer, une géante, c’est une étoile qui est arrivée à un stade où son cœur se contracte, mais les autres couches se dilatent.
 
Dans le cœur de l’étoile, l’histoire va se répéter tant que c’est possible, c’est-à-dire qu’une fois que l’Hélium aura disparu dans le cœur de l’étoile au profit du Carbone et de l’oxygène, alors la réaction nucléaire va progressivement s’arrêter. Le cœur va continuer alors à se contracter du fait de la présence d’éléments plus lourds et de la baisse de la pression de radiation.
Selon la masse de l’étoile, deux scénarios sont possibles :
·        Soit la quantité d’Oxygène et de Carbone est trop peu importante à l’intérieur de l’étoile et le noyau de l’étoile va mourir. Il va devenir une naine blanche autour duquel les couches externes du noyau sont propulsées dans l’espace, formant ce qu’on appelle une nébuleuse planétaire.
·    Soit la quantité d’Oxygène et de Carbone est suffisante, et la contraction par gravitation du cœur va entrainer une température telle (1 milliard de degrés) que la fusion de ces éléments va avoir lieu !
...Et ainsi de suite, en fonction de la taille de l’étoile :
-          Le carbone pourra fusionner pour donner du Néon, du Sodium et du Magnésium. Pour des étoiles de la taille du Soleil, cette étape n’aura jamais lieu et la dernière fusion sera celle de l’Hélium.
-          Au-delà de 1,2 milliards de degrés, le Néon fusionne pour donner de l’Oxygène et du Magnésium. Pour les étoiles assez grosses pour en arriver à ce stade, cette fusion va durer à peine plus d’un an !
-          Au-delà de 2 milliards de degrés, l’Oxygène fusionne pour donner du Chlore, du Silicium, de l’Argon, du Calcium, du Potassium, du Titane. Cette étape dure 6 mois environs… Arrivés à ce stade, il vaut mieux ne pas rester dans les parages….
-          Au-delà de 3 milliards de degrés, c’est au tour du Silicium de fusionner pour donner du Fer. Cette étape ne va durer que quelques heures. Cette étape est réservée aux étoiles ayant une masse d’au moins 8 fois celle du Soleil.
-          Très rapidement, le Fer créé par la fusion du Silicium va augmenter dans le cœur de l’étoile qui a continué à se contracter. Dès que les atomes de fer vont commencer à fusionner une chose extraordinaire va se passer :

     Contrairement à toutes les autres fusions qui se sont passées jusqu’à présent et qui libèrent de l’énergie, la fusion du Fer consomme de l’énergie. Très rapidement, toute l’énergie de l’étoile va être absorbée par cette fusion et la pression de radiation va subitement s’arrêter. L’étoile n’est plus alors soumis qu’à sa gravitation et en quelques secondes, elle s’effondre sur elle-même en une gigantesque explosion : Une supernova.

C’est dans cette dernière explosion (quand je dis gigantesque, je suis encore sous la réalité car une supernova est plus brillant qu’une galaxie, pour vous donner une idée !) que tous les autres éléments sont créés (Uranium, Plomb, Or, Platine…)
 
C’est intéressant de savoir que les éléments qui nous composent (Oxygène, Carbone…) et donc qui sont à l'origine de la vie, ont été créés lors de la mort des étoiles… et je suis sûr que vous ne regarderez plus vos bijoux en or de la même manière maintenant que vous savez dans quelles conditions exceptionnelles il a été créé !
 
A l'issu de cette explosion, il reste, au centre, le reste de l'étoile comprimée, appelée étoile à neutron car c'est un objet essentiellement composé de neurons collés les uns aux autres et qui, en fonction de la masse de l'étoile qui a explosé, peut devenir un trou noir... La suite dépend de la vitesse de libération...
 
La vitesse de libération
Si je jette un caillou en l'air, il va retomber sur ma tête ou par terre un peu plus loin.
Si je le jette un peu plus fort alors il ne retombera pas et partira en orbite autour de la Terre.
Si je le jette encore plus fort, alors il ne se mettra jamais en orbite et s'éloignera définitivement de la Terre.
 
Cette vitesse limite à partir de laquelle un objet quitte définitivement l'attraction d'une étoile ou d'une planète est appelée vitesse de libération.
La vitesse de libération se calcule à partir du théorème de la conservation de l'énergie mécanique en partant de ce principe :
 
Au niveau de la surface de la Terre, l'objet de masse m est lancé avec cette fameuse vitesse Vlib et on connait son énergie potentielle à cet endroit :
Ep0=(-GmM/r²).r=-GmM/r
  
L’énergie cinétique quant à elle vaut :
Ec0=1/2.m.Vlib²
Par définition, la vitesse de libération est la vitesse minimale à partir de laquelle l'objet lancé ne reviendra pas sur Terre.
Cet objet se retrouvera à une distance infinie de son point de départ avec une vitesse nulle (puisque c'est la vitesse minimale nécessaire pour quitter à jamais la terre).
On a donc
Epinfini=(-GmM/r²).r=-GmM/r=0 à l'infini car r est très grand
Ecinfini=1/2.m.Vlib²=0 car v=0
 
La conservation de l'énergie mécanique nous donne donc :
1/2.m.Vlib²=GmM/r et donc Vlib=√(2.G.M/r)
 
Que vient faire la vitesse de libération dans un paragraphe consacré aux trous noirs, me direz-vous ?
Voyez plutôt :
Avec la formule que nous venons de calculer, on voit que la vitesse de libération augmente avec la masse de l'objet auquel on veut échapper et de l'endroit d'où on veut en échapper. Il est évident qu'il sera plus facile d'échapper à l'attraction de la Terre si on est au niveau de Jupiter que si on est à la surface de la Terre. Il est aussi plus facile d’échapper à l’attraction de la Lune que d’échapper à celle de la terre et plus facile d’échapper à l’attraction de la Terre qu’à celle du Soleil.
 
Ainsi, par exemple, pour la Terre (M=6.1024kg), la vitesse de libération à sa surface est de :
Vlib=√(2*6,6 10-11*6 1024/6370000)= 11 150 m.s-1
Par contre, au niveau de l'orbite de la Lune,la vitesse de libération pour quitter l'attraction de la Terre est :
Vlib=√(2*6,6 10-11*6 1024/380000000)= 1 432 m.s-1  
Au niveau de la surface du Soleil, la vitesse de libération pour quitter l'attraction du Soleil est :
Vlib=√(2*6,6 10-11*2 1030/700000000)= 614 000 m.s-1  
 
Que se passe-t-il si la vitesse de libération à la surface d'un objet est supérieure à 300 000 km.s-1?
La vitesse de la lumière étant la vitesse maximale que l'on peut atteindre (nous traitons ce point dans une annexe), cela signifie que si, à la surface d'une étoile, la vitesse de libération dépasse la vitesse de la lumière, alors la lumière elle-même ne peut échapper à la gravité de l'étoile.
 
Si la vitesse de libération est supérieure à la vitesse de la lumière, cela signifie que la lumière émise à la surface de l’étoile s'éloignera, et, tel un caillou, retombera sur l'étoile. L'étoile n'émet donc aucune lumière vers l'extérieur et donc est invisible !
 
C'est la définition d'un trou noir !
 
Cette définition est importante, car contrairement à ce que beaucoup de gens imaginent, un trou noir n’est pas un aspirateur ! C’est juste une masse concentrée en un volume très petit.
Cela signifie que si demain matin, on remplaçait le Soleil par un trou noir de même masse, les planètes continueraient à tourner autour comme actuellement, car au final, c’est la masse qui compte.
En revanche, près de la surface du trou noir, l’attraction serait telle que tout serait transformé (l’espace et le temps) et il serait quasiment impossible d’en échapper.
 
De ce fait, connaissant la vitesse de libération minimale d'un trou noir (qui est donc la vitesse de la lumière), connaissant le poids du trou noir, on peut estimer sa taille maximale !
 
Par exemple, pour le trou noir se situant au centre de la Voie Lactée dont nous avons calculé la masse dans le chapitre sur la constante de gravitation (1037 kg) :
 
r=2.G.M/V2lib= (2*6,6.10-11*1037)/9.1016 = 14 666 666 Km=0,1 UA
 
Inversement, si on connait la taille d’un trou noir, alors on peut en déduire sa masse minimale.
Pour information, un trou noir de la masse du Soleil mesurerait 3 km et un trou noir de la masse de la Terre mesurerait moins de 1 centimètre ! Cela vous laisse imaginer l'importance du trou noir situé au centre de la Voie Lactée au regard de sa taille (0,1 UA = 15 Millions de km!) !
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Published by astronomie-smartsmur - dans Annexes
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