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26 octobre 2013 6 26 /10 /octobre /2013 00:00

Non content d'avoir estimé la taille et la distance de la Lune, Aristarque essaya de calculer l'éloignement du Soleil.

 

Le principe était de trouver un phénomène, une hypothèse permettant d'établir une relation entre le Soleil et la Lune, étant donné qu'il avait réussi à calculer la distance de celle-ci.

Et il réussit à trouver une telle hypothèse.

 

Hypothèse :

- Lorsque la lune nous paraît dichotome (exactement en premier ou dernier quartier), sa distance du soleil est moindre du quart de la circonférence, de la trentième partie de ce quart.

 

Il est vrai que c'est aussi clair qu'une prédiction de Nostradamus, mais on peut le comprendre en l'analysant calmement :

Un quart de la circonférence, c'est un quart de cercle, donc un angle droit, donc 90°. La trentième partie de 90°, c'est 3°. Donc dans son hypothèse, Aristarque dit que l'angle entre le Soleil et la Lune est de 90°-3° = 87°.

 

Vous comprendrez certainement mieux avec ce dessin : 

 

 Lune dichotome

Il représente la Lune au moment où elle nous apparaît en premier quartier (donc dichotome).  

Ici, le Soleil est représenté très près de la terre (2 ou 3 fois la distance de la Lune seulement) et on voit bien que l'angle Lune - Terre - Soleil est inférieur à 90°.

Il est égal à 90° - α.

 

Plus le Soleil sera loin, et plus cet angle sera proche de 90° (donc α tend vers 0). On peut voir la différence entre l'angle α1 et α2  selon que le Soleil est plus près ou plus loin de la Terre.

 

Ainsi, en calculant cet angle α ou l'angle 90-α, on peut en déduire la distance du Soleil.

 

Malheureusement, il y a deux problèmes :

- Il est très difficile de savoir quand la Lune est exactement en premier ou dernier quartier.

- L'angle Lune-Soleil est très difficile à mesurer avec précision.

 

Mais Aristarque ne reculant devant rien, il calcula cet angle et lui trouva la valeur de 87°. Soit une valeur α de . On ne sait pas comment Aristarque s'y est pris pour calculer cet angle.

En réalité, cet angle est de 89,85° et nous verrons que cela fait toute la différence.

 

A partir de cette hypothèse, Aristarque va en déduire que :

 

18 × Distance Terre - Lune < Distance Terre - Soleil < 20 × Distance Terre - Lune

 

 

...Attachez vos ceintures...

 Alors, pour les plus motivés, je vais vous expliquer la démonstration d'Aristarque avec un dessin, et ensuite, nous ferons le calcul plus simplement avec la Trigonométrie.

 

!!!Attention !!!


Il faut savoir que le résultat erroné que trouva Aristarque (en fait ce rapport n'est pas proche de 19, mais proche de 400 en réalité) est simplement dû au fait que l'angle de 87° est faux.
Sa démonstration, est, quant à elle, remarquable et donnerait un résultat très proche si nous utilisions le véritable angle de 89,85°.
Pour vous en convaincre, nous allons adapter légèrement la démonstration d'Aristarque en remplaçant l'angle de 3° par un angle α. Nous allons donc rendre la formule d'Aristarque générique et à la fin, nous prendrons α=3° pour trouver le résultat d'Aristarque, et nous prendrons  α=0,15° pour trouver quel aurait été son résultat s'il avait pu calculer α avec précision.
De plus, sa démonstration utilise des propriétés géométriques évidentes, mais bien souvent oubliées.


Chapeau bas Mr Aristarque ! 

 

 

Mais avant de commencer... 

Un petit préambule s'impose. Il s'agit, vous allez voir, d'une première approche de la trigonométrie pour les angles à 45° dont nous nous servirons dans la démonstration.Trigonometrie

 

 

Démonstration préalable : 

Soit le triangle rectangle ABC isocèle ci-contre (en fait, c'est un demi carré).

L'angle CAB est de 45°.

On trace un arc de cercle de centre A passant par B. Cet arc coupe AC en D. On a donc AB = AD

Enfin, On trace la bissectrice de l'angle CAB (la bissectrice coupe l'angle en deux angles égaux) qui coupe BC en E.

On a donc égalité entre les angles CAE et EAB (ils valent 22,5° chacun).

 

Si on projette E perpendiculairement sur AC, on obtiendra donc un point qu'on appellera X pour l'instant...

On a donc AXE est un angle droit, et donc les triangles AXE et ABE ont chacun un angle droit. Comme nous avons vu au-dessus que les angles CAE et EAB sont identiques, alors nos deux triangles ont deux angles égaux... et donc forcément leurs 3 angles identiques (car la somme des angles d'un triangle fait 180°).

Deux triangles avec exactement les mêmes angles sont dits homotétiques, c'est à dire qu'ils ont exactement la même forme, exactement les mêmes proportions, mais ne sont pas forcément de la même dimension... Sauf que ces deux triangles ont la même hypoténuse AE...

Ils sont donc exactement identiques (à une symétrie près) et donc notre fameux point X n'est autre que le point D ! En effet, il est situé sur AC et AX = AB = AD !

Encore plus fort : Comme CDE = 90° et que DCE = 45°, alors forcément CED = 45° aussi. Le triangle CDE est donc rectangle isocèle et donc DE = CD = BE...

 

En appliquant le théorème de pythagore dans le triangle DCE, on obtient DC² + DE² = EC² = 2 BE²

 

....Vous verrez qu'on va s'en resservir bientôt... 

   

 

Etudions maintenant la démonstration d'Aristarque.

Aistarque va donc démontrer d'abord que  

18 × Distance Terre - Lune < Distance Terre - Soleil

 

On construit pour cela la figure suivante :

Soit T le centre de la Terre, L le centre de la Lune lorsqu'elle est exactement en dernier quartier (dichotome), et S le centre du Soleil.

L'angle entre la Lune et le Soleil (angle STL) est considéré comme étant de 90° - α.

Distance Soleil mini

 

Comme nous venons de le voir,

=> Pour Aristarque α = 3°

=> En réalité α = 0,15°

Mais nous garderons α pour la démonstration.

 

On dessine donc le triangle TLS qui est rectangle en L.

Soit le point A, placé sur l'orbite du Soleil (eh oui, on est dans le passé !!!) de telle sorte que STA soit un angle droit.


On prolonge TL qui coupe l'orbite du Soleil en O.
Comme l'angle OTA est de α et l'angle STA de 90°, on a donc :

 

arc OA = arc SA × (α / 90)


On trace maintenant le carré passant par S, T et A qui nous crée un nouveau point B.

Si on trace la diagonale TB du carré STAB, on obtient naturellement un angle BTA de 45°.

Si on trace TC la bissectrice de l'angle BTA, on obtient un angle CTA fait qui 22,5° soit 1/4 d'un angle droit.


On a donc : Angle CTA = Angle OTA × (22,5/α) 

 

Soit D l'intersection de BA avec TO. Nous avons montré dans une démonstration du chapitre précédent que


Angle CTA        22,5°      AC

-------------- = ----   <   ----

Angle DTA         α           AD


Comme TAB est un angle droit, en utilisant Pythagore, on a TA² + AB² = TB² c'est à dire 2TA² = TB² car TA = AB

Comme il fallait bien que notre préambule nous serve, nous avons prouvé que 2 AC² = CB².

 

Comme Aristarque ne connaissait pas √2, il va l'approcher de la manière suivante :

2 = 50/25 > 49/25 = 7²/5² d'où √2>7/5

 

Notre relation 2 AC² = CB² trouvée juste au dessus devient AC × 7/5 < CB

 

Et comme AB = AC + CB, on a alors AB/AC = 1 + CB/AC > 1 +7/5 = 12/5, c'est à dire  

AB > (12/5) × AC

 

Et comme AC/AD > 22,5 / α, c'est à dire AC > (22,5/ α) * AD, on en déduit donc que :

 

AB = TA > (12/5) * AC > (12/5) * (22,5/ α) * AD

soit
TA > AD * (22.5 * 12) / (5*α) = AD * 54 / α  

 

Or TD > TA donc on a TD > AD * 54 / α

 

Concentrons-nous sur le triangle TLS... Que savons-nous de lui ?

- On sait que TLS est un angle droit

- On sait que STL = 90° - α

- Donc forcément TSL = α

 

Relâchons notre concentration pour mieux nous concentrer maintenant sur le triangle TDA... Que savons-nous de lui ?

- On sait que TAD est un angle droit

- On sait que ATD = α

- Donc forcément TDA = 90° - α

 

On voit donc que les deux triangles TLS et TDA ont les mêmes angles donc sont homothétiques... Cela veut dire que les rapports de leurs longueurs sont égaux (Théorème de Thales)... Et on a donc :

 

TD/AD = TS / TL > 54 / α

 

D'ou

Distance Terre - Soleil > Distance Terre - Lune × 54 / α

 

Avec  α = 3° trouvé par Aristarque nous avons donc

 

Distance Terre - Soleil > 18 ×× Distance Terre - Lune

 

Avec  α = 0,15° qui est la vrai valeur, nous trouvons

 

  Distance Terre - Soleil > 360 * Distance Terre - Lune

 

 

... On vient de finir la moitié de la démonstration ! 

 

 

Nous allons voir ensuite comment Aristarque démontre que  

20 * Distance Terre - Lune > Distance Terre - Soleil

 

La démonstration est un peu plus simple, je vous rassure !

Distance Soleil maxi

Reprenons notre figure de départ avec le triangle TLS et le prolongement de TL qui coupe l'orbite du Soleil en O.

Traçons OE parallèle à AT. Construisons ensuite le cercle passant par T, O et E. Comme l'angle OET est un angle droit et que ce triangle est contenu dans un cercle alors OT en est un diamètre.

 

Ensuite, nous construisons le point M, sur le cercle de manière à ce que TM soit le premier côté d'un hexagone situé sur le cercle. TM est égal au rayon du cercle.

Tout comme ATO, l'angle TOE est de α. Donc, si C est le centre du cercle alors l'angle TCE = 2α

 

On sait que TCM = 60° car TM est un côté d'un hexagone centré en C.

 

Donc nous avons : Arc TM = Arc TE × (60 / 2α)

 

Comme nous l'avons utilisé plusieurs fois jusqu'à maintenant, le rapport du grand arc sur le petit arc est plus grand que le rapport du grand segment sur le petit segment et donc nous avons

 

TM < TE × (60 / 2α)

 

Et Comme TM = TO / 2, alors TO < TE × (60 / α)

 

Enfin, comme les triangles TEO et TLS sont homothétiques, alors TO/TE = ST/TL < 60 / α

 

D'où       

 

Distance Terre - Soleil < Distance Terre - Lune × 60 / α

 

Avec  α = 3° trouvé par Aristarque nous avons donc

 

Distance Terre - Soleil > 20 × Distance Terre - Lune

 

Avec  α = 0,15° qui est la vrai valeur, nous trouvons

 

Distance Terre - Soleil > 400 * Distance Terre - Lune

 

 

Démonstration en utilisant la trigonométrie :

Si Aristarque avait connu la trigonométrie, le calcul aurait été très simple !

 Lune dichotome

En effet, comme nous sommes dans un triangle rectangle, on a :

 

                 Distance Terre- Lune

Sinus(α) = -------------------------

                Distance Terre - Soleil

 

Donc

 

                                        Distance Terre - Lune 

Distance Terre - Soleil =  ------------------------

                                                     Sinus(α)

 

Avec α = 3° comme l'avait trouvé Aristarque, 1/sin( α) = 19,10(on est exactement dans la fourchette d'Aristarque)

 

Avec α = 0,15° comme l'avait trouvé Aristarque, 1/sin( α) = 382

 

La grosse difficulté, c'est véritablement le calcul de ce fameux angle α et il ne fut jamais vraiment calculé avec précision avant récemment.

Malgré la méthode géniale d'Aristarque qui valait bien la peine qu'on y passe un peu de temps, ce n'est pas par cette méthode que fut finalement, plusieurs siècles plus tard, calculé la distance Terre – Soleil avec une plus grande certitude...

 

Mais nous verrons cela un peu plus tard

 


Maintenant, nous savons

 

- Quelle est la Taille de la Lune ?

Pour Aristarque 1/3 de la Taille de la Terre

Pour Nous 1/3,46 de la Taille de la Terre (5.6% d'erreur ! Pas mal !!!)

En réalité 1/3,66 de la Taille de la Terre

- Quelle est la distance Terre - Lune ?

Pour Aristarque : entre 22,5 fois et 30 fois le diamètre de la Lune

Pour Nous avec la méthode d'Aristarque : entre 72,6 fois et 96,8 fois le diamètre de la Lune

Pour nous avec la trigonométrie : 92,4 fois le diamètre de la Lune(16,4 % d'erreur)

En réalité : 110,6 fois le diamètre de la Lune

- Quelle est la Distance du Soleil ?

Pour Aristarque : entre 18 fois et 20 fois la distance Terre - Lune

Avec la méthode d'Aristarque s'il avait pu calculer α = 0,15° : entre 382 et 400 fois la distance Terre - Lune

Pour nous : aucune estimation car calculer l'angle α est trop difficile

En réalité : 389 fois la distance Terre - Lune

 

Je vous invite donc maintenant à regarder le dernier calcul effectué par Aristarque sans le prochain chapitre

 

Le calcul des distances dans l'antiquité : le diamètre du Soleil

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commentaires

Claude MALET 23/07/2012 18:20


Merci pour ces précisions qui ont effectivement résolu mes difficultés sur ce point ,mais j'en anticipe d'autres et votre réponse  m'autorise-t-elle à vous les soumettreTrès cordialement

astronomie-smartsmur 23/07/2012 20:06



Bien entendu, ce site est là pour ça et toutes vos questions ou remarques seront sincèrement les bienvenues ! Alors feu vert !



Claude MALET 23/07/2012 14:15


Cher Monsieur,


J'ai quelques difficultés à suivre la démonstration d'Aristarque chapitre 3-4 distance Terre -Soleil   18* Terre Lune < Terre -Soleil.


Avant de se concenter sur le triangleTLS on lit:''et commeAC/AD >22.5/.......on en déduit donc que              Alors AB=TA>AD..........''


Il me semble qu'il doit manquer une ligne ou deux entre ''donc que'' et ''Alors''


Merci de votre aide et encore bravo pour votre travail
                                                        

astronomie-smartsmur 23/07/2012 14:59



Bonjour Monsieur,

Merci pour votre remarque. En fait, il ne manquait pas de ligne, mais le "Alors" était en trop.

Cependant, en relisant cette partie, j'ai vu que ce passage était peut-être un peu obscur et j'en ai profité pour ajouter une ligne intercalaire, ce qui donne maintenant :

Et comme AC/AD > 22.5 / α, c'est à dire AC > (22,5/ α) * AD, on en déduit donc que


TA=AB > (12/5) * AC > (12/5) * (22,5/ α) * AD

soit
TA > AD * (22.5 * 12) / (5*α) = AD * 54 / α

N'hésitez-pas à me dire si cela vous éclaircit.

Merci encore pour votre remarque