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24 septembre 2013 2 24 /09 /septembre /2013 00:00

Dans cette annexe, nous allons prendre un peu de temps pour vous expliquer les notions fondamentales qui vous permettront de comprendre les chapitres de ce livre, et particulièrement le chapitre consacré à l'expérience de Cavendish et son pendule de torsion. Ces concepts sont : La position, la vitesse, l'accélération, le travail d'une force, l'énergie cinétique, les forces concervatives, le moment d'une force, les mouvements circulaires, le moment d'inertie, le moment cinétique, le théorème du moment cinétique et les équations différentielles.

 

Position, vitesse et accélération :

Vous verrez qu'il existe une relation très étroite entre ces trois notions.

  • La position, c'est simplement les coordonnées d'un objet afin de le localiser. On note ainsi X sa position droite-gauche, Y sa hauteur et Z sa position en profondeur. Pour simplifier la suite, nous allons partir du principe que notre objet est juste situé à une hauteur Y et nous oublierons X et Z. On peut donc mettre en équation la position d’un objet. Par exemple, un objet qui, à chaque seconde monte d’un mètre aura donc une hauteur Y dépendant du temps telle que Y=f(t)=t. S’il montait de deux mètres à chaque secondes, on aurait Y=f(t)=2t. Si à chaque seconde sa vitesse était multipliée par 2, alors on aurait Y=f(t)=2t, etc.
  • Si notre objet se déplace, alors la variation de son déplacement dans le temps s'appelle la vitesse. On connait tous la formule v=d/t, mais cette formule ne marche que si le mouvement est uniforme et constant. Si le mouvement ne l'est pas, alors on peut trouver à tout moment une période de temps suffisamment petite dt pour que la vitesse soit finalement presque constante sur cette intervalle. On note ainsi : v=dy/dt c'est à dire la dérivée (on l'appelle comme ça) de la position, ou la variation de la position lorsque dt tend vers 0. Ainsi, si la valeur de y est fonction du temps, alors la vitesse sera déduite en dérivant cette fonction par rapport au temps.

derivee.PNG

Les fonctions les plus courantes que nous utiliserons et dont les dérivées nous seront utiles sont  :

y=f(t)=t (x varie linéairement en fonction du temps et donc la vitesse est constante),

y=f(t)=t² (x varie avec le carré du temps).

 

Pour calculer ces dérivées, regardons le dessin du dessus.  La dérivée de cette fonction y=f(x) en un point de cette courbe est  en fait la pente de cette courbe en ce point.

En effet, nous avons vu, par exemple que la vitesse en un point était v=dy/dt. Si par exemple, la vitesse est de 10 m/s, cela signifie qu'à chaque seconde, la position change de 10 mètres. Sur la courbe, si j'augmente de 1 vers la droite, alors j'augmente de 10 vers le haut (ou vers le bas dans le cas de notre courbe).  C'est la définition de la pente de la courbe.

 

Donc, si on calcule en un point de la courbe, la pente de la courbe, alors on connaitra la dérivée, c'est aussi simple que cela !

Pour calculer la pente de la coube en un point (et donc la dérivée), il suffit de prendre un second point sur cette courbe et de le rapprocher du premier. La pente de la courbe au premier point sera la limite de la pente du segment reliant les deux points lorsque le second point se rapproche du premier.  

Partant de ce principe, les dérivées de ces deux fonctions sont :

 

pour y=f(t)=t,  

dy/dt= (f(t+dt)-f(t))/(t+dt-t) = (t+dt-t) / dt = 1

 

 

pour y=f(t)=t²,

dy/dt= (f(t+dt)-f(t))/(t+dt-t) = ((t+dt)²-t²) / dt = (t²+2tdt+dt²-t²) / (dt)= 2t + dt => 2t quand dt tend vers 0

 

Donc la dérivée de x est 1 et la dérivée de x² est 2x.

 

De même, la dérivée de sin(ax) est acos(ax) et la dérivée de cos(ax) est -asin(ax). Enfin, la dérivée de Xn est n.Xn-1.Nous ne démontrerons pas cela car c'est un peu complexe, mais nous nous en resservirons par la suite.

 

L'opposée de la dérivée s'appelle la primitive. Donc la primitive de 1 est x et la primitive de x est x²/2 à une constante près.

  • Si la vitesse n'est pas constante, alors la variation de la vitesse dans le temps s'appelle l'accélération, et, tout comme la vitesse est la dérivée de la position, l'accélération est la dérivée de la vitesse. Dès que la position change, alors forcément, cela signifie que la vitesse est non nulle. Dès que la vitesse change, alors l'accélération est non nulle.

Prenons un exemple :

Une pomme est immobile dans un arbre

Sa position ne bouge pas dans le temps et donc sa vitesse et son accélération sont nulles... Sa position (ses coordonnées) est donc constante (par exemple y = 5 mètres du sol).

Une voiture roule sur l'autoroute.

Sa vitesse v est constante, donc son accélération est nulle et sa position varie linéairement dans le temps x(t)=vt + x0 (la constante dépend effectivement de l'endroit où se trouve la voiture à t0=0)

Une pomme tombe d'un arbre.

Son accélération (la pesanteur) est constante et vaut 9,81 m.s-2 (nous reviendrons très bientôt sur cette valeur), sa vitesse augmente donc linéairement en fonction du temps... en fait, la vitesse augmente de 9,81 m.s-1 à chaque seconde on a v(t) = at + v0, avec v0 la vitesse initiale de la pomme.

Sa position augmente donc avec le carré du temps et on a : x = (a/2).t² + v0t + x0

 

Bien évidemment, dans la plupart des cas, on choisit de faire le calcul en se plaçant à un endroit où la vitesse V0 est nulle et la position x0 initiale est nulle.

 

Vous avez compris le principe ? Très bien, nous allons pouvoir compliquer un peu les choses ! Nous allons juste voir une dernière notion qui nous servira dans notre annexe consacrée aux notions de base d'optique :

La dérivée d'une fonction composée est g(f(x))' = g'(f(x)).f'(x)

 

 


Petit détour par les intégrales...

Ce petit détour n'a pas de rapport direct avec les notions de bases de mécaniques, mais étant donné que nous sortons de parler de dérivées et de primitives, il existe une application très intéressante qui va vous montrer une utilisation très pratique des primitives.

 

Imaginez une courbe y = f(x) croissante. Pour vous aider à l'imaginer, je vous en ai tracé une ci-dessous :

Integrales.PNG

Soit G(x) la fonction renvoyant la valeur de la surface grise de largeur x située sous la courbe, entre l'axe Y et l'axe X.

 

On voit que la surface jaune située sous la courbe entre x et x + h est en fait G(x+h) - G(x).

Comme la courbe est croissant (cela veut dire que si x ≥ y alors f(x) ≥ f(y)) alors l'aire jaune est plus petite que l'aire délimitée en pointillé orange (f(x+h)×h) et est plus grande que l'aire délimitée en pointillé bleu (f(x)×h).

 

Nous avons donc :

 

f(x)×h ≤ G(x+h) - G(x) f(x+h)×h

Soit

 

f(x) ≤ (G(x+h) - G(x))/h f(x+h)

Si h tend vers 0, alors f(x+h) tend vers f(x) et (G(x+h) - G(x))/h tend vers la dérivée de G au point x, que nous appellerons G'(x), et naturellement, nous avons :

G'(x) = f(x)

f(x) est la dérivée de G(x) et donc G(x) est une primitive de f(x)

 

Bon d'accord, me direz vous, et alors ?

Si je veux connaitre l'aire située sous la courbe entre les points a et b, je n'ai donc qu'a calculer G(b) - G(a)

Calculer cette aire, revient en fait à sommer toutes les petites aires de largeur dx (en gris) pour x variant de a à b, et dx devenant de plus en plus petit.

Chaque petite aire valant f(x).dx, le fait de faire varier X entre a et b et faire tendre dx vers 0 se note :

On l'appelle l'intégrale de la fonction entre a et b.

 

Voyez plutôt à quoi cela peut servir...

Vous savez tous que le volume d'une sphère est 4.Π.R3/3... mais savez-vous pourquoi ?

 

Sphere-volume.PNGTout comme plus haut, nous avons découpé la surface sous notre courbe en petits rectangles de plus en plus petits, il suffit d'utiliser la même démarche, mais cette fois-ci, en découpant le volume de notre sphère en petits disques de plus en plus petit.

 

Un disque à une hauteur h et de hauteur dh aura pour rayon (en appliquand Pythagore) √(R² - h²) et donc aura pour volume :


Π.(R² - h²).dh

 

Empiler des disques de hauteur dh entre la hauteur +R et -R en les rendant de plus en plus petits.... c'est exactement la définition de notre intégrale !

Le volume de notre sphère n'est donc autre que :


 

La primitive de f(h) = Π.R² - Π.h² est G(x) = Π.R².h - Π.h3/3

 

Le volume de la sphère est donc :

G(R) - G(-R) = Π.R².R - Π.R3/3 + Π.R².R - Π.R3/3 = 2.Π.R3 - 2.Π.R3/3 = 4.Π.R3/3

 

Le challenge du jour :

Maintenant que les primitives et intégrales n'ont plus de secrets pour vous, je vous propose un petit exercice pour mettre en application ce que nous avons appris :

 

 

 

Quel est le volume d'un cône de hauteur H et de largeur à la base D ?

cone.PNG

 

 

 

 

C'est simple, non ? la base du cône est un cercle de largeur D, et donc de rayon R.

 

 

L'angle au sommet du cône α est tel que tan(α) = R/H

Imaginons maintenant une galette située à la hauteur x, de largeur dx et rentrant parfaitement dans le cône.

 

Le rayon de cette galette est tel que tan(α) = r/x et donc r = x.R/H

Comme la hauteur de notre galette est de dx, alors son volume est de  :

 

π.x².R².dx/H²

 

Le volume du cône est en fait un empilement de galettes de plus en plus petites. On a donc :

 

 

Le travail d'une force

Lorsqu'une force F s'applique sur un objet, le travail de cette force est l'énergie qu'elle devra fournir pour déplacer cet objet d'un point A vers un point B. Si la force est parallèle au déplacement, alors le travail vaut W=F.AB. Son unité est le Joule ou N.m. Si la force fait un angle α avec le déplacement, alors le travail sera W=F.AV.cos(α). C'est ce qu'on appelle un produit scalaire.

Inversement, pour arrêter le même objet en déplacement, il faudra fournir une force de freinage équivalente à celle qu'il a fallu pour l'amener à cette vitesse. En cas de choc, l'énergie dégagée par ce choc sera cette fameuse énergie.

De fait, du simple fait de sa vitesse, un objet acquiert une énergie... A quoi est donc égale cette énergie ?

 

L'énergie cinétique

Imaginons une force F s'appliquant sur un objet de masse m. Cette force provoque le déplacement de l'objet entre A et B. On imagine qu'au départ, en A, l'objet est immobile.

D'après la seconde loi de Newton, nous avons F=ma avec a, l'accélération. On a donc a=F/m, et donc comme l'accélération est la dérivée de la vitesse donc la vitesse est l'intégrale de l'accélération, et on en déduit que v = (F/m)t + v0. Comme v0 est la vitesse au point A, nous avons v0=0 et donc v = (F/m).t et finalement t=v.m/F

Comme la vitesse est la dérivée de la position alors la position est l'intégrale de la vitesse, et on en déduit que x = (F/2m)t² + x0 = (F/2m)t² car on suppose que A est situé à la position 0.

Au point B, nous avons donc x = (F/2m)t² = (F/2m).v²m²/F²=v²m/(2F)

Le travail de la force F pour amener l'objet du point A vers le point B est donc : W=F.x = 1/2.mv²

Cette énergie, c'est l'énergie cinétique

 

Les forces conservatives

Si je veux monter au 15ème étage d'un immeuble, je peux escalader la façade de l'immeuble, monter par les escaliers, ou par l'échelle de secours. Dans tous les cas, je devrai hisser le poids de mon corps du sol au 15ème étage. Selon la méthode utilisée, l'effort à fournir sera plus violent mais plus court, ou bien moins violent mais plus long. Au total, que j'utilise chacun des trois moyens, le travail des forces que je devrai fournir sera la même. Dit autrement le travail des forces déployées pour déplacer un objet d'un point A vers un point B soumis à la gravité terrestre ne dépend pas du chemin emprunté : La force de gravitation est donc une force conservative.

 

A l'opposé, les forces de frottement par exemple, ne s'appliquent que sur un chemin bien précis. A 10 cm au-dessus du sol, il n'y a plus de frottement. Donc pour aller d'un point A vers un point B, selon que je suis sur le sol ou à 10 cm au-dessus de sol, les forces de frottement et donc leur travail seront totalement différentes : les forces de frottement sont dites non conservatives.

 

L'énergie potentielle

Lorsqu'un objet est soumis à une force conservative, on appelle énergie potentielle à un endroit donné, l'énergie qui pourrait être transformée en énergie cinétique si l'objet était mis en mouvement par cette force.

Prenons l'exemple de la pomme de Newton accrochée à son arbre. Cette pomme à cet instant donné est immobile donc son énergie cinétique est nulle. Cependant, il suffirait de lâcher cette pomme pour qu'elle se mette à tomber, prenne de la vitesse et acquiert donc de l'énergie cinétique.

Ce potentiel d'énergie cinétique, c'est donc l'énergie potentielle.

Nous vous disions plus haut que le travail d'une force pour parcourir une distance de x et acquérir la vitesse v est  W=F.x = 1/2.mv²

1/2.mv² est l'énergie cinétique à l'arrivée et F.x est l'énergie potentielle au départ.

 

Dans le cas de la gravité, et de notre pomme de 200g accrochée dans l'arbre à 5 mètres du sol, son énergie cinétique est nulle. Son énergie potentielle est dont Ep=m.g.h.avec h=5 et m=0,2 kg.

Lorsqu'elle s'est décrochée de l'arbre et est tombée sur la tête de Newton, au niveau du sol, son énergie potentielle était alors nulle (car h=0) mais pas son énergie cinétique puisque la pomme avait acquis une certaine vitesse. En fait, l'énergie potentielle du départ s'est totalement transformée en énergie cinétique.

On a donc m.g.h = 1/2mv², et donc v=√(2.g.h)=9.9 m.s-1

Vous voyez donc, comme l'avait montré Galilée au sommet de la tour de Pise : La vitesse d'un objet lâché en chute libre est indépendante de son poids !

L'énergie mécanique

Nous venons de voir que l'énergie potentielle était transformée en énergie cinétique lorsqu'une force conservative mettait un objet en mouvement.

Cela signifie qu'à tout moment, la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle est constante.

Cette somme, c'est l'énergie mécanique, et on a donc :

Energie mécanique = Energie cinétique + Energie potentielle

 

La quantité de mouvement

La quantité de mouvement d'un objet est le produit de sa masse par sa vitesse : P=m.v.

Cette notion est intéressant car la dérivée de la quantité de mouvement dP/dt=m.dv/dt=m.a est égale (seconde loi de newton) à la somme des forces qui s'éxercent sur cet objet.

On peut aussi trouver une relation entre énergie cinétique et quantité de mouvement :

Ec=1/2.m.v²=1/2.m²v²/m=P²/(2.m)

 

Moment d'une force

Lorsque vous utilisez une clé à molette, vous vous rendez compte facilement que vous aurez plus de force pour défaire un boulon en tenant la clé à son extrémité plutôt qu'en la tenant près du boulon. C'est le principe du levier.

On voit donc que dans un levier, la force (appelée moment de la force) exercée sur l'axe du levier est d'autant plus important que la force exercée sur le levier est éloignée de son centre. Ce moment augmente de manière constante avec la distance. Ainsi, la même force exercée à une distance 2x aura deux fois plus d'effet sur l'axe du levier que si elle est exercée à une distance x.

Ainsi, sur une balançoire, un homme de 50 kg situé sur un siège à 10 mètres de son axe sera en équilibre avec un éléphant de 5 tonnes situé de l'autre côté de l'axe sur un siège à 1 mètre de l'axe. Dans le dessin ci-contre, les deux moments des forces sont égaux et opposés et créent l'équilibre de la balancoire.

 

Dans le cas d'une force exercée perpendiculairement à l'axe du levier à une distance x, on a M=x.F

 

Les mouvements circulaires

mouvement-circulaire.PNG

 

Imaginons un objet tournant autour d'un point en décrivant un cercle.

 

A chaque instant, la position de l'objet fait un angle θ avec l'horizontale. θ n'est pas constant car sinon l'objet ne bougerait pas... il varie donc avec le temps en fonction d'une vitesse angulaire ω. Tout comme dans un mouvement rectiligne, on a d=v.t, dans un mouvement circulaire, on a θ=ω.t.

A chaque instant, donc, on peut noter x(t) et y(t) les coordonnées de la position de notre objet.

Comme vous maîtrisez maintenant la trigonométrie, vous constaterez qu'on a donc :

x(t)=R.cos(θ)=R.cos(ω.t)

y(t)=R.sin(θ)=R.sin(ω.t)

 

La vitesse étant la dérivée de la position, on a aussi :

Vx(t)=dx/dt=--R .sin(ω.t)

Vy(t)=dy/dt =R. ω.cos(ω.t)

 

Etant donné que V²(t) = Vx²(t) +  Vy²(t) = R ².ω².(cos²(ω.t) +    sin²(ω.t))=R ².ω² car sin²(x) + cos²(x) = 1

d'où, au final :  

V=R 

 

L'accélération  étant la dérivée de la vitesse, on a

Ax(t)=dVx/dt=-R .ω².cos(ω.t)

Ay(t)=dVy/dt =--R. ω².sin(ω.t)

 

Et donc A² = R².ω4 et donc

A=R.ω²=R².ω²/R=V²/R

 

Le moment cinétique

Nous avons vu un peu plus haut ce qu'était la quantité de mouvement d'un objet P=m.v.

Nous avons vu aussi qu'une force s'exerçant sur un axe avait un effet levier d'autant plus important que cette force était exercée loin de l'axe. Cela nous avait introduit le concept de moment d'une force.

Si on calcule le moment de la quantité de mouvement nous obtenons alors le moment angulaire, plus connu sous le nom de moment cinétique qui vaut donc

L=P.R=m.R.v

 

Le moment d'inertie

La quantité de mouvement P=m.v est donc variable en fonction de la vitesse (puisque m est normalement constant). Dans le moment cinétique L=m.R.v, nous allons essayer de faire apparaitre la vitesse angulaire, et la constante restante jouera le même rôle que la masse dans la quantité de mouvement :

 

L=m.R.v=m.R².ω=I.ω avec I=m.R² I étant le moment d'inertie de notre solide.

 

Donc récapitulons, voici les notions équivalentes entre un mouvement rectiligne et un mouvement circulaire :

Mouvement Rectiligne   Mouvement circulaire
V (Vitesse) <=> ω (Vitesse angulaire)
F (Force) <=> M (Moment de la force)
P (quantité de mouvement) <=> L (Moment cinétique)
m (Masse) <=> I (Moment d'inertie)

 

Le théorème du moment cinétique

Nous avons vu plus haut que le moment cinétique d'une force F s'exerçant perpendiculairement à une distance R d'un axe est de L=m.R.v=R.P, avec P la quantité de mouvement.

Dérivons cette expression (soyons fous !):

dL/dt=R.dP/dt=R.m.a

Or, comme la seconde loi de Newton nous dit que F=m.a, alors nous avons dL/dt=R.F=MF

 

Cette égalité (la dérivée du moment cinétique d'une force est égale au moment de la force), c'est le théorème du moment cinétique.

 

Les équations différentielles

Vous vous souvenez sans doute des équations du premier et second degré qui nous ont hanté à l'école :

Ax + B = 0 ou Ax² + Bx + C = 0

Ces équations sont en fait utiles lorsqu'il existe une relation entre les puissances de x.

 

Un exemple simple pour mettre l'ambiance à Noël : 

A Noël, chacune des x personnes invitées donne un cadeau aux x-1 autres personnes présentes.

On se retrouve donc avec un nombre de cadeau sous le sapin de Noël de x(x-1)=x²-x.

Ainsi, en comptant simplement le nombre de cadeaux sous le sapin, une personne peut donc connaitre le nombre d'invités, à condition bien sûr de résoudre une équation du second degré x²-x-Nb=0

 

Il existe aussi des équations mettant en relation, non pas des puissances de x, mais des dérivées de x. Par exemple :

Ad²x/dt + Bdx/dt + Cx = 0

 

C'est par exemple le cas s'il j'arrive à trouver dans un cas précis, une relation entre l'accélération la vitesse et la position d'un objet.

Une telle équation mettant en relation des dérivées est appelée équation différentielle.

 

Les équations différentielles sont très souvent utilisées dans la description des mouvements à cause de la seconde loi de Newton (F=ma).

 

En effet, Si une force F constant s'exerce sur un objet, et qu'on met en jeu une force de frottement K (qui augmente en fonction de la vitesse comme le frottement de l'air), alors la seconde loi de Newton nous donnera :

F - Kv = ma, ou F - Kdx/dt = md²x/dt

 

Un cas particulier et très intéressant d'équations différentielles sont les équations du type :

dx²/dt + Ax = 0

 

Elles correspondent à l'équation de mouvement de ce qu'on appelle un oscillateur harmonique. Si un système peut se mettre sous cette forme alors il possèdera des caractéristiques intéressantes :

  • Il oscillera autour de sa position d'équilibre jusqu'à se stabiliser avec une fréquence qui est constante. La période des oscillations sera de T=2.Π.√(1/A)

 

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Published by astronomie-smartsmur - dans Annexes
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commentaires

magnetix 07/07/2014 14:53

The position, velocity and the acceleration is what the earth and the basics are talking about and this is really a very informative article and this is really a wonderful concept that is proved with all the graphs and the derivatives. Science is wonderful.