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15 octobre 2013 2 15 /10 /octobre /2013 00:00

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Nous sommes maintenant en 1618, et la lunette a été inventée depuis plus de 8 ans par Galilée. Grâce à ces lunettes, des observations beaucoup plus précises ont pu être réalisées, et la méthode de Kepler pour calculer l'orbite de Mars a pu être utilisée de manière beaucoup plus fine et surtout, être appliquée à toutes les planètes.

 

Kepler avait bien énoncé sa 2ème loi sur les aires, mais pour lui, ce n'était pas suffisant. Il voulait montrer qu'il existait un rapport harmonique entre tout cela et il en était certain !

 

L'harmonique ? Qu'est-ce que ce mot bizarre ?

L'harmonique à l'époque de Pythagore et jusqu'à Kepler, c'était de montrer que le monde qui nous entoure est réglé par des nombres magiques qui le rendent harmonieux. Aujourd'hui, nous avons le fameux nombre d'Or, mais à l'époque, ces nombres étaient plutôt 2, 3/2 et 5/2. Ils avaient été déterminés il y a bien longtemps par Pythagore sur la base des fréquences des notes musicales. Voyez plutôt :

harmoniques.PNG

 

Le principe de Pythagore était le suivant :

Si une corde de guitare de longueur L est tendue, elle vibrera en émettant un son (en noir sur le graphique).

  • Si je pince cette corde à sa moitié, j'obtiendrai une nouvelle note avec une fréquence double (en bleu sur le graphique), donc qui sera un Octave au-dessus. Cette note est en harmonie avec la première, car, lorsqu'on les fait sonner toutes les deux en même temps, l'interférence des deux notes ne crée aucun battement audible. D'ailleurs ces deux notes sont tellement en harmonie qu'elles ont le même nom ! Elles appartiennent juste à deux octaves différentes.

  • Si maintenant je pince cette corde aux 2/3, j'obtiens une note qui est une quinte au-dessus. Pincer la corde aux 2/3 revient en fait à la pincer aux 1/3, donc multiplier la fréquence par 3, puis réloigner le pincement deux fois plus loin, et donc diviser la fréquence par deux. Au final, la fréquence est donc multipliée par 3/2, soit 1,5. Cette note obtenue (en Orange) est aussi en harmonie avec la première. L'intervalle des notes de cette harmonique est donc appelée la gamme de Pythagore et a été utilisée comme gamme de référence pendant très longtemps. C'est d'ailleurs elle qui a donné les notes des cordes des violons qui sont séparées par un intervalle de quinte juste.

  • Enfin, si je pince cette corde aux 2/5ème, j'obtiens une note une tierce au-dessus. Avec le même principe que précédemment, nous voyons que cette nouvelle note a une fréquence de 5/2 de la note de base et est en harmonie avec elle (courbe verte).

 

C'est ainsi que du temps de Pythagore, les harmonies dans le monde étaient principalement générées par les nombres 2, 3/2 et 5/2. Pythagore avait même émis l'hypothèse que les planètes tournant à des vitesses différentes, elles devaient certainement émettre des sons qui étaient tous en harmonie les uns avec les autres...

 

Bien entendu, les harmoniques avaient énormément intéressé Kepler qui tenta aussi de les retrouver dans le mouvement des planètes.

 

Il avait donc à sa disposition les distances des planètes et leurs périodes de révolution sidérale. Il savait plus que n'importe qui, pour avoir émis ses deux premières lois, que plus les planètes étaient éloignées, plus elles allaient doucement.... mais existait-il un rapport entre les deux ?

Il essaya donc de chercher dans les harmoniques de Pythagore, et fit plusieurs tests en calculant les rapports entre la distance d'une planète Dn avec celle qui la précède juste Dn-1, élevées à des puissances harmoniques. Il fit de même avec les périodes de révolution Tn et Tn-1 :

 

 

Planète Distance (UA) Période de révolution (Année) Dn/Dn-1 (Dn/Dn-1)2 (Dn/Dn-1)3/2 (Dn/Dn-1)5/2 Tn/Tn-1 (Tn/Tn-1)2 (Tn/Tn-1)3/2 (Tn/Tn-1)5/2
Mercure 0,39 0,24                
Venus 0,72 0,61 1,87 3,49 2,55 4,77 2,55 6,51 4,08 10,41
Terre 1 1 1,38 1,91 1,63 2,25 1,63 2,64 2,07 3,37
Mars 1,52 1,88 1,52 2,32 1,88 2,87 1,88 3,54 2,58 4,85
Jupiter 5,2 11,86 3,41 11,66 6,31 21,54 6,31 39,76 15,83 99,85
Saturne 9,53 29,46 1,83 3,36 2,48 4,55 2,48 6,17 3,91 9,72

 

 

Et là, deux colonnes attirèrent son attention. Il s'aperçut en effet que le rapport des périodes de deux planètes était toujours égal au rapport de leur distance élevé à la puissance 3/2. Et cela n'est pas seulement vrai en le calculant entre deux planètes proches. On peut  tenter par exemple de calculer le rapport entre deux planètes éloignées, comme Venus et Jupiter, et on a :

(DJupiter / DVenus)3/2 = (5,2 / 0,72)3/2 = 7,223/2 = 19,41

et

TJupiter / TVenus) = 11,86 / 0,61 = 19,44

 

Etait-ce un hasard ou était-il sur le point de découvrir quelque chose... comment le savoir ?

 

 

Il lui faudrait étudier un autre système de planètes pour vérifier que sa loi est bonne, mais lequel ? La Lune était seule à tourner autour de la Terre, et.... mais oui ! Jupiter et ses quatre satellites !

 

Heureusement pour lui, Galilée lui avait déjà mâché le travail en calculant les distances et les périodes des quatre satellites.

En effet, à la fin de l'année 1610 Galilée avait observé et déterminé les périodes des 4 satellites de Jupiter et ses résultats publiés dans sa théorie des corps flottants étaient les suivants :

  • Io tourne autour de Jupiter en 42,5 heures

  • Europe tourne autour de Jupiter en 85,33 heures

  • Ganymède tourne autour de Jupiter en 172 heures

  • Callisto tourne autour de Jupiter en 402 heures

 

Les périodes étaient assez faciles à déterminer précisément en se basant par exemple sur les disparitions des satellites derrière Jupiter.

Il faut savoir qu'à l'époque, les satellites n'avaient pas encore de nom et Galilée les nommait de I à IV. Ce n'est qu'en 1614 et après la publication d'un ouvrage de l'allemand Simon Marius prétendant être celui qui a découvert les satellites de Jupiter avant Galilée qu'on utilisa les noms qu'il leur avait donnés.

 

Pendant l'été 1610, Galilée avait aussi essayé de calculer la distance des quatre satellites par rapport au centre de Jupiter. Il effectua ce calcul en multiples de rayon de Jupiter. Bien évidemment, il n'avait à sa disposition, ni Appareil Photo, ni Webcam, ni imprimante et ne pouvait estimer les distances qu'à l'oeil. Il commença donc par donner au début des distances en nombre entier de rayons de Jupiter, puis il affina ses calculs pour aboutir au final à :

  • Io se trouve à 5 Rayons et 11/16èmes de Jupiter

  • Europe de trouve à 8 Rayons et 5/8èmes de Jupiter

  • Ganymède se trouve à 14 rayons de Jupiter

  • Callisto se trouve à 25 Rayons de Jupiter.

 

Bien évidemment, ces dernières valeurs n'étaient pas vraiment précises et il fallait en tenir compte.

 

En refaisant les mêmes calculs qu'avec les planètes, Kepler trouva :

 

Satellite Distance (Rayon Jupiter) Période de révolution (Heures) Dn/Dn-1 (Dn/Dn-1)² (Dn/Dn-1)3/2 (Dn/Dn-1)5/2 Tn/Tn-1 (Tn/Tn-1)² (Tn/Tn-1)3/2 (Tn/Tn-1)5/2
Io 5,69 42,5                
Europe 8,63 85,33 1,52 2,30 1,87 2,83 2,01 4,03 2,84 5,71
Ganymède 14 172 1,62 2,63 2,07 3,36 2,02 4,06 2,86 5,77
Callisto 25 402 1,79 3,19 2,39 4,26 2,34 5,46 3,57 8,35

 

 Il constata donc que les rapports des carrés des distances étaient encore très proches des rapports des cubes de périodes, surtout avec les imprécisions dues aux mesures des distances.

 

Cette fois si, il en était certain, on avait bien une égalité :

 

(Distance planète X)3/2                   Période planète X

---------------------------             =        ------------------------

(Distance planète Y)3/2                    Période planète Y

 

On en déduit donc que

 

(Distance planète X)3       (Distance planète Y)3         (Distance planète Z)3

---------------------------    =   -----------------------------  =   ----------------------------       =..... = une constante

(Période planète X)2        (Période planète Y)2              (Période planète Z)2

 

Cette constante est-elle la même dans tout l'univers ?

On voit clairement dans le tableau des planètes, que si les distances sont exprimées en UA (donc 1 pour la terre) et les périodes en années (donc 1 pour la terre), ce rapport vaut 1 pour la Terre.

Si cette constante est la même dans tout l'univers, alors cela signifie que ce rapport, s'il est exprimé dans ces unités, vaut 1 pour l'ensemble des planètes de l'Univers.

Le problème, c'est qu'à cette époque, on ne connait pas très bien la valeur d'une UA, mais essayons tout de même de calculer quelle serait la distance Terre-Lune si cette constante était unique dans l'univers :

 

   (Distance Terre-Lune en UA)3

----------------------------------------------    =  1 ce qui nous donne (Distance Terre-Lune en UA)3 = (27,5/ 365,25)²

(Période révolution Lune en années)2

 

Ce qui nous donne : Distance Terre-Lune en UA = 0,1783 (0.0026 en réalité).

 

Bien évidemment, cette distance est absolument impossible pour plusieurs raisons : 

  • Un tel rapport de distances nous donnerait, lors des quartiers de Lune, un angle Lune-Soleil de 80°, ce qui n'est absolument pas le cas. Cet angle est en effet de 89,85°.
  • Un tel rapport de distances nous donnerait une Lune presque autant éloigné de la Terre que Venus, or il est évident que Venus est des dizaines de fois plus éloignéque la Lune.

Cette constante est donc différente d'un système à l'autre, mais est identique pour tous les corps tournant autour du même astre.

 

Il put donc publier sa troisième loi :

 

Le carré de la période de révolution des planètes est proportionnel au cube de leur distance au Soleil.

a3/T2=k

 

Cette loi est extrêmement importante et d'ailleurs toujours utilisée aujourd'hui !

En effet, vous allez voir qu'avec cette simple formule, on peut par exemple calculer l'altitude d'un satellite géostationnaire !

 

Et oui ! la Lune est à environ 390000 Km de la Terre, et nous savons qu'elle tourne autour de la Terre en 27,32 jours. L'intérêt de cette formule, c'est que la constante n'étant pas connue, on peut donc utiliser les unités que l'on veut, à partir du moment où l'on ne change pas d'unité pendant le calcul.

Nous allons donc exprimer la distance en milliers de Km et la durée en jours.

On a donc k = 3903 / 27,322 = 79475.Voilà donc notre fameuse constante pour les objets tournant autour de la terre !

 

Un satellite géostationnaire, c'est par exemple un satellite de télévision. On y pointe notre parabolle pour capter des centaines de chaînes, et heureusement pour nous, nous n'avons pas besoin de la bouger toutes les cinq minutes !

En effet, ce satellite est immobile dans le ciel. Il est Immobile par rapport à nous, bien sûr ! En fait, il tourne exactement en même temps que nous donc il fait un tour complet de la Terre en 1 jour.

 

Ce satellite, lui aussi est lié à la troisième loi de Kepler, et comme il est, tout comme la Lune, en orbite autour de la Terre,  alors la constante k que nous venons de calculer est la même pour lui, de telle sorte que :

a3/T2 = k = 79475

Or, comme T=1 (car le satellite fait le tour de la terre en 1 jour), on a donc a3 = 79475, et donc a = 43.

Comme a est exprimé en milliers de km, on en déduit donc qu'un satellite géostationnaire est situé à 43000 km du centre de la Terre, c'est à dire à 43000 km - 6370 km = 36630 km de sa surface !

 

Nous ne sommes pas loin de la vérité (35800 km) avec un calcul très simple !

 

L'astronomie avait véritablement progressé avec les trois lois de Kepler, mais on ne connaissait toujours pas avec précision la taille de la Terre, ce qui était assez paradoxal. Ce souci fut résolu rapidement, et c'est ce que nous allons voir dans le prochain chapitre :

 

LE CALCUL DES DISTANCES DANS LE GRAND SIECLE : LE CALCUL DE LA TAILLE DE LA TERRE

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